第十五章 分式（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第十五章 分式（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．使分式有意义的条件是（　　） A. x≠-2 B. x≠2 C. x≠±2 D. x＞-2 【答案】A 【解析】根据分式有意义的条件可得x+2≠0，再解即可． 解：由题意得：x+2≠0， 解得：x≠-2， 故选：A． 2．下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】直接根据分式的乘除法与分式的基本性质计算判断即可． 解：A、（-）2=，故不合题意； B、，故不合题意； C、，故不合题意； D、=-1，故符合题意； .故选：D． 3．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 缩小6倍 D. 不变 【答案】A 【解析】把原分式中的x换成3x,把y换成3y进行计算，再与原分式比较即可． 解：把原分式中的x换成3x,把y换成3y,那么 ==3×． 故选：A． 4．下列约分正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据分式的基本性质作答．分式的分子和分母都乘以或都除以同一个不为0的数或整式，分式的值不变． 解：A、原式=a3，故A选项不合题意； B、原式不能约分，故B选项不合题意； C、原式不能约分，故C选项不合题意； D、原式==，故D选项符合题意． 故选：D． 5．下列三个分式，，的最简公分母是（　　） A. 4x（m-n） B. 2x2（m-n） C. D. 4x2（m-n） 【答案】D 【解析】根据各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母解答． 解：∵三个分式的分母分别是2x2、4（m-n）、x, ∴最简公分母是4（m-n）x2． 故选：D． 6．化简的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】先进行因式分解，再运用分式的基本性质进行约分、化简． 解： = =， 故选：C． 7．小强上山和下山的路程都是s千米，上山的速度为v1千米/时，下山的速度为v2千米/时，则小强上山和下山的平均速度为（　　） A. 千米/时 B. 千米/时 C. 千米/时 D. 千米/时 【答案】D 【解析】平均速度=总路程÷总时间，根据公式列式化简即可． 解：2s÷（+）=2s÷=2s×=千米/时．故选D． 8．下列运算中，正确的是（　　） A. （-2x2x2）3=-6x6y3 B. C. 5x（x2+2xy）=5x2+10xy D. （4x6-2x2y）÷2x2=2x3-xy 【答案】B 【解析】利用单项式乘多项式的法则，整式的除法的法则，负整数指数幂，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 解：A、（-2x2x2）3=-8x6y6，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、5x（x2+2xy）=5x3+10x2y,故C不符合题意； D、（4x6-2x2y）÷2x2=2x4-y,故D不符合题意； 故选：B． 9．已知t2-3t+1=0，则t+=（　　） A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】先方程两边都除以t,再移项得出t+=3即可． 解：∵t2-3t+1=0， ∴t-3+=0， ∴t+=3． 故选：A． 10．分式与互为相反数，则x的值为（　　） A. 1 B. -1 C. -2 D. -3 【答案】C 【解析】根据互为相反数的两个数的和为零，可得关于x的分式方程，解分式方程即可． 解：由题意得， 去分母3x+2（1-x）=0， 解得x=-2． 经检验得x=-2是原方程的解． 故选：C． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．已知：，则=_____． 【答案】 【解析】由，得x：y：z=4：3：2，令x、y、z的值分别为4k,3k,2k,代入直接求得结果． 解：令x=4k,y=3k,z=2k,代入==． 故答案为：． 12．H7N9型流感病毒变异后的直径为0.00000013米，将这个数写成科学记数法是_______米． 【答案】1.3×10-7 【解析】解：0.00000013=1.3×10-7 故答案为： 13．已知实数m、n满足m2+2m-2=0，m-n=2，则代数式+=_____． 【答案】-1 【解析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，根据题意求出m与n的值，代入计算即可求出值． 解：∵实数m、n满足m2+2m-2=0，m-n=2， ∴m2+2m=2，n=m-2，即m2-2=-2m, 方法1：∴原式=+ = = = = =-1； 方法2：∴m2+2m+1=3，即（m+1）2=3， 开方得：m+1=±， 解得：m=-1或m=--1， 原式=+==， 当m=-1时，原式===-1； 当m=--1时，原式===-1． 故答案为：-1． 14．五一节期间，小明一家从A城到青岛旅游，自驾轿车走高速的路程约为360km,坐动车去旅游的路程为405km.已知动车的平均速度是轿车的平均速度的3倍；而时间节省2.5小时．设轿车的平均速度为x km/h,则列方程为：_____． 【答案】-=2.5 【解析】设轿车的平均速度为x km/h,则动车的平均速度为3x km/h,根据坐动车的所用的时间比坐轿车所用的时间少2.5小时，列方程即可． 解：设轿车的平均速度为x km/h,则动车的平均速度为3x km/h, 由题意得：-=2.5． 故答案为：-=2.5． 15．若关于x的方程-1=的解为负数，则k的取值范围是_____． 【答案】k＞且k≠1 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数，确定出k的范围即可． 解：去分母得：（x+k）（x-1）-（x+1）（x-1）=k（x+1）， 整理得：x2+kx-x-k-x2+1=kx+k, 解得：x=-2k+1， 由分式方程的解为负数，得到-2k+1＜0且-2k+1≠±1， 解得：k＞且k≠1， 故答案为：k＞且k≠1． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）计算： （1） （2）． 【解析】（1）首先计算括号里面的运算，然后计算除法即可． （2）首先计算括号里面的运算，然后计算除法即可． 解：（1） =÷ = （2） =÷ = 17．（10分）（1）先化简，再求值：，其中a满足方程a2+2a-9=0． （2）解方程：． 【解析】（1）根据分式的混合运算法则把原式化简，再将a2-2a-9=0变形为a2-2a=9，然后整体代入计算即可； （2）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 解：（1） = = =． ∵a满足方程a2+2a-9=0， ∴a2+2a=9． ∴原式=； （2）方程两边同乘（x-3），得：2-x=-1-2x+6． 移项，得：-x+2x=-1+6-2， 解得x=3， 检验：当x=3时，x-3=0， ∴x=3是增根，原方程无解． 18．（7分）先化简：，然后x在-1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值． 【解析】利用分解因式、完全平方公式以及通分法化简原分式，再分析给定的数据中使原分式有意义的x的值，将其代入化简后的算式中即可得出结论． 解：原式=•• =x+1． ∵在-1，0，1，2四个数中，使原式有意义的值只有2， ∴当x=2时，原式=2+1=3． 19．（8分）关于x的方程：-=1． （1）当a=3时，求这个方程的解； （2）若这个方程有增根，求a的值． 【解析】（1）把a的值代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程即可求出a的值． 解：（1）当a=3时，原方程为-=1， 方程两边同时乘以（x-1）得：3x+1+2=x-1， 解这个整式方程得：x=-2， 检验：将x=-2代入x-1=-2-1=-3≠0， ∴x=-2是原方程的解； （2）方程两边同时乘以（x-1）得ax+1+2=x-1，即（a-1）x=-4， 当a≠1时，若原方程有增根，则x-1=0， 解得：x=1， 将x=1代入整式方程得：a+1+2=0， 解得：a=-3， 综上，a的值为-3． 20．（8分）为防控疫情，某药店分别用1600元、6000元购进两批防护口罩，第二批防护口罩的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元，请问药店第一批防护口罩购进了多少只？ （1）填空： ①同学甲：设 _____， 则根据题意，列方程为：=_____； ②同学乙：设 _____， 则根据题意，列方程为：3×=． （2）请选择其中一名同学的做法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)设药店第一批防护口罩购进了x只;(2)2;(3)药店第一批防护口罩的单价为x元；x+2；; 【解析】（1）①等量关系：第二批的单价-第一批的单价=2元； ②等量关系：第一批防护口罩的单价×3=第二批防护口罩的单价． 解：（1）①同学甲：设药店第一批防护口罩购进了x只，则方程为-=2； ②同学乙：设药店第一批防护口罩的单价为x元，则方程为3×=． 故答案为：①药店第一批防护口罩购进了x只；2； ②药店第一批防护口罩的单价为x元；x+2； （2）同学甲：设药店第一批防护口罩购进了x只，则方程为-=2， 解得x=200． 经检验x=200是原方程的解，且符合题意． 答：药店第一批防护口罩购进了200只； 同学乙：设药店第一批防护口罩的单价为x元，则方程为3×=． 解得x=8． 经检验x=8是所列方程的解， 所以=200． 21．（9分）阅读材料： 对于两个不相等的非零实数m,n,若分式，则x=m或x=n. 因为， 所以关于x的方程有两个解，分别是x1=m,x2=n. 利用上面的结论解答下列问题： （1）关于x方程的两个解分别是x1=-2，x2=-3，则a=_____，b=_____． （2）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值． 【答案】(1)6;(2)-5; 【解析】（1）根据题中所给新定义运算可直接进行求解； （2）方程两边同时加1，然后根据题中所给新定义运算可知，然后代入求解即可． 解：（1）由题意得：关于x方程的两个解分别是x1=-2，x2=-3， 则a=x1•x2=6，b=x1+x2=-5； 故答案为6；-5； （2）， ， 令3x+1=t,则有， 设该方程的两个根为t1，t2，且t1＜t2， ∴t1•t2=（n-5）（n+2），t1+t2=2n-3， ∴t1=n-5，t2=n+2，即3x1+1=n-5，3x2+1=n+2， ∴， ∴． 22.（12分）综合与探究 1．观察下列方程的特征及其解的特点； ①x+＝﹣3的解为x1＝﹣1，x2＝﹣2． ②x+＝﹣5的解为x1＝﹣2，x2＝﹣3． ③x+＝﹣7的解为x1＝﹣3，x2＝﹣4； 解答下列问题； （1）请你写出一个符合上述特征的方程为 　 　，其解为 　 　． （2）根据这类方程特征，写出第n个方程为 　 　，其解为 　 　． （3）请利用（2）的结论，求关于x的方程x+＝﹣2（n+2）（其中n为正整数）的解． 【答案】（1）x+＝﹣9；x1＝﹣4，x2＝﹣5 （2）x+＝﹣2n﹣1；x1＝﹣n，x2＝﹣n﹣1 （3）x1＝﹣n-3，x2＝﹣n﹣4 【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：x+＝﹣9， 解得：x1＝﹣4，x2＝﹣5， 经检验：x1＝﹣4，x2＝﹣5是原方程的解， 故答案为：x+＝﹣9；x1＝﹣4，x2＝﹣5； （2）根据题意可得：x+＝﹣2n﹣1， 解得：x1＝﹣n，x2＝﹣n﹣1， 经检验：x1＝﹣n，x2＝﹣n﹣1是原方程的解， 故答案为：x+＝﹣2n﹣1；x1＝﹣n，x2＝﹣n﹣1； （3）∵x+＝﹣2（n+2）， ∴， ∴， 解得：x1＝﹣n-3，x2＝﹣n﹣4， 经检验：x1＝﹣n-3，x2＝﹣n﹣4是原方程的解， 故答案为：x1＝﹣n-3，x2＝﹣n﹣4， 【分析】（1）根据前几项中数据与序号的关系可得规律，再列出方程并求解即可； （2）根据前几项中数据与序号的关系可得规律，再列出方程并求解即可； （3）利用（2）中的计算方法分析求解即可. 23．（13分）综合与实践 某国家5A级景区开展一年一度的旅游主题活动，活动将持续两周.景区内某餐厅今年活动期间推出“精品套餐”，在午餐和晚餐时间只出售该套餐，且定价相同.活动开始后，该套餐的销售情况如下：第一天，午餐、晚餐时间均按定价出售，当天销售总收入为30000元；第二天，午餐时间按定价共售出100份；晚餐时间按定价打九五折出售（即按定价的95%出售），当天销售总收入为37650元，且全天销售量比第一天多30%（销售量指售出的套餐的份数）. （1）若第一天的全天销售量为m，请用含m的代数式表示第二天晚餐时间该套餐的销售量； （2）该套餐的定价为多少元？ （3）第三天，餐厅在午餐时间按定价打九二折出售该套餐，晚餐按定价出售，全天销售量比第一天多32%；第四天，午餐和晚餐时间均按定价打九折出售，全天销售量比第一天多1倍.根据该餐厅往年活动期间的销售数据，午餐时间套餐的销售量和晚餐时间套餐的销售量有如下规律： ①若套餐价格不变，则二者分别保持基本稳定； ②若套餐按定价打折，折扣相同，则二者的增长率也会大致相同. 参考前四天该套餐按定价所打折扣与销售量增长率之间的关系，若第五天午餐与晚餐时间均按定价打八八折出售该套餐，你认为全天销售量会是多少？请说明理由. 【答案】（1）解：第一天的全天销售量为m，第二天晚餐套餐的销售量为： 份； （2）解：套餐定价为： ， 则： ， 解得： 经检验： 符合题意， 套餐定价为： 元， 答：该套餐定价为120元. （3）解：第一天午餐卖100份，晚餐买250﹣100＝150份， 第二天午餐卖100份，全天卖250×1.3＝325份，晚上卖325﹣100＝225份， 打折后的增长率为： ， 第三天晚餐卖150份，午餐卖： ， 打折后的增长率为： ， 第四天销售量为：250×2＝500， 增长率为：1×100%＝100%， 由此可知打x折后的销售量的增长率y的关系， 设这个关系为： 则：①0.5＝0.95k+b， ②0.8＝0.92k+b， ③1＝0.9k+b， 解得：k＝﹣10，b＝10 ∴y＝﹣10x+10， 当x＝0.88时，y＝1.2， 第5天全天的销售量为：250×（1+120%）＝550份， 答：第5天的销售量为550份. 【解析】【分析】（1）依据第二天全天销售量比第一天多30%可得第二天的销售总量为（1+30％）m，再减去第二天中午销售的数量即可表示出第二天晚餐的销售量； （2）通过第二天午餐销售套餐的收入+第二天晚餐销售套餐的收入=37650列分式方程求解； （3）找出前几天每天午餐及晚餐销售的数量找出增长率，通过观察即可发现“ 打x折后的销售量的增长率y的关系 ”，求出第五天的增长率即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 分式（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．使分式有意义的条件是（　　） A. x≠-2 B. x≠2 C. x≠±2 D. x＞-2 2．下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A. B. C. D. 3．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 缩小6倍 D. 不变 4．下列约分正确的是（　　） A. B. C. D. 5．下列三个分式，，的最简公分母是（　　） A. 4x（m-n） B. 2x2（m-n） C. D. 4x2（m-n） 6．化简的结果为（　　） A. B. C. D. 7．小强上山和下山的路程都是s千米，上山的速度为v1千米/时，下山的速度为v2千米/时，则小强上山和下山的平均速度为（　　） A. 千米/时 B. 千米/时 C. 千米/时 D. 千米/时 8．下列运算中，正确的是（　　） A. （-2x2x2）3=-6x6y3 B. C. 5x（x2+2xy）=5x2+10xy D. （4x6-2x2y）÷2x2=2x3-xy 9．已知t2-3t+1=0，则t+=（　　） A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 10．分式与互为相反数，则x的值为（　　） A. 1 B. -1 C. -2 D. -3 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 12．H7N9型流感病毒变异后的直径为0.00000013米，将这个数写成科学记数法是_______米． 13．已知实数m、n满足m2+2m-2=0，m-n=2，则代数式+=_____． 14．五一节期间，小明一家从A城到青岛旅游，自驾轿车走高速的路程约为360km,坐动车去旅游的路程为405km.已知动车的平均速度是轿车的平均速度的3倍；而时间节省2.5小时．设轿车的平均速度为x km/h,则列方程为：_____． 15．若关于x的方程-1=的解为负数，则k的取值范围是_____． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）计算： （1） （2）． 17．（10分）（1）先化简，再求值：，其中a满足方程a2+2a-9=0． （2）解方程：． 18．（7分）先化简：，然后x在-1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值． 19．（8分）关于x的方程：-=1． （1）当a=3时，求这个方程的解； （2）若这个方程有增根，求a的值． 20．（8分）为防控疫情，某药店分别用1600元、6000元购进两批防护口罩，第二批防护口罩的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元，请问药店第一批防护口罩购进了多少只？ （1）填空： ①同学甲：设 _____， 则根据题意，列方程为：=_____； ②同学乙：设 _____， 则根据题意，列方程为：3×=． （2）请选择其中一名同学的做法，写出完整的解答过程． 21．（9分）阅读材料： 对于两个不相等的非零实数m,n,若分式，则x=m或x=n. 因为， 所以关于x的方程有两个解，分别是x1=m,x2=n. 利用上面的结论解答下列问题： （1）关于x方程的两个解分别是x1=-2，x2=-3，则a=_____，b=_____． （2）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值． 22.（12分）综合与探究 1．观察下列方程的特征及其解的特点； ①x+＝﹣3的解为x1＝﹣1，x2＝﹣2． ②x+＝﹣5的解为x1＝﹣2，x2＝﹣3． ③x+＝﹣7的解为x1＝﹣3，x2＝﹣4； 解答下列问题； （1）请你写出一个符合上述特征的方程为 　 　，其解为 　 　． （2）根据这类方程特征，写出第n个方程为 　 　，其解为 　 　． （3）请利用（2）的结论，求关于x的方程x+＝﹣2（n+2）（其中n为正整数）的解． 23．（13分）综合与实践 某国家5A级景区开展一年一度的旅游主题活动，活动将持续两周.景区内某餐厅今年活动期间推出“精品套餐”，在午餐和晚餐时间只出售该套餐，且定价相同.活动开始后，该套餐的销售情况如下：第一天，午餐、晚餐时间均按定价出售，当天销售总收入为30000元；第二天，午餐时间按定价共售出100份；晚餐时间按定价打九五折出售（即按定价的95%出售），当天销售总收入为37650元，且全天销售量比第一天多30%（销售量指售出的套餐的份数）. （1）若第一天的全天销售量为m，请用含m的代数式表示第二天晚餐时间该套餐的销售量； （2）该套餐的定价为多少元？ （3）第三天，餐厅在午餐时间按定价打九二折出售该套餐，晚餐按定价出售，全天销售量比第一天多32%；第四天，午餐和晚餐时间均按定价打九折出售，全天销售量比第一天多1倍.根据该餐厅往年活动期间的销售数据，午餐时间套餐的销售量和晚餐时间套餐的销售量有如下规律： ①若套餐价格不变，则二者分别保持基本稳定； ②若套餐按定价打折，折扣相同，则二者的增长率也会大致相同. 参考前四天该套餐按定价所打折扣与销售量增长率之间的关系，若第五天午餐与晚餐时间均按定价打八八折出售该套餐，你认为全天销售量会是多少？请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$