专题07 整式加减中的有关规律问题（五大题型突破练）压轴题常考题型突破分类专练 2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

专题07 整式加减中的有关规律问题（五大题型突破练） 【解题必备知识】 整式规律探索是数学中一种常见的题型，它要求通过观察、分析一系列整式（如多项式、单项式等）的变化规律，找出它们之间的共同特征或变化趋势，并据此预测或证明更一般的结论。一般的解题思路： 1.仔细观察 单项式：注意系数、指数（或次数）的变化规律。 多项式：观察各项的系数、次数以及项数的变化规律。 2.归纳猜想 根据观察到的规律，尝试归纳出一个一般性的结论或公式。 3.验证猜想 使用数学归纳法或其他证明方法验证你的猜想。 4.推广总结 计算并得出结论 【压轴题常考题型突破练】 【题型梳理】 【题型1】 单项式规律问题 【题型2】 数字类规律问题 【题型3】 图形类规律问题 【题型4】 数表类规律问题 【题型5】 新定义规律问题 【题型1】 单项式规律问题 【例1】观察下面的一列单项式： x，， ，，……，根据你发现的规律，第7个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律探究，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 根据已知的式子可以得到系数的绝对值为，奇数个为正，偶数个为负，x的指数是式子的序号n． 【解答】解：第一个单项式：， 第二个单项式：， 第三个单项式：， 第四个单项式：， … 第n个单项式：n为奇数时，n为偶数时． ∴第7个单项式：， 故答案为：． 【变式1-1】有一组单项式：a2，，，，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了数字变化规律，根据题意得出各项变化规律是解题关键．根据题意得出各项系数以及次数和分母的变化规律，即可得出答案． 【解答】解：注意观察各单项式系数和次数的变化，系数依次是1（可以看成是），，，据此推测，第十项的系数为；次数依次是2，3，4，5…据此推出，第十项的次数为11．所以第十个单项式为． 故选：D 【变式1-2】按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化类，分别从符号、系数与指数三个方面找规律，再计算即可． 【解答】解：解：∵， ， ， ， ， …… 由上可知，第n个单项式是：． 故选：C． 【变式1-3】按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律题，结合题意确定单项式变化规律是解题关键．由题意可知，奇数个数的系数为负，偶数个数的系数为正，系数的绝对值分别为序数的平方，次数为序数加1，即可求解． 【解答】解：根据题意，，，，，，…， 则第个单项式是． 故答案为：． 【变式1-4】一组按照规律排列的式子如下：、、、、、……，请根据规律写出第21个式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式规律问题的求解能力，关键是根据所给代数式准确归纳出该组代数式的规律． 根据各式符号、式子的规律求解此题即可． 【解答】根据、、、、，得第各式子是，所以第21 个式子是． 故选：C． 【变式1-5】观察下列一系列单项式的特点： ，﹣x2y2，x2y3，﹣x2y4，… (1)写出第8个单项式； (2)猜想第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【答案】(1) (2)第n个单项式是，系数是，次数n+2 【分析】（1）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案； （2）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案． 【解答】（1）解：由观察下列单项式：，﹣x2y2，x2y3，﹣x2y4，…，得 系数是，字母部分是， 第8个单项式； （2）解：由观察下列单项式：，﹣x2y2，x2y3，﹣x2y4，…，得 第n个单项式是，系数是，字母部分是，次数n+2． 【点评】本题考查了单项式，观察发现规律系数是，字母部分是是解题关键． 【变式1-6】在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：，，．，，则第n个单项式是什么？” (1)首先杨老师给出如下四个引导问题： ①这组单项式中不变的是什么？直接写下来． ②这组单项式中系数的符号规律是什么？ ③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？ ④这组单项式的次数规律是什么？ 同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究： ⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数） ⑥第2023个单项式是__________． (2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移． 按一定规律排列的等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， 第n个等式是：__________（n是正整数）； (3)请你利用以上结论计算的值． 【答案】(1)⑤；⑥ (2) (3)8088 【分析】本题主要考查了数字的变化规律．解题关键是熟练掌握数字的变化情况总结所给式子中存在的规律． （1）由所给的单项式得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：，指数为从1开始的自然数，据此即可归纳出规律，并求解； （2）由题意得，相邻奇数的平方差是8的倍数，结合前四个等式即可按规律推得第n个等式； （3）直接利用（2）中总结出的规律，求解即可． 【解答】（1）⑤观察得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：，指数为从1开始的自然数， ∴第n个单项式为； 故答案为：； ⑥根据该规律可得第2023个单项式， ； 故答案为： ； （2）∵第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， ∴可以看出，相邻两奇数的平方差是8的倍数， ∴按规律，第n个等式是： （n是正整数）；． 故答案为： ； （3）由（2）得： ， 故的值为：8088． 【题型2】 数字类规律问题 【例2】依次排列的两个整式，将第1个整式乘2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式；，以此类推，下列4个说法，其中正确的结论有（   ）个． ①第6个整式为； ②第个整式中系数与系数的和为1； ③若，则前个整式之和为． ④第次与第次操作后得到的两个整式中与所有系数的绝对值之和为； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】先根据题意得出前面五次操作的结果，再进行观察，分析得出规律，结合举反例的方法，从而可得答案． 【解答】解：①第1个整式：， 第2个整式：， 第3个整式：，（第一次操作） 第4个整式：，（第二次操作） 第5个整式：，（第三次操作） 第6个整式：，（第四次操作） 第7个整式：，（第五次操作） 故①错误； 由前面7个等式可得的系数之和为， ∴第个整式中系数与系数的和为；故②错误； ∵，当时，前3个整式之和为： ，故③错误； 当时，第一次操作得，第二次操作得， 此时所有的系数的绝对值之和为， 此时，故④错误， 故选A 【点评】本题考查的是整式的加减运算，整式的加减运算中的规律探究，举反例方法的应用，绝对值的含义，掌握探究的方法是解本题的关键． 【变式2-1】按一定规律排列的数：，，，，，则这列数的第个数是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据规律分别找到分子、分母及符号的规律即可解答，分别找到分子、分母及符号的规律是解题的关键． 【解答】解：分子，，，，的规律为， 分母，，，，的规律为， 符号的规律为， 故第个数为， 故选：． 【变式2-2】如图，从原点开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；按此规律，继续画半圆，则第7个半圆的面积为 ．（结果保留） 【答案】． 【分析】本题以图形作为背景考查数字变化规律，根据已知得出第个半圆的直径为是解题的关键． 先根据规律得出第个半圆的直径为，再除以得到半径，进而可求出第个半圆的面积． 【解答】解：根据已知可得出第个半圆的直径为， 第个半圆的直径为：，半径为32， 第7个半圆的面积为：， 故答案为：． 【变式2-3】已知，，，，，，是一列数，，，任意三个相邻的数之和为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类的问题．先根据题意得出，，，，进而由，求出的值，即可求得的值，继续得出规律，即可得出结论．求出的值是解题的关键，难点是判断出哪几个数在循环． 【解答】解：∵任意三个相邻的数之和为， ∴，，，， 得：， ∴， ∵，， ∴， 将，代入得：， ∵， ∴，，， ∴，，，，，，是，，三个数循环， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2-4】已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数既是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，∵，∴321是“和数”；∵，∴321是“谐数”；∴321是“和谐数”． (1)证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数； (2)已知（，，且、均为正整数）是一个“和数”，请求出所有的值． 【答案】(1)见解析 (2)734或770 【分析】本题考查数字类问题，熟练掌握“和数”与“谐数”的概念是解题的关键． （1）设“谐数”的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，根据“谐数”的概念得，由及必然一奇一偶可得答案； （2）将a变形为，根据“和数”的定义得出，再根据m，n的取值范围得出m，n的值，即可求解． 【解答】（1）解：设“谐数”的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，其中，且x，y，z为整数， 由题意知：， ， 的奇偶性相同， 必定一奇一偶， 必为偶数， 任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数； （2）解：， ， ， ， ， a为“和数”， ，即， ，，且、均为正整数， 或， ， 或， a的值为734或770． 【变式2-5】从，，三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，称为一次操作，下列说法： 若，，，则，，三个数中最大的数是； 若，，，且，，中最小值为，则或； 给定，，三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第次操作的结果是，，，则的值为定值． 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字变化的规律，根据题中所给计算方式，依次进行计算即可解决问题，能根据所给计算方式发现规律是解题的关键． 【解答】解：由题知， 因为，，， 所以，，， 则， 所以，，三个数中最大的数是； 故正确． 因为，，， 所以，，． 又因为，，中最小值为， 若， 解得， 此时，，且，故符合题意． 若， 解得， 此时，，故不符合题意． 若， 解得， 此时，，且，故符合题意． 所以或． 故正确． 由题知， ； ； ， 依次类推，； 所以的值为定值． 故正确． 故选：． 【变式2-6】把正整数1，2，3，4…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、…．用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A、B、C、D．设． （1）在图1中，2022排在第______行第______列； （2）排在第行第列的数为______．（其中，，且、都是正整数） （3）的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； （4）将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时的值能否为3918？如果能，请求出所表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）253，6；（2）．（3）是定值0；（4）不能为3918． 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键在于找到被阴影覆盖的这些数． （1）每一行有8个数，则，则可判断2022的位置； （2）通过分析，总结出规律即可； （3）分别用含的式子表示出，，，，再由所给的等式可得的值是定值； （4）变化之后，奇数为负，偶数为正，分两种情况进行讨论：①为奇数；②为偶数，从而可求得相应的值，再进行判断即可． 【解答】（1）解： ， 排在第253行第6列； （2）解：第一行第n列的数为n， 第二行第n列的数为， 第三行第n列的数为， … 当，，且、都是正整数时， 第行第列的数为， 故答案为：． （3）解：的值是定值0，理由如下： 由题意得：，，，， ， 的值是定值；定值为0． （4）解：不能，理由如下： 变化之后，奇数为负，偶数为正， 则①当为奇数时， 得：，，， 若， 则， 解得：（不符合题意）， ②当为偶数时， ，，， 若， 则， 解得：（符合题意）， ， 所表示的数为966． 因为， 此时在第121行，第6列． 此时图2的方框只能框到3列数，、都框不到数了， 所以的值不能为3918． 【题型3】 图形类规律问题 【例3】找出图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是（   ） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】本题考查了图形的规律变化类，根据图形的变化规律归纳出第个图形中黑色正方形的数量即可求解，通过图形找到变化规律是解题的关键． 【解答】解：根据图形变化规律可知： 第个图形中黑色正方形的数量为， 第个图形中黑色正方形的数量为， 第个图形中黑色正方形的数量为， 第个图形中黑色正方形的数量为， ， ∴当为奇数时，黑色正方形的个数为， 当为偶数时，黑色正方形的个数为， ∴第个图形中黑色正方形的数量是， 故选：． 【变式3-1】如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为， …， 依次类推， 则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】本题主要考查图形的变化类，解题的关键是得出 及． 【解答】解： ， ， ， ； ， 故选: D． 【变式3-2】如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为 ． 【答案】85 【分析】本题考查了图形变化的规律，能根据图形得出第n个图案点和三角形的个数规律是解题关键．根据图案得到第n个图案点的个数为个；三角形有个，再求出第10个图案点的个数为个；三角形有个，问题得解． 【解答】解：由所给图案可得： 第1个图案点的个数为个；三角形有1个； 第2个图案点的个数为个；三角形有个； 第3个图案点的个数为个；三角形有个； …… 所以第n个图案点的个数为个；三角形有个； 所以第10个图案点的个数为个；三角形有个， 所以第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为个． 故答案为：85 【变式3-3】汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（   ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 【答案】D． 【分析】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题．根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可． 【解答】解：时，； 时，小盘柱，大盘柱，小盘从3柱柱，完成，即； 时，小盘柱，中盘柱，小盘从2柱柱，大盘柱，再用的方法转移， 即， 以此类推，， ． 故选：D． 【变式3-4】观察如图所示的图形，回答下列问题： （1）图中的点被线段隔开分成四层，第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有5个点，第四层有______个点； （2）如果要你继续画下去，那么第五层有多少个点？ （3）某一层有77个点，你知道这是第几层吗？ （4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和是多少？前四层的和是多少？根据你的推测，前十二层的和是多少？ 【答案】（1）7. （2）9. （3）39. （4）144. 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）由图形即可得出答案； （2）由题意得出规律：第层有个点，由此计算即可得解； （3）由（2）可得，第层有个点，令，计算即可得解； （4）分别计算出第一层与第二层的和，前三层的和、前四层的和，得出规律前层的和是，即可得解． 【解答】（1）解：由图可得：第四层有个点； （2）解：∵第一层有个点， 第二层有个点， 第三层有个点， 第四层有个点， …， ∴第层有个点， ∴第五层有个点； （3）解：由（2）可得，第层有个点， 令， 解得：， ∴某一层有77个点，这是第层； （4）解：第一层与第二层的和是：， 前三层的和是：； 前四层的和是：； …， 故前层的和是：， ∴前十二层的和是：． 【变式3-5】将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去． （1）如果剪n次共能得到 个等边三角形． （2）若原等边三角形的边长为1，设表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如． ①试用含的式子表示 ； ②计算 ． 【答案】见解答 【分析】本题主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每剪一次，等边三角形的个数增加3，据此写出代数式即可； （2）①依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答； ②运用①中的结论进行解答即可． 【解答】（1）解：由题意可知： 剪1次共得到的等边三角形个数为：； 剪2次共得到的等边三角形个数为：； 剪3次共得到的等边三角形个数为：； …， 所以剪n次共得到的等边三角形个数为个． 故答案为：． （2）解：①因为原等边三角形的边长为1， 所以第1次所剪出的小等边三角形的边长为：； 第2次所剪出的小等边三角形的边长为：； 第3次所剪出的小等边三角形的边长为：； …， 所以第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，即， 故答案为：； ②由①题可知： ； 令①， 则②， 得： ， 即． 故答案为：． 【变式3-6】如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是______ ； （2）以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； （3）______； （4）计算：； （5）请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 【答案】见解答 【分析】本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）甲同学： ；乙同学：得，，计算求解即可； （3）设，则，，计算求解即可； （4）同理（3）计算求解即可； （5）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推，则图中阴影部分的面积为，可得一般性规律为，整理得，然后求解即可；乙同学：令，则，，计算求解即可． 【解答】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：甲同学： ； 乙同学：①，② 得，， 故答案为：； （3）解：设，则， ∴， 故答案为：； （4）解：令，则， ∴， ∴； （5）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推， 则图中阴影部分的面积为， ∴可得一般性规律为：，整理得， ∴； 乙同学：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 【题型4】 数表类规律问题 【例4】观察下面三行数： ，9，，81……① 1，，9，……② ，10，，82……③ 设x，y，z分别为第①②③行的202个数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A． 【分析】本题考查数字类规律探究、代数式求值，找到每行数字的变化规律是解答的关键．先根据每行前几个数字的变化得到变化规律，进而求得a、b、c，然后代值求解即可． 【解答】解：①由，9，，81……，得第n个数为，则； ②由1，，9，……，得第n个数为，则； ③由，10，，82……，得第n个数为，则， ∴ ， 故选：A． 【变式4-1】观察一列数：， 2，， 4，， 6，， …， 将这列数排成如图所示形式． 记(记对应的数为第i行(最上为第1行) 第j列(最左为第1列)的数，如那么，对应的数为 ． 2 4 6 8 10 12 14 16 ……… 【答案】． 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察每一行最后一个数可得规律第n行最后一个数为，据此求出第8行最后一个数为64，再根据第9行第9个数与第8行最后一个数相隔9，即可得到答案． 【解答】解：由题意得，第一行最后一个数为， 第二行最后一个数为， 第三行最后一个数为， 第四行最后一个数为， ……， 以此类推，可知第n行最后一个数为， ∴第8行最后一个数为， ∴对应的数为， 故答案为：． 【变式4-2】六个互不相等的正整数按如图所示的方式排列，箭头所指向的数等于指向它的两个数的和，例如，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】此题考查了数字型规律，由题意得，，， 则，要取最小值，则取最小值，然后讨论即可求解，通过观察，分析，归纳并发现规律是解题的关键． 【解答】解：由题意得：，，， ∴， ∵取最小值， ∴是最小值，不妨设 ，，，不符合题意， ，，，符合题意， ∴，， ∴的最小值为， 故选：． 【变式4-3】根据图中数字的规律，若第个图中时，则的值为（   ）． A．168 B．169 C．195 D．196 【答案】A． 【分析】在“”区域的规律是第个图：，在“”区域的规律是第个图：，在“”区域的规律是：第个图：；由，可求出，代入的规律即可求解． 【解答】解：由图得 在“”区域的规律是： 第个图：， 第个图：， 第个图：， 第个图：； 在“”区域的规律是： 第个图：， 第个图：， 第个图：， 第个图：； 在“”区域的规律是： 第个图：， 第个图：， 第个图：， 第个图：； 当时， ， ， ； 故选：A． 【变式4-4】如图，在年月的日历表中用优美的“”形框住五个数，框出2，8，，，五个数，它们的和为，移动“”的位置又框出五个数，则框出五个数的和不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式加法运算的应用．正确表示五个数是解题的关键． 设从小到大框出的最小的数为，则依次从小到大为，，，，，则框出五个数的和为，令与各选项相等，求出满足要求的值即可． 【解答】解：设从小到大框出的最小的数为，则依次从小到大为，，，，， ∴框出五个数的和为， 令， 解得，， ∴A不符合要求； 令， 解得，， ∴B不符合要求； 令， 解得，， ∵是最后一列数，则为第8列数，不满足日历， ∴C符合要求； 令， 解得，， ∴D不符合要求； 故选：C． 【变式4-5】如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 1 a b c 8 … （1）填空：__________，__________，__________，第2022个格子中的数是____________． （2）前n个格子中所填整数之和是否可能为2021？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． （3）如果在前n个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有这样的差值累加起来称为前n项的累差值，例如，前3项的累差值列式为，那么前10项的累差值为多少？ 【答案】见解答 【分析】本题考查数字的变化类、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题意和表格中的数据，可以得到a、b、c的值，然后即可得到第2012个格子中的数； （2）先判断是否存在，然后根据判断进行解答即可； （3）根据题意和（1）中的规律，可以计算出前10项的累差值． 【解答】（1）解：根据题意可得：， ∴，， ∵表格中有数字， ∴， 由题意可知表格中的数字依次以1、8、循环出现， ∵， ∴第2022个格子中的数是， 故答案为：8，，1，； （2）解：前n个格子中所填整数之和可能为2021， 理由：∵， ∴， ∵最后5个数的和为， ∴当时，和也为2021， ∴n的值为1516或1511； （3）解：由（1）可知，表格中的数字依次以1、8、循环出现， 当时，， ∴前10个数中，1出现4次，8出现3次，也出现3次， ∴前10项的累差值为： ． 【变式4-6】观察下列数表： （1）根据数表反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为___________． （2）第n行与第n列的交叉点上的数应为___________．（用含正整数n的式子表示） （3）左上角的正方形虚线框内所有数字之和是___________． （4）在数表中任取几个的正方形，计算其中所有数字之和，归纳你得出的结论． 【答案】（1）11；（2）；（3）0；（4）任取的正方形上的四个数字的和都是0． 【分析】（1）观察所给四行可知，第1行与第1列的交叉点上的数是1，第2行与第2列的交叉点上的数是，第3行与第3列的交叉点上的数是，第4行与第4列的交叉点上的数是，据此可求出，第6行与第6列的交叉点上的数； （2）根据前面观察出的规律，可写出第n行与第n列的交叉点上的数； （3）利用有理数加法计算即可； （4）根据所得规律，表示出四个数相加即可求出结论． 【解答】（1）解：第1行与第1列的交叉点上的数是1， 第2行与第2列的交叉点上的数是， 第3行与第3列的交叉点上的数是， 第4行与第4列的交叉点上的数是， 所以，第6行与第6列的交叉点上的数是， 故答案为：11； （2）解：由（1）中规律可知：第n行与第n列的交叉点上的数应为， 故答案为：； （3）解：， 故答案为：0； （4）解：设的正方形左上角的数是，则左下角的数是，右上角的数是，右下角的数是， 所以，四个数的和是， 设的正方形左上角的数是，则左下角的数是，右上角的数是，右下角的数是， 所以，四个数的和是， 结论：任取的正方形上的四个数字的和都是0． 【题型5】 新定义规律问题 【例5】定义：若，则称 与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于 的相关数，，的值与无关，求的值． 【答案】(1)3 (2)8 【分析】（1）根据相关数的定义得到，从而得到a的值； （2）根据相关数的定义得到，从而，根据B的值与m无关得到，求出n的值，从而得到B的值． 本题考查了合并同类项，新定义问题，掌握与m无关就合并同类项后让m前面的系数等于0是解题的关键． 【解答】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴ ∴ ∵B的值与m无关， ∴， ∴， ∴． 答：B的值为8． 【变式5-1】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据题意，可以写出这列数的前几个数，然后即可发现数字的变化特点，即可得出结果． 【解答】解： 故每三个数是一组循环数字， ∵， ∴； 故选C． 【变式5-2】规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义，根据新定义的法则，进行求解即可． 【解答】解：由题意：， ∴； 故选B． 【变式5-3】符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1） ，…（2），，，，…，利用以上规律计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了数字类规律探究，有理数混合运算，根据已知的运算发现规律并运用规律解答是解题的关键． 根据（1）得，根据（2）可得，结合公式计算即可． 【解答】解：∵， ， ， ，… ∴， ∵， ， ， ，… ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式5-4】定义：若，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与是关于的平均数，7与13是关于10的平均数． (1)填空：2与_______是关于的平均数，______与是关于2的平均数； (2)现有与（k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，求n的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题： （1）根据所给的定义列式计算即可； （2）先根据整式的加减计算法则求出，再根据a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，得到，则，再由，即可求出答案． 【解答】（1）解：设2与m是关于的平均数， ∴， ∴； 设n与是关于2的平均数， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）解：∵与， ∴ ， ∵a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-5】定义一种新运算“”：，比如：． (1)_____________；_____________； (2)当时，是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出一组的具体值加以说明； (3)若，比较与的大小． 【答案】(1)16， (2)不成立，说明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减，解题的关键是： （1）直接根据新定义，代入计算即可； （2），假设分别代入计算即可发现结论；； （3）化简和，再计算，根据结果分类讨论即可． 【解答】（1）解：； ； （2），假设 则：； ； 故不成立； （3） ； ； 当时，； 当时，； 当时，． 【变式5-6】阅读理解题 我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9 (1)已知多项式，，则关于的“雅常值”是______； (2)多项式是多项式的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式，求多项式 (3)已知多项式（为常数），，是的“雅常式”，求关于的“雅常值” 【答案】(1)1 (2) (3)4 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可． （1）计算即可求解； （2）由题意得，据此即可求解； （3）计算，令含未知数的项的系数为零即可求解． 【解答】（1）解：∵，， ∴， ∴关于的“雅常值”是1 故答案为： （2）解：多项式是的“雅常式”且“雅常值”是3， ， . （3）解： . 是的雅常式， ， ， ， 关于的“雅常值”是4. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 整式加减中的有关规律问题（五大题型突破练） 【解题必备知识】 整式规律探索是数学中一种常见的题型，它要求通过观察、分析一系列整式（如多项式、单项式等）的变化规律，找出它们之间的共同特征或变化趋势，并据此预测或证明更一般的结论。一般的解题思路： 1.仔细观察 单项式：注意系数、指数（或次数）的变化规律。 多项式：观察各项的系数、次数以及项数的变化规律。 2.归纳猜想 根据观察到的规律，尝试归纳出一个一般性的结论或公式。 3.验证猜想 使用数学归纳法或其他证明方法验证你的猜想。 4.推广总结 计算并得出结论 【压轴题常考题型突破练】 【题型梳理】 【题型1】 单项式规律问题 【题型2】 数字类规律问题 【题型3】 图形类规律问题 【题型4】 数表类规律问题 【题型5】 新定义规律问题 【题型1】 单项式规律问题 【例1】观察下面的一列单项式： x，， ，，……，根据你发现的规律，第7个单项式为 ． 【变式1-1】有一组单项式：a2，，，，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是(   ) A． B． C． D． 【变式1-3】按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是 ．（用含的代数式表示） 【变式1-4】一组按照规律排列的式子如下：、、、、、……，请根据规律写出第21个式子为（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】观察下列一系列单项式的特点： ，﹣x2y2，x2y3，﹣x2y4，… (1)写出第8个单项式； (2)猜想第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【变式1-6】在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：，，．，，则第n个单项式是什么？” (1)首先杨老师给出如下四个引导问题： ①这组单项式中不变的是什么？直接写下来． ②这组单项式中系数的符号规律是什么？ ③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？ ④这组单项式的次数规律是什么？ 同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究： ⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数） ⑥第2023个单项式是__________． (2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移． 按一定规律排列的等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， 第n个等式是：__________（n是正整数）； (3)请你利用以上结论计算的值． 【题型2】 数字类规律问题 【例2】依次排列的两个整式，将第1个整式乘2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式；，以此类推，下列4个说法，其中正确的结论有（   ）个． ①第6个整式为； ②第个整式中系数与系数的和为1； ③若，则前个整式之和为． ④第次与第次操作后得到的两个整式中与所有系数的绝对值之和为； A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-1】按一定规律排列的数：，，，，，则这列数的第个数是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，从原点开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；按此规律，继续画半圆，则第7个半圆的面积为 ．（结果保留） 【变式2-3】已知，，，，，，是一列数，，，任意三个相邻的数之和为，则 ． 【变式2-4】已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数既是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，∵，∴321是“和数”；∵，∴321是“谐数”；∴321是“和谐数”． (1)证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数； (2)已知（，，且、均为正整数）是一个“和数”，请求出所有的值． 【变式2-5】从，，三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，称为一次操作，下列说法： 若，，，则，，三个数中最大的数是； 若，，，且，，中最小值为，则或； 给定，，三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第次操作的结果是，，，则的值为定值． 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【变式2-6】把正整数1，2，3，4…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、…．用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A、B、C、D．设． （1）在图1中，2022排在第______行第______列； （2）排在第行第列的数为______．（其中，，且、都是正整数） （3）的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； （4）将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时的值能否为3918？如果能，请求出所表示的数；如果不能，请说明理由． 【题型3】 图形类规律问题 【例3】找出图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为， …， 依次类推， 则 的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为 ． 【变式3-3】汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（   ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 【变式3-4】观察如图所示的图形，回答下列问题： （1）图中的点被线段隔开分成四层，第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有5个点，第四层有______个点； （2）如果要你继续画下去，那么第五层有多少个点？ （3）某一层有77个点，你知道这是第几层吗？ （4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和是多少？前四层的和是多少？根据你的推测，前十二层的和是多少？ 【变式3-5】将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去． （1）如果剪n次共能得到 个等边三角形． （2）若原等边三角形的边长为1，设表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如． ①试用含的式子表示 ； ②计算 ． 【变式3-6】如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是______ ； （2）以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； （3）______； （4）计算：； （5）请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 【题型4】 数表类规律问题 【例4】观察下面三行数： ，9，，81……① 1，，9，……② ，10，，82……③ 设x，y，z分别为第①②③行的202个数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式4-1】观察一列数：， 2，， 4，， 6，， …， 将这列数排成如图所示形式． 记(记对应的数为第i行(最上为第1行) 第j列(最左为第1列)的数，如那么，对应的数为 ． 2 4 6 8 10 12 14 16 ……… 【变式4-2】六个互不相等的正整数按如图所示的方式排列，箭头所指向的数等于指向它的两个数的和，例如，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】根据图中数字的规律，若第个图中时，则的值为（   ）． A．168 B．169 C．195 D．196 【变式4-4】如图，在年月的日历表中用优美的“”形框住五个数，框出2，8，，，五个数，它们的和为，移动“”的位置又框出五个数，则框出五个数的和不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-5】如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 1 a b c 8 … （1）填空：__________，__________，__________，第2022个格子中的数是____________． （2）前n个格子中所填整数之和是否可能为2021？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． （3）如果在前n个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有这样的差值累加起来称为前n项的累差值，例如，前3项的累差值列式为，那么前10项的累差值为多少？ 【变式4-6】观察下列数表： （1）根据数表反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为___________． （2）第n行与第n列的交叉点上的数应为___________．（用含正整数n的式子表示） （3）左上角的正方形虚线框内所有数字之和是___________． （4）在数表中任取几个的正方形，计算其中所有数字之和，归纳你得出的结论． 【题型5】 新定义规律问题 【例5】定义：若，则称 与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于 的相关数，，的值与无关，求的值． 【变式5-1】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则（   ） A． B．3 C． D．1 【变式5-2】规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1） ，…（2），，，，…，利用以上规律计算： ． 【变式5-4】定义：若，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与是关于的平均数，7与13是关于10的平均数． (1)填空：2与_______是关于的平均数，______与是关于2的平均数； (2)现有与（k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，求n的值． 【变式5-5】定义一种新运算“”：，比如：． (1)_____________；_____________； (2)当时，是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出一组的具体值加以说明； (3)若，比较与的大小． 【变式5-6】阅读理解题 我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9 (1)已知多项式，，则关于的“雅常值”是______； (2)多项式是多项式的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式，求多项式 (3)已知多项式（为常数），，是的“雅常式”，求关于的“雅常值” 学科网（北京）股份有限公司 $$