第03章 概率的进一步认识 章节测试练习卷- 2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第03章 概率的进一步认识 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是（  ） A． B． C． D． 2．学校决定从甲、乙、丙三名学生中随机抽取两名介绍学习经验，则同时抽到乙、丙两名同学的概率为（　　） A． B． C． D． 3．将分别标有“大”“美”“武”“汉”汉字的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除汉字外无其他差别，随机抽出两张，抽出的卡片上的汉字能组成“武汉”的概率是（    ） A． B． C． D． 4．把只有颜色不同的1个白球和2个红球装入一个不透明的口袋里搅匀，从中随机地摸出１个球后放回搅匀，再次随机地摸出１个球，两次都摸到红球的概率为(      ) A． B． C． D． 5．如图，正方形内接于，的两条直径且与正方形的对边分别垂直，若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．张老师有两双完全一样的皮鞋，混在一起后，随手拿两只正好配成一双穿在脚上的概率为（　　） A． B． C． D．都不对 7．一个盒子中有4个除颜色外其余都相同的玻璃球，1个红色，1个绿色，2个白色，现随机从盒子中一次取出两个球，这两个球都是白球的概率为( ) A． B． C． D．1 8．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为（ ） A． B． C． D． 9．如图，下列是出土的4张文物正面图片，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后不放回，再随机抽取一张，则这两张卡片正面图案是轴对称图形不是中心对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 10．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（　　） A．0.620 B．0.618 C．0.610 D．1000 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字都是奇数的概率为 12．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色球共20只．其中，黑球6只．试估算口袋中再加入黑球 只，才能使摸出黑球的概率是？ 13．在□ABCD中，点E在AD上，在平行四边形内随意取一个点P，则点P落在△BCE内的概率为 ． 14．为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员，那么甲、乙同学同被选为宣传员的概率为 ． 15．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和15个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则a的值约为 ． 16．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，现在从中摸出一个球，记录它的颜色不放回，搅匀，再摸出一球，则摸出一红一黄的球的概率是 17．双十一期间，荣昌重百推出有奖销售促销活动，消费达到800元以上得一次抽奖机会，李老师消费1000元后来到抽奖台，台上放着一个不透明抽奖箱，里面放有规格完全相同的四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，主持人让李老师连续不放回抽两次，每次抽取一个小球，如果两个球上的数字均为奇数则可中奖，则李老师中奖的概率是 . 18．如图，在矩形中，，点是边上任意一点（点与点不重合），过点作，交边的延长线于点，连接，交边于点．设．则关于的函数解析式为 ；当点在边上移动时，为等腰三角形时，线段的长为 ． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 落在“谢谢参与”区域的次数 落在“谢谢参与”区域的频率 (1)填空：______，______； (2)若继续转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近多少？若晓慧去转动该转盘一次，则她转到“谢谢参与”的概率约是多少？结果保留一位小数 20．小昆和小明了解到腾冲热海风景区、固东银杏村、火山地热国家地质公园、北海湿地都是腾冲旅游必去的打卡风景名胜景点，他们将腾冲热海风景区、固东银杏村、火山地热国家地质公园、北海湿地分别记为． (1)若小昆从这四个腾冲打卡风景名胜景点中，随机选择1个去旅游，则选中火山地热国家地质公园的概率为 ； (2)小昆和小明都想要从腾冲热海风景区、固东银杏村、火山国家地质公园、北海湿地中任意选择1个景点旅游，用列表法或画树状图法中的一种方法，求他们选中不同景点的概率． 21．2023年10月26日，搭载三名航天员汤洪波、唐胜杰、江新林的神舟十七号载人飞船发射成功，三名航天员顺利进驻我国空间站．根据安排此次航天员乘组将进行出舱开展科学实验，每名航天员出舱的机会均等． (1)首次将安排1名航天员出舱，则航天员汤洪波被选中出舱的概率是___________； (2)若第2次安排两名航天员出舱，用列表或画树状图的方法求航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的概率． 22．张老师将“校园诗词大赛”所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图，部分信息如下： （1）本次比赛选手共有_ 人，扇形统计图中“”这一组人数占总参赛人数的百分比为_ ，频数直方图中“”这一组的人数为__ ； （2）赛前规定，成绩由高到低前的参赛选手获奖某参赛选手的比赛成绩为分，试判断他能否获奖，并说明理由； （3）成绩前四名是名男生和名女生，若从他们中任选人作为全区“诗词大会”重点培训对象，试求恰好选中男女的概率． 23．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0． （1）c＝2b﹣1时，求证：方程一定有两个实数根． （2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，求b、c的值使方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根的概率． 24．我校初三年级举行了“湘一梦，初三梦”演讲比赛，小明同学将选手成绩划分为A，B，C，D四个等级绘制了两种不完整统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)参加演讲比赛的学生共有 人，扇形统计图中 ， ，并把条形统计图补充完整； (2)学校想从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加长沙市举办的演比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率，（男生分别用代码、表示，女生分别用代码，表示） 25．2012年6月5日是“世界环境日”，南宁市某校举行了“绿色家园”演讲比赛，赛后整理参赛同学的成绩，制作成直方图（如图）． （1）分数段在-----范围的人数最多； （2）全校共有多少人参加比赛？ （3）学校决定选派本次比赛成绩最好的3人参加南宁市中学生环保演讲决赛，并为参赛选手准备了红、蓝、白颜色的上衣各1件和2条白色、1条蓝色的裤子．请用“列表法”或“树形图法”表示上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果，并求出上衣和能搭配成同一种颜色的概率． 26．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为5组，并绘制了如图1和2不完整的统计图． 组别 分数/分 A 75≤x＜80 B 80≤x＜85 C 85≤x＜90 D 90≤x＜95 E 95≤x≤100 请结合统计图，解答下列问题： (1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中m= ； (2)补全学生成绩频数分布直方图； (3)若成绩90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，则成绩优秀的学生大约有 人； (4)学校将从获得满分的5名学生（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名学生参加周一国旗下的演讲，恰好抽到一名男生和一名女生的概率为 ． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03章 概率的进一步认识 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：∵共有6张卡片，其中写有1号的有3张， ∴从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是， 故选：A． 【点睛】此题考查了概率的求法，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 2．学校决定从甲、乙、丙三名学生中随机抽取两名介绍学习经验，则同时抽到乙、丙两名同学的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】根据题意画出树状图求得所有的可能的结果及同时抽到乙、丙两名同学的情况，再利用概率公式即可求解． 【详解】画树状图如下： 由树状图知，共有6种等可能结果，其中同时抽到乙、丙两名同学的有2种结果， ∴同时抽到乙、丙两名同学的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查用树状图或者列表法求概率，解题的关键是正确表示出或列出所有的可能的结果． 3．将分别标有“大”“美”“武”“汉”汉字的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除汉字外无其他差别，随机抽出两张，抽出的卡片上的汉字能组成“武汉”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查利用画树状图或列表法求概率，根据题意画树状图得出所有等可能的结果数，再找出抽出的卡片上的汉字能组成“武汉“的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的汉字组成“武汉”的结果数为2， ∴抽出的卡片上的汉字能组成“武汉“的概率为， 故选：B． 4．把只有颜色不同的1个白球和2个红球装入一个不透明的口袋里搅匀，从中随机地摸出１个球后放回搅匀，再次随机地摸出１个球，两次都摸到红球的概率为(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法．解题的关键是熟练掌握列表法与树状图法求随机事件的概率的方法； 列举出所有情况，让两次都摸到红球的次数除以总次数即为所求的概率． 【详解】解：根据题意画树状图如下， 共有9种情况，两次都摸到红球的有4种情况， 所以概率为， 故选：D． 5．如图，正方形内接于，的两条直径且与正方形的对边分别垂直，若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了圆的对称性，正方形的性质和对称性，割补法求面积，结合题意，圆的半径为，阴影部分的面积等于圆的面积与正方形面积差的一半计算即可． 【详解】根据题意，得正方形的边长为2，其面积为4，圆的半径为，根据圆的对称性和正方形的对称性，得阴影部分的面积等于圆的面积与正方形面积差的一半， 故， 故选C． 6．张老师有两双完全一样的皮鞋，混在一起后，随手拿两只正好配成一双穿在脚上的概率为（　　） A． B． C． D．都不对 【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两只正好配成一套穿在脚上的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两只正好配成一套穿在脚上的结果数为8， 所以随手拿两只正好配成一套穿在脚上的概率=． 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 7．一个盒子中有4个除颜色外其余都相同的玻璃球，1个红色，1个绿色，2个白色，现随机从盒子中一次取出两个球，这两个球都是白球的概率为( ) A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】列举出所有情况，看这两个球都是白球的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】画树状图如下： 共12种等可能的情况，2次都是白球的情况数有2种， 所以概率为 ． 故选A． 【点睛】考查概率的求法；得到这两个球都是白球的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 8．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率 【详解】试题分析：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是：=．故选C． 考点：列表法与树状图法． 9．如图，下列是出土的4张文物正面图片，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后不放回，再随机抽取一张，则这两张卡片正面图案是轴对称图形不是中心对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确列表得到所有的等可能的结果数． 根据题意，利用列表法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】以上4张图片分别用、、、表示，列表如下： 第二次第一次 共有种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是轴对称图形的结果有种， 这两张卡片正面图案是轴对称图形的概率为． 故选：C 10．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（　　） A．0.620 B．0.618 C．0.610 D．1000 【答案】B 【知识点】由频率估计概率 【分析】结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可． 【详解】由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618． 故选B． 【点睛】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字都是奇数的概率为 【答案】/ 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．列表法展示所有36种等可能的结果数，再找出两次抽取的数字都是奇数的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36种等可能的结果数，其中两次抽取的数字都是奇数的结果数为9， 所以随机抽取一张，两次抽取的数字都是奇数的概率． 故答案为：． 12．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色球共20只．其中，黑球6只．试估算口袋中再加入黑球 只，才能使摸出黑球的概率是？ 【答案】1 【知识点】分式方程的实际应用、根据概率公式计算概率 【分析】设再加入x只黑球，利用求概率的公式，列出方程，即可求出答案． 【详解】解：设再加入x只黑球，则 ， 解得：； 经检验，x=1是方程的解， ∴再加入黑球1只，才能使摸出黑球的概率是； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，以及概率公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确列出方程，从而进行解题． 13．在□ABCD中，点E在AD上，在平行四边形内随意取一个点P，则点P落在△BCE内的概率为 ． 【答案】 【知识点】几何概率、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据题意可以求得△BCE的面积是平行四边形ABCD面积的一半，由此即可求得概率． 【详解】解：设三角形EBC中BC边上的高为h， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴三角形EBC中BC边上的高于平行四边形中BC边上的高相等， ∵，， ∴， ∴点P落在△BCE内的概率为． 【点睛】本题主要考查了几何概率，解题的关键在于求出△BCE的面积是平行四边形ABCD面积的一半． 14．为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员，那么甲、乙同学同被选为宣传员的概率为 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是利用画树状图求解随机事件的概率．先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，乙的结果数为2， 所以选中的两名同学恰好是甲，乙的概率． 15．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和15个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则a的值约为 ． 【答案】35 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】根据题意易得摸到红球的概率为0.3，然后可得盒子中白球与红球的总数为50个，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：摸到红球的概率为0.3，则有， 盒子中球的总数为：15÷0.3=50（个）； ∴a=50-15=35（个）； 故答案为35． 【点睛】本题主要考查频率与概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键． 16．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，现在从中摸出一个球，记录它的颜色不放回，搅匀，再摸出一球，则摸出一红一黄的球的概率是 【答案】 【详解】试题分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．如： 一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，所以P（一红一黄）=. 考点：概率 17．双十一期间，荣昌重百推出有奖销售促销活动，消费达到800元以上得一次抽奖机会，李老师消费1000元后来到抽奖台，台上放着一个不透明抽奖箱，里面放有规格完全相同的四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，主持人让李老师连续不放回抽两次，每次抽取一个小球，如果两个球上的数字均为奇数则可中奖，则李老师中奖的概率是 . 【答案】 【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两个球上的数字均为奇数的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两个球上的数字均为奇数的结果数为2， 所以李老师中奖的概率=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 18．如图，在矩形中，，点是边上任意一点（点与点不重合），过点作，交边的延长线于点，连接，交边于点．设．则关于的函数解析式为 ；当点在边上移动时，为等腰三角形时，线段的长为 ． 【答案】 或或 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了矩形的性质，以及相似三角形的判定和性质和一次函数的综合运用． （1）由矩形的性质推出，即得，再由得出，然后由＋，＋，得出，由，，得，再由三角形相似的性质得到关于的函数解析式，从而得出的取值范围； （2）当点在边上移动时，能成为等腰三角形，此时可以推断出三种情况，①当时，当时，③当时，一一推断即可． 【详解】解：（1）在矩形中，． ． ， 又， ， ． ， ，即． 关于的函数解析式是． （2）当点在边上移动时，能成为等腰三角形． ①当时， ∴， ∴，即， 则， ∴， 即为中点，即为中线； ∵， ∴ ，、 ∴； 当代入．得；即； ②当时，过点向作垂线，垂足为H，则有， ，， ， ，， ， 即， ， ， ， 即， 解得，负值已舍去，即； ③当时， ， ， ， ， ， ， 解得，即； 综上，线段的长为或或． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 落在“谢谢参与”区域的次数 落在“谢谢参与”区域的频率 (1)填空：______，______； (2)若继续转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近多少？若晓慧去转动该转盘一次，则她转到“谢谢参与”的概率约是多少？结果保留一位小数 【答案】(1)； (2) 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】根据频率和频数的关系求得和的值即可； 利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：；； （2）若继续不停转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，晓慧转到“谢谢参与”的概率约是． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 20．小昆和小明了解到腾冲热海风景区、固东银杏村、火山地热国家地质公园、北海湿地都是腾冲旅游必去的打卡风景名胜景点，他们将腾冲热海风景区、固东银杏村、火山地热国家地质公园、北海湿地分别记为． (1)若小昆从这四个腾冲打卡风景名胜景点中，随机选择1个去旅游，则选中火山地热国家地质公园的概率为 ； (2)小昆和小明都想要从腾冲热海风景区、固东银杏村、火山国家地质公园、北海湿地中任意选择1个景点旅游，用列表法或画树状图法中的一种方法，求他们选中不同景点的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查概率综合，涉及一步概率问题及两步概率问题的解法、简单概率公式等，熟练掌握一步概率问题及两步概率问题的解法是解决问题的关键． （1）由一步概率问题的求解方法，直接利用简单概率公式求解即可得到答案； （2）由两步概率问题的求解方法，画出树状图得到全部等可能的结果，利用概率公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：题中有腾冲热海风景区、固东银杏村、火山地热国家地质公园、北海湿地4种， 若小昆从这四个腾冲打卡风景名胜景点中，随机选择1个去旅游，则选中火山地热国家地质公园的概率为， 故答案为：； （2）解：画出树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，他们选中不同景点的结果数为12， ∴他们选中不同景点的概率为． 21．2023年10月26日，搭载三名航天员汤洪波、唐胜杰、江新林的神舟十七号载人飞船发射成功，三名航天员顺利进驻我国空间站．根据安排此次航天员乘组将进行出舱开展科学实验，每名航天员出舱的机会均等． (1)首次将安排1名航天员出舱，则航天员汤洪波被选中出舱的概率是___________； (2)若第2次安排两名航天员出舱，用列表或画树状图的方法求航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，根据题意，列出图表或树状图，利用概率公式计算概率即可． （1）直接根据概率计算即可． （2）根据列表法得出所有等可能情况，找出符合条件的情况数，利用概率公式即可求解． 【详解】（1）解：从三名航天员中安排1名航天员出舱，则航天员汤洪波被选中出舱的概率是 （2）根据题意，列表如下：     汤洪波    唐胜杰    江新林 汤洪波 — 汤洪波，唐胜杰 汤洪波，江新林 唐胜杰 唐胜杰，汤洪波 — 唐胜杰，江新林 江新林 江新林，汤洪波 江新林，唐胜杰 — 由上表得共有6种可能结果，航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的情况有2种，故 航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的概率为． 22．张老师将“校园诗词大赛”所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图，部分信息如下： （1）本次比赛选手共有_ 人，扇形统计图中“”这一组人数占总参赛人数的百分比为_ ，频数直方图中“”这一组的人数为__ ； （2）赛前规定，成绩由高到低前的参赛选手获奖某参赛选手的比赛成绩为分，试判断他能否获奖，并说明理由； （3）成绩前四名是名男生和名女生，若从他们中任选人作为全区“诗词大会”重点培训对象，试求恰好选中男女的概率． 【答案】（1）40，45%，4；（2）能获奖，理由见解析；（3）． 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）根据扇形统计图和频数分布直方图得出69.5~79.5这组所占的百分比和频数，可得本次比赛选手总人数；计算89.5~94.5这组所占百分比，用总数乘以79.5~89.5这组所占的百分比即可得到结果；用总数乘以94.5~99.5这组所占的百分比即可得到结果； （2）计算出前55%的人数其最低分值，可以判断结果； （3）画树状图得到所有可能的情况，再找出符合条件的情况后，用概率公式进行求解即可． 【详解】（1）由扇形统计图可知69.5~79.5这组所占为20%， 由频数分布直方图得69.5~79.5这组的频数为：3+5=8， ∴参赛选手总数为：（人） 又∵89.5~94.5这组所占的百分比为：10 ∴79.5~89.5这组所占的百分比为： ∴94.5~99.5这组的频数为：40（人） 他能获奖．理由如下：“”这一组人数为分以上的人数占总参赛人数的百分比为，即分以上的选手可获奖 画树状图如解图： 由树状图知，共有种等可能结果， 其中恰好选中男女的结果共有种， 故． 【点睛】本题考查了扇形统计图，频数分布直方图以及概率的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0． （1）c＝2b﹣1时，求证：方程一定有两个实数根． （2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，求b、c的值使方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根的概率． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）把c＝2b﹣1代入x2+bx+c＝0．利用一元二次方程根的判别式即可得答案； （2）根据方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，利用判别式可得b与c的关系，画出树状图，得出所有可能情况数及符合b与c的关系的情况数，利用概率公式即可得答案． 【详解】（1）∵c＝2b﹣1， ∴x2+bx+c＝x2+bx+2b=0． ∵==≥0, ∴方程一定有两个实数根． （2）∵方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根， ∴=0， ∴， 画树状图如下： 由树状图可知：所有可能情况数为12种，符合的情况数为2种， ∴b、c的值使方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根的概率为=． 【点睛】本题考下一元二次方程的根的判别式及树状图法或列表法求概率，对于一元二次方程（），根的判别式为△=，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；熟练掌握根的判别式及概率公式是解题关键． 24．我校初三年级举行了“湘一梦，初三梦”演讲比赛，小明同学将选手成绩划分为A，B，C，D四个等级绘制了两种不完整统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)参加演讲比赛的学生共有 人，扇形统计图中 ， ，并把条形统计图补充完整； (2)学校想从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加长沙市举办的演比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率，（男生分别用代码、表示，女生分别用代码，表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图信息关联、求扇形统计图的圆心角、画条形统计图 【分析】（1）根据D等级可以求出参加演讲比赛的学生数，然后由扇形统计图的知识，可求得的值，继而补全统计图； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A等级中一男一女参加比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：（人）， ∴， ∴， ∵， ∴； B等级人数人 如图： 故答案为：； （2）画树状图得： ， ∵共有12种等可能的结果，A等级中一男一女参加比赛的有8种情况， ∴A等级中一男一女参加比赛的概率为：． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 25．2012年6月5日是“世界环境日”，南宁市某校举行了“绿色家园”演讲比赛，赛后整理参赛同学的成绩，制作成直方图（如图）． （1）分数段在-----范围的人数最多； （2）全校共有多少人参加比赛？ （3）学校决定选派本次比赛成绩最好的3人参加南宁市中学生环保演讲决赛，并为参赛选手准备了红、蓝、白颜色的上衣各1件和2条白色、1条蓝色的裤子．请用“列表法”或“树形图法”表示上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果，并求出上衣和能搭配成同一种颜色的概率． 【答案】（1）85～90（2）24人（3）1/3 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布直方图、列表法或树状图法求概率 【详解】解：（1）由条形图可知，分数段在85～90范围的人数最多为10人， 故答案为85～90； （2）全校参加比赛的人数=5+10+6+3=24人； （3）上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果如图所示， 共有9总搭配方案，其中，上衣和裤子能搭配成同一种颜色的有3种， 上衣和裤子能搭配成同一种颜色的概率为： （1）由条形图可直接得出人数最多的分数段； （2）把各小组人数相加，得出全校参加比赛的人数； （3）利用“树形图法”，画出搭配方案，由此可求上衣和裤子能搭配成同一种颜色的概率 26．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为5组，并绘制了如图1和2不完整的统计图． 组别 分数/分 A 75≤x＜80 B 80≤x＜85 C 85≤x＜90 D 90≤x＜95 E 95≤x≤100 请结合统计图，解答下列问题： (1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中m= ； (2)补全学生成绩频数分布直方图； (3)若成绩90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，则成绩优秀的学生大约有 人； (4)学校将从获得满分的5名学生（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名学生参加周一国旗下的演讲，恰好抽到一名男生和一名女生的概率为 ． 【答案】(1)400，60 (2)见解析 (3)1680 (4) 【知识点】列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、条形统计图和扇形统计图信息关联、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】（1）根据C组调查人数及所占百分比求出调查总人数，用总人数乘以B组所占百分比即可求出m的值； （2）总人数减去已知组别人数可得E组人数，补全统计图即可； （3）根据用样本数据估计总体数据计算公式即可求解； （4）用树状图法求解概率． 【详解】（1）解：调查总人数为：（人） B组人数：（人）， 故答案为：400，60； （2）E组人数：（人），补全频数分布直方图如下： （3）（人） 故答案为：1680； （4）列树状图如下： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查数据统计与分析及求事件发生的概率，解题关键是结合条形统计图和扇形统计图，根据已知组别人数和所占百分比求出调查总人数，掌握用样本数据估计总体数据计算公式：，列树状图法求概率． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$