特训12 期中选填压轴题（全国最新期中精选，八大题型）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第一册，浙江专用）

特训12 期中选填压轴题（全国最新期中精选，八大题型） 目录 题型1：集合 题型2：不等式 题型3：函数—函数性质的综合应用 题型4：函数—分段函数 题型5：函数—抽象函数 题型6：函数—函数的周期性、对称性 题型7：函数—新定义题 题型8：函数—多选题综合 题型1：集合 1．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（    ） A．若P有2个元素，则Q有3个元素 B．若P有2个元素，则有4个元素 C．若P有2个元素，则有1个元素 D．存在满足条件且有3个元素的集合P 2．（22-23高一下·湖南岳阳·期中）已知集合.对于，，定义A与B之间的距离为 .若集合M满足：，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 题型2：不等式 4．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围为 ． 5．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若非空集合，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·浙江·期中）已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为 . 7．（23-24高一上·北京海淀·期中）若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（    ） A．，方程有无限组整数解 B．，方程有且只有两组整数解 C．，方程至少有一组整数解 D．，方程至多有有限组整数解 题型3：函数—函数性质的综合应用 8．（23-24高一上·广西柳州·期中）已知是定义在上的奇函数，对任意，都有，且.对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围是 . 9．（23-24高一上·重庆·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，，则关于的不等式的解集为 . 10．（23-24高一上·四川遂宁·期中）已知函数，若，使得有解，则实数的取值范围为 ． 11．（22-23高一上·福建福州·期中）定义在上且满足，其中，在为增函数，则 （1）不等式解集为 （2）不等式解集为   （3）解集为 （4）解集为，其中成立的是（    ）. A．（1）与（3） B．（1）与（4） C．（2）与（3） D．（2）与（4） 题型4：函数—分段函数 12．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若当时，，则的最小值是 ． 13．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是奇函数，不等式组的解集为，且，满足，，则 ， . 15．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，，若存在个实数、、、、，使得成立，且的最大值为，则的取值范围为 . 题型5：函数—抽象函数 16．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数的定义域为，且对任意正实数x，y都成立，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数的定义域为R，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为R上的减函数；④为奇函数. 其中正确结论的序号是（     ） A．①②④ B．①② C．①③ D．①④ 题型6：函数—函数的周期性、对称性 18．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 19．（23-24高一上·海南海口·期中）定义在上的函数满足：对任意都有，且，，则下列命题错误的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C． D．是偶函数 20．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域均为，且．对任意的均有成立，且．则下列说法正确的个数有（    ） ①．    ②．为奇函数    ③．的周期为6    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 21．（22-23高一下·浙江·期中）已知函数的定义域为R，为奇函数，且对恒成立．则以下结论：①为偶函数;②;③；④其中正确的为（    ） A．①②④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 22．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； . 附注：. 23．（23-24高一上·湖南长沙·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）请你利用这个结论求得函数的对称中心为 ． （2）已知函数与一次函数有两个交点，，则 ． 题型7：函数—新定义题 24．（23-24高一上·福建·期中）定义若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 25．（23-24高一上·山东青岛·期中）山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆.在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试.若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，不等式恒成立，且，设为“立冬函数”，则满足“立冬函数”的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·江苏盐城·期中）定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型8：函数—多选题综合 27．（23-24高一下·浙江·期中）设为正实数，定义在上的函数满足，且对任意的，都有成立，则（    ） A．或 B．关于直线对称 C．为奇函数 D． 28．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．为偶函数 C．的周期为4 D． 29．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，，下列说法正确的是（    ） A． B．图像关于点对称 C． D． 30．（23-24高一上·河南开封·期中）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．若，则 D．若当时，，则在单调递减 31．（23-24高一上·江苏南京·期中）当时，用表示不超过的最大整数，如：．已知函数，则（    ） A． B．函数的值域为 C．存在无数多个，有 D．存在无限实数集，对于，当时，有 32．（21-22高一上·广东广州·期中）—般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（    ） A．若为的“跟随区间”，则 B．函数存在“跟随区间” C．若函数存在“跟随区间”，则 D．二次函数存在“3倍跟随区间” 33．（23-24高一上·福建泉州·期中）定义在上的函数满足，函数为奇函数，且对，当时，都有.函数与函数的图象交于点，以下结论正确的是（    ） A． B．函数为偶函数 C．函数在区间上单调递减 D． 34．（23-24高一上·重庆·期中）已知定义在区间上的函数满足：对任意均有；当时，．则下列说法正确的是（    ） A． B．在定义域上单调递减 C．是奇函数 D．若，则不等式的解集为 35．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数，则（    ） A．是上的奇函数 B．当时，的解集为 C．当时，在上单调递减 D．当时，值域为 36．（23-24高一上·江西九江·期中）设为定义在整数集上的函数，，对任意的整数均有．则下列正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．关于对称 D． 37．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训12 期中选填压轴题（全国最新期中精选，八大题型） 目录 题型1：集合 题型2：不等式 题型3：函数—函数性质的综合应用 题型4：函数—分段函数 题型5：函数—抽象函数 题型6：函数—函数的周期性、对称性 题型7：函数—新定义题 题型8：函数—多选题综合 题型1：集合 1．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（    ） A．若P有2个元素，则Q有3个元素 B．若P有2个元素，则有4个元素 C．若P有2个元素，则有1个元素 D．存在满足条件且有3个元素的集合P 【答案】C 【分析】若集合中有个元素，设，根据集合中元素的特性和题设条件进行分析推导，可判断出选项ABC；假若有个元素，设，再根据题设条件推导分析，可得到中还有第四个元素，推出矛盾，从而可判断出D选项. 【解析】若有2个元素，设，则， 因为至少有个元素，所以中除外至少还有一个元素， 不妨设，，则， 若，则且， 所以，与假设矛盾，所以， 所以或， 当时，则，所以， 若，则，与矛盾，所以，同理可知， 所以此时，； 当时，则，所以， 若，则，与矛盾，所以，同理可知， 此时，； 由上可知，当有2个元素，则有个元素，有个元素，有个元素， 故A错误，B错误，C正确； 不妨假设有个元素，设，则为互不相等的正数， 由③可知：， 又因为为互不相等的正数，所以也为互不相等的正数， 由②可知：都是集合的元素， 因为为互不相等的正数，所以都是不等于的正数，所以， 又因为为互不相等的正数，所以， 考虑到和，若，则为互不相等的正数， 又因为，所以，所以是与不相等正数， 因为都是集合的元素，所以集合中至少有个元素，这与假设矛盾， 因此考虑的情况，所以，同理可得，所以， 所以，这与集合中元素的互异性矛盾，所以有个元素不可能成立，故D错误； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系以及集合运算后集合中元素个数的判断，本题的难点在于如何通过假设推导出矛盾，解答过程中主要利用集合中元素的互异性去检验元素，从而达到确定集合中元素个数的目的. 2．（22-23高一下·湖南岳阳·期中）已知集合.对于，，定义A与B之间的距离为 .若集合M满足：，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由题中条件可得：R3中含有8个元素，先阅读然后再理解定义得：可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即或，得解. 【解析】由题中条件可得：R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点， 已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点， 所以 或, 故集合M中元素个数最大值为4， 故选： 3．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 【答案】 / 【分析】空1：根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入得到，再根据区间长度大于，得到关于的不等式组，解出即可. 【解析】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； 若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可. 题型2：不等式 4．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求得，求得的取值范围，然后利用函数的单调性求得的取值范围. 【解析】依题意，，，且，， ， 由得， 所以的取值范围是. 所以在上单调递增， 当时，取得最大值，则， 而在上单调递减， 当时，取得最小值，则， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【点睛】求解一个表达式的最值，可以考虑的方向有：基本不等式、函数的单调性等等.利用基本不等式，要注意的是“一正二定三相等”；利用函数的单调性，要注意的是熟练判断各类函数的单调性. 5．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若非空集合，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设的解集为，从而得，进而得到且，又，为方程的两个根，可得，由此得到关于的不等式组，解之即可得解.． 【解析】因为， 不妨设的解集为，则由得， 所以， 又，，所以且， 因为的解集为，所以是，即的两个根， 故，即， 此时由，得，则， 因为，显然，且开口向上，对称轴为， 所以，则， 又，解得，即. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于假设的解集为，进而得到且，从而得解. 6．（22-23高一下·浙江·期中）已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为 . 【答案】/0.25 【分析】由一元二次不等式恒成立得、，将问题化为求的最小值，令则，应用基本不等式求最值，注意取值条件. 【解析】由题设，有，又，则， 又，则， 故存在使成立，则， 所以，令，故， 所以，且， 而，仅当，即等号成立， 所以，仅当且时等号成立，故的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据一元二次不等式求参数的符号和大小关系，将题设条件化为求的最小值，结合换元法、基本不等式求最值. 7．（23-24高一上·北京海淀·期中）若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（    ） A．，方程有无限组整数解 B．，方程有且只有两组整数解 C．，方程至少有一组整数解 D．，方程至多有有限组整数解 【答案】C 【分析】由，结合整数的分解形式转化为求解方程组的整数解的情况即可. 【解析】选项A，当时，由得， 解得， ，都是方程的整数解， 故，方程有无限组整数解. A项判断正确； 选项B，当时，由， 由，则，， 又， 由与，仅有这种整数分解的方法， 所以（舍），或； 解得 或，故方程有且仅有两组整数解， 即，方程有且只有两组整数解，故B项判断正确； 选项C，当时，由，，，， 仅有这种整数分解的方法，又， 所以（舍），或（舍）， 或①，或②； 方程组①消得，，，无整数解； 方程组②消得，，此方程无解； 故当时，方程无整数解，所以选项C判断不正确； 选项D，若关于x，y的方程不存在整数解， 则满足至多有有限组整数解； 若关于x，y的方程存在整数解． 由，则， ，整数至多有有限组分解方法，可设所有分解形式为， 由， 得， 消得，，， 对于的每一个确定取值，此关于的二次方程最多有个整数解， 即方程组至多有组整数解； 故，方程至多有组整数解，故D项判断正确. 故选：C. 题型3：函数—函数性质的综合应用 8．（23-24高一上·广西柳州·期中）已知是定义在上的奇函数，对任意，都有，且.对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】/. 【分析】根据题设条件，先判断函数的单调性，再利用奇函数，将抽象不等式进行等价转化成闭区间上的恒成立问题来解决. 【解析】不妨设，则 ,故为上的减函数， 又是定义在上的奇函数， 故由可得， 因函数在上为减函数，可得在上恒成立， 故得， 因在为减函数，为增函数. 所以在为增函数，为减函数， 所以在恒成立，因 则时，故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：此题主要考查抽象不等式和恒成立问题. 首先要根据题设条件判断函数的单调性，运用奇函数，将抽象不等式去掉“”，从而等价转化成闭区间上的恒成立问题，通过参变分离法求出参数范围. 9．（23-24高一上·重庆·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据奇函数的定义得为奇函数，根据单调性的定义知在R上单调递增，构造函数，从而为R上的偶函数，且在上单调性递增，原不等式等价于，利用单调性解不等式即可. 【解析】定义在上的函数满足，， 令，可得，所以， 令，得到，即，所以为奇函数， 设，由题意， 所以， 又因为，所以，所以，即， 所以在R上单调递增， 不等式等价于， 令， 因为， 且的定义域为R，所以为R上的偶函数，且在上单调性递增， 由得，所以等价于， 等价于，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关于抽象函数的单调性和奇偶性的判断常常用定义法解决，对于解抽象函数不等式问题，往往要根据式子结构构造函数，利用函数单调性求解即可. 10．（23-24高一上·四川遂宁·期中）已知函数，若，使得有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意先构造，可得为奇函数，且在上单调递增，即可由得，将看作为关于的一次函数，结合，有解，根据一次函数的单调性分类可得的取值范围. 【解析】由得， 设则 故为奇函数， 由得， 即， 当时，， 根据在单调递增，在单调递增， 故在单调递增，又为奇函数， 故在上单调递增， 故由得即， 由题意使得有解， 当时，，不符合题意； 当即时，，解得或，故； 当即时，，解得或，故， 综上可得实数的取值范围为， 故答案为： 11．（22-23高一上·福建福州·期中）定义在上且满足，其中，在为增函数，则 （1）不等式解集为 （2）不等式解集为   （3）解集为 （4）解集为，其中成立的是（    ）. A．（1）与（3） B．（1）与（4） C．（2）与（3） D．（2）与（4） 【答案】B 【分析】根据函数满足的性质作出函数的大致图象，进而数形结合，分别求解不等式，即可求得答案. 【解析】由题意可知定义在上且满足，其中，在为增函数， 则函数为偶函数，在上为减函数， 函数的图象可由的图象向左平移1个单位得到， 作出以即得大致图象如图，    则不等式可化为或， 由图象可知，故（1）正确，（2）错误； 由于为偶函数，故可化为， 即，解得，故（3）错误，（4）正确， 故选：B 【点睛】方法点睛：解答本题是要结合函数的性质，即单调性、奇偶性，明确函数图象的大致形状，作出图象，数形结合，即可求解问题. 题型4：函数—分段函数 12．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若当时，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由二次函数以及对勾函数的单调性，结合条件列出方程，代入计算，即可得到结果. 【解析】当时，，由二次函数单调性可知， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，，由对勾函数的单调性可知， 在上单调递增， 令，解得， 当时，令，解得或（舍）， 所以，， 则. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键在于让熟练掌握二次函数以及对勾函数的单调性. 13．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性以及当时的解析式，求出的解析式，解不等式，可得x的取值范围，进而结合，再分类讨论，求解相应不等式，即可求得答案. 【解析】由题意知为定义在上的奇函数，则， 当时，， 当时，， 故， 又，得或， 解得或，则； 所以时，， 当时，，解得或，则， 当时，，满足； 当时，，解得，则， 综上，a的取值范围为， 故选：C 【点睛】易错点点睛：本题考查了函数奇偶性以及分段函数的性质问题，涉及到解不等式以及复合函数问题，易错点首先是利用奇偶性求的解析式，其次是求出的x的范围后，要分类讨论a的范围，再求解相应不等式，这里也很容易出错. 14．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是奇函数，不等式组的解集为，且，满足，，则 ， . 【答案】 0 / 【分析】根据奇函数定义求出；根据的解集为，且且，满足，求出即可. 【解析】的定义域为，又函数是奇函数，所以定义域关于对称， 从而，即.当时，，.故； ，不等式组等价于， 因为其解集为，是开区间，所以函数在不单调，所以； 又，所以，因此，是的两个正根，即， 所以，解得， 又因为，所以， 即，解得或（舍）. 故答案为：0；. 【点睛】关键点睛：本题主要考察型函数的图象问题，根据的解集为开区间确定函数在不单调，从而确定“，是的两个正根”是解题的关键. 15．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，，若存在个实数、、、、，使得成立，且的最大值为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出函数在上的值域为，令，则，则条件等价于函数，若存在、、、、，使得成立的最大整数的值为，可得出，然后对实数的取值进行分类讨论，结合可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【解析】当时，；当时，， 所以，函数在上的值域为， 令，则，则条件等价于函数， 若存在、、、、，使得成立的最大整数的值为， 则， 因为当时，，则不等式组不成立， 所以，或， 当且时，在上单调递增，则， ， 所以，，解得； 当且时，在上单调递减， 则，， 所以，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的综合问题，解本题的关键在于将问题转化为，然后对参数的取值进行分类讨论，并求出相应函数的最值，结合已知条件列不等式（组）求解. 题型5：函数—抽象函数 16．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数的定义域为，且对任意正实数x，y都成立，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于ACD：举反例分析判断；对于B：利用反证法，假设存在，使得，令，结合题意分析证明. 【解析】对于选项A：例如函数符合题意，则，故A错误； 对于选项CD：例如符合题意，则，故C错误； 令，则，可知，故D错误； 对于选项B：反证：假设存在，使得， 令， 则， 可得，这与假设相矛盾，故假设不成立， 所以对任意，，故B正确； 故选：B. 17．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数的定义域为R，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为R上的减函数；④为奇函数. 其中正确结论的序号是（     ） A．①②④ B．①② C．①③ D．①④ 【答案】D 【分析】利用抽象函数的关系式，令判断①的正误；令，判断②的正误；令，可得当时，，再令，结合单调性的定义判断③的正误；令判断④的正误； 【解析】因为，则有： 令，可得， 即，解得，故①正确； 令，，可得， 即，解得， 再令，可得， 即，故②错误； 令，可得， 即 因为，则，可得，所以， 令，不妨设， 可得，即， 因为，则，则， 可得，即， 所以为上增函数，故③错误； 令，可得， 即，整理得， 所以为奇函数，故④正确； 故选：D． 【点睛】思路点睛：由题意采用赋值法，可解决①②，在此基础上继续对各个选项逐一验证可得答案． 题型6：函数—函数的周期性、对称性 18．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题设易知关于原点对称，将代入条件得，结合奇函数性质得，即，进而推出是周期为16的奇函数，利用周期性、奇函数性质求函数值. 【解析】由的图象关于点对称，则关于原点对称， 故又，，则， 由，则， 所以，故， 所以，即， 则， 综上，是周期为16的奇函数， 所以，而， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据题设得到是周期为16的奇函数为关键. 19．（23-24高一上·海南海口·期中）定义在上的函数满足：对任意都有，且，，则下列命题错误的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C． D．是偶函数 【答案】B 【分析】利用赋值法和函数的性质逐项分析即可. 【解析】对于A，令得，，且， 所以，故A正确； 对于D，令得，，， 且定义域关于原点对称，故是偶函数，故D正确； 对于C，，所以令得，， ,, ，即. 所以，故C正确； 对于B，，且是偶函数， ，即的图象关于对称，故B错误. 故选：B 20．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域均为，且．对任意的均有成立，且．则下列说法正确的个数有（    ） ①．    ②．为奇函数    ③．的周期为6    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对①：通过，即可直接求得结果；对②：令，求得，再令，即可求得，即可判断；对③：对原式通过赋值法，结合已知数据，以及周期性的定义，即可求得结果；对④：根据③中所求，结合的取值，以及函数周期性，即可求得结果. 【解析】根据题意可得， 对①：，故①正确； 对②：对，令，则，则； 再令，则，整理得， 又，故为偶函数，故②错误； 对③：对，令，则； 故，，则， ，也即，故的周期为，故③正确； 对④：由③可知：，又， 故，解得；同理，解得； ，解得，，解得，，解得； 即； 则，故④正确； 故说法正确的个数有个. 故选：C. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 21．（22-23高一下·浙江·期中）已知函数的定义域为R，为奇函数，且对恒成立．则以下结论：①为偶函数;②;③；④其中正确的为（    ） A．①②④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据已知可得关于、对称，且周期为4的偶函数，利用奇偶对称性、周期性求对应函数值及关系判断各项正误. 【解析】由题设，则，又， 所以，即，故，即， 综上，关于、对称，且周期为4的偶函数，①对； ，②对； 由轴对称知：，由中心对称知：， 所以，③错； ，④对. 故正确的有①②④. 故选：A 22．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； . 附注：. 【答案】 【分析】根据已知可得的图象关于对称、关于直线对称，利用对称性可得的周期，结合已知条件和周期即可求和. 【解析】因为，所以函数的图象关于点对称，且； 又的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称， 即为偶函数，所以，所以以4为周期， 所以，，， ，所以， 因为，所以，同理，，，，， 所以. 所以. 故答案为：； 【点睛】关键点睛：根据函数的对称性得函数的周期，从而利用周期和对称性求和是解决本题的关键. 23．（23-24高一上·湖南长沙·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）请你利用这个结论求得函数的对称中心为 ． （2）已知函数与一次函数有两个交点，，则 ． 【答案】 【分析】（1）将函数对称中心设出来，利用条件列方程组，解方程组可以得到对称中心坐标. （2）利用结论进行分析，得到的对称中心为，再根据恒过点，得到点为两个函数图像交点的中点，利用中点坐标公式计算推出的值. 【解析】（1）设点为函数图象的对称中心， 令，则为奇函数， 所以，即， 可得，， 所以，解得， 所以函数的对称中心为. 故答案为： （2）若函数的图象关于点成中心对称图形则函数为奇函数，所以，即， 所以函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件可转化为， 因为， ， 所以， 即对称中心为， 因为函数的图像是恒过点的直线， 所以交点，的中点为， 所以，，即. 故答案为： 【点睛】函数的图像关于点对称，等价于，也等价于. 题型7：函数—新定义题 24．（23-24高一上·福建·期中）定义若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先表示出的解析式，然后作出的图象，根据图象求解出最大值；结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的取值情况，即可求的最大值. 【解析】当时，解得或， 所以， 作出的图象如下图所示： 由图象可知：当时，有最大值，所以； 当时，解得或或； 当时，或， 由图象可知：当，时，的值域为，此时的最大值为； 当时，的值域为，此时， 由上可知，的最大值为， 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：本题考查取最小值函数的应用，处理这一类函数时，图象法是首选方法，通过数形结合的思想能高效的将问题简化.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的数目；（2）求参数范围；（3）解不等式；（4）研究函数性质. 25．（23-24高一上·山东青岛·期中）山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆.在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试.若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，不等式恒成立，且，设为“立冬函数”，则满足“立冬函数”的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的恒成立的不等式，结合幂函数性质可得函数在的单调性，再借助奇函数性质求解不等式即可得解. 【解析】函数在上单调递增，，则，即， 由，得，即， 又函数在上单调递增，因此，于是函数在上单调递减， 而函数是上的奇函数，则函数在上单调递减，且， 由及，得，因此或， 解，当时，，，此时不等式组无解， 当时，，，不等式组的解为， 当时，，，则有，解得，即， 因此不等式组的解为， 解，由，得，则，不等式组无解， 所以“立冬函数”的x的取值范围是. 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可. 26．（23-24高一上·江苏盐城·期中）定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“中心捺函数”的定义以及函数的单调性、奇偶性，化简不等式，求得，进而求得正确答案. 【解析】对任意，都有， 则在上单调递减. 函数是以为中心的“中心捺函数”， 所以函数在上单调递减，则在上单调递减， 且关于对称，即是奇函数， 所以，即， 所以， 若，则，没有意义， 若，则，没有意义， 所以且， 由两边除以得， 解得，所以， 所以. 故选：C 【点睛】函数的单调性的定义有多种形式，如：任取，通过计算得到，即可判断出函数函数的单调性；也可以形如：或等形式，也可以判断出函数的单调性. 题型8：函数—多选题综合 27．（23-24高一下·浙江·期中）设为正实数，定义在上的函数满足，且对任意的，都有成立，则（    ） A．或 B．关于直线对称 C．为奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】采用赋值法可判断选项A，B，C；根据函数周期性可判断选项D. 【解析】因为对于任意的，都有成立， 令，代入可得， 由因为，联立可得或，故A正确； 令，代入可得， 当时，有， 则关于直线对称， 当时，有， 再令，代入可得，得， 所以， 即关于直线对称， 综上所述，关于直线对称，B正确； 当时，令，代入可得， 又因为，所以， 根据B选项，，所以， 故为偶函数，故C错误； 由上面可得，， 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：采根据已知条件对任意的，都有成立，用赋值法可得函数性质，从而判断选项. 28．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．为偶函数 C．的周期为4 D． 【答案】ABD 【分析】根据及得，通过赋值，结合判断A；根据题意结合偶函数判断B；通过赋值根据周期函数的定义判断C；根据函数的周期为6，并且结合及赋值法求得，进而求和判断D. 【解析】对于A：，故A正确； 对于B：根据及 得，令，，可得， 且，可得，令，则， 则，即，可知为偶函数，故B正确； 对于C：令，则， 可知，， 可得，则， 所以，可知周期为6，故C错误； 对于D：因为，且，， 令，，可得，所以， 则，，，， 所以，又周期为6， 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题. 29．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，，下列说法正确的是（    ） A． B．图像关于点对称 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据对称性可判断A；由，，可推出，从而判断B；由已知条件得，利用赋值法可得到，从而判断C；从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到，进而可判断D. 【解析】对于A，因为的图象关于直线对称， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 又因为， 联立得， 所以图像关于点对称，故B正确； 对于C，因为，所以， 即， 因为，代入得， 即， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故C错误； 对于D，由B选项可知， 因为，所以. 因为， 所以，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算及变形能力，关键在于根据题中函数的对称性，得到求解所需变形即可. 30．（23-24高一上·河南开封·期中）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．若，则 D．若当时，，则在单调递减 【答案】ABD 【分析】令即可判断A；令，求出，再令，即可判断B；令即可判断C；由，得，再根据函数单调性定义即可判断D. 【解析】因为， 令，得，所以，故A正确； 令，得， 所以，令，得，又， 所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故B正确； 令，得， 又，所以，故C错误； 当时，由， 可得，又， ，在上任取，不妨设， ， ， 故在单调递减，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对和准确的赋值以及对单调性定义计算的精简. 31．（23-24高一上·江苏南京·期中）当时，用表示不超过的最大整数，如：．已知函数，则（    ） A． B．函数的值域为 C．存在无数多个，有 D．存在无限实数集，对于，当时，有 【答案】BCD 【分析】取特殊范围探究规律，然后作出函数图象观察即可得答案. 【解析】首先注意定义域，即，由定义可知时， 即的定义域为．故A错． 不妨取一些特殊范围进行观察： 时，，即； 时，，即； 时，，即； 接下来我们不妨找到一般性规律，且时有： 时，，即； 作出函数图象如图： 由图可知，函数的值域为，B正确； 存在无数个，使得，故C正确； 由图可知，存在无数递减区间，故D正确. 故选：BCD． 【点睛】本题难点在于对新定义的理解，然后通过特殊范围探究函数规律，最后利用函数图象即可求解. 32．（21-22高一上·广东广州·期中）—般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（    ） A．若为的“跟随区间”，则 B．函数存在“跟随区间” C．若函数存在“跟随区间”，则 D．二次函数存在“3倍跟随区间” 【答案】CD 【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案. 【解析】对于A选项，因为在其“跟随区间”单调递增， 由“跟随区间”的定义可知，解得或（舍去），故A选项错误； 对于B选项，因为函数在区间与上均为增函数， 若存在跟随区间，则有，即为的两根． 即的根，而，故方程无解，故B选项错误； 对于C选项，函数在其定义域上单调递减. 若函数存在“跟随区间”，则有， 即 ，两式作差得：， 所以， 又因为，所以，即，所以， 而，不妨设，， 所以只需，，所以，故C选项正确； 对于D选项，假设存在“3倍跟随区间”， 又在“3倍跟随区间”上单调递增，由“3倍跟随区间”的定义可知， 解方程得或， 故 存在“3倍跟随区间”使得其值域为，故D选项正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：理解新定义以及合理转换已知条件是解决问题的关键. 33．（23-24高一上·福建泉州·期中）定义在上的函数满足，函数为奇函数，且对，当时，都有.函数与函数的图象交于点，以下结论正确的是（    ） A． B．函数为偶函数 C．函数在区间上单调递减 D． 【答案】BCD 【分析】由题意得函数的轴对称与中心对称性，进而得到周期性，赋值可得A；由变形可得函数在区间的单调性，由对称性可得C； 结合性质可证明BD. 【解析】由题意，对，当时，都有. 则当时，；当时，； 故在单调递增. 由函数为奇函数， 则，即， 则函数的图象关于中心对称①； 选项A，令，则，则，故A错误； 选项B，由函数满足， 则， 则的图象关于对称②， 由①②得，，则， 所以有， 则是以为周期的周期函数③， 则由②③得，， 即是偶函数，故B正确； 选项C，由的图象关于对称， 函数在区间的单调性与的单调性相反， 又由函数的图象关于中心对称， 函数在区间的单调性与的单调性相同， 故函数在区间的单调递减，故C正确； 选项D，由， 则的图象也关于中心对称； 故函数与的图象交点也成对关于对称； 不妨设，则，且， 即，且， 故，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过单调性的定义得到函数的单调性，再求出其周期性和奇偶性从而对各选项逐步分析. 34．（23-24高一上·重庆·期中）已知定义在区间上的函数满足：对任意均有；当时，．则下列说法正确的是（    ） A． B．在定义域上单调递减 C．是奇函数 D．若，则不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】利用赋值法求出，可判断选项A；根据函数单调性的定义可判断选项B；根据函数奇偶性、对称性和图象变换可判断选项C；借助函数的单调性及题中条件可判断选项D. 【解析】对于选项A：定义在区间上的函数满足：对任意均有 令，可得，解得，故选项A正确； 对于选项B：由可得 任取、，且，则. 由于当时，，，所以，即，故在定义域上单调递增，故选项B错误； 对于选项C：令，由可得，即，所以，即函数关于点对称.而的图象可由图象向左平移个单位得到，所以函数关于点对称，则是奇函数，故选项C正确； 对于选项D：因为，所以，则不等式等价于 由在定义域上单调递增，得，解得，故选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的图象平移变换、抽象函数的奇偶性和单调性以及抽象不等式的解法.解题关键是：熟练函数奇偶性、对称性知识应用；解答抽象不等式的关键是根据不等式结合函数值情况得到相应不等式，求得结果. 35．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数，则（    ） A．是上的奇函数 B．当时，的解集为 C．当时，在上单调递减 D．当时，值域为 【答案】ABD 【分析】对于A，直接由奇函数的定义即可判断；对于B，直接分类讨论解绝对值不等式即可判断；对于C，举出反例，推翻C选项；对于D，通过令换元法，然后再分类讨论求出的值域即可判断. 【解析】对于A，首先的定义域是关于原点对称，其次， 即是上的奇函数，故A正确； 对于B，当时，，所以或， 解得或，即当时，的解集为，故B正确； 对于C，不妨取，此时，对，有，故C错误； 对于D，当时，令，此时， 而，当时，， 从而当时，即值域为. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：对于AC选项的判断比较常规，直接由定义即可判断，对于B，注意分类讨论解决速度最快了，对于D，通过换元令，这样就不要分或进行讨论了. 36．（23-24高一上·江西九江·期中）设为定义在整数集上的函数，，对任意的整数均有．则下列正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．关于对称 D． 【答案】ABD 【分析】先应用赋值法求出特殊值，然后判断奇偶性和对称性，再由对称性得到函数的周期，最后根据周期求出即可. 【解析】对于A：令，则， 所以，A正确； 对于B：令，则， 又因为，所以； 令取为，则， 即，所以为奇函数，B正确； 对于C：令，则， 所以关于直线对称； 因为关于直线对称且为奇函数，所以， 所以，所以不恒成立， 否则即，与矛盾, 故不关于直线对称，C错误； 对于D：由C知，所以的周期为4， 又 ，所以， 所以， 所以，D正确， 故选：ABD 37．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】根据分段函数解析式、值域、单调性、不等式恒成立等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】A选项，，A选项错误. B选项，当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以函数的值域为，B选项正确. C选项，，所以C选项错误. D选项，不等式在上恒成立， 画出的图象如下图所示， 由，消去并化简得， 由解得（负根舍去）. 将代入得， 结合图象可知. 故选：BD    【点睛】分段函数就是将一个函数分成几段，在每段的解析式都不一样.需要注意的是，分段函数虽然在不同的区间内函数的解析式不同，但是分段函数是一个函数而不是多个函数，仍然是一个整体.一个分段函数可能涉及到多种类型的基本函数，增大考查的知识面，也是函数考查的常考题型. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$