特训11 图表素材题（浙江最新精选，第1-4章）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训11 图表素材题（浙江最新精选，第1-4章） 一、解答题 1．（23-24九年级上·浙江·周测）根据以下素材，探索完成任务． 绿化带灌溉车的操作方案 素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点． 素材2 路边的绿化带宽米 素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面米到米的高度（包含端点）． 问题解决 任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式 任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗，请说理由 任务3 拟定设计方案 灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针简容易造成针筒脱落．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围． 2．（22-23八年级下·浙江温州·期中）根据以下信息，探索完成任务． 如何设计种植方案？ 素材1 小明以“种植农作物”为主题在自己家平方米的土地上进行课外实践，现有、两种作物的相关信息如下表所示： 作物 作物 每平方米种植株树（株） 单株产量（千克） 素材2 由于作物植株间距较大，可增加作物每平方米的种植株树．经过调研发现，每平方米种植作物每增加株，作物的单株产量减少千克． 素材3 若同时种植、两种作物，实行分区域种植． 问题解决 单一种植（全部种植作物） 任务1：明确数量关系 设每平方米增加株作物（为正整数），则每平方米有 　 　株，单株产量为 　 　千克．（用含的代数式表示） 任务2：计算产量 要使作物每平方米产量为千克，则每平方米应种植多少株？ 分区种植（种植、两种作物） 任务3：规划种植方案 设这平方米的土地中有平方米用于种植作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米株种植作物，当这平方米总产量不低于千克时，则的取值范围是 　 　． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据以下线索，探索完成任务． 如何绿色环保的达到利润最大化？ 素材1 中国某大型工厂销售一种化工品，其每吨利润m万元与天数x天满足关系．经市场部调研后发现，这种化工品的销售情况如下： 时间x（天） 第1天 第2天 第5天 第7天 第10天 …… 日销售量y（吨） 3 3.2 3.8 4.2 4.8 …… 素材2 第20天时，厂长发现此化工品日销售量趋于稳定，为保证每天都能售完，将第21天起的日生产量控制在6.8千克． 任务1 确定销售模型 利用学过的函数知识，选择一种模型来确定y与x的函数关系式． 任务2 利润最大化 求本月（30天）的日利润W万元哪一天达到最大，最大值为多少？ 任务3 绿色生产 第2个月开始，该工厂引入新技术对化工污染进行处置，使得每吨成本增加a万元，但售价保持不变．假设日销售量和上月对应天数的日销售量相同，前20天的日销售额W万元随着时间x的增大而增大，求a的取值范围． 4．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据背景素材，探索解决问题 如何提高“飞越中华第一瀑布——百丈襟”项目的收入 背景素材 百丈漈风景区位于我县百丈漈镇篁庄村，具有瀑雄、峰奇、湖秀、潭丽、人文景观众多的特点．进入景区北门停车场到服务中心大厅门前，一块“空中看百丈漈”的广告牌非常醒目（如右图所示）． 小团队出行的游客们还可以听到小喇叭播放的团体优惠价：2人团总价666元，3人团总价888元． 项目经理为了提高该项目的收入，对试运行阶段的个人游客数据进行了统计分析，发现按广告牌上的原价经营平均每天大约有10名个人游客；每降价25元，平均每天大约增加1名个人游客．（提示：收入=单价×游客人数） 解决问题 任务1 分析价格 原价是每人__________元；2人团共优惠__________元；3人团每人优惠__________元． 任务2 分析价格影响人数 探索平均每天个人游客人数与单价的关系，求出平均每天个人游客y（人）与单价x（元）的数学表达式． 任务3 提出建议 探索平均每天个人游客收入w（元）与单价的关系，求出平均每天个人游客收入最高时，单价为多少元． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）根据以下信息，探索完成任务. 如何设计种植方案？ 素材1 某校为响应国家政策，在校内100平方米的土地上进行种植课实践，现有、，三种作物的相关信息如表所示.已知5株作物和2株作物的产量共为7千克：10株作物和6株作物的产量共为15千克． 作物 作物 作物 每平方米种植株树（株 2 10 4 单株产量（千克） 1.6 素材2 由于作物植株间距较大，可增加作物每平方米的种植株树.经过实验发现，每平方米种植作物每增加1株，作物的单株产量减少0.1千克.而，单株产量不发生变化． 素材3 若同时种植，，三种作物，实行分区域种植． 问题解决 任务1 确定单株产量 求，的值． 单一种植 （全部种植作物） 任务2 预估种植策略 要使作物每平方米产量为4千克，则每平方米应种植多少株？ 分区种植 （种植，，三种作物） 任务3 规划种植方案 设这100平方米的土地中有平方米用于种植作物，且每平方米的产量最大：有平方米用于种植作物，剩余的全用来种植作物，，均为正整数.当这100平方米总产量为577千克时，求这三种作物的种植方案． 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）综合实践 草莓种植大棚的设计 生活 背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间． 建立 模型 如图，已知某草莓园的种植大棚横截面由抛物线和矩形，其中点为抛物线的顶点，大棚最高处离地面，宽，．现以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 任务一 求抛物线的解析式． 任务二 已知，照明灯到地面的距离均为，求灯之间的水平距离． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）根据背景素材，探索解决问题． 测算拉索桥立柱的高 素材1 一条桥身形状和抛物线相同的拉索桥，桥的跨径的水平距离为22米，点和点处于同一水平线． 素材2 （1）桥的两根主立柱和拉出铁索固定桥身，两个立柱中间共有10根拉索（如图）；（2）立柱和铁索与桥身的边境点水平等距分布（即相邻的两个连接点的水平距离相等）； 问题解决 任务1 建立模型 以点为原点，水平线为轴，以1米为一个单位长度，建立直角坐标系，根据素材1求桥身模型的函数解析式． 任务2 利用模型 根据任务1所求的解析式模型，分别求点、的坐标． 8．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）根据以下素材，探索完成任务 如何调整足球的发球方向 素材1 如图是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，足球运动的路线是抛物线的一部分．      素材2 如图，当足球运动到最高点时，高度为，即，此时水平距离，以点A为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系．    素材3 距离球门正前方处放置一块矩形拦网，拦网面垂直于地面，且，拦网高． ．   问题解决 任务1 结合素材1，2，求足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式． 任务2 结合素材1，2，小梅不改变发球的方向，射门路线的形状和最大高度保持不变．此时足球能否进入球门？若不能进入，他应该带球向正后方至少移动多少米射门才能让足球进入球门． 任务3 结合以上素材，小梅站在处，只改变发球方向，射门路线的形状和最大高度保持不变，请探求此时足球能否越过拦网，在点处进入球门． 上述任务1、任务2、任务3中球落在门柱边线视同足球进入球门 9．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）根据下列素材，完成相应任务 仓储品装容的优化设计 素材1 如图1是某个仓库，图2是其横截面的示意图，已知墙体米，米，水平距离米，其顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系后它可以近似地用函数 表示 素材2 图3是棱长为的立方体仓储品，将四件一样的仓储品如图4所示叠放在处，．当叉车要取货物时，需要将其向上抬升，沿水平方向移动1米后取出． 素材3 如图5，为保证能够用叉车安全顺利地搬运和放置仓储品进出仓库，需设计三条宽度为2米的过道，以及在过道之间设计两块宽度不少于2米的仓储区域． 要求： ①靠近过道的仓储品需从就近过道搬运，其余可从左或右搬运． ②尽可能多的装容仓储品． 问题解决 任务1 确定顶部形状 求仓库离地的最大距离． 任务2 确定摆放高度 当米时，试分别判断叉车能否从左边或右边取出？请说明理由． 任务3 设计最优方案 已知该仓库的长为50米，请你根据素材和要求设计：仓储区 米， 米，仓库最大仓储品容量为 件． 10．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）根据以下素材，探究完成任务 设计求碗中面汤液面宽度的方案 素材1 图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计）碗高，碗底宽，当瓷碗中装满面汤时，液面宽，此时面汤最大深度． 素材2 如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当点离距离为时停止． 问题解决 任务1 确定碗体形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 拟定设计方案1 根据图2位置，把碗中面汤喝掉一部分，当碗中液面高度（离桌面距离）为时，求此时碗中液面宽度． 任务3 拟定设计方案2 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗中液面宽度． 11．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何选择合适的跳台高度？ 素材1 跳台滑雪是运动员借助速度和弹跳力，沿着跳台下滑，并从起跳点腾空，在空中沿抛物线飞行至着陆坡．图1是某小型跳台滑雪训练场的实物图，图2是其横截面示意图，以地面的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，其最左端位于点的正上方米处，最右端在水平线上，且最高点在距点水平距离8米处．      素材2 小雪从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．该滑雪场有若干个跳台高度不同，小山坡完全相同的训练场地，在不同场地滑行时，小雪滑行的抛物线形状不变． 问题解决 任务1 确定滑行路径 求的值； 任务2 确定山坡形状 当小雪滑行到离处的水平距离为11米时，恰好落在小山坡上，求抛物线的函数表达式； 任务3 选择跳台高度 若小雪选择的跳台高度增加了米，请判断在该训练场地滑行时是否会落在小山坡上． 12．（23-24九年级上·浙江温州·期末）阅读素材，完成任务． 测试机器人行走路径 素材一 图1是某校科技兴趣小组设计的一个可以帮助餐厅上菜的机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．如图为机器人所走的路径．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行（表示第次行走的路程），再逆时针旋转，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为，所走路径形成的封闭图形的面积为S． 素材二 如图2，当每次直行路程均为1（即），时，机器人的运动路径为，机器人共走的路程，由图2图3易得所走路径形成的封闭图形的面积为． 素材三 如图4，若，机器人执行六次指令后回到起点处停止． 解决问题 任务 固定变量 探索变量 探索内容 任务一 直行路程 旋转角度与路程 任务二 旋转角度 直行路程 若，求与的值． 任务三 旋转角度，路程 路径形成的封闭图形面积S． 若，请直接写出与之间的数量关系，并求出当S最大时的值． 13．（23-24九年级上·浙江温州·期末）根据背景素材，探索解决问题． 测算拉索桥立柱的高 素材1 一条桥身形状和抛物线相同的拉索桥，桥的跨径OH的水平距离为22米，点O和点H处于同一水平线． 素材2 （1）桥的两根主立柱AB和GL拉出铁索固定桥身，两个立柱中间共有10根拉索（如图）；（2）立柱和铁索与桥身的连接点水平等距分布（即相邻的两个连接点的水平距离相等）：（3）经测量拉索AC与水平线CE成角，从左侧第3个拉索连接点D射出的探测光线DP交立柱AB于点P，从连接点C射出的探测光线CB交立柱于点B，且． 问题解决 任务1 建立模型 以点O为原点，水平线为x轴，以1米为一个单位长度，建立直角坐标系，根据素材1求桥身模型的函数解析式． 任务2 利用模型 根据任务1所求的解析式模型，分别求点D、C的坐标． 任务3 分析计算 若点P恰好为OB中点，根据素材2及任务1和任务2得到的函数模型和数据，求立柱AB的高度． 14．（23-24九年级上·浙江温州·期中）阅读材料，回答问题： 如何拟定运动员拍照记录的方案？ 素材 图是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点到之间的滑道呈抛物线型．已知，，且点处于跳台滑道的最低处． 素材 如图，某运动员从点滑出后的路径满足以下条件： 运动员滑出路径与之间的抛物线形状相同． 该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点． 落点在底面下方竖直距离． 素材 高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图，有一台摄像机进行跟踪拍摄： 它与点位于同一高度，且与点距离； 运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为； 在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比例系数和俯角的函数关系如图所示. 问题解决 任务 确定，之间滑道的形状 在图中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式． 任务 确定运动员达到最高点的位置 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点的水平距离． 任务 确定拍摄俯角 若要求运动员的落点必须在摄像机的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？ 15．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据素材回答问题： 素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，，且与的距离为10米，与的距离为8米．    素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 任务2 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．      若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．    项目反思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．    16．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务． 如何探测弹射飞机的轨道设计 素材1 图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x与飞行时间t的函数关系式为：、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）的变化满足二次函数关系，数据如表所示．                （图1） 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行高度 0 10 16 18 16 … 素材2 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为飞机回收区域，已知，．                 （图2） 问题解决 任务1 确定函数表达式 求y关于t的函数表达式 任务2 探究飞行距离 当飞机落地（高度为）时，求飞机飞行的水平距离． 任务3 确定弹射口高度 当飞机落到内（不包括端点A，B），求发射台弹射口高度（结果为整数） 17．（22-23八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材 定义：如图，点将线段分成两部分，如果，那么点称为线段的黄金分割点． 素材 某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成面积分别为，的两部分，如果，那么直线称为该图形的黄金分割线． 素材 平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图中的绕的中点旋转后与原三角形组成一个平行四边形如图．    问题解决 任务 问题：如图，边上黄金分割点旋转后的对称点是否也是边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由． 问题：直线是不是四边形的黄金分割线？请写出你的判断结论：______ ． 任务 请在图探索：边上是否存在点，使得直线是四边形的黄金分割线？如果存在，请说明点的位置；如果不存在，请说明理由． 任务 兴趣小组探索图时猜想：在中，若点为边上的黄金分割点，连接，则直线是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ 任务 兴趣小组探索图时还发现：若点是的边的黄金分割点，过点任意作一条直线交于点，再过点作交于点，则直线是的黄金分割线，请你给出证明． 18．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务． 如何制定大棚间作方案？ 素材1 通过分垄交替种植农作物的方法叫大棚分垄间作，分垄间作通过减少光能浪费、作物间的互补作用来提高产量.如图1是一个长米，宽米的大棚，如图2，每一垄的宽度叫作垄宽，木薯垄与花生垄垄宽比为，两种作物交替（垄与垄之间没有空隙）布满整个大棚．    素材2 经调查，大棚分垄间作时，木薯的单位产量基本稳定在素，花生的单位产量y（）与垄宽x（m）有近似的二次函数关系如图3所示. 种植时，要求花生单位产量不低于．      问题解决 任务1 确定函数关系 求花生单位产量y关于花生垄宽x的函数表达式． 任务2 探究垄宽范围 根据要求，分别计算木薯垄和花生垄的垄宽范围． 任务3 拟定分垄方案 请你结合评价标准设计一种符合要求的分垄方案，填写木薯垄、花生垄的数量及产量之和． 花生垄个数： ； 木薯垄个数： ； 产量之和： ． 19．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务． 如何制定大棚间作方案？ 素材 通过分垄交替种植农作物的方法叫大棚分垄间作，分垄间作通过减少光能浪费、作物间的互补作用来提高产量如图是一个长米，宽米的大棚，如图，每一垄的宽度叫作垄宽，木薯垄与花生垄垄宽比为：，两种作物交替（垄与垄之间没有空隙）布满整个大棚． 素材 经调查，大棚分垄间作时，木薯的单位产量基本稳定在，花生的单位产量（）与垄宽（）有近似的二次函数关系如图所示，种植时，要求花生单位产量不低于． 问题解决 任务 确定函数关系 求花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式． 任务 探究垄宽范围 根据要求，分别计算木薯垄和花生垄的垄宽范围． 任务 拟定分垄方案 请你结合评价标准设计一种符合要求的分垄方案，填写木薯垄、花生垄的数量及产量之和． 花生垄个数：______； 木薯垄个数：______； 产量之和：______． 评价标准 优秀方案：； 良好方案：； 合格方案：． 注意：Q（）为产量之和! 20．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定酒精喷雾机的有效杀菌距离? 素材1 图1是一款电动酒精喷雾机、其上下 喷孔相距、L是一竖直放 置的平面．喷雾机正对平面喷雾时（如图2）、平面上会形成两个半径为的圆形痕迹（如图3），喷洒后酒精均匀分布、当点与平面的水平距离时，（取3）    素材2 不考虑喷洒过程中酒精在空气中的损耗，喷雾机两孔一次共可喷出酒精．查询资料可知，杀菌百分比和喷洒密度的关系如图4所示．    素材3 经过一次喷洒，当被喷洒平面的杀菌百分比达到70%及以上时，杀菌有效 问题解决 任务1 当被喷洒平面经过点时，确定此时的值． 任务2 ①当被喷洒平面上痕迹未有重叠部分时，为保证杀菌有效，请确定的范围 ②当被喷洒平面上痕迹有重叠部分时，重叠部分密度是未重叠部分的2倍、为了使有效杀菌面积最大，______． 21．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定拱桥形状？ 问题 背景 图是一座拱桥，其形状与抛物线和圆形相似． 为了定量的确定拱桥形状，九年（8）班数学、科学项目化学习小组联合开展了本次活动．    素材一 小晨认为可以在桥下不同的位置，用卷尺测量水面到桥的垂直距离（记为），进而确定形状． 经过测量，数学组绘制了图，并得到水面宽为，拱顶离水面的距离为4． 的地方测得 素材二 科学组发现在船上使用卷尺十分不便，所以决定使用激光三角测距法测量． 其测量流程如下： 1．在一个底部挖空的圆柱形薯片盒上安装放大镜（焦距），并在一侧的同一高度放置一枚激光笔．另一端盖上瓶盖（半径）； 2．让激光垂直照射拱桥，光线会在拱桥发生漫反射，并经过放大镜光心（即圆心），再在瓶盖上形成一个光斑（记为点）； 3．测量光斑中心到瓶盖中心的距离，根据公式计算得到的值． 注：薯片盒的高度等于焦距． 忽略测量装置与水面的间距和激光发射点到放大镜边缘的距离．    问题解决 任务一 若拱桥呈圆形，且小晨测得，求他到点的距离． 任务二 请在测量示意图（图）中，画出光的传播路径，并直接写出公式的获得原理． 任务三 若小豪在距离点，的地方测得，请在图中建立平面直角坐标系，通过计算判断拱桥是否呈抛物线形． 项目复盘 科学组在实际操作时发现，激光三角测距法相比直接测量的方法有一定的缺点． 请结合生活经验及相关科学知识，写出一条可能造成误差的原因． 22．（2024·浙江·二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 23．（2024·浙江杭州·模拟预测） 设计喷水方案 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为米       素材2 如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置，要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱(如图3)，乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 (如图4)．    问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置(图3)，为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，不能再升高，求此时的最高高度． 任务3 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置(图4)，为了美观，要求喷出的水柱高度不低于，求喷水装置高度的变化范围． 24．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）根据以下情境信息，探索完成任务． 公路涵洞改造方案的设计与解决 情境1 图1是某公路涵洞，图2是其截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．测得公路宽，涵洞直壁高，涵洞顶端高出道路（）（即）． 情境2 现需对公路进行拓宽，改造成双向隔离车道，并同步拓宽涵洞，中间设置宽为的隔离带，两边为机动车道．如图3，改造后的公路宽，涵洞直壁高和涵洞顶端到的距离保持不变．    改造方案 方案一 如图4，将涵洞上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式．    方案二 如图5，将涵洞上半部分劣弧改造成仍为劣弧的形式    问题解决 任务1 按方案一改造 以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 按方案二改造 求涵洞上半部分劣弧所在圆的半径． 任务3 隔离带最大宽度的确定 要使高，宽的货运车能通过此公路涵洞，分别求出两种改造方案下的最大值（，，结果精确到）． 25．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 探究主题 直角三角板与圆 探究背景 学习了《圆周角》中的推论：“直径所对的圆周角等于”后，全班各研究小组用直角三角板开启了数学探究之旅——研究直角三角板的直角顶点在圆上、圆外和圆内三种情况(如图1)，具体研究如图1． 探究任务1 找到画直径的简单方法：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径．请你说出其中原理：______． 探究任务2 用电脑作图工具，对直角顶点在圆外的情况进行动态模拟，发现：无论直角顶点在圆外如何运动，只要两直角边与圆有两个交点，两条直角边所夹的两段弧的度数差不变，为．如图，若，则，研究小组对提出的结论进行证明： 证：如图，连接 ，， 又， ． ． 探究任务：运用以上研究结论，请用没有刻度的直尺，在图2的圆上截取一段弧等于，根据作图写出结论：=______． 探究任务3 当直角顶点运动到圆内时如图4，直角并反向延长两边交圆于，两点，形成互相垂直的弦．请观察图4类比探究任务2，对直角及其对顶角所对两段弧的数量关系，提出自己的猜想，并证明． 你的猜想：______．(可以用文字描述，也可以结合图形用几何语言描述) 证明：… 探究任务4 各研究小组进行拓展研究比赛，其中高斯研究小组提出问题：如图5，若弦，，，，求圆的直径． 比赛评分标准如表： ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训11 图表素材题（浙江最新精选，第1-4章） 一、解答题 1．（23-24九年级上·浙江·周测）根据以下素材，探索完成任务． 绿化带灌溉车的操作方案 素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点． 素材2 路边的绿化带宽米 素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面米到米的高度（包含端点）． 问题解决 任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式 任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗，请说理由 任务3 拟定设计方案 灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针简容易造成针筒脱落．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围． 【答案】任务一：；任务二：灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析；任务三：在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，建议针一般打在离地面大于米且小于或等于米的高度． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求函数值，二次函数的性质； 任务一：待定系数法求解析式，即可求解； 任务二：根据题意，求得下边缘的抛物线解析式为：，分别令，得出抛物线与坐标轴的交点，两交点的距离，即为所求； 任务三：依题意，绿化带正中间种植了行道树，即处种植了行道树，令，求得的值，与题意比较，进而得出结论． 【解析】解：任务一：依题意，设上边缘水流的抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得： ∴抛物线的表达式为： 任务二：∵上边缘水流的抛物线解析式为： 当时， 解得：或（舍去），则抛物线与负半轴的交点坐标为； ∵下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点． ∴下边缘的抛物线解析式为： 当时，， 解得：或（舍去）， 则抛物线与负半轴的交点坐标为； ∵ 而路边的绿化带宽米， ∴灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带； 任务三：上边缘水流的抛物线解析式为：， ∵绿化带正中间种植了行道树，即处种植了行道树 当时，米 而园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面米到米的高度（包含端点）． 则在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，建议针一般打在离地面大于米且小于或等于米的高度． 2．（22-23八年级下·浙江温州·期中）根据以下信息，探索完成任务． 如何设计种植方案？ 素材1 小明以“种植农作物”为主题在自己家平方米的土地上进行课外实践，现有、两种作物的相关信息如下表所示： 作物 作物 每平方米种植株树（株） 单株产量（千克） 素材2 由于作物植株间距较大，可增加作物每平方米的种植株树．经过调研发现，每平方米种植作物每增加株，作物的单株产量减少千克． 素材3 若同时种植、两种作物，实行分区域种植． 问题解决 单一种植（全部种植作物） 任务1：明确数量关系 设每平方米增加株作物（为正整数），则每平方米有 　 　株，单株产量为 　 　千克．（用含的代数式表示） 任务2：计算产量 要使作物每平方米产量为千克，则每平方米应种植多少株？ 分区种植（种植、两种作物） 任务3：规划种植方案 设这平方米的土地中有平方米用于种植作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米株种植作物，当这平方米总产量不低于千克时，则的取值范围是 　 　． 【答案】任务一：，；任务二：每平方米应种植株或株；任务三： 【分析】任务一：根据题意直接得出结论； 任务二：根据单株产量每平米的株数列出方程，解方程即可； 任务三：现根据种植作物每平米的产量单株产量每平米的株数列出函数解析式，根据函数的性质求出种植作物每平米的最高产量，再根据平米种植作物和作物的产量之和列出不等式，解不等式即可． 【解析】解：任务一：设每平方米增加株作物（为正整数），则每平方米有株，单株产量为千克， 故答案为：，； 任务二：根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∴或， 答：每平方米应种植株或株； 任务三：设种植作物每平方米的产量为千克， 根据题意得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴种植作物每平方米最大产量为千克， 根据题意得：， 解得， 则的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数，一元二次方程以及一元一次不等式的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据以下线索，探索完成任务． 如何绿色环保的达到利润最大化？ 素材1 中国某大型工厂销售一种化工品，其每吨利润m万元与天数x天满足关系．经市场部调研后发现，这种化工品的销售情况如下： 时间x（天） 第1天 第2天 第5天 第7天 第10天 …… 日销售量y（吨） 3 3.2 3.8 4.2 4.8 …… 素材2 第20天时，厂长发现此化工品日销售量趋于稳定，为保证每天都能售完，将第21天起的日生产量控制在6.8千克． 任务1 确定销售模型 利用学过的函数知识，选择一种模型来确定y与x的函数关系式． 任务2 利润最大化 求本月（30天）的日利润W万元哪一天达到最大，最大值为多少？ 任务3 绿色生产 第2个月开始，该工厂引入新技术对化工污染进行处置，使得每吨成本增加a万元，但售价保持不变．假设日销售量和上月对应天数的日销售量相同，前20天的日销售额W万元随着时间x的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】任务1：； 任务2：本月（30天）的日利润W万元第20天达到最大，最大值万元； 任务3： 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． 任务1：利用猜想y与x之间是一次函数关系，设，利用待定系数法求出函数解析式，并验证即可； 任务2：分和两种情况分别进行求解即可； 任务3：根据任务2得到二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【解析】解：任务1：由表格中的数据可知y与x之间是一次函数关系，设， 当时，；当时，，则 ， 解得 ∴y与x之间的关系式是， 当时，； 当时，， 当时，， 即一次函数模型成立， ∴y与x的函数关系式为． 任务2：由题意得，当时，， 令，得 ∴对称轴 ∵ ∴当时，随着x的增大增大， ∴当时，此时， 取得最大值为：（万元） 即本月前20天的日利润W万元第20天达到最大，最大值为万元； 当时，， ∵ ∴当时，随着x的增大而减小， 综上可知，本月（30天）的日利润W万元第20天达到最大，最大值万元； 任务3：由题意可得， 令，得 ∴对称轴 ∵前20天的日销售额W'万元随着时间x的增大而增大 ∴，且， 解得， 即a的取值范围为． 4．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据背景素材，探索解决问题 如何提高“飞越中华第一瀑布——百丈襟”项目的收入 背景素材 百丈漈风景区位于我县百丈漈镇篁庄村，具有瀑雄、峰奇、湖秀、潭丽、人文景观众多的特点．进入景区北门停车场到服务中心大厅门前，一块“空中看百丈漈”的广告牌非常醒目（如右图所示）． 小团队出行的游客们还可以听到小喇叭播放的团体优惠价：2人团总价666元，3人团总价888元． 项目经理为了提高该项目的收入，对试运行阶段的个人游客数据进行了统计分析，发现按广告牌上的原价经营平均每天大约有10名个人游客；每降价25元，平均每天大约增加1名个人游客．（提示：收入=单价×游客人数） 解决问题 任务1 分析价格 原价是每人__________元；2人团共优惠__________元；3人团每人优惠__________元． 任务2 分析价格影响人数 探索平均每天个人游客人数与单价的关系，求出平均每天个人游客y（人）与单价x（元）的数学表达式． 任务3 提出建议 探索平均每天个人游客收入w（元）与单价的关系，求出平均每天个人游客收入最高时，单价为多少元． 【答案】398；130；102；；当降价75元，即时，w取得最大值 【分析】本题考查了一函数解析式的确定，构造二次函数求最值 任务1根据广告信息，得单价为398元，故2人费用为796元，优惠元；故3人费用为1194元，优惠元计算即可． 任务二：原始人数为10人，增加人数为，总人数等于原始人数+增加人数，列式即可． 任务三：根据收入等于单价乘以人数，构造二次函数解答即可． 【解析】任务1：根据广告信息，得单价为398元， 故2人费用为796元，优惠元； 故3人费用为1194元，每人优惠元， 故答案为：398；130；102．                 任务二：根据题意，原始人数为10人，增加人数为，总人数等于原始人数+增加人数， ∴， 故． 任务三：根据题意，得， ， 当时，降价元，w取得最大值， 又∵每次降价幅度为25元， ∴当降价75元，即时，w取得最大值． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）根据以下信息，探索完成任务. 如何设计种植方案？ 素材1 某校为响应国家政策，在校内100平方米的土地上进行种植课实践，现有、，三种作物的相关信息如表所示.已知5株作物和2株作物的产量共为7千克：10株作物和6株作物的产量共为15千克． 作物 作物 作物 每平方米种植株树（株 2 10 4 单株产量（千克） 1.6 素材2 由于作物植株间距较大，可增加作物每平方米的种植株树.经过实验发现，每平方米种植作物每增加1株，作物的单株产量减少0.1千克.而，单株产量不发生变化． 素材3 若同时种植，，三种作物，实行分区域种植． 问题解决 任务1 确定单株产量 求，的值． 单一种植 （全部种植作物） 任务2 预估种植策略 要使作物每平方米产量为4千克，则每平方米应种植多少株？ 分区种植 （种植，，三种作物） 任务3 规划种植方案 设这100平方米的土地中有平方米用于种植作物，且每平方米的产量最大：有平方米用于种植作物，剩余的全用来种植作物，，均为正整数.当这100平方米总产量为577千克时，求这三种作物的种植方案． 【答案】（1）的值分别为，；（2）每平方米应种植4株或10株；（3）第一种，种植A作物28平方米，种植B作物15平方米，种植C作物57平方米；第二种：种植A作物14平方米，种植B作物30平方米，种植C作物56平方米． 【分析】本题考查了二元一次方程组，二次函数的实际应用，读懂题意列出关系式是解答本题的关键． （1）根据题意，列出方程组解答即可； （2）根据题意列出，解答即可； （3）根据题意列出关于a、b的关系式，依据a、b取正整数，推出种植方案即可． 【解析】解：任务1：由题意可得：， 解得：， 答：x，y的值分别为，； 任务2：每平方米种植A作物每增加m株， 由题意可得：， 解得：， ， ∴每平方米应种植4株或10株； 任务3：， ∴A作物每平方米的最大产量为千克， 由题意可得：， ， ∵a，b均为正整数， ∴①，②， 共有两种方案：第一种，种植A作物28平方米，种植B作物15平方米，种植C作物57平方米； 第二种：种植A作物14平方米，种植B作物30平方米，种植C作物56平方米． 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）综合实践 草莓种植大棚的设计 生活 背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间． 建立 模型 如图，已知某草莓园的种植大棚横截面由抛物线和矩形，其中点为抛物线的顶点，大棚最高处离地面，宽，．现以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 任务一 求抛物线的解析式． 任务二 已知，照明灯到地面的距离均为，求灯之间的水平距离． 【答案】任务一：；任务二：． 【分析】任务一：由题意得抛物线的顶点为，然后利用待定系数法求解即可； 任务二：当时，即，解方程求出的值，求出的横坐标即可； 本题考查了二次函数的应用，读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键． 【解析】解：任务一：由题意得抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 又∵抛物线过， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 任务二：当时，即， 解得：， ∴的横坐标分别为，， ∴， 答：两灯间的水平距离为． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）根据背景素材，探索解决问题． 测算拉索桥立柱的高 素材1 一条桥身形状和抛物线相同的拉索桥，桥的跨径的水平距离为22米，点和点处于同一水平线． 素材2 （1）桥的两根主立柱和拉出铁索固定桥身，两个立柱中间共有10根拉索（如图）；（2）立柱和铁索与桥身的边境点水平等距分布（即相邻的两个连接点的水平距离相等）； 问题解决 任务1 建立模型 以点为原点，水平线为轴，以1米为一个单位长度，建立直角坐标系，根据素材1求桥身模型的函数解析式． 任务2 利用模型 根据任务1所求的解析式模型，分别求点、的坐标． 【答案】任务1：平面直角坐标系见解析，抛物线的解析式为；任务2：， 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确求出函数解析式是解此题的关键． 任务1：由题意得出抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； 任务2：由题意可得：线段被均分成条相等的线段，每段长为（米），则点的横坐标为，点的横坐标为，分别代入和计算即可得解． 【解析】解：任务1：如图所示： ∵抛物线经过，， ∴抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的解析式为， 代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 任务2：由题意可得：线段被均分成条相等的线段，每段长为（米）， 则点的横坐标为，点的横坐标为， 当时，，即， 当时，，即． 8．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）根据以下素材，探索完成任务 如何调整足球的发球方向 素材1 如图是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，足球运动的路线是抛物线的一部分．      素材2 如图，当足球运动到最高点时，高度为，即，此时水平距离，以点A为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系．    素材3 距离球门正前方处放置一块矩形拦网，拦网面垂直于地面，且，拦网高． ．   问题解决 任务1 结合素材1，2，求足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式． 任务2 结合素材1，2，小梅不改变发球的方向，射门路线的形状和最大高度保持不变．此时足球能否进入球门？若不能进入，他应该带球向正后方至少移动多少米射门才能让足球进入球门． 任务3 结合以上素材，小梅站在处，只改变发球方向，射门路线的形状和最大高度保持不变，请探求此时足球能否越过拦网，在点处进入球门． 上述任务1、任务2、任务3中球落在门柱边线视同足球进入球门 【答案】任务一：足球运动轨迹抛物线的函数表达式为 任务二：向正后方移动1米射门 任务三：能在处入网 【分析】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，灵活应用解析式解答改变发球方向后是否通过拦网是解答本题的关键． 任务1：设抛物线顶点式，将点代入求出值，继而得到抛物线解析式； 任务2：求出时的值，和球门的高度进行比较即可得到能否进入，设平移后抛物线解析式代入点即可得到平移距离； 任务3：画出图形，拦网在点处，分别求出改变线路后拦网所在位置距离点的距离及点的距离，分别代入任务1 的解析式中，看值是否大于拦网高度即可判断能否入网． 【解析】解：任务一：由题意得抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 抛物线经过点， ， 解得， ， 足球运动轨迹抛物线的函数表达式为 任务二：当时，即时，， 足球不能进入球网， 小梅带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为： 把点代入得：， 解得（舍去）或， 向正后方移动1米射门 任务三：如图构造三角形，     由题意可知：，，， ， ， 当时，， 能过拦网． 当时，， 能在处入网． 9．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）根据下列素材，完成相应任务 仓储品装容的优化设计 素材1 如图1是某个仓库，图2是其横截面的示意图，已知墙体米，米，水平距离米，其顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系后它可以近似地用函数 表示 素材2 图3是棱长为的立方体仓储品，将四件一样的仓储品如图4所示叠放在处，．当叉车要取货物时，需要将其向上抬升，沿水平方向移动1米后取出． 素材3 如图5，为保证能够用叉车安全顺利地搬运和放置仓储品进出仓库，需设计三条宽度为2米的过道，以及在过道之间设计两块宽度不少于2米的仓储区域． 要求： ①靠近过道的仓储品需从就近过道搬运，其余可从左或右搬运． ②尽可能多的装容仓储品． 问题解决 任务1 确定顶部形状 求仓库离地的最大距离． 任务2 确定摆放高度 当米时，试分别判断叉车能否从左边或右边取出？请说明理由． 任务3 设计最优方案 已知该仓库的长为50米，请你根据素材和要求设计：仓储区 米， 米，仓库最大仓储品容量为 件． 【答案】任务1：仓库离地的最大距离为6.35；任务2：可以从右边取出，理由见解析；任务3：2，4，1900 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用—几何问题；二次函数的实际应用—拱桥问题： 任务一：利用已知条件可得到点A，B的坐标，再把A、B两点的坐标代入二次函数解析式中可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到函数解析式，再利用二次函数的性质，可求出y的最大值． 任务二：分别将代入函数解析式，分别求出对应的y的值，再比较大小，可作出判断． 任务三：为求仓储区面积最大，故反面则为过道区尽可能小，结合函数对称性及整数位置对应函数值进行高度判断，找出最小的过道布置即可 【解析】解：任务1：∵米，米，水平距离米，其顶部的轮廓为抛物线的一部分 ， ∴点，点， ∵点A，B在函数上， ∴解得：， 所以函数解析式为， ∵抛物线的开口向下， ∴当时． ∴仓库离地的最大距离为6.35． 任务二：∵ ．当叉车要取货物时，需要将其向上抬升，沿水平方向移动1米后取出，； 当时，， ∴无法从左边取出， 当时，， 当时，， ∴可以从右边取出； 任务3：为使得仓储区越大，过道区所占平面应尽可能小，即三块2米的过道，尽可能布设在较小的区域内， 记表示不超过y的最大整数． 由（1）得：， 可计算整数格大致高度，如下， x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 5 5 6 6 6 6 5 5 5 仓储数/件 4 5 5 5 6 6 6 6 5 5 5 在时，由对称可知，结合计算与对称性， 当时与时其对应y值相同，即仓库高度相同； ∴有时，；或时，；时，； 故最少的过道占地为： ①第一块过道，即时，根据题意，此时必然是仓储区， 故至少剩余， 同理，为使得过道尽可能少，此时和所占高度为5米，其余所占高度为6米， ②第二块过道，即及第三块过道为即， 故最后仓储区剩余空间最大，其仓储平面区域为放4件，放5件，或放6件，放5件． 综上所述，仓储区容量为：(件) 故设计要求为：，最大容量为1900件． 故答案为：2，4，1900 10．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）根据以下素材，探究完成任务 设计求碗中面汤液面宽度的方案 素材1 图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计）碗高，碗底宽，当瓷碗中装满面汤时，液面宽，此时面汤最大深度． 素材2 如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当点离距离为时停止． 问题解决 任务1 确定碗体形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 拟定设计方案1 根据图2位置，把碗中面汤喝掉一部分，当碗中液面高度（离桌面距离）为时，求此时碗中液面宽度． 任务3 拟定设计方案2 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗中液面宽度． 【答案】任务1：以为轴，为轴建立直角坐标系，可得抛物线解析式为；任务2：；任务3： 【分析】任务1：本题建立以为轴，为轴建立直角坐标系，根据题干条件给出、、的坐标，再利用待定系数法求解即可． 任务2：本题通过液面高度确定液面的纵坐标，再利用解析式给出液面两端的横坐标，即可求解． 任务3：本题仍建立以为轴，为轴建立直角坐标系，通过相似的性质给出点的坐标，再利用待定系数法给出直线解析式，通过直线和抛物线求得交点的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离，即可解题． 【解析】任务1： 解：以为轴，为轴建立直角坐标系，如图所示： ，，，，， 设抛物线的解析式为，将点代入解析式，有，解得， 抛物线解析式为． 任务2： 解：，又碗中液面高度（离桌面距离）为， 这时液面的纵坐标为， 当时，有，解得，， 则液面宽度为．　 任务3： 解：仍以为轴，为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点，交于点，作于点， 由题知，轴，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得，即， 设直线的解析式为， 有，解得， ，又为直线和抛物线的交点， 则，解得，， 当时，， ， （）． 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质和判定、勾股定理和求直线与抛物线的交点问题，解题的关键在于将实际数据变为直角坐标系中的数据，再利用函数的性质即可解题． 11．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何选择合适的跳台高度？ 素材1 跳台滑雪是运动员借助速度和弹跳力，沿着跳台下滑，并从起跳点腾空，在空中沿抛物线飞行至着陆坡．图1是某小型跳台滑雪训练场的实物图，图2是其横截面示意图，以地面的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，其最左端位于点的正上方米处，最右端在水平线上，且最高点在距点水平距离8米处．      素材2 小雪从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．该滑雪场有若干个跳台高度不同，小山坡完全相同的训练场地，在不同场地滑行时，小雪滑行的抛物线形状不变． 问题解决 任务1 确定滑行路径 求的值； 任务2 确定山坡形状 当小雪滑行到离处的水平距离为11米时，恰好落在小山坡上，求抛物线的函数表达式； 任务3 选择跳台高度 若小雪选择的跳台高度增加了米，请判断在该训练场地滑行时是否会落在小山坡上． 【答案】[任务一]；[任务二]；[任务三] 小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数的平移，求抛物线与坐标轴的交点坐标； [任务一]待定系数法求解析式即可求解； [任务二]设抛物线的函数表达式为，根据抛物线求出落地点坐标，然后将，代入解析式，即可求解； [任务三]先求得跳台增高后的解析式，再令，解方程得出的值，令抛物线中，解方程得出的值，比较，即可求解． 【解析】解：[任务一]将代入抛物线，得， 解得： [任务二]由[任务一]可得抛物线， 当时，，则落地点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将，代入得， ， 解得：， ∴； [任务三] 小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上， ∵跳台高度增加了米， ∴跳台增高后的解析式为 当时，， 解得：（舍去） 即小雪落地时距离点， 对于 当时，， 解得：（舍去） ∵ ∴小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上， 12．（23-24九年级上·浙江温州·期末）阅读素材，完成任务． 测试机器人行走路径 素材一 图1是某校科技兴趣小组设计的一个可以帮助餐厅上菜的机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．如图为机器人所走的路径．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行（表示第次行走的路程），再逆时针旋转，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为，所走路径形成的封闭图形的面积为S． 素材二 如图2，当每次直行路程均为1（即），时，机器人的运动路径为，机器人共走的路程，由图2图3易得所走路径形成的封闭图形的面积为． 素材三 如图4，若，机器人执行六次指令后回到起点处停止． 解决问题 任务 固定变量 探索变量 探索内容 任务一 直行路程 旋转角度与路程 任务二 旋转角度 直行路程 若，求与的值． 任务三 旋转角度，路程 路径形成的封闭图形面积S． 若，请直接写出与之间的数量关系，并求出当S最大时的值． 【答案】（1）12；8；5；（2），；（3）； 【分析】任务一：根据每次逆时针旋转，旋转次，可回到起点，即可进行解答； 任务二：构造如图所示三角形，则为等边三角形，根据等边三角形三边相等，即可依次推出各边长度； 任务三：构造如图所示三角形，根据题意可得，，，进而得出，根据等边三角形的面积公式，即可求出S的表达式，即可求解． 【解析】任务一：解：当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：12，8，5． 任务二：构造如图所示的三角形， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 任务三：如图，构造等边 ∴，，， ∵， ∴， ∴， 如图：等边三角形边长为a，高为h， ， ∴等边三角形面积， ∴， ∴， ∴当S最大时，． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角，二次函数的应用，等边三角形的性质，解题的关键是掌握多边形的外角和为，根据题意构造等边三角形，根据等边三角形的性质求解． 13．（23-24九年级上·浙江温州·期末）根据背景素材，探索解决问题． 测算拉索桥立柱的高 素材1 一条桥身形状和抛物线相同的拉索桥，桥的跨径OH的水平距离为22米，点O和点H处于同一水平线． 素材2 （1）桥的两根主立柱AB和GL拉出铁索固定桥身，两个立柱中间共有10根拉索（如图）；（2）立柱和铁索与桥身的连接点水平等距分布（即相邻的两个连接点的水平距离相等）：（3）经测量拉索AC与水平线CE成角，从左侧第3个拉索连接点D射出的探测光线DP交立柱AB于点P，从连接点C射出的探测光线CB交立柱于点B，且． 问题解决 任务1 建立模型 以点O为原点，水平线为x轴，以1米为一个单位长度，建立直角坐标系，根据素材1求桥身模型的函数解析式． 任务2 利用模型 根据任务1所求的解析式模型，分别求点D、C的坐标． 任务3 分析计算 若点P恰好为OB中点，根据素材2及任务1和任务2得到的函数模型和数据，求立柱AB的高度． 【答案】；；16米． 【分析】本题考查了二次函数的性质及用待定系数法求二次函数的表达式，求图像上点的坐标，及相似三角形的性质和判定的应用，综合性强，数形结合，适当添加辅助线是正确解决本题的关键. （1）用待定系数法即可求出； （2）先求出两点的横坐标，再代入所求的二次函数表达式即可求出纵坐标从而得两点坐标； （3）利用相似三角形的性质和判定及等腰三角形的判定即可求出． 【解析】解：如图所示， ∵抛物线经过点和， ∴由题意可知，抛物线的对称轴为直线， 设， 将代入，得， ， ； （2）由题意可知，线段被平均分成11条等长的线段，每段长米， 可设， 当时，， 当时，， ， （3）设与轴交于点M，作轴于N， 可得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：16米． 14．（23-24九年级上·浙江温州·期中）阅读材料，回答问题： 如何拟定运动员拍照记录的方案？ 素材 图是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点到之间的滑道呈抛物线型．已知，，且点处于跳台滑道的最低处． 素材 如图，某运动员从点滑出后的路径满足以下条件： 运动员滑出路径与之间的抛物线形状相同． 该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点． 落点在底面下方竖直距离． 素材 高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图，有一台摄像机进行跟踪拍摄： 它与点位于同一高度，且与点距离； 运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为； 在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比例系数和俯角的函数关系如图所示. 问题解决 任务 确定，之间滑道的形状 在图中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式． 任务 确定运动员达到最高点的位置 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点的水平距离． 任务 确定拍摄俯角 若要求运动员的落点必须在摄像机的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？ 【答案】（）；（）；（）． 【分析】（）以点为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设滑道所在抛物线的函数表达式为，把点坐标代入即可求解； （）以点为所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，由运动员滑出路径与之间的抛物线形状相同，可得到运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，把代入即可求解； （）先分别把点、坐标求出来，然后根据比例系数和俯角的函数关系求得，代入的解析式可化为，再把点、坐标代入即可求解； 本题考查了用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象和性质，一次函数，根据题意建立适当的平面直角坐标系是解题的关键． 【解析】解:（）如图，以点为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 则点的坐标为， 设滑道所在抛物线的函数表达式为，把代入得， ， 解得， ∴滑道所在抛物线的函数表达式为； （）如图，以点为所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ∵运动员滑出路径与之间的抛物线形状相同， ∴运动员滑出路径抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得， 即， ∴运动员到达最高处时与点的水平距离； （）与（）所建平面直角坐标系一样， ∵点在底面下方竖直距离， 把代入得， ， 解得， ∴点， ∵，，， ∴， ∴， 设与的函数解析式为， 把代入得，， 解得， ∴， ∴， ∴射线的解析式可化为， 把，代入得， ， 解得， ∴俯角至少度． 15．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据素材回答问题： 素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，，且与的距离为10米，与的距离为8米．    素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 任务2 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．      若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．    项目反思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．    【答案】任务1：花圃的面积为208；任务2：图4方案的最大面积更大，为273；项目反思：图5方案最大面积更大 【分析】任务1：根据矩形面积公式和正方形面积公式求解即可； 任务2：由图3，设，花圃面积为，则，由题意可得花圃面积，结合一次函数的性质计算该方案的最大面积；由图4，设，花圃面积为，则，由题意可得花圃面积，结二次函数的性质计算该方案的最大面积，即可获得答案； 项目反思：延长交于点，过点作于点，易得为矩形，进而可知，设，花圃面积为，则，，，由题意得列出函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解析】解：任务1：如图2， 由题意可知，则， 矩形面积为， ()， 答：花圃的面积为208； 任务2：由图3，设，花圃面积为，则， 由题意得：， 因为， ∴当时，有最大值，最大值为()； 由图4，设，花圃面积为， 则， 由题意得：， ∴当时，y有最大值为273， 所以，图4方案的最大面积更大，为273； 项目反思：如下图，    延长交于点，过点作于点， 易得为矩形， ∴， ∵， ， 设，花圃面积为， 则，，， 由题意得：， ∴当时，花圃面积有最大值， ∵， ∴图5方案最大面积更大． 【点睛】本题主要考查了矩形面积公式、一次函数的应用、二次函数的应用等知识，正确的求出函数解析式是解题的关键． 16．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务． 如何探测弹射飞机的轨道设计 素材1 图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x与飞行时间t的函数关系式为：、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）的变化满足二次函数关系，数据如表所示．                （图1） 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行高度 0 10 16 18 16 … 素材2 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为飞机回收区域，已知，．                 （图2） 问题解决 任务1 确定函数表达式 求y关于t的函数表达式 任务2 探究飞行距离 当飞机落地（高度为）时，求飞机飞行的水平距离． 任务3 确定弹射口高度 当飞机落到内（不包括端点A，B），求发射台弹射口高度（结果为整数） 【答案】（1）（2）（3），， 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）令二次函数代入函数解析式即可求解； （3）设发射台弹射口的高度为，则飞机的飞行高度为，结合，即可求解． 【解析】解：（1）设y关于t的函数表达式为， 将，，代入得， ， 解得，， 故y关于t的函数表达式为； （2）当飞机落地时，即， ，即 解得，或（舍去）， ， 时，， 故飞机落地时，飞行的水平距离为； （3）若飞机落在内，则， 即， ， 设发射台弹射口的高度为，则飞机的飞行高度为， 当，时，，解得，， 当，时，，解得，， ， 故发射台弹射口高度为，，． 【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17．（22-23八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材 定义：如图，点将线段分成两部分，如果，那么点称为线段的黄金分割点． 素材 某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成面积分别为，的两部分，如果，那么直线称为该图形的黄金分割线． 素材 平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图中的绕的中点旋转后与原三角形组成一个平行四边形如图．    问题解决 任务 问题：如图，边上黄金分割点旋转后的对称点是否也是边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由． 问题：直线是不是四边形的黄金分割线？请写出你的判断结论：______ ． 任务 请在图探索：边上是否存在点，使得直线是四边形的黄金分割线？如果存在，请说明点的位置；如果不存在，请说明理由． 任务 兴趣小组探索图时猜想：在中，若点为边上的黄金分割点，连接，则直线是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ 任务 兴趣小组探索图时还发现：若点是的边的黄金分割点，过点任意作一条直线交于点，再过点作交于点，则直线是的黄金分割线，请你给出证明． 【答案】任务：问题：是，见解析；问题2：不是；任务2：存在，过点作交于点，则是四边形的黄金分割线；任务3：对，见解析；任务4：见解析 【分析】任务：问题：由旋转可得：，，，又为的黄金分割点，知，故，点是上的黄金分割点； 问题：根据，，可得，由黄金分割线的定义可知直线不是四边形的黄金分割线， 任务： 过点作交于点，则点即为所求的点； 任务： 由是的黄金分割点，得，又，，故，从而是三角形的黄金分割线； 任务： 连接，由 ，得，，故，，根据点是的边的黄金分割点，可得，即得，直线是的黄金分割线． 【解析】解：任务： 问题： 点是的黄金分割点，理由如下： 由旋转可得：，，， 为的黄金分割点， ， ， 点是上的黄金分割点； 问题： 直线不是四边形的黄金分割线， 理由：，， 在中，， ， ， 直线不是四边形的黄金分割线， 故答案为：直线不是四边形的黄金分割线； 任务： 边上存在点，使得直线是四边形的黄金分割线， 过点作交于点，则是四边形的黄金分割线， 如图：    在中，， 又， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是平行四边形， 为的黄金分割点， ， ， 则是四边形的黄金分割线， 点即为所求的点； 任务： 正确，理由如下： 如图：   是的黄金分割点， ， ，， ， 是三角形的黄金分割线； 任务： 证明：连接，如图：   ， ，， ，， 点是的边的黄金分割点， ， ， ， 直线是的黄金分割线． 【点睛】本题考查黄金分割，涉及新定义，平行四边形，中心对称等知识，解题的关键是读懂题意，理解黄金分割点，黄金分割线的定义． 18．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务． 如何制定大棚间作方案？ 素材1 通过分垄交替种植农作物的方法叫大棚分垄间作，分垄间作通过减少光能浪费、作物间的互补作用来提高产量.如图1是一个长米，宽米的大棚，如图2，每一垄的宽度叫作垄宽，木薯垄与花生垄垄宽比为，两种作物交替（垄与垄之间没有空隙）布满整个大棚．    素材2 经调查，大棚分垄间作时，木薯的单位产量基本稳定在素，花生的单位产量y（）与垄宽x（m）有近似的二次函数关系如图3所示. 种植时，要求花生单位产量不低于．      问题解决 任务1 确定函数关系 求花生单位产量y关于花生垄宽x的函数表达式． 任务2 探究垄宽范围 根据要求，分别计算木薯垄和花生垄的垄宽范围． 任务3 拟定分垄方案 请你结合评价标准设计一种符合要求的分垄方案，填写木薯垄、花生垄的数量及产量之和． 花生垄个数： ； 木薯垄个数： ； 产量之和： ． 【答案】见解析 【分析】任务1：用待定系数法可得花生单位产量y关于花生垄宽x的函数表达式； 任务2：当时，得，，故要使，需满足，即可得花生垄宽范围和木薯垄宽范围； 任务3：设木薯垄垄宽为米，则花生垄垄宽为米，一个木薯垄与一个花生垄垄宽和米，结合任务2可知，由，，可知有3种方案，即可得到答案． 【解析】解：任务1：设， 把，，代入得， 解得 ∴花生单位产量y关于花生垄宽x的函数表达式：， 任务2：当时，， 解得，， ∴要使，需满足， ∴，即花生垄宽范围为大于等于米，小于等于2米， 那么木薯垄宽范围为大于等于米，小于等于米； 任务3：设木薯垄垄宽为米，则花生垄垄宽为米，一个木薯垄与一个花生垄垄宽和米， ∴， ∴， ∵，， ∴共3种方案： 方案一：花生6垄，木薯6垄，此时，，， 此时花生垄宽，总产量为，这是良好方案； 方案二：花生5垄，木薯6垄，此时，，， 此时花生垄宽，总产量为，这是优秀方案； 方案三：花生6垄，木薯5垄，此时，，， 此时花生垄宽，总产量，这是合格方案． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题求解． 19．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务． 如何制定大棚间作方案？ 素材 通过分垄交替种植农作物的方法叫大棚分垄间作，分垄间作通过减少光能浪费、作物间的互补作用来提高产量如图是一个长米，宽米的大棚，如图，每一垄的宽度叫作垄宽，木薯垄与花生垄垄宽比为：，两种作物交替（垄与垄之间没有空隙）布满整个大棚． 素材 经调查，大棚分垄间作时，木薯的单位产量基本稳定在，花生的单位产量（）与垄宽（）有近似的二次函数关系如图所示，种植时，要求花生单位产量不低于． 问题解决 任务 确定函数关系 求花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式． 任务 探究垄宽范围 根据要求，分别计算木薯垄和花生垄的垄宽范围． 任务 拟定分垄方案 请你结合评价标准设计一种符合要求的分垄方案，填写木薯垄、花生垄的数量及产量之和． 花生垄个数：______； 木薯垄个数：______； 产量之和：______． 评价标准 优秀方案：； 良好方案：； 合格方案：． 注意：Q（）为产量之和! 【答案】任务：花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式；任务：花生垄宽范围为大于等于米，小于等于米，木薯垄宽范围为大于等于米，小于等于米；任务：方案：花生垄，木薯垄，总产量为；，，． 【分析】任务1：用待定系数法可得花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式； 任务2：当时，得，，故要使，需满足，即可得花生垄宽范围为大于等于米，小于等于2米，木薯垄宽范围为大于等于米，小于等于米； 任务3：设木薯垄垄宽为米，则花生垄垄宽为米，一个木薯垄与一个花生垄垄宽和米，结合任务2可知，由，，可知有3种方案，即可得到答案． 【解析】解：任务1：设，把、、代入得， ，解得， 花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式； 任务2：当时，， 解得，， 要使，需满足， ，即花生垄宽范围为大于等于米，小于等于2米，木薯垄宽范围为大于等于米，小于等于米； 任务3：设木薯垄垄宽为米，则花生垄垄宽为米，一个木薯垄与一个花生垄垄宽和米， ， ， ，， 共3种方案： 方案一：花生6垄，木薯6垄，此时，解得：， 则，， 此时花生垄宽，单位产量为， ∴总产量为； 方案二：花生5垄，木薯6垄，此时，解得：， 则，， 此时花生垄宽，单位产量为， ∴总产量为； 方案三：花生6垄，木薯5垄，此时，解得：， 则，， 此时花生垄宽，单位产量为， ∴总产量为； 故答案为：5，6，200． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题求解． 20．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定酒精喷雾机的有效杀菌距离? 素材1 图1是一款电动酒精喷雾机、其上下 喷孔相距、L是一竖直放 置的平面．喷雾机正对平面喷雾时（如图2）、平面上会形成两个半径为的圆形痕迹（如图3），喷洒后酒精均匀分布、当点与平面的水平距离时，（取3）    素材2 不考虑喷洒过程中酒精在空气中的损耗，喷雾机两孔一次共可喷出酒精．查询资料可知，杀菌百分比和喷洒密度的关系如图4所示．    素材3 经过一次喷洒，当被喷洒平面的杀菌百分比达到70%及以上时，杀菌有效 问题解决 任务1 当被喷洒平面经过点时，确定此时的值． 任务2 ①当被喷洒平面上痕迹未有重叠部分时，为保证杀菌有效，请确定的范围 ②当被喷洒平面上痕迹有重叠部分时，重叠部分密度是未重叠部分的2倍、为了使有效杀菌面积最大，______． 【答案】【任务1】；【任务2】①；② 【分析】任务1：根据题意，得到，由相似三角形性质得到对应高的比等于相似比，代入相应线段长度即可求出； 任务2：①由图4可知，根据有效杀菌条件，得到，从而求出， 由任务1可得，解得，进而由得； ②当痕迹有重叠时，设上痕迹的两个圆完全重叠，在①的基础上，根据重叠部分密度是未重叠部分的2倍，即，得出，从而由当时，喷洒面积最大，此时，由任务1解得． 【解析】［任务1］解：如图所示：    则由题意可得， 由相似三角形性质可知，对应高的比等于相似比，即， ∴， ∴； ［任务2］解：①由图4可知，杀菌百分比和喷洒密度的关系是正比例函数，且过， 将代入， 解得， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴，解得， ， 由素材1可得，解得， ，解得； ②由①知，当无重叠时，最大为，因此，当痕迹有重叠时，由题意不妨设上痕迹的两个圆完全重叠，由①知符合有效杀菌条件的密度为， 重叠部分密度是未重叠部分的2倍，即，， ∴，解得， ， 当，喷洒面积最大，此时，由素材1可得，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似判定与性质、不等式性质解实际应用题，难度较大，读懂题意，准确得出各个情况的不等式，利用相似比求解是解决问题的关键． 21．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定拱桥形状？ 问题 背景 图是一座拱桥，其形状与抛物线和圆形相似． 为了定量的确定拱桥形状，九年（8）班数学、科学项目化学习小组联合开展了本次活动．    素材一 小晨认为可以在桥下不同的位置，用卷尺测量水面到桥的垂直距离（记为），进而确定形状． 经过测量，数学组绘制了图，并得到水面宽为，拱顶离水面的距离为4． 的地方测得 素材二 科学组发现在船上使用卷尺十分不便，所以决定使用激光三角测距法测量． 其测量流程如下： 1．在一个底部挖空的圆柱形薯片盒上安装放大镜（焦距），并在一侧的同一高度放置一枚激光笔．另一端盖上瓶盖（半径）； 2．让激光垂直照射拱桥，光线会在拱桥发生漫反射，并经过放大镜光心（即圆心），再在瓶盖上形成一个光斑（记为点）； 3．测量光斑中心到瓶盖中心的距离，根据公式计算得到的值． 注：薯片盒的高度等于焦距． 忽略测量装置与水面的间距和激光发射点到放大镜边缘的距离．    问题解决 任务一 若拱桥呈圆形，且小晨测得，求他到点的距离． 任务二 请在测量示意图（图）中，画出光的传播路径，并直接写出公式的获得原理． 任务三 若小豪在距离点，的地方测得，请在图中建立平面直角坐标系，通过计算判断拱桥是否呈抛物线形． 项目复盘 科学组在实际操作时发现，激光三角测距法相比直接测量的方法有一定的缺点． 请结合生活经验及相关科学知识，写出一条可能造成误差的原因． 【答案】任务一：小晨到点的距离为；任务二：画图见解析，证明见解析；任务三：画图见解析，拱桥是否呈抛物线形，计算说明见解析；项目复盘：误差的原因，激光不一定垂直于水平面 【分析】任务一：根据素材一可得，如图所示，设点为圆心，，过点作交于点，连接交于点，连接，设，则，在中，，根据勾股定理求得，在中，，进而即可求解． 任务二：根据题意画出图形，根据相似三角形的性质与判定即可求解； 任务三：根据题意求得抛物线解析式，进而根据公式求得点是否在抛物线上，即可求解． 【解析】解：任务一：如图所示，根据素材一可得，如图所示，设点为圆心，，过点作交于点，连接交于点，连接，      设，则， 在中， 即， 解得：， 即， ∴， 在中， 即 解得： 即 ∴小晨到点的距离为； 任务二：如图所示，    ∵， ∴，， ∴ ∴ 依题意，,,， ∴ ∴ 任务三：如图所示，以点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， ∵ ∴,,, 设抛物线解析式为 将点代入得， 解得：； ∴抛物线解析式为 依题意，， ∴， ∴， 当时， ∴点在抛物线上 即拱桥是否呈抛物线形． 项目复盘：可能造成误差的原因，例如激光不一定垂直于水平面， 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，二次函数的实际应用，相似三角形的实际应用，综合运用以上知识是解题的关键． 22．（2024·浙江·二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 【答案】任务一：，见解析；任务二：矩形的各边长为，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质， 任务1：小华：设正方形的边长为x，，由题意得：，再利用相似三角形的性质求得x，小明：由题意得：，再由及求得，然后比较大小即可； 任务2：由题意得：，可设，，，再由可得，求得，，由列出比例式，求得得：，从而得出．最后求解即可； 【解析】解：任务一：小华：设正方形的边长为x， 由题意得： ，得： 小明：由题意得： ∵ ，得． ∵ ，得： ∵   ． 任务二：由题意得： 设：，， 同理： ，得 ∵ ，得： ． 矩形的边长为：；． 23．（2024·浙江杭州·模拟预测） 设计喷水方案 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为米       素材2 如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置，要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱(如图3)，乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 (如图4)．    问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置(图3)，为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，不能再升高，求此时的最高高度． 任务3 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置(图4)，为了美观，要求喷出的水柱高度不低于，求喷水装置高度的变化范围． 【答案】任务1： 任务2：的高度为米 任务3： 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用， 任务1：以点为原点建立如图所示直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得到结论； 任务2：令（1）抛物线，得，求出，再依据即可得出点的坐标为，设图3中抛物线解析式为，代入即可求解． 任务3；设，根据题意得从点喷射的抛物线水柱顶点坐标为，由于抛物线形状相同，可得抛物线表达式为，把代入可得，可得函数关系式，再把点代入即可得出结论． 【解析】解：任务1：以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示． ∵， ∴． ∵水柱距水池中心处到达最高，高度为， ∴左侧抛物线顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入得， ∴即． 任务2：如图所示，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系 ∵两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线． 设的最高高度为． ∴设图3中抛物线解析式为 由（1）可得图2中的抛物线解析式为: 令，得， 解得（舍去），， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点G的坐标为． 将代入 解得： ∴的最高高度为米 任务3：如图． 设，∵乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 ∴从点P喷射的抛物线水柱顶点坐标为， 又∵抛物线形状相同， ∴抛物线表达式为， 把代入得， 解得或（舍去）， ∴， ∵喷出的水柱高度不低于， ∴ ∴ 又∵要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面． 由（2）可得 代入 即 解得： ∴ ∴喷水装置高度的变化范围为． 24．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）根据以下情境信息，探索完成任务． 公路涵洞改造方案的设计与解决 情境1 图1是某公路涵洞，图2是其截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．测得公路宽，涵洞直壁高，涵洞顶端高出道路（）（即）． 情境2 现需对公路进行拓宽，改造成双向隔离车道，并同步拓宽涵洞，中间设置宽为的隔离带，两边为机动车道．如图3，改造后的公路宽，涵洞直壁高和涵洞顶端到的距离保持不变．    改造方案 方案一 如图4，将涵洞上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式．    方案二 如图5，将涵洞上半部分劣弧改造成仍为劣弧的形式    问题解决 任务1 按方案一改造 以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 按方案二改造 求涵洞上半部分劣弧所在圆的半径． 任务3 隔离带最大宽度的确定 要使高，宽的货运车能通过此公路涵洞，分别求出两种改造方案下的最大值（，，结果精确到）． 【答案】任务一： 任务二： 任务三：的最大值分别为2.4和2.9 【分析】该题主要考查了二次函数的解析式求解，垂径定理，勾股定理以及线段垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 任务一：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，得出，结合算出抛物线的表达式； 任务二：设圆心为，劣弧所在圆的半径为，连结交于点，连结．得出垂直平分，，，在中用勾股定理即可求解； 任务三：（1）按方案一改造．当时，求出，即可求解． （2）按方案二改造．由题意知改造后为双向车道，且隔离带宽为，作于点．由任务二知半径．求出时，的值，在中由勾股定理求出，即可求解； 【解析】任务一：解：如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，， ， 故设抛物线的表达式为， 把点代入得：， 解得：． ． 任务二：解：如图，设圆心为，劣弧所在圆的半径为，连结交于点，连结． 由题意得垂直平分， ， ，． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 即劣弧所在圆的半径为． 任务三： （1）按方案一改造． 解：当时，， 解得：． ． 从而的最大值为2.4． （2）按方案二改造． 解：如图，由题意易知改造后为双向车道，且隔离带宽为， ， 作于点． 由任务二知半径． 当时，． 在中，由勾股定理得：， ， 解得． 从而的最大值为2.9． 综上所述，的最大值分别为2.4和2.9． 25．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 探究主题 直角三角板与圆 探究背景 学习了《圆周角》中的推论：“直径所对的圆周角等于”后，全班各研究小组用直角三角板开启了数学探究之旅——研究直角三角板的直角顶点在圆上、圆外和圆内三种情况(如图1)，具体研究如图1． 探究任务1 找到画直径的简单方法：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径．请你说出其中原理：______． 探究任务2 用电脑作图工具，对直角顶点在圆外的情况进行动态模拟，发现：无论直角顶点在圆外如何运动，只要两直角边与圆有两个交点，两条直角边所夹的两段弧的度数差不变，为．如图，若，则，研究小组对提出的结论进行证明： 证：如图，连接 ，， 又， ． ． 探究任务：运用以上研究结论，请用没有刻度的直尺，在图2的圆上截取一段弧等于，根据作图写出结论：=______． 探究任务3 当直角顶点运动到圆内时如图4，直角并反向延长两边交圆于，两点，形成互相垂直的弦．请观察图4类比探究任务2，对直角及其对顶角所对两段弧的数量关系，提出自己的猜想，并证明． 你的猜想：______．(可以用文字描述，也可以结合图形用几何语言描述) 证明：… 探究任务4 各研究小组进行拓展研究比赛，其中高斯研究小组提出问题：如图5，若弦，，，，求圆的直径． 比赛评分标准如表： 【答案】探究任务1：直角所对的弦是直径；探究任务2：；探究任务3：；探究任务4： 【分析】探究任务1：根据直角所对的弦是直径即可求解； 探究任务2：连接并延长，交于点，则 探究任务3：根据，，即可求解； 探究任务4：如图所示，作直径，作交于点，连接，设交于点，证明得出，根据平行弦的性质得出，进而根据勾股定理，即可求解． 【解析】探究任务1：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径．理由是：直角所对的弦是直径； 故答案为：直角所对的弦是直径． 探究任务2：如图所示， 连接并延长，交于点，则 理由如下，连接，， ∵是直径 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 探究任务3： 解：结论： 如图，连接，，，，． ∵， ∴ ∴ 则 ∴； 探究任务4：如图所示，作直径，作交于点，连接，设交于点，则四边形是矩形； ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴，则 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 又四边形是矩形， 则 ∵矩形和圆都是轴对称图形， ∴ ∴ 在中， 即圆的直径为． 【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形的性质与判定，弧与圆心角圆周角的关系，圆内角化为两圆周角和，圆外角化为两圆周角之差，转化思想，也考查圆心角，圆周角，弧和弦之间的关系，轴对称性质，掌握圆内角化为两圆周角和，圆外角化为两圆周角之差，转化思想，也考查圆心角，圆周角，弧和弦之间的关系，轴对称性质是解题关键． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$