2024--2025学年浙教版数学八年级上册冲刺重高专题培优课件《专题18 不等式（组）的应用》

专题18 不等式（组）的应用 冲刺重高专题培优讲义 浙教版数学八年级上册 知识梳理 【1】一元一次不等式（组）的应用: 由实际问题中的不等关系列出不等式或不等式组，建立解决问题的数学模型，通过解不等式（组）可以得到实际问题的答案。 【2】列不等式（组）解应用题的一般步骤: （1）分析题意，找出不等关系， （2）设未知数，列出不等式（组） （3）解不等式（组） （4）从不等式（组）解集中找出符合题意的答案 （5）作答 知识梳理 【3】列不等式解应用题需要以“至少”“最多”“不超过”“不低于”等词来体现问题中的不等关系.因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵. 知识梳理 【4】列不等式（组）解决实际问题的常见的问题主要有： （1）作差法或作商法比较大小. （2）求代数式的取值范围或最值. （3）利用缩放法、夹逼法对不等式进行变形. （4）列不等式（组）解决生活实际中的方案设计、最值等问题. 重点突破 知识点一：列一元一次不等式解应用题 【例1】某班级为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔，到文教店查看定价后发现，购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元. 重点突破 （1）求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元. 思路点拨设该品牌的钢笔每支的定价是 元，自动铅笔每支的定价是 元，根据“购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元，购买3支钢笔和2支自 动铅笔共需85元”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可 得出结论. [答案] 解题过程 设该品牌的钢笔每支的定价是 元，自动铅笔每支的 定价是 元. 根据题意得 解得 该品牌的钢笔每支的定价是25元，自动铅笔每支的定价是5元. 重点突破 （2）经协商，文教店给予该班级购买一支该品牌钢笔赠送一支自动铅笔的优惠，如果该班级需要自动铅笔的支数比钢笔的支数的2倍还多8支，且班级购买钢笔和自动铅笔的总费用少于670元，那么该班级最多可购买多少支该品牌的钢笔？ 思路点拨设该班级购买 支该品牌的钢笔，则购买 支该品牌 的自动铅笔，利用总价=单价x数量，结合总价少于670元，可得出关于 的一元一次不等式，解之即可得出 的取值范围，再取其中的最大 整数值即可得出结论。 重点突破 [答案] 解题过程 设该班级购买 支该品牌的钢笔，则购买 支该品牌的自动铅笔. 根据题意得 ，解得 又 为正整数， 的最大值为20. 该班级最多可购买20支该品牌的钢笔. 重点突破 【跟踪训练1】某校举行数学竞赛，一共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错一题扣1分，不答记0分. （1）某同学只有一道题未作答，最后得分86分，则该生一共答对多少题？ [答案] 设该生一共答对了 道题，则答错了 道题. 由题意可得 ，解得 ， 该生一共答对了22道题. 重点突破 （2）若规定参赛者必须每题作答且得分大于或等于90分，才可以评为一等奖，则参赛者至少答对多少题才能获评一等奖？ [答案] 设参赛者需答对 道题才能获评一等奖. 由题意可得 ，解得 ， 参赛者至少需答对23道题才能获评一等奖. 重点突破 知识点二：列一元一次不等式组解应用题 【例2】为打造“书香校园”，学校每个班级都建立了图书角.七（1）班除了班上每位同学捐出一本书外，三位班委还相约图书城，用班费买些新书.下面是他们的对话内容： 班委 ：“我上次在这边买了一套很好看的书，可惜有点贵，160元， 据我了解这套书进价只有100元.” 班委 ：“你可以花20元办一张会员卡，买书可打八折.” 班委 ：“嗯，是的.不过我听说还有一种优惠方式，花100元办张 贵宾卡，买书打六折.” 重点突破 （1）班委 上次买的一套书，图书城的利润是____元，利润率是_____ ____.如果当时他买一张会员卡，可省下____元. 60 <m></m> 12 思路点拨利用利润=售价-进价，可求出图书城的利润:利用利润率=利润x100%，可求出利润率;利用节省的钱数=原价-(原价x折扣率+办卡费进价用)，可求出购买会员卡后可节省的钱数. [解析] 解题过程 图书城的利润是 （元）；利润率是 ； 购买会员卡后可节省 （元）.故答案为6 0； ；12. 重点突破 （2）当购书的总价（指未打折前的原价）为多少时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠？ 思路点拨当购书的总价为 元时，根据办贵宾卡与办会员卡购书一样优 惠，可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出结论. [答案] 解题过程 设购书的总价（指未打折前的原价）为 元. 根据题意得 ，解得 当购书的总价（指未打折前的原价）为400元时，办贵宾卡与办会员 卡购书一样优惠. 重点突破 （3）三个班委精心挑选了一批新书，经过计算分析后，发现三种购买方式中，办会员卡购书最省钱，请你直接写出这批书的总价的范围. 思路点拨当购书的总价为 元时，根据办会员卡购书最省钱，可得出关 于 的一元一次不等式组，解之即可得出结论。 [答案] 解题过程 设购书的总价（指未打折前的原价）为 元. 根据题意得 解得 当购书的总价（指未打折前的原价）大于100元且少于400元时，办会 员卡购书最省钱. 重点突破 【跟踪训练2】某工厂计划生产 两种产品共10件，其生产成本和利润如 表： 种产品 种产品 成本（万元/件） 3 5 利润（万元/件） 1 2 （1）当 两种产品分别生产多少件时，工厂刚好获利14万元？ [答案] 设生产 种产品 件，则生产 种产品 件. 依题意得 ，解得 当生产 种产品6件， 种产品4件时，工厂刚好获利14万元. 重点突破 （2）若工厂投入资金不多于44万元，要使工厂获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？ [答案] 设生产 种产品 件，则生产 种产品 件. 依题意得 解得 ＜ 6. 为正整数， 可以取3，4，5. 工厂有3种生产方案，方案1：生产 种产品3件， 种产品7件；方案 2：生产 种产品4件， 种产品6件；方案3：生产 种产品5件， 种 产品5件. 重点突破 （3）在（2）的条件下，哪种方案获利最大？并求最大利润. [答案] 方案1利润： （万元）； 方案2利润： （万元）； 方案3利润： （万元）. 工厂采用方案1即生产 种产品3件， 种产品7件时获得的利润最大， 最大利润为17万元. 重点突破 【例3】某市园林部门为绿化城区，计划购买甲、乙两种树苗共500棵，甲 种树苗每棵50元，乙种树苗每棵80元.甲、乙两种树苗的成活率 分别为 经研究，列出三种方案： 方案一：购买两种树苗共花费28000元； 方案二：要尽可能多买乙种树苗，但总价不超过30000元； 方案三：使这批树苗的成活率不低于 ，且使购买树苗的费用最低. 每种方案购买的甲、乙两种树苗各多少棵？ 重点突破 [答案] 解题过程 设购买甲种树苗 棵，则购买乙种树苗 棵. 方案一：由题意得 ，解得 购买甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵. 方案二：由题意得 ，解得 是整数且 最小时， 的值最大， 购买甲种树苗334棵，购买乙种树苗166棵. 重点突破 方案三：由题意得 ，解得 设购买两种树苗的费用之和为 元，则 当 时， 取最小值，其最小值为 购买甲种树苗300棵，购买乙种树苗200棵. 课后练习 A组 基础巩固 1.新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售 时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于 ，则最多可打 ( ) C A.六折 B.七折 C.七五折 D.八折 课后练习 2.爆破员要爆破一座旧桥，根据爆破情况，安全距离是 （人员要 撤到 或 以外），已知人员撤离的速度是 ，导火索的燃 烧速度是 ，为确保安全，这次爆破的导火索至少长 ( ) D A. B. C. D. 课后练习 3.如图所示为测量一颗玻璃球体积的过程： ①将 的水倒进一个容量为 的杯 C A. 以上， 以下 B. 以上， 以下 C. 以上， 以下 D. 以上， 以下 子中； ②将五颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； ③再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出. 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是( ) 课后练习 4.小颖家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户 每月用水不超过 ，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过 ，则超出部分每立方米收费2元.小颖家每月用水量至少是 ___ 8 5.如图，点 位于 两点之间（不与点 重合），且 点 对应的实数为 ，则 的取值范围是 _ ______________. <m></m> 课后练习 6.小宜跟几位同学在学校食堂吃饭，如下为食堂提供的套餐菜单，他们 一共点了10份盖饭，6杯饮料.若 套餐均至少点了两份，则点餐方 案有___种. 套餐：一份盖饭加一杯饮料 套餐：一份盖饭加一份凉拌菜 套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜 3 课后练习 7.商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，则按原价付款；若一次性购买5件以上，则超过部分按原价的八折付款.如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品多少件？ [答案] 设小颖可以购买 件该商品. 依题意得 ，解得 又 为正整数， 的最大值为12. 小颖最多可以购买该商品12件. 课后练习 8.某药店购进一批 两种不同型号的口罩进行销售.下表是甲、乙两人 在该药店购买 两种型号口罩的情况： 型号数量（单位： 个） 型号数量（单位： 个） 总售价（单位：元） 甲 1 3 26 乙 3 2 29 课后练习 （1）一个 型口罩和一个 型口罩的售价各是多少元？ [答案] 设一个 型口罩的售价是 元，一个 型口罩的售价是 元. 由题意得 解得 一个 型口罩的售价是5元，一个 型口罩的售价是7元. 课后练习 （2）药店准备再购进这两种型号的口罩共50个，其中 型口罩数量不 少于35个，且不多于 型口罩的3倍，有几种购买方案？请写出所有的 购买方案. [答案] 设购买 型口罩 个，则购买 型口罩 个. 型口罩数量不少于35个，且不多于 型口罩的3倍， ，解得 为整数， 有三种购买方案，方案一：购买 型 口罩35个，购买 型口罩15个；方案二：购买 型口罩36个，购买 型口罩14个；方案三：购买 型口罩37个，购买 型口罩13个. 课后练习 B组 能力提升 9.如图，小明想到 站乘公交车，发现他与公 交车的距离为 假设公交车的速度是小 明速度的5倍.若要保证小明不会错过这辆公交 车，则小明与 站之间的距离最大为 ( ) B A. B. C. D. 课后练习 [解析] 设小明与 站之间的距离为 ，小明的速度为 ，则公交车与 站之间的距离为 ，公交车的速度为 根据题意得 ，即 ，解得 小明与 站之间的距离最大为 故选 课后练习 10.若一个三角形的三边长分别为 ，且它的 周长不超过 ，则 的取值范围是_ _________. <m></m> [解析] 根据题意，可得 解得1 ＜ 故答 案为1 ＜ 课后练习 11.小立和小达玩玻璃珠游戏，游戏规则如下：两人每次拿取的颗数不 能为0，且拿出的不放回，小立每次只能拿取9颗或 颗玻璃珠， 小达每次只能拿取7颗或 颗玻璃珠，其中 为整数，且 经统计，小立拿取了11次玻璃珠，小达拿取了9次玻璃珠，并且小达至 少拿取了一次 颗玻璃珠，最终小立和小达拿取的玻璃珠数目相 等，那么这次游戏开始前，玩具箱中玻璃珠的总数最少有____颗. 90 课后练习 [解析] 设小立 次取 颗玻璃珠，小达 次取 颗玻璃 珠，则小立 次取9颗玻璃珠，小达 次取7颗玻璃珠，则 小立取 颗玻璃珠，小达取 颗玻璃珠. 总共取玻璃珠颗数 . 由题意得 , 或2. 最终两人所取玻璃珠的总数恰好相等， ，即 课后练习 ①当 时， ，此时 无解. ②当 时， ，解得 或 或 或60或72. 综上所述， 当 时， 故答案为90. 课后练习 12.在某市暑期篮球联赛中，月亮队与火炬队要争夺最后一个出线权，月亮队目前的战绩是16胜14负，后面还要比赛6场；火炬队目前的战绩是15胜16负，后面还要比赛5场.该篮球联赛的得分规则为胜一场得1分，负一场不得分，所有参赛球队完成36场比赛后，得分高者获得出线权. （1）为确保出线，月亮队在后面的比赛中至少要胜多少场？ [答案] 设月亮队还要胜利 场. 由题意得 ＞ ，解得 ＞ 4. 为整数， 或6. 月亮队至少要胜5场. 课后练习 （2）如果火炬队在后面的比赛中3胜2负，那么月亮队在后面的比赛中至少要胜几场才能确保出线？ [答案] 设月亮队还要胜利 场. 由题意得 ＞ ，解得 ＞ 2. 为整数， 的最小值为3. 月亮队在后面的比赛中至少要胜3场. 课后练习 （3）如果月亮队在后面的比赛中2胜4负，未能出线，那么火炬队在后面的比赛中的战果如何？ [答案] 设火炬队在后面的比赛中胜 场. 由题意得 ＜ ，解得 ＞ 为整数， 或5. 火炬队在后面的比赛中的战果有两种可能： ①4胜1负；②5胜0负. 课后练习 13.某自行车专卖店销售 两种型号的自行车，其进价与售价如下表. 进价（元/辆） 售价（元/辆） 200 260 150 200 课后练习 （1）第一季度，自行车专卖店购进这两种型号的自行车共40辆，用去 了7250元，购进 两种型号的自行车各多少辆？ [答案] 设购进 型号的自行车 辆，则购进 型号的自行车 辆.由题意得 ，解得 购进 型号的自行车25辆， 型号的自行车15辆. 课后练习 （2）为了满足市场需求，第二季度自行车专卖店决定用不超过8600元的资金采购 两种型号的自行车共50辆，且 型号自行车的数量不少于 型号自行车的数量的 ，自行车专卖店有哪几种进货方案？ 课后练习 [答案] 设购进 型号的自行车 辆，则购进 型号的自行车 辆， 取整数.由题意得 解得 可以取值20，21，22，即有3种进货方案： ①购进 型号的自行车20辆， 型号的自行车30辆； ②购进 型号的自行车21辆， 型号的自行车29辆； ③购进 型号的自行车22辆， 型号的自行车28辆. 课后练习 （3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案自行车专卖店赚钱最多. [答案] 由表格可知： 型号自行车一辆可以赚60元， 型号自行车一 辆可以赚50元， 当采用方案①时，可以赚： （元）； 当采用方案②时，可以赚： （元）； 当采用方案③时，可以赚： （元）. ＜ 2710 ＜ 购进 型号的自行车22辆， 型号的自 行车28辆时，自行车专卖店赚钱最多. 课后练习 C组 思维拓展 14.某食堂在开晚餐前有 名同学在食堂排队等候买晚餐，开始卖晚餐 后，仍有学生前来排队买晚餐，设学生前来排队买晚餐的人数按固定速 度增加，食堂每个窗口卖晚餐的速度也是固定的，若开放一个窗口，则 需要 才可使排队等候的学生全部买到晚餐；若同时开放两个窗 口，则需要 就可以使排队等候的学生全部买到晚餐. 课后练习 （1）写出开放一个窗口时，开始卖晚餐后窗口卖晚餐的速度 （人/分 钟）与每分钟新增加学生数 之间的关系. [答案] 由题意得 解得 与 之间的关系为 课后练习 （2）食堂为了提高服务质量，减少学生排队的时间，计划在 内 让排队等候的学生全部买到晚餐，以便后到的学生能随到随买，求至少 需要同时开放几个窗口. [答案] 设同时开放 个窗口.由题意得 ，即 ，解得 为整数， 的最小值为4. 至少需要同时开放4个窗口. $$