期中测试卷02（第16-17章、19.1-19.5）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

2024-2025年八年级数学上册期中测试卷02（第16-17章、19.1-19.5） 一、单选题 1．式子有意义的条件是（    ） A． B． C． D．且 2．将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 3． 的一个有理化因式是（   ）． A． B． C． D． 4．某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是x，则可以列出方程（    ） A． B． C． D． 5．如图，射线是的平分线，，，若点Q是射线上一动点，则线段的长度不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形 B．如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等 C．如果一个三角形的两个锐角的和为，那么这个三角形是直角三角形 D．如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形 二、填空题 7．比较大小： ．（填“”、“＝”、“”）． 8．方程的根是 ． 9．已知关于x的方程a-3）x2-4x-5=0是一元二次方程，那么a的取值范围是 ． 10．命题“等角对等边”改成“如果……,那么……”的形式： 11．化简： ． 12．方程的根的判别式的值为 ． 13．若最简二次根式与是同类根式，则 ． 14．如图，在 中，，，， ． 15．等腰三角形ABC中，，AB、AC的长是关于x的方程的两根，则m的值是 ． 16．设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ． 17．如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则 ． 18．定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 三、解答题 19．计算： 20．解方程： 21．． 22．已知，求的值 23．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 24．求证：等腰三角形两底角的角平分线相等． 已知： 求证： 证明： 25．如图，是的平分线，于点E，，，，求的长．    26．如图所示，小明的爷爷想用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． 若花圃的面积刚好为54平方米． (1)设花圃段的长为x米，则的长可表示为______米． (2)求花圃段的长x的值． 27．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N． （1）求证：PM＝PN； （2）联结MN，求证：PD是MN的垂直平分线． 28．观察下列等式 ； ； ； …… 请你直接写出以下计算结果： (1)请你猜测_________，_________； (2)针对上述各式显示的规律，请你猜测 ___________（，为整数）； (3)利用上述规律计算： ______（，为整数）． 29．如图，在中，，平分线交于点，点为上一动点，过作直线于，分别交直线、、于点、、． （1）当直线经过点时（如图2），求证：； （2）当是线段的中点时，写出线段和线段之间的数量关系，并证明； （3）请直接写出、和之间的数量关系． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年八年级数学上册期中测试卷02（第16-17章、19.1-19.5） 一、单选题 1．式子有意义的条件是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意得，，求解作答即可． 【解析】解：由题意知，， 解得，， 故选：B． 2．将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是移项得到一般式．根据一元二次方程的一般形式，进行化简即可． 【解析】解：一元二次方程化为一般形式为， 故选：C． 3． 的一个有理化因式是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理化因式的定义即可解答；掌握两个根式相乘的积为有理数成为解题的关键． 【解析】解：∵， ∴ 的一个有理化因式是． 故选A． 4．某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是x，则可以列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．根据该厂今年十月份以及十二月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程． 【解析】解：由题意得：． 故选：D． 5．如图，射线是的平分线，，，若点Q是射线上一动点，则线段的长度不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答． 【解析】解：如图，过点D作于E， 是的角平分线，， ， 由垂线段最短可得， ， ． 故选：A． 6．下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形 B．如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等 C．如果一个三角形的两个锐角的和为，那么这个三角形是直角三角形 D．如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形 【答案】B 【分析】本题考查了互逆命题及真假命题的判断，熟练掌握直角三角形，等边三角形及全等三角形等知识是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，即可求解． 【解析】A、逆命题：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形是轴对称图形，正确，为真命题； B、逆命题：如果两个三角形全等，那么这两个三角形关于某个点成中心对称，错误，为假命题； C、逆命题：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角的和为，正确，为真命题； D、逆命题：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形能够互相重合，正确，为真命题． 故选：B． 二、填空题 7．比较大小： ．（填“”、“＝”、“”）． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的大小的比较，注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【解析】解：∵；， ∴． 故答案为：． 8．方程的根是 ． 【答案】 【分析】利用因式分解法法求解即可． 【解析】∵， ∴， ∴ ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握解法的实质是解题的关键． 9．已知关于x的方程a-3）x2-4x-5=0是一元二次方程，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零，列不等式即可 【解析】解：根据题意可知，， 解得，． 故答案是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程二次项系数不为0，列出不等式是解题关键． 10．命题“等角对等边”改成“如果……,那么……”的形式： 【答案】在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可． 【解析】解：因为条件是：在同一个三角形中，有两个角相等，结论为：这两个角所对的边也相等． 所以改写后为：在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 故答案为在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 【点睛】本题考查命题的定义，难度适中，正确找到条件与结论是解题关键． 11．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，根据二次函数的性质以及求解即可． 【解析】解：由题意，，则 ， 故答案为：． 12．方程的根的判别式的值为 ． 【答案】40 【分析】先根据一元二次方程的定义得出的值，再根据根的判别式计算公式即可得． 【解析】一元二次方程中的， 则其根的判别式为， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式计算公式是解题关键． 13．若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【答案】12 【分析】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，可得，，求出a、b，代入即可求解． 【解析】二次根式与是同类根式， ，， 解得：，， ， 故答案为：12． 14．如图，在 中，，，， ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，根据题意可得垂直平分，则由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得． 【解析】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 15．等腰三角形ABC中，，AB、AC的长是关于x的方程的两根，则m的值是 ． 【答案】或 【分析】等腰三角形ABC中，边可能是腰也可能是底，应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进而求得答案． 【解析】解：∵关于x的方程 ∴，， ∴， ∵是等腰三角形，、的长是关于x的方程的两根 ∴①当为底、两根、均为等腰三角形的腰时，有且 即，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则； ②当为腰、两根、中一个为腰一个为底时，有，即，此时此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则． ∴综上所述，的值为或． 故答案是：或 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等腰三角形的性质、三角形三边关系定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 16．设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合计算，先估算出，进而推出，则可确定，，据此代值计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的整数部分为x，小数部分为y， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17．如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答．根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【解析】解：过点D作， 为的角平分线，    ∵为中点， ∴ 设，则 则， 故答案为：． 18．定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程及根的判别式，理解题中定义和方程的解的意义，得到关于a的方程是解答的关键．先求得方程的解，再根据题中定义和方程的解的意义得到关于a的方程，然后解方程求得a值，结合根的判别式与根的关系即可求解． 【解析】解：由方程得， 解得，， ∵两个一元二次方程和互为联根方程， ∴，是方程的两个根， 当时，则，即， ∵， ∴此方程无实数根，即不是方程的解； 当时，则，即， 解得，， ∵， ∴， 此时，方程为，解得，， 又方程的一个解为，满足题意， 故a的值为． 故答案为：． 三、解答题 19．计算： 【答案】1 【分析】先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【解析】解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的运算，能正确分母有理化是解题的关键． 20．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，提取公因式后整理得， ，继而可得两个关于x的一元一次方程，解之可得． 【解析】， ， ， ， ． 21．． 【答案】， 【分析】利用因式分解法求解即可；本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 【解析】解：∵ ∴ ∴ 则或 解得， ． 22．已知，求的值 【答案】35 【分析】本题考查了二次根式的化简求值和整式的混合运算，首先利用分母有理化求出x和y的值，然后求出，，然后将利用完全平方公式变形为，然后代入求解即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【解析】∵，， ∴，， ∴ ． 23．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程： （1）求出判别式的符号，判断即可； （2）因式分解法解方程，再根据其中一个根是另一个根的3倍，分两种情况进行讨论求解即可． 【解析】（1）解：证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， ∴或， ∴， ∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍， ∴或， 解得或（舍去）， ∴a的值为4． 24．求证：等腰三角形两底角的角平分线相等． 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】根据命题先设置出题目条件和所需证明的结论，再利用全等三角形的判定与性质作答即可． 【解析】已知：在中，，，分别是和的角平分线， 求证：． 证明：∵， ∴， ∵，分别是和的角平分线， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形两底角的角平分线相等的证明方法，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 25．如图，是的平分线，于点E，，，，求的长．    【答案】． 【分析】此题考查了角平分线的性质．首先过点D作于点F，根据角平分线的性质，可得，然后由，求得答案． 【解析】解：过点D作于点F，如图，    ∵是的平分线，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 26．如图所示，小明的爷爷想用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． 若花圃的面积刚好为54平方米． (1)设花圃段的长为x米，则的长可表示为______米． (2)求花圃段的长x的值． 【答案】(1) (2)花圃段的长x的值为6 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出一元二次方程模型并运用一元二次方程解决实际问题． （1）设花圃的宽为米，由长为25米的篱笆，在上用其他材料造了宽为1米的两个小门，列出长的代数式即可； （2）在上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长变为，根据面积为54，列出方程，解得． 【解析】（1）． 故答案为：； （2）， 化简得：， 解得：，． 当时，，不符合要求； 当时，，符合要求． 答：花圃段的长x的值为6． 27．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N． （1）求证：PM＝PN； （2）联结MN，求证：PD是MN的垂直平分线． 【答案】（1）见解析   （2）见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可得到答案； （2）利用“HL”证明Rt△PDM≌Rt△PDN，根据全等三角形对应边相等可得DM＝DN，然后根据线段的垂直平分线性质定理的逆定理即可得到结论； 【解析】解：(1) ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中， , ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）； （2）在Rt△PDM和Rt△PDN中， ， ∴Rt△PDM≌Rt△PDN（HL）， ∴DM＝DN， ∴D在MN的垂直平分线上， ∵PM＝PN， ∴P在MN的垂直平分线上， ∴PD是MN的垂直平分线． 【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB和DM=DN是解题的关键． 28．观察下列等式 ； ； ； …… 请你直接写出以下计算结果： (1)请你猜测_________，_________； (2)针对上述各式显示的规律，请你猜测 ___________（，为整数）； (3)利用上述规律计算： ______（，为整数）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理数，熟练掌握相分母有理化的方法和步骤是解题的关键． （1）根据题目所给的运算方法进行计算即可； （2）根据题目所给的运算方法进行计算即可； （3）根据（1）（2）的运算结果，将算式化简，根据平方差公式将分母有理化，再进行计算即可． 【解析】（1）解：根据题意可得： ， ， 故答案为：，． （2）解：， 故答案为：． （3）解：根据题意可得： ， 故答案为：． 29．如图，在中，，平分线交于点，点为上一动点，过作直线于，分别交直线、、于点、、． （1）当直线经过点时（如图2），求证：； （2）当是线段的中点时，写出线段和线段之间的数量关系，并证明； （3）请直接写出、和之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）CD=2CE，证明见解析；（3）当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE-BN． 【分析】（1）连接ND，先由已知条件证明DN=DC，再证明BN=DN即可； （2）当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，过点C作CN'⊥AO交AB于N'．过点C作CG∥AB交直线l于G，再证明△BNM≌△CGM问题得证； （3）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时；由（2）即可得出结论． 【解析】（1）证明：连接ND，如图2所示： ∵AO平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵直线l⊥AO于H， ∴∠AHN=∠AHE=90°， ∴∠ANH=∠AEH， ∴AN=AC， ∴NH=CH， ∴AH是线段NC的中垂线， ∴DN=DC， ∴∠DNH=∠DCH， ∴∠AND=∠ACB， ∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B， ∴∠B=∠BDN， ∴BN=DN， ∴BN=DC； （2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的数量关系为CD=2CE，理由如下： 过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示： 由（1）得：BN'=CD，AN'=AC，AN=AE， ∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE， ∵CG∥AB， ∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG， ∴∠CGE=∠AEN， ∴CG=CE， ∵M是BC中点， ∴BM=CM， 在△BNM和△CGM中， ∴△BNM≌△CGM（ASA）， ∴BN=CG， ∴BN=CE， ∴CD=BN'=NN'+BN=2CE； （3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；理由如下： 过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示： 由（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN+CE； 当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE；理由如下： 过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示： 同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN-CE； 当点M在CB的延长线上时，CD=CE-BN；理由如下： 过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示： 同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=CE-BN． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$