第十五章 分式（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第十五章 分式（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．当x=3时，分式没有意义，则b的值为（　　） A. -3 B. C. D. 3 2．若分式有意义，下列说法错误的是（　　） A. 当x＜3时，分式的值为正数 B. 当x=3时，分式无意义 C. 当x=0时，分式的值为0 D. 当时，分式的值为1 3．下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4．下列计算正确的是（　　） A. x-1•2x-2=2x2 B. （-2x2）-2=4x-4 C. -20=1 D. 5．若分式□运算结果为x,则在“□”中添加的运算符号为（　　） A. + B. - C. -或÷ D. +或× 6．清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径线约为0.0000084米，用科学记数法表示为（　　） A. 0.84×10-5 B. 8.4×10-6 C. 84×10-7 D. 8.4×10-8 7．关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（　　） A. a＞-11 B. a＞-5 C. a＞-5且a≠-1 D. a＞-11且a≠1 8．化简的结果是（　　） A. B. C. D. 9．已知a-2b=0且b≠0，则的值为（　　） A. B. C. 3 D. -1 10．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息 如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（　　） A. 13小时 B. 13小时 C. 14小时 D. 14小时 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．计算：（2a2b-2）2•（a-1b）3=_____． 12．下列分式中：；；；，其中最简分式有_____个． 13．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（a＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1）米的正方形．若两块试验田的小麦都收获了500千克，则“丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的单位面积产量的_____倍． 14．方程的实数根是 _____ 15．已知某轮船顺水航行a千米，所需的时间和逆水航行b千米所需的时间相同．若水流的速度为c千米/时，则船在静水中的速度为_____千米/时． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（10分）（1）计算：|-2|+（）-2-； （2）化简：． 17．（7分）先化简：，再从不等式组的解集中选一个合适的整数x的值代入求值． 18．（8分）（1）教材阅读：“解分式方程一定要验根，即把求得的根代入原方程，或者代入原方程两边所乘的公分母，看分母的值是否为零，使分母为零的根我们说它是增根．” （2）知识应用： ①小明说，方程无解，试通过解方程说明理由． ②m为何值时，方程有增根． 19．（8分）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品． （1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？ （2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？ 20．（8分）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 任务一：填空 ①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______． ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果． 21．（9分）（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式 、 的大小，只要作出它们的差 ，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 . （解决问题） 小丽和小颖分别两次购买同一种商品，小丽两次都买了 千克商品，小颖两次购买商品均花费 元，已知第一次购买该商品的价格为 元 千克，第二次购买该商品的价格为 元 千克（ ， 是整数，且 ） （1）小丽和小颖两次所购买商品的平均价格分别是多少元 千克？ （2）请用作差法比较小丽和小颖两次所购买商品的平均价格的高低. 22 .（12分）（阅读学习） 阅读下面的解题过程： 已知： ，求 的值． 解：由 知x≠0，所以 ，即 所以 故 的值为 ． （类比探究） （1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知 ，求 的值． （2）（拓展延伸） 已知 ， ， ，求 的值． 23．（13分）综合与实践问题情境：“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套A型号的“文房四宝”的标价比B型号的“文房四宝”的标价高30%，若按标价购买需花费4300元，其中购买B型号“文房四宝”花费3000元． 问题解决： （1）求每套B型号的“文房四宝”的标价． （2）若经过与店主协商，考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”九折，B型号“文房四宝”八折的优惠价购入，则购买原定数量的A，B型号“文房四宝”共需花费多少元？ （3）一段时间后，由于传统文化广受关注，另一所学校想要购入A，B两种型号“文房四宝”共100套。店主继续以（2）中的折扣价进行销售，已知A，B两种型号的“文房四宝”每套进价分别为67元和50元，若通过此单生意，该店主获利不低于3800元，则该校在这家店至少买了　 　套A型“文房四宝”？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 分式（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．当x=3时，分式没有意义，则b的值为（　　） A. -3 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】当x+2b=0时，分式没意义，把x=3代入x+2b=0，求得b的值． 解：∵当x=3时，分式没有意义， ∴x=3时，x+2b=0， ∴b=-． 故选：B． 2．若分式有意义，下列说法错误的是（　　） A. 当x＜3时，分式的值为正数 B. 当x=3时，分式无意义 C. 当x=0时，分式的值为0 D. 当时，分式的值为1 【答案】A 【解析】根据分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的值为正，分式的值的求解，逐项判断即可． 解：当x＜3时，分母3-x＞0，但x的值可能是正数也可能是负数，根据”两数相除同号得正，异号得负“可判定分式的值可能是正数，也可能是负数，还可能是0， 故A选项错误，符合题意； 当x=3时，分母3-x=0， 所以当x=3时，分式无意义， 故B正确，不符合题意； 当x=0时，分母3-x≠0，分子x=0， ∴当x=0时，分式的值为0， 故C选项正确，不符合题意； 当x=时，分母3-x≠0，==1， 当x=时，分式的值为1， 故D正确，不符合题意． 故选：A． 3．下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】利用分式的相关运算法则及性质将各项计算后进行判断即可． 解：A．原式==-1， 则A不符合题意； B．原式=+ =， 则B不符合题意； C．原式=， 则C符合题意； D．原式==， 则D不符合题意； 故选：C． 4．下列计算正确的是（　　） A. x-1•2x-2=2x2 B. （-2x2）-2=4x-4 C. -20=1 D. 【答案】D 【解析】A．先根据单项式乘单项式法则进行计算，然后根据计算结果进行判断即可； B．先根据积的乘方法则和整数指数幂的性质进行计算，然后根据计算结果进行判断即可； C．先根据零指数幂的性质进行计算，然后根据计算结果进行判断即可； D．先根据分式的乘方法则进行计算，然后再按照幂的乘方法则和负指数幂的性质进行计算即可． 解：A．∵，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意； B．∵，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意； C．∵-20=-1，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意； D．∵，∴此选项计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 5．若分式□运算结果为x,则在“□”中添加的运算符号为（　　） A. + B. - C. -或÷ D. +或× 【答案】C 【解析】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 解：当“□”中添加的运算符号为-时， 原式=-= “□”中添加的运算符号为÷时， 原式=÷=•=x, 故选：C． 6．清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径线约为0.0000084米，用科学记数法表示为（　　） A. 0.84×10-5 B. 8.4×10-6 C. 84×10-7 D. 8.4×10-8 【答案】B 【解析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案． 解：0.0000084米=8.4×10-6米． 故选：B． 7．关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（　　） A. a＞-11 B. a＞-5 C. a＞-5且a≠-1 D. a＞-11且a≠1 【答案】D 【解析】先求出分式方程的解，然后根据其解为正数求出a的取值范围即可． 解：方程可化为， 方程两边都乘以4-x,得3+2（4-x）=x-a, 解得x=， ∵关于x的方程的解是正数， ∴且， 解得a＞-11且a≠1， 故选：D． 8．化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可． 解： =÷ =÷ =• =， 故选：D． 9．已知a-2b=0且b≠0，则的值为（　　） A. B. C. 3 D. -1 【答案】A 【解析】根据分式的混合运算法则按原式化简，把a=2b代入计算即可． 解：原式=（+）• =• =， ∵a-2b=0， ∴a=2b, 则原式==， 故选：A． 10．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息 如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（　　） A. 13小时 B. 13小时 C. 14小时 D. 14小时 【答案】C 【解析】设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x-5）小时；根据信息二提供的信息列出方程并解答；根据信息三得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间． 解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x-5）小时，则 =． 解得x=20 经检验x=20是原方程的根，且符合题意． 则丙的工作效率是． 所以一轮的工作量为：++=． 所以4轮后剩余的工作量为：1-=． 所以还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：--=． 所以丙还需要工作小时． 故一共需要的时间是：3×4+2+=14小时． 故选：C． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．计算：（2a2b-2）2•（a-1b）3=_____． 【答案】 【解析】根据单项式乘单项式的法则计算即可． 解：（2a2b-2）2•（a-1b）3 =4a4b-4•a-3b3 =4ab-1 =， 故答案为：． 12．下列分式中：；；；，其中最简分式有_____个． 【答案】2 【解析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 解：分式；；；，其中最简分式是， 故答案为：2． 13．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（a＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1）米的正方形．若两块试验田的小麦都收获了500千克，则“丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的单位面积产量的_____倍． 【答案】 【解析】根据题意和图形，可以计算出“丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的单位面积产量的几倍，本题得以解决． 解：由题意可得， “丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的单位面积产量的：==倍， 故答案为：． 14．方程的实数根是 _____ 【答案】 【解析】先将原方程变形为+=，再设=y,转化成整式方程求解即可． 解：∵，∴+=， 设=y,则y+=，解得y1=3，y2=， ∴当y1=3时，=3，无解舍去； 当y2=时，=，x=， 故答案为． 15．已知某轮船顺水航行a千米，所需的时间和逆水航行b千米所需的时间相同．若水流的速度为c千米/时，则船在静水中的速度为_____千米/时． 【答案】 【解析】关键描述语为：“轮船顺水航行a千米所需的时间和逆水航行b千米所需的时间相同”；等量关系为：轮船顺水航行a千米所需的时间=逆水航行b千米所需的时间． 解：可设船在静水中的速度为x千米/时，那么轮船顺水航行a千米用的时间为：，逆水航行b千米所需的时间为：．所列方程为，即x=千米/时． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（10分）（1）计算：|-2|+（）-2-； （2）化简：． 【解析】（1）取绝对值，计算负整数指数幂，算术平方根，再合并； （2）先通分算括号内的，再约分即可． 解：（1）原式=2+9-4 =7； （2）原式=• =• =x+1． 17．（7分）先化简：，再从不等式组的解集中选一个合适的整数x的值代入求值． 【解析】先求出不等式组的解集，得到整数解，再对原代数式进行化简，确定合适的x的值代入求解即可． 解：， 由①得：x＞-2， 由②得：x≤2， ∴该不等式组的解集为：-2＜x≤2， ∴整数解为-1，0，1，2， 原式=• =• =• =2x, ∵x2-1≠0，x+1≠0，x2-x≠0， ∴x≠0，x≠±1， 当x=2时， 原式=2×2 =4． 18．（8分）（1）教材阅读：“解分式方程一定要验根，即把求得的根代入原方程，或者代入原方程两边所乘的公分母，看分母的值是否为零，使分母为零的根我们说它是增根．” （2）知识应用： ①小明说，方程无解，试通过解方程说明理由． ②m为何值时，方程有增根． 【解析】①方程两边同时乘以最简公分母（x+2）（x-2），把方程化为整式方程，解方程并检验方程的根即可； ②方程两边同时乘以最简公分母..，把方程化为整式方程，然后根据增根的定义求出增根，把增根代入计算即可求解． 解：①）去分母，得2（x+2）-4x=0， 解得x=2， 经检验：x=2是方程的增根， 所以原方程无解； ②去分母，得2-x=-m-2（x-3）， 化简，得x=4-m, 因为方程有增根，所以3=4-m, 解得，m=1， 所以m=1时，方程有增根． 19．（8分）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品． （1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？ （2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？ 【解析】（1）设购买炸酱面x份，牛肉面y份，利用总价=单价×数量，结合该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买牛肉面m份，则购买炸酱面（1+50%）m份，利用单价=总价÷数量，结合每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，可得出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 解：（1）设购买炸酱面x份，牛肉面y份， 根据题意得：， 解得：． 答：购买炸酱面80份，牛肉面90份； （2）设购买牛肉面m份，则购买炸酱面（1+50%）m份， 根据题意得：-=6， 解得：m=60， 经检验，m=60是所列方程的解，且符合题意． 答：购买牛肉面60份． 20．（8分）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 任务一：填空 ①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______． ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果． 【答案】任务一：①一，分式的基本性质； ②二，去括号没有变号； 任务二：． 21．（9分）（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式 、 的大小，只要作出它们的差 ，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 . （解决问题） 小丽和小颖分别两次购买同一种商品，小丽两次都买了 千克商品，小颖两次购买商品均花费 元，已知第一次购买该商品的价格为 元 千克，第二次购买该商品的价格为 元 千克（ ， 是整数，且 ） （1）小丽和小颖两次所购买商品的平均价格分别是多少元 千克？ （2）请用作差法比较小丽和小颖两次所购买商品的平均价格的高低. 【答案】（1）解：由题意得：小丽两次所购买商品的平均价格为 （元 千克）， 小颖两次所购买商品的平均价格为 （元 千克）， 答：小丽两次所购买商品的平均价格为 元，小颖两次所购买商品的平均价格为 元 ； （2）解：由（1）的结论得： ， ， ， ， 因为 都是大于0的整数，且 ， 所以 ， 所以 ， 即小丽两次所购买商品的平均价格高于小颖两次所购买商品的平均价格. 【解析】【分析】（1）根据题意分别列式可求出小丽和小颖两次所购买商品的平均价格，然后化简即可。 （2）先列式，用小丽两次所购买商品的平均价格减去小颖两次所购买商品的平均价格，再通分计算，将结果化成最简分式，根据其值的大小，可作出判断。 22 .（12分）（阅读学习） 阅读下面的解题过程： 已知： ，求 的值． 解：由 知x≠0，所以 ，即 所以 故 的值为 ． （类比探究） （1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知 ，求 的值． （2）（拓展延伸） 已知 ， ， ，求 的值． 【答案】（1）解：∵ ∴x≠0， ∴ ，即 ∴ ∴ =- ； （2）∵ ， ， ， ∴ = ， ∴ ∵ ， ∴ 【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法，先根据 ，得到 ，再将代入，最后取倒数即可； （2）先根据，，，求出=，可得，再根据，最后取倒数即可。 23．（13分）综合与实践问题情境：“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套A型号的“文房四宝”的标价比B型号的“文房四宝”的标价高30%，若按标价购买需花费4300元，其中购买B型号“文房四宝”花费3000元． 问题解决： （1）求每套B型号的“文房四宝”的标价． （2）若经过与店主协商，考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”九折，B型号“文房四宝”八折的优惠价购入，则购买原定数量的A，B型号“文房四宝”共需花费多少元？ （3）一段时间后，由于传统文化广受关注，另一所学校想要购入A，B两种型号“文房四宝”共100套。店主继续以（2）中的折扣价进行销售，已知A，B两种型号的“文房四宝”每套进价分别为67元和50元，若通过此单生意，该店主获利不低于3800元，则该校在这家店至少买了　 　套A型“文房四宝”？ 【答案】（1）解：设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套A型号的“文房四宝”的标价为1.3x元． 根据题意得：， 解得：x＝100， 经检验：x＝100是分式方程的解， 答：每套B型号的“文房四宝”的标价为100元 （2）解：由（1）得：每套A型号的“文房四宝”的标价为130元 ∴购买A型号的“文房四宝”共（套）， 购买B型号的“文房四宝”共（套）， 打折后，A型号的“文房四宝”需花费：10×130×0.9＝1170（元）， 打折后，B型号的“文房四宝”需花费：30×100×0.8＝2400（元）， ∴购买原定数量的A，B型号“文房四宝”共需花费3570元 （3）40 【解析】【解答】解：（3）由（2）知：打折后每套A型号“文房四宝”售价为：130×0.9=117元， 打折后每套B型号“文房四宝”售价为：100×0.8=80元， 设该学校购买y套A型号“文房四宝”，则B型号“文房四宝”有（100-y）套， 由题意得：（117-67）y+(80-50)(100-y)≥3800， 解得y≥40， ∴ 该校在这家店至少买了40套A型“文房四宝”. 故答案为：40. 【分析】（1）设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套A型号的“文房四宝”的标价为1.3x元．根据“购买A，B两种型号“文房四宝”共40套”列出方程并解之即可； （2）分别算出打折后A、B型号的费用，再相加即可； （3）设该学校购买y套A型号“文房四宝”，则B型号“文房四宝”有（100-y）套，根据“ 该店主获利不低于3800元 ”里程不等式并解之即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$