专题07 圆与圆的位置关系（知识归纳+分层训练）-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册）

07 圆与圆的位置关系 一、知识归纳： 1．两圆位置关系及其判断方法 （1）代数法：联立两圆方程，消元得一元二次方程，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 个 个 个 两圆的位置关系 （2）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆圆心的距离为，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 与，的关系 公切线的条数 2.圆系方程： 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （），此时圆系不含圆：； 当时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 自检自纠：1．(1)2,1,0,相交,外切或内切,外离或内含 (2),,, ,，4，3，2，1，0 二、分层小练： A.基础练习 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则，有，所以圆与圆相交.故选：A 2．两圆与的公切线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】B 【详解】因为，圆心距，所以两个圆外切，公切线有条.故选：B 3．已知圆和圆的半径分别为方程的两根，两圆的圆心距是， 则两圆的位置关系是（　） A．内含 B．外离 C．内切 D．相交 【答案】C 【详解】解方程，可得，，故两圆半径分别为、，因为两圆的圆心距是，故两圆内切.故选：C. 4．在坐标平面内，与点距离为3，且与点距离为1的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【详解】到点距离为3的点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，到点距离为1的点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，则所求直线即为两圆的公切线，因为，且，可知两圆相离，有4条公切线，所以符合题意的直线有4条.故选：D. 5．已知点M在曲线上，点N在曲线：上，则|MN|的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意知：圆 :, 的坐标是,半径是，圆:，的坐标是 ,半径是.所以,因此两圆相离,所以最小值为.故选：B 6．若圆C：与圆E：有公共点，则r的范围 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆C方程为：，圆心，半径为r，圆E方程为：，圆心，半径，圆C：与圆E：有公共点，，即，解得：，故选C． 7．已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆：的圆心，圆：可化为 ，，则其圆心为，半径为，因为圆与圆相内切，所以，即，故.由，可得，即与的公切线方程为.故选：D 8．已知圆为坐标原点，以为直径作圆，交圆于两点，则的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】如图，连接.由题意知圆的方程为，圆与圆的半径均为，且，故，同理可得，则为等边三角形，所以的面积为.故选：A 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．若圆与圆相交，则k的取值可能为（    ） A． B．0 C．3 D．5 【答案】AC 【详解】两圆的圆心，圆心距，半径分别为，因为圆M与圆N相交，所以，解得或．故选：AC． 10．已知圆，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆外离，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交 【答案】BCD 【详解】. 若和外离，则，解得或，故A错误； 若和外切，，解得，故B正确； 当时，和内切，故C正确； 当时，和相交，故D正确. 故选：BCD 11．已知圆：，圆：，则（    ） A． B．圆与圆的公共弦所在直线方程为 C．圆与圆相离 D．圆与圆的公切线有2条 【答案】ABD 【详解】对于A，由已知，故，故A正确； 对于C，两圆半径，，故两圆相交，故C错误； 对于B，将两圆方程与相减得公共弦所在直线方程，故B正确； 对于D，两圆相交则两圆的公切线有2条，故D正确； 故选：ABD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．以为圆心，且与圆外切的圆的标准方程是 . 【答案】 【详解】设所求圆半径为，则由题意，，所以所求圆方程为：．故答案为：． 13．若圆：与圆：外切，则实数 ． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为. 由于两圆外切，所以，得.故解得.故答案为： . 14．已知圆和圆，则过点且与，都相切的直线方程为 ． 【答案】 【详解】圆圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，当过点且与相切的直线斜率不存在时，此时直线方程为，而直线与圆不相切，所以切线的斜率存在，当过点且与相切的直线斜率存在时，设切线方程为，即，则，解得或，故切线方程为或，圆的圆心到直线的距离为，所以直线与圆不相切，故不满足题意，圆的圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，满足题意，综上所述，过点且与，都相切的直线方程为.故答案为：． B.能力强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．圆与圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径， 圆心距，，所以两圆相交，公切线有条.故选：B 2．圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（    ） A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0 C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0 【答案】A 【详解】由解得两圆交点为与，因为，所以线段的垂直平分线斜率；MN中点P坐标为（1，1），所以垂直平分线为y＝﹣x+2，由，解得x＝3，y＝﹣1，所以圆心O点坐标为（3，﹣1），所以r，所以所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0，故选：A 3．点P在圆：上，点Q在圆： 上，则的最大值是（     ） A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】两圆的圆心分别是，半径分别为：，所以两圆心间的距离是，由圆的性质得，∴的最大值为. 故选：A. 4．已知圆 与圆相交，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆，即的圆心，半径3，，即的圆心，半径， 圆心距等于，由两圆相交，得，即，解得.所以a的取值范围.故选：D. 5．已知，直线为上的动点，过点作的切线，切点分别为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由的标准方程为，其圆心为，半径为，因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直，所以直线的方程为，即,联立，解得，所以点的坐标为,可得，在Rt中，，同理，以为圆心，为半径作圆，则线段为与的公共弦，的方程为，即，两圆方程相减得，即直线的方程为.故选：A. 6．已知点，，圆，若在圆C上存在唯一的点Q使得，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】C 【详解】因为圆C上存在唯一的点Q使得，所以以,为直径的圆与圆相切，由中点坐标公式可得,两点的中点坐标，由两点间距离公式可知，所以以为直径的圆的半径为，将圆化简可得,因而圆的圆心为,半径为，当圆与圆外切时, ,即，化简得,方程无解,所以不存在的值使圆与圆外切，当圆与圆内切时, ,即，化简可得，若,即,解得 ，若,,解得 ，所以当或时满足圆与圆内切,即此时圆C上存在唯一的点Q使得.故选:C 7．已知圆C过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题，圆，的公共弦为和的两式相减，化简可得，又到的距离 ，故公共弦长为，故圆C的半径为，故圆C的面积为.故选：B 8．若圆上存在点，点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，如图所示，因为圆的圆心为，所以关于直线对称的点为，所以圆关于直线对称的圆为，若要圆上存在点，点关于直线的对称点，在圆上，其中圆的圆心为，半径为2，则只需与有交点即可，又，所以在外，根据两圆有交点，则两圆心的距离大于半径等于之差的绝对值，小于等于半径之和.可得：，两圆分别内切与外切的时候取等号，解得：.故选：A. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．点在圆上，点在圆上，则（    ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】ABC 【详解】圆的圆心坐标，半径，圆 ，即的圆心坐标，半径，∴圆心距，又在圆上，在圆上，则的最小值为，最大值为． 故A、B正确；两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.故答案为：ABC 10．已知圆与圆有四条公共切线，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】圆的圆心，半径,圆的圆心，半径，两圆有四条公切线， 两圆外离，又两圆圆心距，，解得或，故选：AD. 11．圆始终平分圆的周长，则（    ） A． B．的圆心到直线的距离 C． D．直线被圆所截得的弦长为 【答案】AD 【详解】将两个圆的方程相减，可得相交直线方程为（2+2m）x+4y+9-m2=0.又圆C1平分圆C2，则点在相交直线上，代入直线方程，可得m2+2m-3=0，解得m=1或m=-3（舍去），选项A正确，选项C错误；因为圆C1的方程为（x-1）2+（y-1）2=10，则圆心C1到直线3x+4y+3=0的距离，所以所截得弦长l=2=2，选项B错误，选项D正确.故选：. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．设圆，圆，则圆有公切线 条. 【答案】2 【详解】由题意得，圆：，圆：，∴，∴与相交，有2条公切线.故答案为：2 13．若圆与圆相切，则实数 . 【答案】或9. 详解：圆C：可化为，因为与圆C相切， 所以或，所以或，故答案是或 14．已知以1为半径的圆的圆心在轴上，以2为半径的圆的圆心在轴上，且两圆公共弦所在直线为，则这两个圆的公共弦长为 . 【答案】 【详解】设两圆方程分别为、，即、，两式相减为：，则有，解得或，此时圆A的圆心为或，关于原点对称，可知圆心A到直线的距离均为,由圆的弦长公式，则，故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 07 圆与圆的位置关系 一、知识归纳： 1．两圆位置关系及其判断方法 （1）代数法：联立两圆方程，消元得一元二次方程，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 个 个 个 两圆的位置关系 （2）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆圆心的距离为，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 与，的关系 公切线的条数 2.圆系方程： 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （），此时圆系不含圆：； 当时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 自检自纠：1．(1)2,1,0,相交,外切或内切,外离或内含 (2),,, ,，4，3，2，1，0 二、分层小练： A.基础练习 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 2．两圆与的公切线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 3．已知圆和圆的半径分别为方程的两根，两圆的圆心距是， 则两圆的位置关系是（　） A．内含 B．外离 C．内切 D．相交 4．在坐标平面内，与点距离为3，且与点距离为1的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．已知点M在曲线上，点N在曲线：上，则|MN|的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若圆C：与圆E：有公共点，则r的范围 A． B． C． D． 7．已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆为坐标原点，以为直径作圆，交圆于两点，则的面积为（    ） A． B． C．3 D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．若圆与圆相交，则k的取值可能为（    ） A． B．0 C．3 D．5 10．已知圆，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆外离，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交 11．已知圆：，圆：，则（    ） A． B．圆与圆的公共弦所在直线方程为 C．圆与圆相离 D．圆与圆的公切线有2条 三、填空题（每小题5分，共15分） 9．若圆与圆相交，则k的取值可能为（    ） A． B．0 C．3 D．5 10．已知圆，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆外离，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交 11．已知圆：，圆：，则（    ） A． B．圆与圆的公共弦所在直线方程为 C．圆与圆相离 D．圆与圆的公切线有2条 三、填空题 12．以为圆心，且与圆外切的圆的标准方程是 . 13．若圆：与圆：外切，则实数 ． 14．已知圆和圆，则过点且与，都相切的直线方程为 ． B.能力强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．圆与圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0交点的圆的方程为（    ） A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0 C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0 3．点P在圆：上，点Q在圆： 上，则的最大值是（     ） A．8 B．5 C．3 D．2 4．已知圆 与圆相交，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知，直线为上的动点，过点作的切线，切点分别为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知点，，圆，若在圆C上存在唯一的点Q使得，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或 7．已知圆C过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（    ） A． B． C． D． 8．若圆上存在点，点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．点在圆上，点在圆上，则（    ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 10．已知圆与圆有四条公共切线，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 11．圆始终平分圆的周长，则（    ） A． B．的圆心到直线的距离 C． D．直线被圆所截得的弦长为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．设圆，圆，则圆有公切线 条. 13．若圆与圆相切，则实数 . 14．已知以1为半径的圆的圆心在轴上，以2为半径的圆的圆心在轴上，且两圆公共弦所在直线为，则这两个圆的公共弦长为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$