专题26.1 九年级上册押题重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

九年级上册押题重难点检测卷 【人教版】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握内容的具体情况！ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24九年级·浙江台州·自主招生）在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（　　） A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位 2．（3分）（23-24九年级·河北秦皇岛·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则（   ） A．一根为0 B．一根为 C．一根为 D．无实根 3．（3分）（2024·辽宁营口·中考真题）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　） A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84 4．（3分）（23-24九年级·全国·期末）如图，，，都是上的点，与交于点，过点且与相切的直线与的延长线交于点．，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（3分）（2024·湖北武汉·模拟预测）二次函数，若对满足的任意x都有，则实数a的范围为（    ） A．且 B． C． D．或 6．（3分）（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（3分）（23-24九年级·全国·单元测试）已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．（3分）（2024·江苏泰州·中考真题）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（    ） A． B． C． D． 9．（3分）（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在同一个圆中作出圆的内接正三角形 和正八边形 ，若连接 ，则 的度数是 （     ） A． B． C． D． 10．（3分）（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线交x轴于，，交y轴负半轴于点C，顶点为D，下列结论：①；②；③若方程的两根分别为m，n，则；④当是等腰直角三角形时，；⑤抛物线上有两点、，且，若，则．正确的有（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24九年级·内蒙古·阶段练习）若二次函数的图象经过，，三点，则关于，，的大小关系为 (用号连接) ． 12．（3分）（2024·辽宁锦州·中考真题）若关于x的方程有两个不相等的实数根，且，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是 ． 13．（3分）（2024·河南信阳·模拟预测）如图，等边的边长为2，的内切圆与三边的切点分别为，，，以点为圆心，为半径作，则阴影部分的面积为 ． 14．（3分）（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ． 15．（3分）（2024·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，内接于且，弦平分，连接，．若，，则 ， ．    16．（3分）（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是 ． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）（23-24九年级·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 18．（6分）（23-24九年级·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)求小球P在x轴上的落点坐标； (3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数． 19．（6分）（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中， (1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； (3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 20．（8分）（23-24九年级·辽宁阜新·阶段练习）十一国庆期间，某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下： 购票人数 收费标准 不超过25人 50元/人 超过25人 每增加1人，每张票的单价减少2元，但单价不低于28元． 某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，设这批员工共有x人． (1)当时，该公司应支付购票费用多少元？当时，该公司应支付购票费用多少元？ (2)若该公司观看此场演出超过25人，共支付1050元的购票费用，求出此时的x值？ 21．（8分）（2024·山东东营·中考真题）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图； (2)调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时． (3)学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率． 22．（9分）（2024·上海·中考真题）已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结． （1）求证：； （2）联结，当时，求证：四边形为矩形． 23．（9分）（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．    (1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； (2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； (3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 24．（10分）（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．    (1)求证：是的切线； (2)判断的形状，并说明理由； (3)当时，求的长． 25．（10分）（23-24九年级·江苏盐城·阶段练习）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由； (3)如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上册押题重难点检测卷 【人教版】 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24九年级·浙江台州·自主招生）在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（　　） A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的平移，抛物线与轴的交点坐标，根据平移规则，将二次函数的图象，向下平移3个单位即可． 【详解】∵平移二次函数的图象，使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度， ∴将二次函数的图象向下平移3个单位得， ∵与x轴的交点坐标为， ∴与x轴两交点间的距离为2个单位长度．满足题意； 故选：B． 2．（3分）（23-24九年级·河北秦皇岛·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则（   ） A．一根为0 B．一根为 C．一根为 D．无实根 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子左边=右边，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：A.当时，， 即方程一根为0，只有当时成立， 故选项错误，不符合题意； B. 当时，， 故选项正确，符合题意； C. 当时，， 即方程一根为，只有当时成立， 故选项错误，不符合题意； D. 当时，， ∴原方程一定有实根， 故选项错误，不符合题意， 故选：B 3．（3分）（2024·辽宁营口·中考真题）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　） A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84 【答案】B 【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键． 4．（3分）（23-24九年级·全国·期末）如图，，，都是上的点，与交于点，过点且与相切的直线与的延长线交于点．，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线的定义、圆周角定理和平行线的判定与性质，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据切线的性质可得，由圆周角定理得，所以，所以，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：根据切线的性质可得， ， ， ， ， ， 故答案为：A 5．（3分）（2024·湖北武汉·模拟预测）二次函数，若对满足的任意x都有，则实数a的范围为（    ） A．且 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．当时，当，时，满足条件；当时，当，，当，时，满足条件，然后分别解不等式组确定实数的范围． 【详解】解：当时，抛物线与轴的交点为， 当，时，满足的任意都有， 即， 解得； 当时，抛物线与轴的交点为， 当，，且当，时，满足的任意都有， 即且，解得 ， 综上所述，实数的范围为且． 故选：A 6．（3分）（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得，．根据三角形外角定理可得，，由此可得，又由，可得，即可得解． 本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵四边形是的内接四边形我 ∴， ，， ， ，，， ， 解得， ， ． 故选：C 7．（3分）（23-24九年级·全国·单元测试）已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 根据一元二次方程的解、根与系数的关系可得、、，代数式可化为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∴． 故选：C． 8．（3分）（2024·江苏泰州·中考真题）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转，连接，相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积求解即可．②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积． 【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°， 连接，相交于点O，与交于点E，    ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形， ∴， ∴A，，C三点共线， ∴， 又∵， ∴，， ∵重叠部分的面积， ∴重叠部分的面积； ②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键． 9．（3分）（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在同一个圆中作出圆的内接正三角形 和正八边形 ，若连接 ，则 的度数是 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，连接 ，，，，求出正三角形和正八边形的中心角的度数，再利用圆周角定理，进行求解即可． 【详解】如图，连接 ，，，． 正三角形的中心角 ， 正八边形的中心角 ， ， ， ． 10．（3分）（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线交x轴于，，交y轴负半轴于点C，顶点为D，下列结论：①；②；③若方程的两根分别为m，n，则；④当是等腰直角三角形时，；⑤抛物线上有两点、，且，若，则．正确的有（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】依据题意，由抛物线交轴的负半轴于点，从而令，又对称轴是直线，故可判断①；抛物线过，从而，又，即，进而，最后可以判断②；依据，代入方程，可化为，根据一元二次方程根与系数关系即可判断③；由是等腰直角三角形，为顶点，从而，结合顶点为，对称轴是直线，故，再由抛物线为，又抛物线过点，计算可以判断④；根据，判断出点在直线左侧，点在直线右侧，根据二次函数增减性即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线交轴的负半轴于点，开口向上， ∴令． ∵ ∴对称轴是直线， ∴．， ∴，故①错误． ∵抛物线过， ∴． 又，即， ∴． ∴，故②错误． ∵， 则可化为，即， 若方程的两根分别为m，n，即方程的两根分别为m，n， 则；故③正确； 是等腰直角三角形， 又为顶点， ∵抛物线交x轴于，， 故设顶点为，对称轴是直线， ， ∴可设抛物线为， 又抛物线过点， ∴． ∴，故④正确． 因为， 所以点在直线左侧，点在直线右侧， 又因为， 则． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以，故⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质及二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24九年级·内蒙古·阶段练习）若二次函数的图象经过，，三点，则关于，，的大小关系为 (用号连接) ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由可得抛物线开口向上，对称轴是直线，由对称性可得点关于直线的对称点为，又由开口方向可得时，随的增大而减小，根据即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵抛物线开口向上， ∴时，随的增大而减小， 又∵， ∴， 故答案为：． 12．（3分）（2024·辽宁锦州·中考真题）若关于x的方程有两个不相等的实数根，且，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是 ． 【答案】/0.5 【分析】根据题意，由关于x的一元二次方程的根的判别式，可计算，再结合可知，进而推导满足条件的所有整数为-3、-2、-1、0、1、2共计6个，其中负数有3个，由简单概率的计算公式即可得出结果． 【详解】解：根据题意，关于x的方程有两个不相等的实数根， 故该一元二次方程的根的判别式，即， 解得， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数为-3、-2、-1、0、1、2共计6个，其中负数有-3、-2、-1共计3个， ∴满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、简单概率计算等知识，解题关键是读懂题意，综合运用所学知识解决问题． 13．（3分）（2024·河南信阳·模拟预测）如图，等边的边长为2，的内切圆与三边的切点分别为，，，以点为圆心，为半径作，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正三角形的内切圆、等边三角形的性质、扇形面积等知识，由等边的边长为2可得扇形的面积为，等边的面积为，的面积为．即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵等边的边长为2， ∴， ∴等边的面积为，扇形的面积为，的半径为 ∴的面积为． 阴影部分的面积 故答案为： 14．（3分）（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， ∵将绕点旋转得到， ∴， ∴，，， 如图所示，过于点， ∵∥， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， 当点D运动点F′时，此时， 同理可得，， ∴ 故答案为：或． 15．（3分）（2024·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，内接于且，弦平分，连接，．若，，则 ， ．    【答案】 【分析】首先利用已知条件得到为直径，然后可以证明为等腰直角三角形，由此求出，接着把绕逆时针旋转得到，证明为等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】解：内接于且， 为的直径， ， ， 弦平分， ， ， ，， ，， 如图把绕逆时针旋转得到， ，， ， 、、三点共线， 为等腰直角三角形， ， ． 故答案为：，．    【点睛】此题分别考查了三角形的外接圆、圆周角定理及其推论、角平分线的性质及勾股定理，有一定的综合性． 16．（3分）（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质得到，即得，又根据二次函数的性质可得当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为，得到，由即可得到，画出函数图象即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，当时，随增大而减小， 又∵当时，二次函数随增大而减小， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴在中， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ∴当，时， ， ∵恒成立， ∴， 画出函数和的图象如图所示， 由图象可得，当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）（23-24九年级·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． （1）利用配方法解一元二次方程，即可得到答案； （2）先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案. 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， 或， ，． 18．（6分）（23-24九年级·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)求小球P在x轴上的落点坐标； (3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数． 【答案】(1)抛物线L的函数解析式为； (2)小球P在x轴上的落点坐标为； (3)竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）由题意知，抛物线L的顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）对于，令，求解一元二次方程，据此计算即可求解； （3）由题意先求出，当和时，求得对应的值，再设竖直摆放的回收箱有个，根据题意得出关于的不等式组，求出的整数解即可． 【详解】（1）解：∵从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线L对应的函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线L对应的函数解析式为； （2）解：对于， 令，则， 解得，， ∴小球P在x轴上的落点坐标为； （3）解：∵，， ∴，对于， 当时，； 当时，； 设竖直摆放的回收箱有个， 则， 解得， ∵是正整数， ∴可以是3或4或5或6或7， 答：竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个． 19．（6分）（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中， (1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； (3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)见解析 (3) 【分析】（1）二次函数的图象经过，即可求得，得到抛物线为，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）依据题意，由，又对于任意的都有，从而可以判断的大小，进而可以得解； （3）依据题意，由，在二次函数图象上，从而对称轴直线，故，即，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合可得 ，再分类讨论即可得解． 【详解】（1）解：二次函数图象经过， ， ， 抛物线为， ， 顶点坐标为； （2）证明： ∴二次函数图象与轴总有两个公共点； （3）解：对称轴直线， ∴即． ∵， ∴， ∵抛物线过， ∴，即， ∵， ∴， 解得，即 ∵抛物线开口向上， ∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小． ∵， ∴， 当，解得（不合题意舍去）； 当，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 20．（8分）（23-24九年级·辽宁阜新·阶段练习）十一国庆期间，某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下： 购票人数 收费标准 不超过25人 50元/人 超过25人 每增加1人，每张票的单价减少2元，但单价不低于28元． 某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，设这批员工共有x人． (1)当时，该公司应支付购票费用多少元？当时，该公司应支付购票费用多少元？ (2)若该公司观看此场演出超过25人，共支付1050元的购票费用，求出此时的x值？ 【答案】(1)1250元；1232元 (2)35人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． (1) 当时，直接按照单价乘以人数计算即可；当时，先计算单价为元，再按照单价乘以人数计算即可． (2)先计算单价元，再根据单价乘以人数等于费用，列出方程计算即可． 【详解】（1）∵不超过25人，每张票的单价50元， ∴当时，该公司应支付的购票费用为：（元）， ∴超过25人，每增加1人，每张票的单价减少2元， ∴当时，该公司应支付的购票费用为：（元）， 答：当时，该公司应支付的购票费用为1250元；当时，该公司应支付购票费用1232元． （2）由题意得：， 整理得：， 解得：，     ∴不符合题意，舍去 当时，每张票的单价为：，符合题意， 答：该公司观看此场演出的员工35人． 21．（8分）（2024·山东东营·中考真题）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图； (2)调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时． (3)学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率． 【答案】(1)50，见详解 (2)2.5 (3) 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，中位数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）运用D档人数除以D的百分比，得出调查的学生总数，再运用总数乘上档的百分比，即可作答． （2）根据中位数的定义，排序后位于中间位置的数为中位数，据此即可作答． （3）依题意，得出档有名男学生，有名女学生，运用列表法得共有12种等可能的结果，再运用概率公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（名） ∴本次调查中，共调查了50名学生； 则（名） ∴（名） 则档有名男学生，有名女学生, 补全条形统计图如图所示： （2）解：依题意， （名） 本次调查的男学生的总人数是23名 ∴则调查的全部男生劳动时间的中位数位于第名， ∵ ∴第名位于C档 ∵调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9． 则调查的全部男生劳动时间的中位数为2.5小时， 故答案为2.5； （3）解：用，表示2名男生，用，表示两名女生，列表如下： 共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种， ． 22．（9分）（2024·上海·中考真题）已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结． （1）求证：； （2）联结，当时，求证：四边形为矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连结，由M、N分别是和的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由， 可得，可证，，根据等腰三角形三线合一性质; （2）设OG交MN于E，由，可得，可得，，可证可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可证是平行四边形，再由可证四边形ACNM是矩形． 【详解】证明：（1）连结， ∵M、N分别是和的中点， ∴OM，ON为弦心距， ∴OM⊥BC，ON⊥AD， ， 在中，， ， 在Rt△OMG和Rt△ONG中， ， ， ∴， ; （2）设OG交MN于E， ， ∴， ∴，即， ， 在△CMN和△ANM中 ， ， ， ∵CN∥OG， ， ， ， ∴AM∥CN， 是平行四边形， ， ∴四边形ACNM是矩形． 【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键． 23．（9分）（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．    (1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； (2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； (3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)40 (3)(答案不唯一) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键． （1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出． （2）连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可． （3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标． 【详解】（1）解：如下图所示：    （2）连接，， ∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （3）∵根据网格信息可得出，， ∴是等腰三角形， ∴也是线段的垂直平分线， ∵B，C的坐标分别为，， ∴点， 即．（答案不唯一） 24．（10分）（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．    (1)求证：是的切线； (2)判断的形状，并说明理由； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，根据已知得出，根据得出，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得，即可得证； （2）根据题意得出，则，证明，得出，等量代换得出，即可得出结论； （3）根据，，设，则，等边对等角得出，则． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 即，又是的直径， ∴是的切线； （2）∵，是的直径， ∴，， ∴， ∵，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴是等腰三角形， （3）∵，， 设，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25．（10分）（23-24九年级·江苏盐城·阶段练习）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由； (3)如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)存在，，，，； (3)存在点M使最小， 【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式，求出解析式，即可求出点A，C的坐标； （2）设，根据勾股定理分情况进行讨论，列出方程求解即可； （3）作点关于的对称点，连接交于点，连接，求出直线的解析式，直线的解析式，联立方程即可． 【详解】（1）解：将代入， 即， 解得， ， 令，， 令，， 解得， ； （2）解：存在点P，使是直角三角形， ，对称轴为直线， 设， ， ， ， ， ①当时，， ， 解得； ②当，， ， 解得； ③当，， ， 解得或， 综上所述，或或或； （3）解：存在 作点关于的对称点，连接交于点，连接， 由对称性可知，， ， 当三点共线时，有最小值， ， ， ， 由对称性可知，， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设直线解析式为， ， 解得， 故直线解析式为， 联立方程组， 解得． 故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$