高二期中预测卷02（新课标卷）-2024-2025学年高二数学上学期期中复习常考题型秒杀技巧全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

保密★启用前 高二期中预测卷02（新课标卷） 数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．直线过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，且该点在三个坐标平面平面，平面，平面上的射影的坐标依次为，和，则（ ） A． B． C． D．以上结论都不对 3．若平面α，β的法向量分别为＝(－1，2，4)，＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为（    ） A．10 B．－10 C． D．－ 4．已知圆的圆心在直线上，且圆与两坐标轴都相切，则圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆经过点，当变动时，截得直线的最大弦长为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 6．在四棱柱中，设，，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知实数满足方程,求的最大值（　　） A． B． C． D． 8．设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线：，：，则下列说法正确的是（    ） A．直线在x轴上的截距为1 B．直线在y轴上的截距为1 C．若，则或 D．若，则 10．已知椭圆的左右焦点分别为，左右顶点分别为，点是椭圆上的一个动点（异于两点），且直线的斜率均存在，则（    ） A．当的最大角为时，椭圆的离心率为 B．当时，的面积为 C．直线的斜率之积一定大于直线的斜率之积 D． 11．在正方体中，则（    ） A．直线与直线所成角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．二面角的余弦值为 D．如果，那么点到平面的距离为 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．直线的倾斜角的取值范围是 ． 13．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆：的半径，则椭圆的短轴长是 . 14．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱AA1上的一个动点，给出下列四个结论：①三棱锥B1-BED1的体积为定值；②存在点E使得B1C⊥平面BED1；③对于每一个点E，在棱DD1上总存在一点P，使得CP//平面BED1；④M是线段BC1上的一个动点，过点A1的截面垂直于DM，则截面的面积的最小值为.其中所有正确结论的序号是 .    四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在中，边，所在直线的方程分别为，，已知是边上一点． (1)若为边上的高，求直线的方程； (2)若为边的中线，求的面积． 16．（15分）圆的方程为，圆的圆心为． (1)若圆与圆外切，求圆的方程； (2)若圆与圆交于A、B两点，且，求圆的方程． 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，为线段上一点，且． （1）求证：平面平面； （2）若，求证：平面． 18．（17分）椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点在上.已知面积的最大值为，且与的面积之比为. (1)求的方程； (2)不垂直于坐标轴的直线交于两点，与不重合，直线与的斜率之积为.证明：过定点. 19．（17分）四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 保密★启用前 高二期中预测卷02（新课标卷） 数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．直线过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出直线的斜率，然后利用点斜式可写出直线的方程，化为一般式可得出答案. 【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：A. 2．已知点，且该点在三个坐标平面平面，平面，平面上的射影的坐标依次为，和，则（ ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】A 【分析】根据射影概念得各点坐标，代入验证得结果 【详解】由题意得；； 所以，，，选A. 3．若平面α，β的法向量分别为＝(－1，2，4)，＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为（    ） A．10 B．－10 C． D．－ 【答案】B 【分析】由α⊥β，可得它们的法向量也互相垂直，从而可求出x的值 【详解】解：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直， 所以＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0， 解得x＝－10． 故选：B 4．已知圆的圆心在直线上，且圆与两坐标轴都相切，则圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可知圆方程可表示成的形式，逐一对比选项即可得出答案. 【详解】根据题意可设圆心坐标为，则半径， 所以圆的方程为， 显然A错误，C正确； 易知选项B可化为，可知B错误； 选项D可化为，可知D错误； 故选：C 5．已知椭圆经过点，当变动时，截得直线的最大弦长为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出和，代入椭圆方程即可. 【详解】由题意可得，，所以，所以椭圆方程为. 故选：A 6．在四棱柱中，设，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 ， 故选：C 7．已知实数满足方程,求的最大值（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，表示圆上的点与点的距离，其最大值为与半径之和，计算可得答案. 【详解】由得表示圆心为，半径的圆， 表示圆上的点与点的距离， 所以的最大值为. 故选：A. 8．设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由椭圆定义和勾股定理得到，换元后得到，根据二次函数单调性求出，得到离心率的取值范围. 【详解】设，，由椭圆的定义可得，， 可设，可得，即有，① 由，可得，即为，② 由，可得，令，可得， 即有，由， 可得，即， 则时，取得最小值；或4时，取得最大值. 即有，得. 故选：C 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线：，：，则下列说法正确的是（    ） A．直线在x轴上的截距为1 B．直线在y轴上的截距为1 C．若，则或 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据截距的定义和直线的平行，垂直逐项判断； 【详解】选项A：令，代入直线，解得：，选项正确； 选项B：令，代入直线，解得：，选项错误； 选项C：直线的法向量分别为，，因为，所以直线的法向量也平行，即：，解得：或，当时，重合，舍去，故选项错误； 选项D：，所以直线的法向量也垂直，即，解得：，选项正确； 故选：AD. 10．已知椭圆的左右焦点分别为，左右顶点分别为，点是椭圆上的一个动点（异于两点），且直线的斜率均存在，则（    ） A．当的最大角为时，椭圆的离心率为 B．当时，的面积为 C．直线的斜率之积一定大于直线的斜率之积 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，由顶点与角的关系直接判断即可；对于B，利用等体积法求得，从而得解；对于C，直接求出，，利用作差法即可判断；对于D，直接求出，从而得以判断. 【详解】对于A，当取最大时，顶点为上下顶点， 此时，故A正确； 对于B，当时， 由，得， 所以的面积为，又， 所以点的纵坐标为，则的面积为，故B正确； 对于C，设，又， 则，， 所以， 而与的大小不定，故上式正负不定，故C错误； 对于D，因为， 所以，又， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11．在正方体中，则（    ） A．直线与直线所成角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．二面角的余弦值为 D．如果，那么点到平面的距离为 【答案】AB 【分析】建立适当的空间直角坐标系，验证是否成立即可判断A；求出面的一个法向量以及，从而由线面角的正弦公式即可判断B；分别求出两平面的法向量，利用向量夹角公式即可判断C；点到平面的距离为，由此即可判断D. 【详解】如图所示： 设正方体的边长为1，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因为，所以，所以直线与直线所成角为，A正确； 设面的一个法向量为，， 则，即， 不妨令，得，即取， 又因为， 设直线与平面所成角为，则，B正确； 设平面的一个法向量为，， 则，即， 不妨令，得，即取， 又面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则，C错误； 因为面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为，D错误. 故选：AB. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线方程求出直线的斜率，利用斜率与倾斜角关系求解. 【详解】由可得 ， 所以直线斜率， 设直线倾斜角为， 则， 所以， 故答案为： 13．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆：的半径，则椭圆的短轴长是 . 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准形式，得到半径，从而就得到了，然后由离心率为可求出，进而算出即可. 【详解】圆C的方程可化为，半径为4， ∴椭圆的长轴长， ∴. 又离心率， ∴， ∴椭圆的短轴长是. 故答案为：. 14．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱AA1上的一个动点，给出下列四个结论：①三棱锥B1-BED1的体积为定值；②存在点E使得B1C⊥平面BED1；③对于每一个点E，在棱DD1上总存在一点P，使得CP//平面BED1；④M是线段BC1上的一个动点，过点A1的截面垂直于DM，则截面的面积的最小值为.其中所有正确结论的序号是 .    【答案】①②④ 【分析】根据题意求得点到平面的距离为，结合锥体的体积公式，可判定①正确；根据正方体的性质，证得平面，得到点与点重合时，平面，可判定②正确；由点与点重合时，不存在点，使得平面，可判定③不正确；设，求得和，结合三角形的面积公式，以及二次函数的性质，可判定④正确. 【详解】对于①中，如图所示，在棱长为的正方体中， 因为平面且平面，所以平面， 又因为点在棱上的一个动点，所以点到平面的距离为， 由， 可得三棱锥的体积为（定值）所以①正确；    对于②中，如图所示，在正方体中， 因为四边形为正方形，可得， 又由平面，且平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 当点与点重合时，此时平面即为平面， 所以存在点使得平面，所以②正确；    对于③中，当点与点重合时，此时平面即为平面，如图所示， 此时在上不存在点，使得平面，所以③不正确；    对于④中，如图所示，在正方体中， 可得且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 设，则， 在中，可得， 所以， 则该截面的面积为， 因为，当时，可得， 经验证：若截面面积取得最大值时，此时点分别为的中点， 当点为的中点时，可得， 因为，所以， 又因为，且，平面， 所以平面，此时满足题意，所以④正确. 故答案为：①②④    四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在中，边，所在直线的方程分别为，，已知是边上一点． (1)若为边上的高，求直线的方程； (2)若为边的中线，求的面积． 【答案】(1)；(2)6 【分析】（1）利用题意首先求得A点坐标，继而求得BC的斜率，然后由点斜式可得直线的方程； （2）由题意求出B点坐标，可求直线BC的方程，进而可得三角形的高和底边长，利用三角形面积公式可得的面积. 【详解】（1）由解得，即， 又是边上一点，所以， 因为为边上的高，所以，   为边上一点，所以 ， 所以直线的方程为． （2）设点的坐标为，由为的中点，得点的坐标为，   又点与点分别在直线和上， 所以，解得， 所以点的坐标为，又为上一点，则, 所以直线的方程为,           由（1）知，所以点A到直线的距离，                 又的坐标为， 所以，           所以． 另解一：（同上述解法）点的坐标为，       由（1）得，又， 所以直线的方程为，          所以点到直线的距离，     又，            所以， 又为的中点     所以.                 另解二：若直线的斜率不存在，即的方程为， 由解得， 即的坐标为，同理可得的坐标为， 而，不是的中点，所以直线的斜率存在． 设直线的方程为， 由解得，即的坐标为， 同理可得的坐标为，为的中点， 所以，解得， 所以直线的方程为，即为． 由（1）知，所以点A到直线的距离，                 又的坐标为， 所以，           所以． 16．（15分）圆的方程为，圆的圆心为． (1)若圆与圆外切，求圆的方程； (2)若圆与圆交于A、B两点，且，求圆的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据圆与圆的位置关系，求出圆的半径即可写出圆的方程； （2）由两圆的圆心距确定圆心到公共弦的的距离公式，从而求出圆的半径即可求解. 【详解】（1）圆的方程为， 则圆心坐标为，半径为1． 圆的圆心， 所以圆心距为． 由圆与圆外切， 则所求圆的半径为4， 所以圆的方程． （2）圆与圆交于A、B两点，且， 所以圆到AB的距离为. 又圆心距为， 当圆到AB的距离为时，的半径为， 所以圆的方程为． 当圆到AB的距离为时，圆的半径为， 所以圆的方程为． 综上所述，圆的方程为或． 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，为线段上一点，且． （1）求证：平面平面； （2）若，求证：平面． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】（1）推导出，，由此能证明平面，从而平面平面． （2）由平面，得，由，得，从而平面，进而，由，得，由此能证明平面． 【详解】证明：（1）平面，平面， ， ，， 平面，平面， 平面， 平面，平面平面． （2）平面，平面， ， ，， ，平面，平面， 平面， 平面，， 在平面内，，， 平面，平面， 平面． 18．（17分）椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点在上.已知面积的最大值为，且与的面积之比为. (1)求的方程； (2)不垂直于坐标轴的直线交于两点，与不重合，直线与的斜率之积为.证明：过定点. 【答案】(1)(2)过定点. 【分析】（1）根据几何关系得到点为椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，结合与面积之比，得到方程组，求出，得到椭圆方程； （2）方法一：设的方程，代入，得到两根之和，两根之积，根据斜率之积得到方程，求出或，检验后得到符合要求，并求出所过定点； 方法二：设直线的方程为，椭圆方程变形得到，联立得到，若是上的点，则斜率为，得到，故，求出，求出定点坐标. 【详解】（1）当点为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大， 此时， 又， 故，解得， 曲线的方程为. （2）方法一：设直线的方程为，代入得 ， 设， 得，    则， ， 即，解得或. 当时，此时，直线过定点， 而与不重合，不合题意. 当时，此时， 此时直线过定点，满足要求. 方法二：由题意，直线不经过点， 设直线的方程为①. 由方程得. ②. 由①②得， . 若是上的点，则斜率为， ， 的斜率，即，解得. 的方程为，即，故过定点. 19．（17分）四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）见证明（2） 【分析】（1）先根据面面垂直性质定理得线面垂直，再根据线面垂直判定与性质定理证结果，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角与二面角. 【详解】解：（1）因为平面平面，且. 所以平面，所以. 又因为，， 所以平面，所以. 又因为， 所以平面. （2）以为原点，，，方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图空间直角坐标系. 作于，连接， 因为平面平面， 所以平面，即为直线与平面所成的角， 故，所以. 中，令，则， 解得， 故，，. 设平面的一个法向量为， 则， 所以，可取. 又因为平面的一个法向量为， 故. 综合图形可知，所求二面角的余弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$