期中测试卷02（测试范围：第1-4章）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

2024-2025学年九年级数学上册期中测试卷02（测试范围：第1-4章） 一、单选题 1．已知为外的一个点，且的半径为，则线段的长度可能为（） A． B． C． D． 2．把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是（　　） A． B． C． D． 3．如果二次函数的最小值为，那么的值等于（   ） A．2 B．4 C． D．0 4．已知点P是线段的黄金分割点，若，则为（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，弦于，若，，则直径的长为（   ） A． B． C． D． 6．一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（    ）． A． B． C． D． 7．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，AB为⊙O的直径，C为上一点，AD∥OC， AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC=x°，∠ACD=y°，则下列结论成立的是（    ） A．x+y=90 B．2x+y=90 C．2x+y=180 D．x=y 9．如图，重心为G，和在边上高之比为（    ） A． B． C．2 D．3 10．如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y=x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　） A．﹣2≤h≤ B．﹣2≤h≤1 C．﹣1≤h≤ D．﹣1≤h≤ 二、填空题 11．盒内有6个球的小球，其中白球2个，摸一次摸到白球的概率为 ． 12．若一条抛物线与图象的形状相同且开口向下，顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为 ． 13．如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．    14．如图，扇形中，，连接，以为旋转中心，将旋转得到，若，则阴影部分的面积为 ． 15．点，都在二次函数的图象上.若，则的取值范围为 . 16．如图，是的直径，C为圆上一点，连接是的中点，，若F为弧上的三等分点，且靠近B点，连接，则的最小值为 ． 三、解答题 17．已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 18．一个不透明的袋中装有分别标着汉字“杭”、“州”、“亚”、“运”的四个小球，除标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． (1)从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“杭”的概率是__________． (2)从袋中任摸一球，不放回，再从袋中任摸一球，请用树状图（或列表法）表示出所有可能出现的结果，并求出摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率． 19．如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，， (1)求的度数； (2)若的半径为3．求的面积． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)的外接圆的半径为________； (2)将绕点B顺时针旋转后得到，请在图中画出； (3)在（2）的条件下，求出点C经过的路径长． 21．如图，在等腰直角中，，，点D、E分别在边、上（不与点A、B、C重合），连接、，有． (1)证明：． (2)若，当是等腰三角形时，求的长． 22．根据以下素材，探索完成任务． 绿化带灌溉车的操作方案 素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点． 素材2 路边的绿化带宽米 素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面米到米的高度（包含端点）． 问题解决 任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式 任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗，请说理由 任务3 拟定设计方案 灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针简容易造成针筒脱落．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围． 23．问题提出： 如图1所示，等边内接于，点是上的任意一点，连接．线段满足怎样的数量关系？ 尝试解决： （1）为了解决这个问题，小明给出这样的解题思路：有条件，从而将绕点逆时针旋转交的延长线于点，从而证明，请你完成余下思考，并直接写出答案：的数量关系是______； 自主探索： （2）如图2所示，把原问题中的“等边”改成“正方形”，其余条件不变，与，有怎样的数量关系？请说明理由． 学以致用： （3）如图3所示，在中，，连接，以为底作等腰直角三角形．是边上的一点，连接和，且，求长度．（写出解答过程） ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上册期中测试卷02（测试范围：第1-4章） 一、单选题 1．已知为外的一个点，且的半径为，则线段的长度可能为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得点A在外，点A到圆心的距离大于半径． 【解析】根据题意得OA＞9，只有D项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了点到圆的位置关系，掌握知识点是解题关键． 2．把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，中心对称，由绕O点顺时针旋转180度，即原图形与旋转后的图形关于点O中心对称，据此逐一判断即可． 【解析】 解：把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是选项C的图形． 故选：C． 3．如果二次函数的最小值为，那么的值等于（   ） A．2 B．4 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得图象开口向上，对称轴为，根据当时有最小值，代入计算即可求解． 【解析】解：二次函数的解析式为， ∴图象开口向上，对称轴为， ∴当，二次函数的最小值为， ∴， 解得，， 故选：B ． 4．已知点P是线段的黄金分割点，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金分割点是解题的关键． 根据题意可得，从而得到，即可求解． 【解析】解：∵点P是线段的黄金分割点， ∴， ， ， ， 解得：或（舍去）， 故选：B． 5．如图，是的直径，弦于，若，，则直径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的知识，根据垂径定理可得，，连接，设，则，在直角中根据勾股定理可求出的值，由此即可求解，掌握垂径定理，勾股定理的运用是解题的关键． 【解析】解：如图所示，连接， ∴，， 设，则， 在直角中，， ∴， 解得，，，即 ∴， 故选：D． 6．一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率，列出等式，求出m、n的关系． 【解析】根据概率公式，摸出白球的概率， ， 摸出不是白球的概率， ， 由于二者相同，故有 ， 整理得，m+n=8， 故选：D． 【点睛】此题考查概率公式，解题关键在于掌握如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 7．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答． 【解析】解：∵ ∴ ∴ A、当时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意； B、当时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意； C、当时，可通过“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意； D、当时，无法证明两个三角形相似，故符合题意； 故选：D ． 8．如图，AB为⊙O的直径，C为上一点，AD∥OC， AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC=x°，∠ACD=y°，则下列结论成立的是（    ） A．x+y=90 B．2x+y=90 C．2x+y=180 D．x=y 【答案】A 【分析】连接BC，由AB是直径，得∠ACB=90°.根据圆内接四边形性质得∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°, 由平行线性质得∠BAD=∠BOC= y°，故x+y+90=180. 【解析】连接BC， 因为，AB是直径， 所以，∠ACB=90°. 因为，四边形ADCB是圆的内接四边形， 所以，∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°, 又因为AD∥OC， 所以，∠BAD=∠BOC= x° 所以，x+y+90=180, 所以，x+y=90 故选A 【点睛】本题考核知识点：圆的内接四边形. 解题关键点：熟记圆的内接四边形对角互补和平行线性质. 9．如图，重心为G，和在边上高之比为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，连接并延长交于点，根据重心的性质，得到，进而得到，证明，列出比例式即可得出结果． 【解析】解：连接并延长交于点， ∵重心为G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 10．如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y=x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　） A．﹣2≤h≤ B．﹣2≤h≤1 C．﹣1≤h≤ D．﹣1≤h≤ 【答案】A 【分析】联立y＝x+2与直线y=x，得到点 ，再由抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．可得 ，从而得到抛物线解析式为 ，根据题意可得抛物线过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，然后把点C、B的坐标代入抛物线解析式，即可求解． 【解析】解：把y＝x+2与直线y=x联立得： ，解得：， ∴点 ， 根据题意得抛物线的顶点坐标为 ， 把代入直线y=x，得： ， ∴抛物线解析式为 ， 如图，当抛物线经过点C时， 把点 代入得： ，解得： 或（舍去）， 如图，当抛物线经过点B时， 将点代入得： ，解得： 或（舍去）， 综上所述，抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，h的取值范围是 ． 故选：A 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与形的边AB、BC均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点C是解题解题的关键． 二、填空题 11．盒内有6个球的小球，其中白球2个，摸一次摸到白球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．根据公式计算即可． 【解析】解：总的球数为：6个，其中白球数有2个 ∴从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率为：， 故答案为：． 12．若一条抛物线与图象的形状相同且开口向下，顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，根据抛物线与图象的形状相同且开口向下得到这条抛物线的二次项系数为，再根据顶点坐标即可得到对应的解析式． 【解析】解：∵一条抛物线与图象的形状相同且开口向下， ∴这条抛物线的二次项系数为， 又∵这条抛物线的顶点坐标为， ∴这条抛物线的解析式为， 故答案为：． 13．如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．    【答案】 【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． 14．如图，扇形中，，连接，以为旋转中心，将旋转得到，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积计算，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．连接，，由旋转可知，再由，可知，可得是等边三角形，，故弓形与弓形的面积相等，即可得，即可得出结论． 【解析】解：连接，， ，， ， 由旋转可知， ， ， 是等边三角形， ， ，，， 弓形与弓形的面积相等， ， ，，， ，， ， ． 故答案为：． 15．点，都在二次函数的图象上.若，则的取值范围为 . 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的增减性和对称性，正确理解二次函数的增减性和对称性是解答本题的关键．当时，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，根据二次函数的增减性，的取值范围；当时，抛物线开口向下，A，B两点在对称轴的两侧，根据来比较它们与对称轴的距离大小，即得答案． 【解析】二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大，若，则若，解得； 当时，抛物线开口向下，，所以点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧，由离对称轴越近函数值越大，得：点B离对称轴更近，所以，解得，故m的取值范围为； 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：或． 16．如图，是的直径，C为圆上一点，连接是的中点，，若F为弧上的三等分点，且靠近B点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据垂径定理得，则点E在以为直径的上，可得当P，E，F共线时，有最小值，根据圆的性质得到，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【解析】连接，如图， ∵E是的中点，过圆心， ∴， ∴的中点E在以为直径的上，连接交于点E，此时最小，连接， ∵点F是的三等分点，且靠近点B， ∴， 又∵， ∴是正三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 三、解答题 17．已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1) (2)x的值 【分析】本题考查了比例和比例中项， （1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式进行计算即可得； （2）根据比例中项的定义列式求解即可得 掌握比例和比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即，那么线段b是a和c的比例中项”是解题的关键． 【解析】（1）解：∵， 则设， ∵， ∴， ， ， ∴； （2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ， ， ， 或（舍）， 即x的值． 18．一个不透明的袋中装有分别标着汉字“杭”、“州”、“亚”、“运”的四个小球，除标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． (1)从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“杭”的概率是__________． (2)从袋中任摸一球，不放回，再从袋中任摸一球，请用树状图（或列表法）表示出所有可能出现的结果，并求出摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式，以及列表法或树状图求概率． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】（1）解：由题意得，从袋中摸出一个球，一共有4种可能， 球上的汉字刚好是“杭”的概率就是． 故答案为：． （2）列表如下： 由表格可知，共有12种等可能出现的结果， 其中摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的结果有2种， ∴摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率为． 19．如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，， (1)求的度数； (2)若的半径为3．求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据即可求解； （2）求出的度数可得，过点作交于点连接，分别求出即可求解． 【解析】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， 如图，过点作交于点连接， 则过， 由（1）可得． ∴， ∵的半径为3， ∴， ∴， ∴ 20．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)的外接圆的半径为________； (2)将绕点B顺时针旋转后得到，请在图中画出； (3)在（2）的条件下，求出点C经过的路径长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查求三角形外接圆的半径，勾股定理，旋转作图以及求弧长： （1）根据点的坐标求出的斜边长，即可求出结论； （2）作出点的对应点，然后顺次连接即可得； （3）直接运用弧长公式进行计算即可 【解析】（1）∵， ∴， 设外接圆的半径为，则有：， 故答案为： （2）如图，即为所作， （3）∵， ∴点C经过的路径长 21．如图，在等腰直角中，，，点D、E分别在边、上（不与点A、B、C重合），连接、，有． (1)证明：． (2)若，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由题意，再根据等角的补角相等证明即可证明结论； （2）分三种情况，分别求出的长即可． 【解析】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）解：是等腰三角形，有三种情况： ①当时，， ， ， ， ， 平分， 垂直平分， ； ②当时， 由（1）知，此时与为对应边， ， ， ， 由勾股定理可得， 即， 解得， ， ； ③当时， 此时点重合，点重合，不符合题意，舍去． 故的长为或． 22．根据以下素材，探索完成任务． 绿化带灌溉车的操作方案 素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点． 素材2 路边的绿化带宽米 素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面米到米的高度（包含端点）． 问题解决 任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式 任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗，请说理由 任务3 拟定设计方案 灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针简容易造成针筒脱落．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围． 【答案】任务一：；任务二：灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析；任务三：在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，建议针一般打在离地面大于米且小于或等于米的高度． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求函数值，二次函数的性质； 任务一：待定系数法求解析式，即可求解； 任务二：根据题意，求得下边缘的抛物线解析式为：，分别令，得出抛物线与坐标轴的交点，两交点的距离，即为所求； 任务三：依题意，绿化带正中间种植了行道树，即处种植了行道树，令，求得的值，与题意比较，进而得出结论． 【解析】解：任务一：依题意，设上边缘水流的抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得： ∴抛物线的表达式为： 任务二：∵上边缘水流的抛物线解析式为： 当时， 解得：或（舍去），则抛物线与负半轴的交点坐标为； ∵下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点． ∴下边缘的抛物线解析式为： 当时，， 解得：或（舍去）， 则抛物线与负半轴的交点坐标为； ∵ 而路边的绿化带宽米， ∴灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带； 任务三：上边缘水流的抛物线解析式为：， ∵绿化带正中间种植了行道树，即处种植了行道树 当时，米 而园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面米到米的高度（包含端点）． 则在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，建议针一般打在离地面大于米且小于或等于米的高度． 23．问题提出： 如图1所示，等边内接于，点是上的任意一点，连接．线段满足怎样的数量关系？ 尝试解决： （1）为了解决这个问题，小明给出这样的解题思路：有条件，从而将绕点逆时针旋转交的延长线于点，从而证明，请你完成余下思考，并直接写出答案：的数量关系是______； 自主探索： （2）如图2所示，把原问题中的“等边”改成“正方形”，其余条件不变，与，有怎样的数量关系？请说明理由． 学以致用： （3）如图3所示，在中，，连接，以为底作等腰直角三角形．是边上的一点，连接和，且，求长度．（写出解答过程） 【答案】（1）   （2）；理由见解析  （3） 【分析】（1）先证明，再根据四边形内接于，证明，证明，得到是等边三角形，即可证明． （2）连接，将绕点顺时针转交于点，仿照第一问解答证明即可． （3）将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，延长交于点，则是等腰直角三角形，利用三角形全等，三角形相似的性质计算即可． 【解析】（1）的数量关系是：．理由如下： ∵等边内接于， ∴， ∵绕点逆时针旋转交的延长线于点， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如图1，连接，将绕点顺时针转交于点， 则， ∵四边形为正方形， ， ∴ 在与中， ， ． ， 为等腰直角三角形， ； （3）将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，延长交于点， 则是等腰直角三角形， ， 点共线， 又是等腰直角三角形， ， ， ，即， ．     【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$