第26章 二次函数 章节测试练习卷-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第26章 二次函数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．已知二次函数的图象经过点，，，则下列结论正确的是（ ）. A． B． C． D． 2．要得到函数y＝2(x－1)2＋3的图像，可以将函数y＝2x2的图像（  ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 3．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A．对称轴是 B．开口向下 C．顶点坐标是（1，-2） D．与x轴有两个交点 4．二次函数（）的图像如图所示，现给出以下结论：①；②当时，；③若点，在图像上，且，则；④．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④ 5．把抛物线y=(x－4)2先向左平移3个单位再向下平移4个单位所得到的抛物线是（    ） A．y=(x－4)2－4 B．y=x2 C．y=(x－7)2－4 D．y=(x－1)2－4 6．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，1+m，﹣2m]的函数的一些结论：①当m=3时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣8）；②当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3；③当m＜0时，函数在x＞时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．若二次函数有最大值，则“”中可填的数字是 . 8．抛物线y＝2ax2-ax-c与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为 ． 9．函数的最小值是　 10．如果二次函数y=x2﹣4x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m= ． 11．如图，将二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分不变，即得到的图像．根据图像，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 12．已知点，点是二次函数图像上的两个点，则与的大小关系是 ． 13．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为8m，以隧道底部宽AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为y＝－x2＋b，则隧道底部宽AB为 m． 14．下列关于函数的四个命题： ①当x=0时，y有最小值6； ② m为任意实数，x=2-m时的函数值大于x=2+m时的函数值； ③若函数图象过点(a，m0) 和（b， m0+1），其中a＞0，b＞2，则a＜b； ④若m＞2，且m是整数，当m≤x≤m+1 时，y的整数值有（2m-2）个. 其中真命题有 个． 15．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝x＋上，若抛物线y＝ax2﹣x＋1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 16．如图，已知二次函数的图象过，两点，则化简代数式 ．    17．一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点，则 ， ， ． 18．抛物线（、、是常数，）的对称轴是直线，图象与轴一个交点横坐标在和之间．下列四个结论：①；②；③若点，点在该抛物线上，则；④若一元二次方程的根为整数，则的值有3个．其中正确的结论是 （填写序号）． 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．某大型商场准备购买一批型和型商品，已知一件型商品的进价比一件型商品的进价多元，用元采购型商品的件数是用元采购型商品的件数的倍． (1)求一件，型商品的进价分别为多少元？ (2)该商场购进型和型商品若干，准备采取“买二送一”的优惠销售方案，即：买两件型商品赠送一件型商品，通过一段试销发现型商品每天的销售量（件）与型商品的销售单价（元）满足：，若商场继续以上述优惠销售方案进行销售，当A型商品的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大，并求出此时的最大销售利润． 20．抛物线的对称轴是直线，且它的最低点在直线上，求： (1)函数解析式； (2)若抛物线与轴交点为、与轴交点为，求面积． 21．已知二次函数y= 2x2 -4x-6. （1）用配方法将y= 2x2 -4x-6化成y=a （x-h）2 +k的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当x取何值时，y随x的增大而减少？ （4）当x取何值是，y<0？ 22．如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求a的值和图象的顶点坐标； (2)若横坐标为m的点B在该二次函数的图象上，且点B到x轴的距离不大于3，请求出m的取值范围． 23．某商场销售杭州亚运会吉祥物“宸宸”，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件． (1)当销售价格上涨4元时，每天对应的销售量为 _____件． 请直接写出y与x的函数关系式__________ ． (2)设每天的销售利润为w元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)若商场规定吉祥物“宸宸”销售单价不低于70元，且商场要完成不少于160件的销售任务，求商场销售该吉祥物“宸宸”销售获得的最大利润是多少？ 24．某文具店销售一种钢笔．经过一段时间的观察，店主发现销售该钢笔每日的利润y（元）与每支钢笔的售价x（元）之间满足关系，其函数图象如图所示． (1)求b，c的值； (2)在此期间，若每支钢笔的售价x满足，求该文具店每日利润的最大值． 25．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，大孔顶点P距水面（即），小孔水面宽度为，小孔顶点Q距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求大孔抛物线的解析式； (2)现有一艘船高度是，宽度是，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由． (3)当水位上涨时，求小孔的水面宽度． 26．已知二次函数满足，且． (1)定义新函数，其中，求函数值的取值范围； (2)是否存在这样的实数，当时，的最大值为且最小值为，若存在，求出所有的实数的值，若不存在，请说明理由． 27．数学建模社团的同学们想要研究植物园某圆形草坪自动浇水装置的喷洒范围，他们发现：自动浇水装置竖直立于草坪中心处，且喷出的水流的最上层呈抛物线形，此时草坪边缘处恰好能喷洒到水．他们将水流最上层各点到浇水装置的水平距离记为，到地面的竖直高度记为，得到部分数据如下： 0 0.5 1 1.5 2 … 1 1.15 1.2 1.5 1 … 根据以上数据，完成下列问题． (1)测量数据中，哪一组是错误的？ A．B．C． D．E． (2)以草坪的中心为原点，浇水装置所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． ①以表格中的各组数据为坐标的点已在图中标出，请将错误数据对应的点改正过来重新在图上标出，并用平滑的曲线画出函数图象； ②求图象所在抛物线的函数表达式． (3)经调查，该自动浇水装置的推力不变（抛物线的形状不变），喷水口可以从现有位置向上移动，移动范围是．若植物园计划在圆形草坪外围种一圈宽度相等的花卉，请对花卉的宽度提出合理建议． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26章 二次函数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．已知二次函数的图象经过点，，，则下列结论正确的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【详解】试题分析：该二次函数图像的对称轴为，且开口朝下，故离对称轴越近的点，函数值越大，所以. 考点：二次函数图像的性质. 2．要得到函数y＝2(x－1)2＋3的图像，可以将函数y＝2x2的图像（  ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】C 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 【详解】解：∵y＝2(x－1)2＋3的顶点坐标为（1，3），y=2x2的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线y＝2(x－1)2＋3 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标． 3．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A．对称轴是 B．开口向下 C．顶点坐标是（1，-2） D．与x轴有两个交点 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标，然后对各选项进行判断即可． 【详解】∵ ∵a=10 ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（-1，-2），对称轴为x=-1， ∴A、B、C不正确， ∵抛物线开口向上，顶点坐标为（-1，-2）， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴D正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h 4．二次函数（）的图像如图所示，现给出以下结论：①；②当时，；③若点，在图像上，且，则；④．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④ 【答案】B 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】①由抛物线与x轴的两交点坐标可求出抛物线的对称轴为直线，进而即可得出，符合题意；②结合图形即可得出当时，，不符合题意；③根据二次函数的性质得出：当时，y值随x的增大而增大，进而即可得出③不符合题意；④由在抛物线上，代入后即可得出，符合题意． 【详解】解：①∵二次函数图像的对称轴为：， ∴，即，故①正确； ②由函数图像可知，当时，，故②错误； ③∵抛物线的对称轴为，开口方向向上， ∴当时，；当时，；故③错误； ④∵二次函数的图像过点， ∴当时，，即，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图像与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正确性是解题的关键． 5．把抛物线y=(x－4)2先向左平移3个单位再向下平移4个单位所得到的抛物线是（    ） A．y=(x－4)2－4 B．y=x2 C．y=(x－7)2－4 D．y=(x－1)2－4 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据平移规律“左加右减、上加下减”进行解答即可． 【详解】解：把抛物线y=(x－4)2先向左平移3个单位再向下平移4个单位所得到的抛物线是y=(x－4)2=(x－4+3)2-4=(x－1)2－4， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键． 6．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，1+m，﹣2m]的函数的一些结论：①当m=3时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣8）；②当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3；③当m＜0时，函数在x＞时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【详解】试题分析：①抛物线的顶点坐标为（ ， ），当m=3时，特征数为[2,4-6]，可求得顶点坐标为（-1，-8），所以①正确．②函数图像与x轴交点坐标为（ ），特征数为 [m-1，1+ m ，-2m]的函数与x轴交点坐标分别为（1,0）、（，0），所以截得x轴所得的线段长为1-=1+，  当m > 1 时， 1+>3，所以②正确．③函数对称轴为x== ，                                当m<0时，对称轴x= < ，a=m-1<0,所以函数抛物线图像开口向下，当x>时y随x的增大而减小，又因为x= <，所以当m < 0时，函数在x >时，y随x的增大而减小，③正确．④ 不论m取何值，函数图象经过两个定点（1,0）和（-2，-6），所以④正确．故选D 点睛：本题主要考查二次函数y=ax2+bx+c的性质：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．②抛物线是轴对称图形,对称轴为直线x = -b/2a，当a＞0时x< ,y随x的增大而减小，x>时，y随x的增大而增大．当a<0时，x<，y随x的增大而增大，x>时，y随x的增大而减小．③函数图像与x轴交点坐标为（ ），所以函数图像截x轴所得的线段长为 等．二次函数的性质极为重要，是易考点，及难点． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．若二次函数有最大值，则“”中可填的数字是 . 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】先设处为a，然后根据二次函数的性质得，最后根据，可得中可填的数是．本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值． 【详解】解：设处为a，由题意得二次函数为， ∵二次函数 有最大值， ∴二次函数的图象开口向下即， ∵， ∴a可以是， ∴中可填的数是． 故答案为：． 8．抛物线y＝2ax2-ax-c与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为 ． 【答案】/0.5 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：可直接得出答案． 【详解】解：与x轴的两个交点为（m，0），（n，0）， ∴， 根据根与系数的关系可得： ， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键． 9．函数的最小值是　 【答案】2 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【详解】试题分析：y==≥=2；故最小值是2； 考点：函数的最值 10．如果二次函数y=x2﹣4x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m= ． 【答案】5 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】把函数化成， 根据题意可得出m的值. 【详解】解：二次函数y=x2﹣4x+m﹣1图象的顶点在x轴上, ,m-5=0,即m=5, 故答案为: 5. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质. 11．如图，将二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分不变，即得到的图像．根据图像，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】把关于的方程有四个不相等的实数根转化为图象的交点，利用数形结合的思想解答即可． 【详解】解：若关于的方程有四个不相等的实数根，则函数的图象与的图象有四个交点，如图： 由函数图象可知，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，关键是数形结合思想的应用． 12．已知点，点是二次函数图像上的两个点，则与的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 【详解】解：依题意得：对称轴， 故和关于对称轴对称， 故． 故答案为：． 13．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为8m，以隧道底部宽AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为y＝－x2＋b，则隧道底部宽AB为 m． 【答案】8 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】首先根据题意结合，由隧道横截面的最大高度为8m，得到b＝8，进而得到函数解析式；然后现令x=0，得到-x2+8=0，求得x的值，进而得到点A，B的坐标，由此即可求得AB的长． 【详解】解：∵隧道横截面的最大高度为8m， ∴b=8． 令x=0， 则-x2+8=0， 解得x=±4． ∴A（-4，0），B（4，0）， ∴AB=8 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，正确求出抛物线的解析式是解题的关键． 14．下列关于函数的四个命题： ①当x=0时，y有最小值6； ② m为任意实数，x=2-m时的函数值大于x=2+m时的函数值； ③若函数图象过点(a，m0) 和（b， m0+1），其中a＞0，b＞2，则a＜b； ④若m＞2，且m是整数，当m≤x≤m+1 时，y的整数值有（2m-2）个. 其中真命题有 个． 【答案】2 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】分别根据二次函数的图像与系数的关系、抛物线的顶点坐标公式以及增减性解题,见详解. 【详解】解：①当x=0时，y=6,此时6不是抛物线的最小值，错误, ② 当m=0时，x=2-m等于x=2+m时的函数值,错误, ③若函数图象过点(a，m0) 和（b， m0+1），m0+1 m0,函数的对称轴为直线x=2, ∴当x2时,y随x的增大而增大, ∴当时, a＜b；当时, a＜b成立,∴③正确, ④当x=m+1时, y=(m+1)2-4(m+1)+6, 当x=m时, y=m2-4m+6, (m+1)2-4(m+1)+6- m2-4m+6=2m-3, ∵m是整数, ∴2m-3是整数, ∴y的整数值有（2m-2）个,故④正确. 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质,二次函数的图像与系数的关系,中等难度,熟悉函数性质是解题关键. 15．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝x＋上，若抛物线y＝ax2﹣x＋1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 【答案】1≤a＜或a≤−2 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，确定临界点，进而可求a的取值范围． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2−x＋1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点， ∴令x＋＝ax2−x＋1，则2ax2−3x＋1＝0， ∴△＝9−8a＞0， ∴a＜， ①a＜0时， 此时函数的对称轴在y轴左侧， 当抛物线过点A时，为两个函数有两个交点的临界点， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：a＋1＋1＝0， 解得a＝−2， 故a≤−2 ②当a＞0时， 此时函数的对称轴在y轴右侧， 当抛物线过点B时，为两个函数有两个交点的临界点， 将点B的坐标代入抛物线表达式得：a−1＋1＝1， 解得a＝1， 即：a≥1 ∴1≤a＜ 综上所述：1≤a＜或a≤−2． 故答案是：1≤a＜或a≤−2． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 16．如图，已知二次函数的图象过，两点，则化简代数式 ．    【答案】 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据图象经过的象限和对称轴的位置，得到，进而得到，，再根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：把，两点代入中，得， ∴， 由图象可知，抛物线对称轴，且， ∴， ∴， ∴，， ∴原式 ； 故答案为：． 17．一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点，则 ， ， ． 【答案】 -2 -2 4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】把代入一次函数可求k，把抛物线顶点（0，c）代入一次函数解析式可求c，再代入可求a． 【详解】解：把代入得，， 解得， 一次函数解析式为， 又∵二次函数顶点为， 代入得， ， 把代入二次函数表达式得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数综合，解题关键是熟练运用待定系数法求函数解析式，根据抛物线的特征确定顶点坐标． 18．抛物线（、、是常数，）的对称轴是直线，图象与轴一个交点横坐标在和之间．下列四个结论：①；②；③若点，点在该抛物线上，则；④若一元二次方程的根为整数，则的值有3个．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数与图象与系数之间的关系、二次函数上点的坐标特征和判定根的情况，解题的关键是数形结合思想，借助函数图象分析解题． 由对称轴可得a，b之间关系，由c和与x轴的交点可简略画出函数图象，借助函数图象分析四个结论是否正确． 【详解】解：由题意得，抛物线与y轴负半轴相交，且图象与轴一个交点横坐标在和之间，对称轴是直线， ∴开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 由题意可画出大致函数图像，如图： 当时，，故②正确； ∵点A离对称轴的距离为4，点B离对称轴距离为，而， ∴，故③错； 若一元二次方程的根为整数，即二次函数与直线的交点横坐标为整数，横坐标可以为， ∵与，与关于对称， ∴函数值相等， ∴P的值有3个，故④正确． 故答案为：①②④ 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．某大型商场准备购买一批型和型商品，已知一件型商品的进价比一件型商品的进价多元，用元采购型商品的件数是用元采购型商品的件数的倍． (1)求一件，型商品的进价分别为多少元？ (2)该商场购进型和型商品若干，准备采取“买二送一”的优惠销售方案，即：买两件型商品赠送一件型商品，通过一段试销发现型商品每天的销售量（件）与型商品的销售单价（元）满足：，若商场继续以上述优惠销售方案进行销售，当A型商品的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大，并求出此时的最大销售利润． 【答案】(1)一件，型商品的进价分别为元，元 (2)型商品的销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大销售利润为元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、分式方程的实际应用 【分析】（1）根据题意，设商品的价格为元，则商品的价格为（x+30）元，用元采购型商品的件数是用元采购型商品的件数的倍，由此即可列方程求解； （2）“买二送一”的优惠销售方案，型商品每天的销售量（件）与型商品的销售单价（元）满足：，设销售利润为，根据销售利润的计算方法，列方程，求二次函数的最大值即可． 【详解】（1）解：设商品的价格为元，则商品的价格为（x+30）元， 由题意得：，解得：， 故一件，型商品的进价分别为元，元． （2）解：设销售利润为，由题意得：， ∵，故有最大值， 当时，的最大值为， 故型商品的销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大销售利润为元． 【点睛】本题主要考查销售中的利润问题，二次函数与实际问题，理解题目中的数量关系，列方程，并计算二次函数的最值是解题的关键． 20．抛物线的对称轴是直线，且它的最低点在直线上，求： (1)函数解析式； (2)若抛物线与轴交点为、与轴交点为，求面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先根据对称轴公式求出的值，再利用直线求出抛物线的顶点坐标，代入二次函数解析式即可求出的值，从而完整的求出了函数解析式． （2）先由（1）中所求的解析式求出抛物线分别与，轴的交点坐标，确定、、的位置再根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线 解得或 又图象有最低点，即开口向上 ，即 ， 即 把代入直线得 ， 即抛物线的顶点坐标是， 代入函数得 ， 函数解析式为； （2）当时，，即点的坐标是， 当时，，解得或， 即点、的坐标分别是，、， 则， ． 21．已知二次函数y= 2x2 -4x-6. （1）用配方法将y= 2x2 -4x-6化成y=a （x-h）2 +k的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当x取何值时，y随x的增大而减少？ （4）当x取何值是，y<0？ 【答案】（1）（2）画图（3）（4） 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【详解】试题分析：按配方法要求可以解决，然后画出图形，直接读图. 考点：二次函数的图像和性质，数形结合. 22．如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求a的值和图象的顶点坐标； (2)若横坐标为m的点B在该二次函数的图象上，且点B到x轴的距离不大于3，请求出m的取值范围． 【答案】(1)，图象的顶点坐标为 (2)或 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意列一元一次方程并求解，得，再根据二次函数解析式的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，根据二次函数图像图像的对称性，得的图象经过点；当时，通过求解一元二次方程，得，，结合二次函数图像的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）∵二次函数的图象经过点 ∴ ∴ ∴ ∴二次函数图象的顶点坐标为 （2）根据（1）的结论，得 ∴的对称轴为： ∵的图象经过点 ∴的图象经过点 当时，得 ∴ ∴， ∴当点B到x轴的距离不大于3时，或． 【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解． 23．某商场销售杭州亚运会吉祥物“宸宸”，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件． (1)当销售价格上涨4元时，每天对应的销售量为 _____件． 请直接写出y与x的函数关系式__________ ． (2)设每天的销售利润为w元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)若商场规定吉祥物“宸宸”销售单价不低于70元，且商场要完成不少于160件的销售任务，求商场销售该吉祥物“宸宸”销售获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)260， (2)每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元 (3)6000元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用， （1）根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件即可得到销售价格上涨4元时，每天的销售量以及y与x的函数关系式； （2）先求出利润w关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）根据“销售单价不低于70元，且商场要完成不少于160件的销售任务”列不等式组求出x的取值范围，再求出在该范围内的最大值即可． 【详解】（1）∵销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件， ∴当销售价格上涨4元时，每天对应的销售量为（件）， ∵销售价格上涨x元/件，且销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件． ∴其销售量； 故答案为：260，； （2）依题意可得每天的销售利润为， 故当时，最大值， ∵x为偶数， ∴当或时，有最大利润， 为了让利于顾客，∴，符合题意，此时． 此时销售单价为（元）， ∴每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元； （3）根据题意得，， 解得，， 而 ∵，对称轴 ∴当时，W随x的增大而减小， ∴当时，函数有最大值，即最大利润为（元）， 24．某文具店销售一种钢笔．经过一段时间的观察，店主发现销售该钢笔每日的利润y（元）与每支钢笔的售价x（元）之间满足关系，其函数图象如图所示． (1)求b，c的值； (2)在此期间，若每支钢笔的售价x满足，求该文具店每日利润的最大值． 【答案】(1) (2)8.4元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是： （1）根据图象可用知道抛物线经过点，，再代入函数解析式，即可求出，的值； （2）首先得出函数解析式，再根据二次函数的最值即可确定该文具店每日利润的最大值． 【详解】（1）解：由图象可知：抛物线经过点，， 将，代入， 得， 解得； （2）由（1）知，函数关系式为：， ， 抛物线的开口向下， 其图象的对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，最大，的最大值为：（元）， 答：该文具店每日利润的最大值为元． 25．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，大孔顶点P距水面（即），小孔水面宽度为，小孔顶点Q距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求大孔抛物线的解析式； (2)现有一艘船高度是，宽度是，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由． (3)当水位上涨时，求小孔的水面宽度． 【答案】(1) (2)这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔，理由见解析 (3) 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）设大孔抛物线的解析式为，把代入解析式中求解即可； （2）在中，求出当时y的值即可得到结论； （3）先求出小孔抛物线的解析式，进而求出当时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解；设大孔抛物线的解析式为， 由题意得，， 把代入中得：， 解得， ∴大孔抛物线的解析式为； （2）解：这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔，理由如下： 在中，当时，解得， ∵， ∴这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔； （3）解：设右边小孔抛物线解析式为， 由题意得，， 把代入中得， 解得， ∴右边小孔抛物线解析式为， 在中，当时， 解得或， ∴， ∴小孔的水面宽度为． 26．已知二次函数满足，且． (1)定义新函数，其中，求函数值的取值范围； (2)是否存在这样的实数，当时，的最大值为且最小值为，若存在，求出所有的实数的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)函数值的取值范围为： (2)，理由见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数的对称性求函数值、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用，且，求出a，b的值，根据，分别表示出分段函数解析式，再根据二次函数的性质，分类讨论即可； （2）利用假设法说明即可． 【详解】（1）解：二次函数满足， ， ， ， ， ， ， ， ， 时，， ， ， 图象如图，所示： ①时，， ， 时，随x的增大而减小， 时，有最大值为1， 时，有最小值为0， 时，； ②时，，图象关于对称， 当时， 随x的增大而减小， 时，有最大值为0， 时，有最小值为； 令， 解得：（负值舍去）， 当时， 时，有最大值为1， 时，有最小值为； 当时， 时，有最大值为， 时，有最小值为； 综上，函数值的取值范围为：； （2）解：存在，理由如下： 由（1）知， 假设存在满足条件的，则，，即， 当时，随x的增大而减小， ，即， 解得： 【点睛】本题主要考查求二次函数的最值，二次函数的性质的应用，体现了转化的数学思想，分类讨论，难度较大，需要读懂题目中的相关信息． 27．数学建模社团的同学们想要研究植物园某圆形草坪自动浇水装置的喷洒范围，他们发现：自动浇水装置竖直立于草坪中心处，且喷出的水流的最上层呈抛物线形，此时草坪边缘处恰好能喷洒到水．他们将水流最上层各点到浇水装置的水平距离记为，到地面的竖直高度记为，得到部分数据如下： 0 0.5 1 1.5 2 … 1 1.15 1.2 1.5 1 … 根据以上数据，完成下列问题． (1)测量数据中，哪一组是错误的？ A．B．C． D．E． (2)以草坪的中心为原点，浇水装置所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． ①以表格中的各组数据为坐标的点已在图中标出，请将错误数据对应的点改正过来重新在图上标出，并用平滑的曲线画出函数图象； ②求图象所在抛物线的函数表达式． (3)经调查，该自动浇水装置的推力不变（抛物线的形状不变），喷水口可以从现有位置向上移动，移动范围是．若植物园计划在圆形草坪外围种一圈宽度相等的花卉，请对花卉的宽度提出合理建议． 【答案】(1)D； (2)①图见解析；②； (3)宽度应不超过． 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握二次函数的相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键． （1）由表格中的数据可得对称轴为，当时，有最大值1.2，再进行判断即可； （2）①画出图形即可；②用待定系数法求解即可； （3）当时，，求得草坪的半径是，可得自动浇水装置达到最大喷洒半径时，对应的抛物线为．令，解得，此时自动浇水装置的最大喷洒半径是．所以为使花卉都能被浇水，其宽度应不超过． 【详解】（1）由及可得对称轴为， 可得当时，有最大值1.2， 所以是错误的， 故选：D； （2）①如解图； ②由表格数据可知此函数图象的顶点坐标为， 设函数表达式为， 把代入，解得， ∴， 故图象所在抛物线的函数表达式为； （3）当时，， 解得，（舍去）， ∴草坪的半径是． ∵在向上平移的过程中抛物线的形状不变，且向上移动的范围是， ∴自动浇水装置达到最大喷洒半径时， 对应的抛物线为． 令， 解得（负值已舍去），此时自动浇水装置的最大喷洒半径是． ∵圆形草坪的半径为， ， ∴为使花卉都能被浇水，其宽度应不超过. ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$