专题3.2 椭圆的简单几何性质（特色专题卷）-2024-2025学年高二数学特色专题卷（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.2 椭圆的简单几何性质 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二·广西·期末）椭圆的短轴长是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】将椭圆的方程化为标准方程，由此求得的值，进而求得短轴长. 【详解】椭圆方程变形为， 可得， ∴，短轴长为. 故选：C 2．（24-25高二上·河北承德·阶段练习）椭圆的离心率为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率的定义,代入数据即得答案. 【详解】椭圆,, ,答案为D 【点睛】本题考查了椭圆的离心率的计算,属于简单题目. 3．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据已知列方程结合计算得出再结合椭圆的交点所在轴即可判断. 【详解】因为, 又因为， 所以, , 解得, 椭圆焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：; 椭圆焦点在y轴时，椭圆的标准方程为：. 故选：C. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）椭圆与椭圆的（　　） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】 分别求出两个椭圆的长短半轴长、半焦距、离心率，即可判断作答. 【详解】 椭圆的焦点在x轴上， 长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为. 椭圆的焦点在x轴上， 长轴长为，短轴长为，焦距为8，离心率为， 所以两椭圆焦距相等. 故选：D. 5．（23-24高二上·黑龙江佳木斯·期中）椭圆上一点，椭圆的两个焦点为，若，则的面积是（    ） A．14 B．8 C．7 D．4 【答案】C 【分析】根据椭圆的标准方程及定义，再结合勾股定理，就可解得，再计算的面积即可. 【详解】∵椭圆的方程为， ∴又∵∴ 设，由椭圆定义及勾股定理， 可得，∴， ∴，∴三角形的面积. 故选：C 6．（24-25高二上·河北秦皇岛·阶段练习）已知椭圆的离心率是，左右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且，的面积等于，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆离心率是，求得，再根据椭圆的定义，得到，结合题设条件，求得，进而求得的值，即可求解. 【详解】由题意，椭圆的离心率是，即，即， 根据椭圆的定义，可得， 因为，且的面积等于， 可得，且， 则， 即，解得，所以，可得， 所以椭圆的方程为. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的定义、标准方程及几何性质，结合三角形的面积公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 7．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，若的周长为54，且椭圆的短轴长为18，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆中焦点三角形的周长， ，以及的关系即可解出，从而解出离心率． 【详解】设椭圆的焦距为，因为的周长为54，所以，即. 因为椭圆的短轴长为18，所以，因为，所以，所以.故椭圆的离心率为 故选：B． 8．（23-24高二上·四川成都·期中）若点和点分别为椭圆的两个焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】设，且，利用向量的坐标运算表示出，然后消去，进而可得最小值. 【详解】由已知得设，且， 则， 代入得， 因为，所以， 即的最小值为. 故选：A. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形分球盘，点A、B是它的两个焦点，长轴长为，焦距为，当静止放在点A的小球（小球的半径不计），从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合椭圆的定义以及椭圆的光学性质，分情况讨论，求得正确答案. 【详解】当小球从A点出发，经过非左右顶点的位置，反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是，故A正确； 当小球从A点出发，经过左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是，故B正确； 当小球从点出发，经过右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，故C正确； 由上述分析知，D不正确. 故选：ABC 10．（23-24高二上·浙江金华·期中）设椭圆的左右焦点为，P是C上的动点，则（    ） A． B．离心率 C．短轴长为2，长轴长为 D．不可能是钝角 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的性质得到AC正确，计算离心率得到B错误，确定，计算得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：，正确； 对选项B：，，，故离心率，错误； 对选项C：短轴长为，长轴长为，正确； 对选项D：，故， 当且仅当时等号成立， ，正确； 故选：ACD 11．（23-24高二下·重庆南岸·期中）2022年卡塔尔世界杯会徽正视图近似伯努利双纽线．伯努利双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线上一点，下列说法正确的是（      ） A．双纽线是中心对称图形 B． C．双纽线上满足的点有2个 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】A.先由双纽线的定义得到方程，将 替换方程中的 判断；B. 由求解判断；C. 由方程令求解判断；D. 由 ，结合余弦定理判断. 【详解】由到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线， 则双纽线的方程为， 将替换方程中的，方程不变， 故双纽线关于原点成中心对称，故A正确； 由等面积法得，则， 所以，故B正确； 令，得，解得， 所以双曲线上满足的点有一个，故C错误； 因为，所以， 由余弦定理得， 所以， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二·全国·课后作业）若过点的直线l与椭圆只有一个公共点，则直线l的方程为 ． 【答案】或y＝－5 【分析】点刚好在处，故存在与轴垂直和与轴垂直的两条切线. 【详解】椭圆标准方程为：， 右顶点坐标，下顶点坐标， 过作椭圆的切线，如图所示： 直线的方程为：或y＝－5， 故答案为：或y＝－5. 13．（2024高二·全国·专题练习）已知椭圆：，则过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的长度为 ． 【答案】/ 【分析】设出直线方程，直曲联立得出一元二次方程，利用韦达定理即可求出长度 【详解】根据题意知过点且斜率为的直线的方程是． 设此直线与椭圆的交点为，． 联立直线方程和椭圆方程，得消去，化简得， 故，． 所以 ． 故答案为：． 14．（24-25高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点P，使得，当m取得最大值时，椭圆的离心率为______． 【答案】/ 【分析】先根据在椭圆内部得到的取值范围，再求出的取值范围，根据得到关于的不等式组，两者结合可求的取值范围，当取得最大值时，可根据公式计算其离心率. 【详解】因为点是椭圆内一点，故， 由，可得． 为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为F， 则， 而，当且仅当P，A，F三点共线时等号成立， 故，所以， 所以，故． m的最大值为25，此时椭圆方程为，其离心率为． 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程 : (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程 (2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点； 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设出椭圆方程，待定系数法求出，得到椭圆的标准方程； （2）分焦点位于x轴和轴两种情况，设出椭圆方程，求出，得到椭圆的标准方程. 【详解】（1）由题意设椭圆的标准方程为， 由解得：. 所以椭圆的标准方程为； （2）由题意：当椭圆的焦点位于x轴上时，设椭圆的标准方程为， 故，故，此时椭圆的标准方程为， 当椭圆的焦点位于轴上时，设椭圆的标准方程为， 故，故，此时椭圆的标准方程为. 综上所述：椭圆的标准方程为或. 16．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知为椭圆（）上一点，，是的焦点，. (1)若，求椭圆的离心率； (2)若点的坐标为，求椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，，则，利用椭圆定义和勾股定理，从而求出答案； （2）（法一）设，，求出、、，利用得 ，再由求出，利用，从而得到椭圆方程； （法二）设，，利用椭圆定义和勾股定理得， 可得，由在椭圆上得，结合解得可得答案. 【详解】（1）设，， 依题意，不妨设，则， 所以解得， 即； （2）（法一）设，， 则，，， 由得， 即，解得， 所以，， 所以，即，， 故椭圆的的方程为； （法二）设，， 又由得， 即，另一方面， 所以， 由在上得，即， 所以， 又由，解得， 即，，即椭圆的的方程为. 17．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知、是椭圆：的左、右焦点． (1)若椭圆的一个顶点A与、围成等边三角形，求椭圆的离心率e； (2)若椭圆经过，又轴，求椭圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点三角形的特点并结合题意，即可求出结果； （2）由于，根据椭圆的性质，可知，，再结合，即可求出结果. 【详解】（1）解：由于椭圆的一个顶点与、围成等边三角形，所以点 所以，所以椭圆的离心率； （2）解：由轴，得①， 又由椭圆的通径知，即②，代入中，得，得，得，， 所以椭圆E的方程为． 18．（24-25高三上·北京·阶段练习）椭圆：的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，先得，再由得，即可求得椭圆的方程； （2）易知直线斜率存在，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，由韦达定理可得和，根据为直角可得，代入即可求得斜率的值. 【详解】（1）由题，椭圆焦点在轴上，且，， 所以， 又， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）由题，过点满足题意的直线斜率存在，设， 联立，，消去得， ， 令，解得. 设两点的坐标分别为， 则， 因为为直角三角形，则为直角，所以， 即， 所以， 所以，解得. 19．（24-25高三下·北京·开学考试）已知椭圆，E的离心率，短轴长为4. (1)求椭圆E的标准方程： (2)对于给定的点，在E上存在不同的三点A，B，Q，使得四边形为平行四边形，且直线AB过点，求t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率得到，根据短轴长得到，然后结合解方程即可； （2）利用点差法和直线过点得到中点的轨迹方程，然后根据，得到，再结合点在椭圆上得到，最后根据的范围求的范围即可. 【详解】（1）由题意得，又， 解得，，， 所以椭圆的标准方程为. （2） 设，，，中点坐标， 联立得， 又直线过点，所以，整理得， 即中点的轨迹方程为①， 因为四边形为平行四边形，所以，， 代入①式可得②， 又点在椭圆上，所以，整理得③， ③式代入到②中可得④， 当时，④式不成立， 当时，，则，解得或， 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 椭圆的简单几何性质 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二·广西·期末）椭圆的短轴长是（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（24-25高二上·河北承德·阶段练习）椭圆的离心率为（　　） A．1 B． C． D． 3．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）椭圆与椭圆的（　　） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 5．（23-24高二上·黑龙江佳木斯·期中）椭圆上一点，椭圆的两个焦点为，若，则的面积是（    ） A．14 B．8 C．7 D．4 6．（24-25高二上·河北秦皇岛·阶段练习）已知椭圆的离心率是，左右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且，的面积等于，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，若的周长为54，且椭圆的短轴长为18，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·四川成都·期中）若点和点分别为椭圆的两个焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形分球盘，点A、B是它的两个焦点，长轴长为，焦距为，当静止放在点A的小球（小球的半径不计），从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·浙江金华·期中）设椭圆的左右焦点为，P是C上的动点，则（    ） A． B．离心率 C．短轴长为2，长轴长为 D．不可能是钝角 11．（23-24高二下·重庆南岸·期中）2022年卡塔尔世界杯会徽正视图近似伯努利双纽线．伯努利双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线上一点，下列说法正确的是（      ） A．双纽线是中心对称图形 B． C．双纽线上满足的点有2个 D．的最大值为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二·全国·课后作业）若过点的直线l与椭圆只有一个公共点，则直线l的方程为 ． 13．（2024高二·全国·专题练习）已知椭圆：，则过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的长度为 ． 14．（24-25高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点P，使得，当m取得最大值时，椭圆的离心率为______． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程 : (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程 (2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点； 16．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知为椭圆（）上一点，，是的焦点，. (1)若，求椭圆的离心率； (2)若点的坐标为，求椭圆的标准方程. 17．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知、是椭圆：的左、右焦点． (1)若椭圆的一个顶点A与、围成等边三角形，求椭圆的离心率e； (2)若椭圆经过，又轴，求椭圆的方程． 18．（24-25高三上·北京·阶段练习）椭圆：的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率. 19．（24-25高三下·北京·开学考试）已知椭圆，E的离心率，短轴长为4. (1)求椭圆E的标准方程： (2)对于给定的点，在E上存在不同的三点A，B，Q，使得四边形为平行四边形，且直线AB过点，求t的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$