第10讲 一元一次方程的应用 （2个知识点+10种题型+过关检测）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪科版2024）

第10讲 一元一次方程的应用 （2个知识点+10种题型+过关检测） 知识点1．由实际问题抽象出一元一次方程 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． （1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． （2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程． 知识点2．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 题型一、行程问题(一元一次方程的应用) 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）安庆长江铁路大桥，是安徽省境内连接池州市与安庆市的过江通道，位于长江水道之上，是宁安高速铁路与阜景铁路重要构成部分之一，大桥全长约3000米．现有一列动车从桥上通过，测得动车从开始上桥到完全过桥共用80秒，整列动车完全在桥上的时间是70秒．则这列动车长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·开学考试）客、货两车同时从A、B两地相向而行，在距A地100千米处第一次相遇，各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距B地60千米处第二次相遇．A、B两地相距 千米． 3．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）（利用方程解决问题） 据了解，火车票价按“”的方法来确定已知A站至H站总里程数为1500km全程参考价为180元，下表是沿途各站至H站的里程数： 车站名 A B C D E F G H 各站至H站的里程数（单位：km） 1500 1130 910 622 402 210 70 0 例如：要确定从A站至E站火车票价，其票价为元 (1)求C站至G站的火车票价（结果精确到1元）； (2)王大妈乘由A站驶往H站的火车去女儿家上车过两站后拿着火车票问乘务员：“我快到站了吗？”乘务员看到王大妈手中票价是84元，马上说“下一站就到了”请问王大妈是在哪一站上车的，要在哪一站下车. 题型二、配套问题(一元一次方程的应用) 4．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）一套仪器由一个部件和三个部件构成．用钢材可做个部件或个部件，现要用钢材制作这种仪器．设应用钢材做部件．剩余钢材做部件，恰好配套，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22七年级上·安徽马鞍山·期中）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形． （1）每个长方形盒子有________个侧面，有________个底面； （2）长方形硬纸板以如图两种方法裁剪．方法：剪3个侧面；方法：剪2个侧面和2个底面．现有35张硬纸板，裁剪时张用方法，其余用方法． ①用含的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； ②若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 题型三、工程问题(一元一次方程的应用) 6．（23-24七年级上·安徽六安·期末）被誉为“天下第一塘”的水门塘是我县的一张文化名片，为打造水门塘风光带，现有一段长为280米的堤岸维修任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天维修12米，B工程队每天维修10米，两个工程队共用时25天．则A工程队维修堤岸多少米？（   ） A．160 B．170 C．180 D．190 7．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 题型四、销售盈亏(一元一次方程的应用) 8．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）一商店出售书包时，将一种进价为50元的双肩背书包，按进价提高30%作为标价，由于清仓处理，需按打折出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利8.5元．设每个双肩背书包打x折，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）有一批进价为元/的苹果，在运输和仓储的损耗率为，为保证这批苹果的利润率达到，则售价应为 元/．（利润率） 10．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）潜山市某商场经销的、两种商品，种商品每件售价为60元，利润率为；种商品每件进价为50元，售价为80元． (1)种商品每件进价为______元，每件种商品利润率为______． (2)若该商场同时购进、两种商品共70件，售完之后恰好总利润为1580元，求购进种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场只对、两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七五折优惠 按上述优惠条件，若小明一次性购买商品、优惠后付款总额为531元，若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付多少元？ 题型五、比赛积分(一元一次方程的应用) 11．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）利辛县某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣一分，某同学最后的得分是55分，则他做对（    ）道题 A．16 B．15 C．14 D．13 12．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）聪聪同学到某校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）： 校篮球赛成绩公告 比赛场次 胜场 负场 积分 22 12 10 34 22 14 8 36 22 0 22 22 聪聪同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙解决： (1)从表中可以看出，负一场积 　 　分，胜一场积 　 　分； (2)某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于负场总积分吗？请说明理由． 题型六、方案选择(一元一次方程的应用) 13．（20-21七年级上·安徽合肥·期末）某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案： ①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠； ②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠； 小敏在该超市两次购物分别付了85元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（    ）元 A．284 B．308 C．312 D．320 14．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）“元旦”假期，某学校的3位老师带领a名学生去冰雪大世界游玩，有两家旅行社可供选择，定价都是每人300元．其中甲旅行社的优惠方案是老师全价，学生七折优惠，乙旅行社的优惠方案是不分老师和学生一律八折优惠． (1)这3位老师和a名学生选择甲旅行社所需费用为_________元，选择乙旅行社所需费用为_________元；（用含a的式子表示） (2)若这3位老师带领10名学生去游玩，他们选择哪家旅行社比较划算？ (3)若他们选择甲、乙两家旅行社所付的费用一样，求这3位老师共带了几名学生去游玩？ 题型七、数字问题(一元一次方程的应用) 15．（24-25七年级上·安徽芜湖·开学考试）三个连续偶数的和是，最大的一个偶数是（    ） A．a B． C． D． 16．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）按照下列程序计算，当输出值为2023时，输入的x值为 ． 17．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）小铭同学问数学老师家的电话号码是多少，老师说：“想知道我家的电话号码，得动点脑筋，”接着又说：“我家的电话号码是八位数，且符合①前四位数字相同，后面四位数字是连续的自然数，②全部数字之和恰好等于号码的最后两位数，③巧的是，这个号码的后面五位数字也是连续自然数．” 请你根据上述条件解答下列问题： (1)请写一个符合①的电话号码 ． (2)请写一个同时符合①③的电话号码 ． (3)请用学过的一元一次方程的知识帮助小铭得到数学老师家的电话号码． 题型八、几何问题(一元一次方程的应用) 18．（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图所示，一个长方形恰好分成6个正方形，其中最小的正方形的边长是2，则这个长方形的面积是（    ） A．512 B．516 C．572 D．576 19．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，则小长方形的长为 ；阴影部分图形的总面积为 ． 20．（23-24七年级上·安徽蚌埠·开学考试）二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形如图中型黑白一样按某种规律组成的一个大正方形．现有格式的正方形如图，角上是三个的型大黑白相间正方形，中间右下有一个的型黑白相间正方形型均由型黑白两色小正方形组成，除这个正方形外，其他的型小正方形黑色块数正好是白色块数的倍多块，则该格式的二维码中除去、型后，有几块型白色小正方形，整个二维码中共有几块型白色小正方形？ 题型九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 21．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人2颗，那么就多8颗；如果每人3颗，那么就少颗．问这个班共有多少名小朋友？设这个班共有名小朋友，则列方程为（    ） A． B． C． D． 22．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）如图，在表内的各横行中，从第二个数开始，每个数都比左边的数大，各竖列中，从第二个数开始，每个数都比上边的数大，则表中的值是 ． 23．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）因为环保、节能、高效，新能源汽车越来越受到消费者的青睐．某汽车贸易公司计划用355万元资金采购一批新能源汽车，其中甲型新能源汽车每辆的进价为10万元，乙型新能源汽车每辆的进价为15万元． (1)设采购甲型新能源汽车x辆，完成下列表格． 型号 进价（万元/辆） 数量（辆） 总价（万元） 甲 10 x 乙 15 (2)在（1）的条件下，若采购甲型新能源汽车的数量比乙型新能源汽车数量的3倍还多4辆，求甲、乙两种新能源汽车分别采购多少辆？ 题型十、古代问题(一元一次方程的应用) 24．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有人买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六．问人数、物价各几何？意思是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的总价各是多少？若设鸡的总价是x文钱，根据题意列一元一次方程正确的是（    ） A． B． C． D． 25．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？ 请解答上述问题． 一、单选题 1．根据“x的3倍比x的多2”可列方程为（    ） A．3x＝（x﹣2） B．3x＝（x＋2） C．3x＋2＝x D．3x＝x＋2 2．甲乙两个运输队，甲队有32人，乙队有28人，若从乙队调x人到甲队，此时甲队人数为乙队人数的3倍，则列方程为（    ） A． B． C． D． 3．一件衬衫按进价提高50%后进行标价，后来因季节原因要按标价的八折出售，此时每件衬衫仍可获利12元，则这批衬衫的进价是每件（   ） A．48元 B．90元 C．60元 D．180元 4．某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折．小明持会员卡购买一个电动汽车花了144元，则这个电动汽车的原价是（    ） A．240元 B．180元 C．260元 D．300元 5．沿河县为进一步提升旅游业质量和档次，满足游客消费需求，开通了沿河——洪渡古镇的乌江水上旅游航线，已知游艇在乌江河中来往航行于沿河、洪渡古镇两码头之间，顺流航行全程需3小时，逆流航行全程需4小时，已知水流速度为每小时3km，求沿河、洪渡古镇两码头间的距离，若设沿河、洪渡古镇两码头间距离为x，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 6．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．某校社团活动课中，手工制作社的同学用一种彩色硬纸板制作某种长方体小礼品的包装盒，每张硬纸板可制作盒身8个或制作盒底12个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种彩色硬纸板，要使盒身和盒底刚好配套，设需用x张做盒身，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2024次相遇在哪条边上（    ） A． B． C． D． 9．我国古代的“九宫格”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫格”的一部分，请你推算x的值是（　　） A．﹣2020 B．﹣2019 C．﹣2018 D．﹣2016 10．整理一批数据，由一个人做要40小时完成，计划安排5人完成此项工作，在工作一段时间后需提前按完成任务，因此增加了3人和他们一起又做了30分钟，完成这项任务．假设这些人的工作效率相同，设实际完成这项工作花了x小时，可列方程为（　　） A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 二、填空题 11．若甲班有26人，乙班有34人，现从甲班抽x人到乙班，使乙班的人数是甲班人数的2倍，则可列方程 ． 12．某品牌电脑进价为5 000元，按照定价的9折销售时，获利760元，则此电脑的定价为 元． 13．某企业2020年的收入是1500万元，支出是900万元，2021年的收入比2020年增加，利润增加，则支出增加 ． 14．一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需 天． 三、解答题 15．我校计划从某公司购买A，B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比购买一块B型小黑板多用20元，且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元．请你帮助求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需多少元？（用一元一次方程求解） 16．某车间有68名工人，每人每天能生产8个甲种部件或5个乙种部件，已知2个甲种部件和3个乙种部件配成一套，为使每天生产的两种部件刚好配套，求有多少名工人生产甲种配件？ 17．体育器材室李老师用546元买足球和篮球，一共买了12个．他买的足球和篮球各多少个？ 18．我们可以将任意三位数表示为（其中a、b、c分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且）．显然，；我们把形如和的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x、y、z是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”． （1）写出任意三对“姊妹数”，并判断2331是否是一对“姊妹数”的和； （2）如果用x表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除． 19．一家商店将某种服装按原售价的9折出售，降价后的新售价是每件243元，因为商店按进价加价20%作为原售价，所以降价后商店还能赚钱，请问：这种服装按新售价卖出每件盈利多少元? 20．要把浓度为的酒精配制成浓度为的酒精，某同学未加考虑先加了水． (1)试通过计算说明该同学所加的水是否过量； (2)若加水不过量，则还应加入浓度为的酒精多少克？若加水过量，则需要再加入浓度为的酒精多少克？ 21．工业园区某服装厂加工A，B两种款式的学生服共100件，加工A种学生服的成本为每件80元，加工B种学生服的成本为每件100元，加工两种学生服的成本共用去9200元． (1)A、B两种学生服各加工多少件？ (2)服装厂将这批学生服送到市场部销售，A种学生服的售价为200元，B种学生服的售价为220元，在销售过程中发现A种学生服的销量不好，A种学生服卖出一定数量后，服装厂决定余下的部分按原价的八折出售，两种学生服全部卖出后，共获利10520元，则A种学生服卖出多少件后打折销售？ 22．某单位在月份期间组织部分员工到某地旅游，现在联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为元/人，两家旅行社同时都对人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工七折优惠；而乙旅行社是免去一位带队员工的费用，其余员工八折优惠． (1)若设参加旅游的员工共有人，则甲旅行社的费用为______元，乙旅行社的费用为______元；（用含的代数式表示并化简） (2)假如这个单位组织包括带队员工在内的共名员工到某地旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？并说明理由． (3)如果这个单位计划在月份内连续旅游七天，已知这七天的日期之和为的倍数，则他们可能于月几号出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出简单的计算过程） 23．我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质． 【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？ 【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是克，经过试验，将有关信息记录在下表中： 记录 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球总质量 一次性纸杯的总质量 记录一 5个乒乓球，1个10克的砝码 15个一次性纸杯 平衡 ______ 记录二 3个乒乓球 1个一次性纸杯 1个10克的砝码 平衡 ______ 【解决问题】 （1）将表格中两个空白部分用含的代数式表示； （2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量． 【及时迁移】 （3）借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球的个数是纸杯的个数的3倍吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性． 方案：将天平左边放置______，天平右边放置______，使得天平平衡． 理由： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 一元一次方程的应用 （2个知识点+10种题型+过关检测） 知识点1．由实际问题抽象出一元一次方程 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． （1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． （2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程． 知识点2．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 题型一、行程问题(一元一次方程的应用) 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）安庆长江铁路大桥，是安徽省境内连接池州市与安庆市的过江通道，位于长江水道之上，是宁安高速铁路与阜景铁路重要构成部分之一，大桥全长约3000米．现有一列动车从桥上通过，测得动车从开始上桥到完全过桥共用80秒，整列动车完全在桥上的时间是70秒．则这列动车长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题关键．设这列动车长为，根据列车速度不变列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：设这列动车长为， 由题意得：， 解得：， 即这列动车长为， 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·开学考试）客、货两车同时从A、B两地相向而行，在距A地100千米处第一次相遇，各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距B地60千米处第二次相遇．A、B两地相距 千米． 【答案】240 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查行程问题，设A ，B 两地相距千米，根据客车走的路程进行列方程，解方程即可． 【详解】解：设A，B 两地相距千米，第一次相遇时客货两车走过一个x，其中客车走过100千米，第二次相遇时俩车共走过，其中客车走过千米，同时可知客车走过的路程为千米， 则 解得， 即A，B 两地相距千米， 故答案为：240． 3．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）（利用方程解决问题） 据了解，火车票价按“”的方法来确定已知A站至H站总里程数为1500km全程参考价为180元，下表是沿途各站至H站的里程数： 车站名 A B C D E F G H 各站至H站的里程数（单位：km） 1500 1130 910 622 402 210 70 0 例如：要确定从A站至E站火车票价，其票价为元 (1)求C站至G站的火车票价（结果精确到1元）； (2)王大妈乘由A站驶往H站的火车去女儿家上车过两站后拿着火车票问乘务员：“我快到站了吗？”乘务员看到王大妈手中票价是84元，马上说“下一站就到了”请问王大妈是在哪一站上车的，要在哪一站下车. 【答案】(1)101元 (2)王大妈是从C站上车，到F站下车 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了近似计算，一元一次方程的应用. （1）根据计算公式，得(元) . （2）设王大妈乘车站与到达站的距离为x千米，根据题意，得，根据站表计算即可. 【详解】（1）根据题意，得C站至G站的火车票价为(元). （2）设王大妈乘车站与到达站的距离为x千米，根据题意，得，解方程，得. 根据站表，得， 故王大妈是从C站上车，到F站下车. 题型二、配套问题(一元一次方程的应用) 4．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）一套仪器由一个部件和三个部件构成．用钢材可做个部件或个部件，现要用钢材制作这种仪器．设应用钢材做部件．剩余钢材做部件，恰好配套，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列一元一次方程是解题的关键． 设用钢材做部件，则用钢材做部件，根据恰好配套列方程，然后判断作答即可． 【详解】解：设用钢材做部件，则用钢材做部件， 依题意得，， 故选：A． 5．（21-22七年级上·安徽马鞍山·期中）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形． （1）每个长方形盒子有________个侧面，有________个底面； （2）长方形硬纸板以如图两种方法裁剪．方法：剪3个侧面；方法：剪2个侧面和2个底面．现有35张硬纸板，裁剪时张用方法，其余用方法． ①用含的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； ②若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【答案】（1）4，2；（2）①侧面（x+70）个，底面（70-2x）个②21个. 【知识点】用代数式表示式、配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据长方体的性质求得答案； （2）①根据题意列出代数式即可； ②根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可． 【详解】（1）每个长方形盒子有4个侧面，有2个底面； 故答案为：4，2； （2）①方法剪3个侧面，方法剪个侧面和个底面 ， 共有侧面个，底面个 ②根据已知条件可得 解得 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做21个盒子． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确的找出题中的等量关系是解题的关键． 题型三、工程问题(一元一次方程的应用) 6．（23-24七年级上·安徽六安·期末）被誉为“天下第一塘”的水门塘是我县的一张文化名片，为打造水门塘风光带，现有一段长为280米的堤岸维修任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天维修12米，B工程队每天维修10米，两个工程队共用时25天．则A工程队维修堤岸多少米？（   ） A．160 B．170 C．180 D．190 【答案】C 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程与工程问题．正确理解题意是关键． 设A工程队维修堤岸x米，根据两个工程队共用时25天即可建立一元一次方程求解． 【详解】解：设A工程队维修堤岸x米， 根据题意得：， 解得． 答：设A工程队维修堤岸180米． 故选：C． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 【答案】(1) (2)天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及工作总量、工作时间、工作效率等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲乙合作需要x天完成，因为甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天，则，解出即可作答． （2）依题意，设还需要y天，因为乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成，所以，解出即可作答． 【详解】（1）解：设甲乙合作需要x天完成， 依题意：， 解得 ， 所以需要天； （2）解：设还需要y天： 依题意，， 解得， 故还需要2天． 题型四、销售盈亏(一元一次方程的应用) 8．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）一商店出售书包时，将一种进价为50元的双肩背书包，按进价提高30%作为标价，由于清仓处理，需按打折出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利8.5元．设每个双肩背书包打x折，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程．设每个双肩背书包的进价是x元，则每个双肩背书包的售价是元，根据利润=售价-进价，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设每个双肩背书包的进价是x元，则每个双肩背书包的售价是元， 根据题意得：． 故选：C． 9．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）有一批进价为元/的苹果，在运输和仓储的损耗率为，为保证这批苹果的利润率达到，则售价应为 元/．（利润率） 【答案】 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设售价应为元，根据题意列出方程，解方程即可求解，根据题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设售价应为元， 由题意可得，， 整理得，， 解得， ∴售价应为元， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）潜山市某商场经销的、两种商品，种商品每件售价为60元，利润率为；种商品每件进价为50元，售价为80元． (1)种商品每件进价为______元，每件种商品利润率为______． (2)若该商场同时购进、两种商品共70件，售完之后恰好总利润为1580元，求购进种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场只对、两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七五折优惠 按上述优惠条件，若小明一次性购买商品、优惠后付款总额为531元，若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付多少元？ 【答案】(1) (2)购进种商品52件 (3)小明在该商场购买同样商品要付590元或668元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设种商品每件售价为元，根据的利润率为，列出方程求出的值，根据利润率利润成本计算可求每件种商品利润率； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，再由总利润为1580元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过400元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）设种商品每件进价为元， 则， 解得：． 故种商品每件售价为40元； 每件种商品利润率为． 故答案为：40；； （2）设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得： 解得 答：购进种商品52件． （3）设若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付元，当打折前一次性购物总金额超过400元，但不超过600元时， ，解得． 当打折前一次性购物总金额超过600元时， ，解得． 答：小明在该商场购买同样商品要付590元或668元． 题型五、比赛积分(一元一次方程的应用) 11．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）利辛县某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣一分，某同学最后的得分是55分，则他做对（    ）道题 A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设他做对道，则做错或不做道，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设他做对道，则做错或不做道， 依题意得：， 解得：， 答：他做对15道题， 故选：B． 12．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）聪聪同学到某校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）： 校篮球赛成绩公告 比赛场次 胜场 负场 积分 22 12 10 34 22 14 8 36 22 0 22 22 聪聪同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙解决： (1)从表中可以看出，负一场积 　 　分，胜一场积 　 　分； (2)某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于负场总积分吗？请说明理由． 【答案】(1)1，2； (2)不可能胜场总积分能等于负场总积分 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】（1）仔细观察表格中的数据发现规律并计算即可； （2）仔细观察表格中的数据发现规律并设出未知数列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）由题意可得， 负一场积分为：（分， 胜一场的积分为：（分， 故答案为：1，2； （2）设胜场，负场， 由题知， 解得． ∴不可能胜场总积分能等于负场总积分． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的重点语句找到等量关系并列出方程求解． 题型六、方案选择(一元一次方程的应用) 13．（20-21七年级上·安徽合肥·期末）某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案： ①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠； ②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠； 小敏在该超市两次购物分别付了85元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（    ）元 A．284 B．308 C．312 D．320 【答案】B 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】设第一次购物购买商品的价格为x元，第二次购物购买商品的价格为y元，分0＜x＜100及100≤x＜350两种情况可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，由第二次购物付款金额=0.9×第二次购物购买商品的价格可得出关于y的一元一次方程，解之可求出y值，再利用两次购物合并为一次购物需付款金额=0.8×两次购物购买商品的价格之和，即可求出结论． 【详解】解：设第一次购物购买商品的价格为x元，第二次购物购买商品的价格为y元， 当0＜x＜100时，x=85； 当100≤x＜350时，0.9x=85， 解得：（不符合题意，舍去）； ∴； 当100≤y＜350时，则0.9y=270， ∴y=300． 当y>350时，0.8y=270， ∴y=337.5（不符合题意，舍去）； ∴； ∴（元）． ∴小敏至少需付款308元． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第一次购物的90元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种． 14．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）“元旦”假期，某学校的3位老师带领a名学生去冰雪大世界游玩，有两家旅行社可供选择，定价都是每人300元．其中甲旅行社的优惠方案是老师全价，学生七折优惠，乙旅行社的优惠方案是不分老师和学生一律八折优惠． (1)这3位老师和a名学生选择甲旅行社所需费用为_________元，选择乙旅行社所需费用为_________元；（用含a的式子表示） (2)若这3位老师带领10名学生去游玩，他们选择哪家旅行社比较划算？ (3)若他们选择甲、乙两家旅行社所付的费用一样，求这3位老师共带了几名学生去游玩？ 【答案】(1)甲旅行社的总费用元，乙旅行社的总费用为元 (2)选择甲旅行社更划算 (3)位老师带了名学生 【知识点】用代数式表示式、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出代数式和方程． （1）分别根据甲、乙旅行社的收费标准列代数式即可； （2）分别将代入（1）中的代数式进行计算即可得到答案； （3）当时，两家旅行社付的钱是一样的，解方程即可． 【详解】（1）解：∵甲旅行社的收费标准为老师全价，学生七折优惠， ∴这位老师和名学生在甲旅行社的总费用为元； ∵乙旅行社不分老师和学生一律八折优惠， ∴这位老师和名学生在乙旅行社的总费用为元； （2）当时， 甲旅行社的费用为：元， 乙旅行社的费用为：元 ， 故选择甲旅行社更划算； （3）解：当时，两家旅行社付的钱是一样的， 解方程得， ∴这位老师带了名学生． 题型七、数字问题(一元一次方程的应用) 15．（24-25七年级上·安徽芜湖·开学考试）三个连续偶数的和是，最大的一个偶数是（    ） A．a B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．先设最大的偶数，再根据三个连续的偶数的和是，即可列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设最大的偶数为x，则另为两个偶数为，， 由题意可得：， 解得， 故选：B． 16．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）按照下列程序计算，当输出值为2023时，输入的x值为 ． 【答案】202.5 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查解一元一次方程，根据程序流程图，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：202.5． 17．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）小铭同学问数学老师家的电话号码是多少，老师说：“想知道我家的电话号码，得动点脑筋，”接着又说：“我家的电话号码是八位数，且符合①前四位数字相同，后面四位数字是连续的自然数，②全部数字之和恰好等于号码的最后两位数，③巧的是，这个号码的后面五位数字也是连续自然数．” 请你根据上述条件解答下列问题： (1)请写一个符合①的电话号码 ． (2)请写一个同时符合①③的电话号码 ． (3)请用学过的一元一次方程的知识帮助小铭得到数学老师家的电话号码． 【答案】(1)66662345(答案不唯一) (2)22223456(答案不唯一) (3)88887654 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据前四位数字相同，后面四位数字是连续的自然数，写出答案即可； （2）根据前四位数字相同，后面五位数字是连续的自然数，写出答案即可； （3）分两种情况进行讨论，①后五位数是依次增加的数，②后五位数是依次减小的数，然后根据题意列出方程即可求出结果． 【详解】（1）解：如66662345(答案不唯一)； （2）解：22223456 (答案不唯一)； （3） 解：①后五位数是依次增加的数． 设前四位数字均为，则后四位数字依次为，，， 根据题意，得： 解得： 不符合实际意义． ②后五位数是依次减小的数． 设前四位数字均为，则后四位数字依次为，，，， 根据题意得： 解得：． 所以后四位数为7654，因此老师家的电话号码为：88887654． 答：小王得到仇老师家的电话号码是88887654． 【点睛】此题考查了推理与论证，一元一次方程的应用，解答本题的关键是分类讨论，弄清楚后五位数是依次减小还是依次增加，有一定难度． 题型八、几何问题(一元一次方程的应用) 18．（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图所示，一个长方形恰好分成6个正方形，其中最小的正方形的边长是2，则这个长方形的面积是（    ） A．512 B．516 C．572 D．576 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】设D，E的边长为x，根据图形表示出C，B，A的边长，根据长方形对边相等列等式，求出x，进而求出长方形的长和宽，即可求出长方形的面积． 【详解】解：设D，E的边长为x， 则C的边长为，B的边长为，A的边长为， ， 解得， 这个长方形的长为，宽为， 这个长方形的面积为， 故选C． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是认真观察图形，找出隐藏的等量关系． 19．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，则小长方形的长为 ；阴影部分图形的总面积为 ． 【答案】 /5厘米 /27平方厘米 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据图形设小长方形的长为，则宽为，然后根据为一个小长方形的长加上三个小长方形的宽列方程，求出x后，再用大长方形的面积减去五个小长方形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长为，则宽为， 由题意得， 解得， 即小长方形的长为， 阴影部分图形的总面积为：， 故答案为：，． 20．（23-24七年级上·安徽蚌埠·开学考试）二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形如图中型黑白一样按某种规律组成的一个大正方形．现有格式的正方形如图，角上是三个的型大黑白相间正方形，中间右下有一个的型黑白相间正方形型均由型黑白两色小正方形组成，除这个正方形外，其他的型小正方形黑色块数正好是白色块数的倍多块，则该格式的二维码中除去、型后，有几块型白色小正方形，整个二维码中共有几块型白色小正方形？ 【答案】100，156 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列得方程是解题的关键． 根据除去4个正方形外，其他的C型小正方形黑色块数正好是白色块数的3倍多53块，可得等式，求解即可；分别求出A，B中的白色C型小正方形的个数，再加上前面的值得到结果． 【详解】解：二维码中除去A、B型后还剩个C型小正方形， 设剩余的白色C型小正方形为x个， 则， 解得， A型小正方形中有白色C型小正方形16个，B型小正方形中有白色C型小正方形8个， 则白色C型小正方形共有个， ∴该格式的二维码中除去、型后，有100块型白色小正方形，整个二维码中共有156块型白色小正方形． 题型九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 21．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人2颗，那么就多8颗；如果每人3颗，那么就少颗．问这个班共有多少名小朋友？设这个班共有名小朋友，则列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系式． 设这个班共有x名小朋友，根据糖总数不变列式求解即可得到答案． 【详解】解：设这个班共有名小朋友，由题意可得， 故选：C． 22．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）如图，在表内的各横行中，从第二个数开始，每个数都比左边的数大，各竖列中，从第二个数开始，每个数都比上边的数大，则表中的值是 ． 【答案】25 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】如图所示，根据题意可知，，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意可知， ， 由①得，把代入②中得，把代入④中得，把代入到③得， 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是关键． 23．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）因为环保、节能、高效，新能源汽车越来越受到消费者的青睐．某汽车贸易公司计划用355万元资金采购一批新能源汽车，其中甲型新能源汽车每辆的进价为10万元，乙型新能源汽车每辆的进价为15万元． (1)设采购甲型新能源汽车x辆，完成下列表格． 型号 进价（万元/辆） 数量（辆） 总价（万元） 甲 10 x 乙 15 (2)在（1）的条件下，若采购甲型新能源汽车的数量比乙型新能源汽车数量的3倍还多4辆，求甲、乙两种新能源汽车分别采购多少辆？ 【答案】(1)表格见解析 (2)采购辆甲种新能源汽车，辆乙种新能源汽车． 【知识点】用代数式表示式、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）利用总价＝进价×数量，求出采购甲型汽车的总价，再用计划资金减去采购甲型汽车的总价，得到采购乙型汽车的总价，再利用数量＝总价÷进价，求出采购乙型汽车的数量，填表即可； （2）根据题意，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：采购甲型汽车的总价为：万元，则：采购乙型汽车的总价为：（万元）， ∴采购乙型汽车的数量为：辆， 填表如下： 型号 进价（万元/辆） 数量（辆） 总价（万元） 甲 10 x 乙 15 （2）解：由题意，得： ， 解得：； ∴辆， 即：采购辆甲种新能源汽车，辆乙种新能源汽车． 答：采购辆甲种新能源汽车，辆乙种新能源汽车． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意，正确的列出一元一次方程，是解题的关键． 题型十、古代问题(一元一次方程的应用) 24．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有人买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六．问人数、物价各几何？意思是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的总价各是多少？若设鸡的总价是x文钱，根据题意列一元一次方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键．根据人数不变列方程即可． 【详解】解：由题意，得： 故选：A． 25．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？ 请解答上述问题． 【答案】木长6.5尺 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设木长x尺，则绳子长为尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺列出方程求解即可． 【详解】解：设木长为x尺，根据题意得：， 解得， 答：木长6.5尺． 一、单选题 1．根据“x的3倍比x的多2”可列方程为（    ） A．3x＝（x﹣2） B．3x＝（x＋2） C．3x＋2＝x D．3x＝x＋2 【答案】D 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意可得：x 的3倍就是3x， x的就是，列出方程进行变形即可得． 【详解】解：x 的3倍就是3x， x的就是， 因此根据题意可列方程为：， 变形为：， 故选：D． 【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，掌握各量之间的关系列出方程是解题关键． 2．甲乙两个运输队，甲队有32人，乙队有28人，若从乙队调x人到甲队，此时甲队人数为乙队人数的3倍，则列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】设从乙队调走x人，根据调走后甲队人数恰好是乙队人数的3倍，得出方程即可． 【详解】解：∵从乙队调走x人到甲队， ∴此时甲队有人，乙队有人， ∵此时甲队人数为乙队的3倍， ∴. 故选：D. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，仔细审题，设出未知数，找出等量关系建立方程是解题关键． 3．一件衬衫按进价提高50%后进行标价，后来因季节原因要按标价的八折出售，此时每件衬衫仍可获利12元，则这批衬衫的进价是每件（   ） A．48元 B．90元 C．60元 D．180元 【答案】C 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】设这批衬衫的进价是每件元，根据题意列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】设这批衬衫的进价是每件元 根据题意，得： 去括号，得： 合并同类项，得： ∴ ∴这批衬衫的进价是每件元 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 4．某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折．小明持会员卡购买一个电动汽车花了144元，则这个电动汽车的原价是（    ） A．240元 B．180元 C．260元 D．300元 【答案】D 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】设这个电动汽车的原价是元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这个电动汽车的原价是元，由题意，得：， 解得：； 答：这个电动汽车的原价是300元． 故选D． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 5．沿河县为进一步提升旅游业质量和档次，满足游客消费需求，开通了沿河——洪渡古镇的乌江水上旅游航线，已知游艇在乌江河中来往航行于沿河、洪渡古镇两码头之间，顺流航行全程需3小时，逆流航行全程需4小时，已知水流速度为每小时3km，求沿河、洪渡古镇两码头间的距离，若设沿河、洪渡古镇两码头间距离为x，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】设出路程，然后表示出逆水航行速度和顺水航行速度，然后利用静水速度相同列出方程即可； 【详解】解：若设A、B两个码头问的路程为x千米，根据题意得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是表示出顺水、逆水行驶时候的速度，难度一般． 6．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】直接根据相遇时所走路程相等列出一元一次方程即可得出答案． 【详解】设快马x天可以追上慢马，由题意可知：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是准确找出等量关系，正确列出一元一次方程． 7．某校社团活动课中，手工制作社的同学用一种彩色硬纸板制作某种长方体小礼品的包装盒，每张硬纸板可制作盒身8个或制作盒底12个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种彩色硬纸板，要使盒身和盒底刚好配套，设需用x张做盒身，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设需用x张做盒身，根据“1个盒身与2个盒底配成一套”列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设需用x张做盒身，依题意得，， 故选：B． 8．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2024次相遇在哪条边上（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了运动中的规律，一元一次方程的实际应用，设甲的速度是1，则乙的速度为3，根据题意，，解得，，第一次相遇点在的中点上， 第二次相遇时，满足，解得，，第二次相遇点在的中点上， 第三次相遇时，满足，解得，，第三次相遇点在的中点上， 第四次相遇时，满足，解得，，第四次相遇点在的中点上， 依次循环，根据，与相同，解得即可． 【详解】设甲的速度是1，则乙的速度为3，根据题意，，解得，，第一次相遇点在的中点上， 第二次相遇时，满足，解得，，第二次相遇点在的中点上， 第三次相遇时，满足，解得，，第三次相遇点在的中点上， 第四次相遇时，满足，解得，，第四次相遇点在的中点上， 依次循环，根据，与相同， 故选A． 9．我国古代的“九宫格”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫格”的一部分，请你推算x的值是（　　） A．﹣2020 B．﹣2019 C．﹣2018 D．﹣2016 【答案】D 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意，先求出右下角的数是−2011，不妨设正中间的数字为a，即可列出关于x的方程，从而可以得到x的值，本题得以解决． 【详解】解：2+7﹣2020＝﹣2011，如图所示， 设正中间的数字为a， 由题意可得﹣2011+2+a＝a+7+x， 解得x＝﹣2016． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 10．整理一批数据，由一个人做要40小时完成，计划安排5人完成此项工作，在工作一段时间后需提前按完成任务，因此增加了3人和他们一起又做了30分钟，完成这项任务．假设这些人的工作效率相同，设实际完成这项工作花了x小时，可列方程为（　　） A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 【答案】B 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意找出等量关系式列式即可． 【详解】解：设实际完成这项工作花了x小时， 依题意，得：， 即． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式列出方程． 二、填空题 11．若甲班有26人，乙班有34人，现从甲班抽x人到乙班，使乙班的人数是甲班人数的2倍，则可列方程 ． 【答案】 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，利用乙班的人数是甲班人数的2倍，再建立方程即可． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 12．某品牌电脑进价为5 000元，按照定价的9折销售时，获利760元，则此电脑的定价为 元． 【答案】6400 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】设电脑的定价为x元/台，根据题中的等量关系“定价×9折=进价+利润”列出方程，解方程即可． 【详解】设电脑的定价为x元/台． 则0.9x=5000+760， 解得：x=6400 故答案为：6400． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 13．某企业2020年的收入是1500万元，支出是900万元，2021年的收入比2020年增加，利润增加，则支出增加 ． 【答案】10 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设2021年支出增加x万元，根据利润收入支出列出方程求解即可． 【详解】解：设2021年支出增加x万元， 由题意可得，， 解得，经检验，符合题意， ∴支出增加了， 故答案为：10． 14．一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需 天． 【答案】5 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】设完成这项工程共需x天，即甲用了x天，则乙完成此项工程一共用（x-2）天，根据甲完成的部分+乙完成的部分=整个工作量（单位1），即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设完成这项工程共需x天， 根据题意得， ， 解得x=5 答：完成这项工程共需5天． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 三、解答题 15．我校计划从某公司购买A，B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比购买一块B型小黑板多用20元，且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元．请你帮助求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需多少元？（用一元一次方程求解） 【答案】购买一块A型小黑板需要100元、一块B型小黑板需要80元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】设购买一块A型小黑板需元，则购买一块B型黑板需元．再利用5块A型小黑板和4块B型小黑板总价为820元，列方程，再解方程即可． 【详解】解：设购买一块A型小黑板需元，则购买一块B型黑板需元． 根据题意，得 解得： 所以 答：购买一块A型小黑板需要100元、一块B型小黑板需要80元． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系列方程是解本题的关键． 16．某车间有68名工人，每人每天能生产8个甲种部件或5个乙种部件，已知2个甲种部件和3个乙种部件配成一套，为使每天生产的两种部件刚好配套，求有多少名工人生产甲种配件？ 【答案】有名工人生产甲种配件 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列一元一次方程是解题的关键．设设应安排x名工人生产甲种配件，安排名工人生产乙种配件，依题意得，计算求解即可． 【详解】解：解：设应安排x名工人生产甲种配件，安排名工人生产乙种配件， 依题意得，， 解得， 答：有名工人生产甲种配件． 17．体育器材室李老师用546元买足球和篮球，一共买了12个．他买的足球和篮球各多少个？ 【答案】学校买篮球5个，足球7个． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程组是解题的关键．设学校买篮球x个，足球个，根据用546元买了篮球和足球共12个，列出一元一次方程组，解方程即可． 【详解】解：设学校买篮球x个，足球个， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：学校买篮球5个，足球7个． 18．我们可以将任意三位数表示为（其中a、b、c分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且）．显然，；我们把形如和的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x、y、z是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”． （1）写出任意三对“姊妹数”，并判断2331是否是一对“姊妹数”的和； （2）如果用x表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除． 【答案】（1）234与432，345与543，567与765；不是；（2）见解析 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、整式加减的应用 【分析】（1）根据“姊妹数”的定义，写出任意三对“姊妹数”即可；然后设这对“姊妹数”的一个三位数的十位数为b，则个位数为（b-1），百位数为（b+1），其中b为大于1小于9的整数，可得这个三位数为111b+99，另一个三位数为111b-99，然后相加等于2331，即可求解； （2）根据题意可得：x表示一个三位数的百位数字，(x为大于2小于9的整数)，则由题目知这个三位数十位数字为(x－1)，个位数字为(x－2)，从而得到这个三位数表示为：，它的“姊妹数”为：，然后求出它们的和，即可求证． 【详解】解：（1）根据题意得：234与432，345与543，567与765均是一对姊妹数； 设这对“姊妹数”的一个三位数的十位数为b，则个位数为（b-1），百位数为（b+1），其中b为大于1小于9的整数， ∴这个三位数为100（b+1）+10b+（b-1）=111b+99， ∴它的“姊妹数”的十位数为b，个位数为（b+1），百位数为（b-1）， ∴它的“姊妹数”为100（b-1）+10b+（b+1）=111b-99， ∴这对“姊妹数”的和为111b+99+111b-99=222b=2331， 解得： ，不合题意， ∴2331不是一对“姊妹数”的和； （2）∵x表示一个三位数的百位数字，(x为大于2小于9的整数)，则由题目知这个三位数十位数字为(x－1)，个位数字为(x－2)， ∴这个三位数表示为： ∴它的“姊妹数”的百位数字为(x－2)，十位数字为(x－1)，个位数字为x， 它的“姊妹数”为： ∴这对 “姊妹数”的和为： ∵x为大于2小于9的整数， ∴(x－1)是整数 ∴6(x－1)是整数， ∴37×6(x－1)能被37整除， 即：任意一对姊妹数的和能被37整除． 【点睛】本题主要考查了整式的加减混合运算，一元一次方程的应用，明确题意，理解新定义是解题的关键． 19．一家商店将某种服装按原售价的9折出售，降价后的新售价是每件243元，因为商店按进价加价20%作为原售价，所以降价后商店还能赚钱，请问：这种服装按新售价卖出每件盈利多少元? 【答案】18元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】设该商品进价为元，表示出原售价，然后根据题意列出一元一次方程并求解，即可得出进价，从而利用新售价减去进价得出结论． 【详解】解：设该商品进价为元，则原售价为元， 由题意，， 解得：， ∴（元）， ∴这种服装按新售价卖出每件盈利18元． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，准确建立方程并求解是解题关键． 20．要把浓度为的酒精配制成浓度为的酒精，某同学未加考虑先加了水． (1)试通过计算说明该同学所加的水是否过量； (2)若加水不过量，则还应加入浓度为的酒精多少克？若加水过量，则需要再加入浓度为的酒精多少克？ 【答案】(1)没有过量，理由见解析 (2)应加入浓度为的酒精50克 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）可先计算出加300克水后酒精溶液浓度，然后判断浓度是否大于，即可得出加水是否过量． （2）先根据（1）的判定结果，然后选择出选用哪种浓度的溶液．等量关系为：1000克浓度为的酒精溶液中酒精的质量＋加入的酒精溶液的酒精的质量浓度为的酒精的溶液中酒精的质量． 【详解】（1）解：加入300克水后，酒精溶液的质量百分数为：． 因此该同学所加的水没有过量． （2）设还应加入浓度为的酒精x克． 由题意得：． 解得：． 答：还应加入浓度为的酒精50克． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 21．工业园区某服装厂加工A，B两种款式的学生服共100件，加工A种学生服的成本为每件80元，加工B种学生服的成本为每件100元，加工两种学生服的成本共用去9200元． (1)A、B两种学生服各加工多少件？ (2)服装厂将这批学生服送到市场部销售，A种学生服的售价为200元，B种学生服的售价为220元，在销售过程中发现A种学生服的销量不好，A种学生服卖出一定数量后，服装厂决定余下的部分按原价的八折出售，两种学生服全部卖出后，共获利10520元，则A种学生服卖出多少件后打折销售？ 【答案】(1)种运动服加工40件，种运动服加工60件 (2)种运动服卖出3件时开始打八折销售 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设种运动服加工件，种运动服加工件，根据加工两种学生服的成本共用去9200元，再建立方程求解即可． （2）设种运动服卖出件时开始打八折销售，根据两种学生服全部卖出后，共获利10520元，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设种运动服加工件，种运动服加工件，根据题意可得： 解得：， 则（件） 答：种运动服加工40件，种运动服加工60件； （2）设种运动服卖出件时开始打八折销售，根据题意可得： 整理得， 解得：， 答：种运动服卖出3件时开始打八折销售． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系建立方程是解本题的关键． 22．某单位在月份期间组织部分员工到某地旅游，现在联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为元/人，两家旅行社同时都对人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工七折优惠；而乙旅行社是免去一位带队员工的费用，其余员工八折优惠． (1)若设参加旅游的员工共有人，则甲旅行社的费用为______元，乙旅行社的费用为______元；（用含的代数式表示并化简） (2)假如这个单位组织包括带队员工在内的共名员工到某地旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？并说明理由． (3)如果这个单位计划在月份内连续旅游七天，已知这七天的日期之和为的倍数，则他们可能于月几号出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出简单的计算过程） 【答案】(1)， (2)该单位选择甲旅行社比较优惠 (3)他们出发的日期为月号或月号或月号 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、整式加减的应用、用代数式表示式 【分析】本题主要考查整式加减的应用及一元一次方程的应用，熟练掌握整式的加减运算及一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）把代入(1)中代数式进行求解即可； （3）设最中间一天的日期为，则这七天的日期之和为根据题意可得出，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： 甲旅行社的费用为：（元）， 乙旅行社的费用为：（元）； 故答案为：，； （2）当时， 甲旅行社的费用为（元）， 乙旅行社的费用为（元）， ， 该单位选择甲旅行社比较优惠； （3）解：设最中间一天的日期为， 则这七天的日期之和为：， 根据题意得：这七天的日期之和为的倍数， 得到为的倍数，即或或， 则他们出发的日期为月号或月号或月号． 23．我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质． 【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？ 【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是克，经过试验，将有关信息记录在下表中： 记录 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球总质量 一次性纸杯的总质量 记录一 5个乒乓球，1个10克的砝码 15个一次性纸杯 平衡 ______ 记录二 3个乒乓球 1个一次性纸杯 1个10克的砝码 平衡 ______ 【解决问题】 （1）将表格中两个空白部分用含的代数式表示； （2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量． 【及时迁移】 （3）借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球的个数是纸杯的个数的3倍吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性． 方案：将天平左边放置______，天平右边放置______，使得天平平衡． 理由： 【答案】（1）；；（2）一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为2克；（3）3个乒乓球，1个一次性纸杯和1个10克的砝码，详见解析； 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、等式的性质、用代数式表示式 【分析】解决问题：（1）用乒乓球的总质量加上砝码的总质量可得答案； （2）根据题意列出方程，求解可得答案； 及时迁移：根据乒乓球、纸杯、砝码的质量设计即可，只是平衡即可． 【详解】解：（1）根据题意可得：记录一中的一次性纸杯的总质量为：； 记录二中的一次性纸杯的总质量为：， 故答案为：；， （2）由题意得：， 解得：， 答：一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为2克． 及时迁移：将天平左边放置3个乒乓球，天平右边放置1个一次性纸杯和1个10克的砝码，使得天平平衡． 故答案为：3个乒乓球，1个一次性纸杯和1个10克的砝码， 理由：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可． 【点睛】此题考查的是等式的性质、列代数式，掌握等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解决此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$