微专题21 高斯函数、狄利克雷函数与最值函数及其应用3种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

微专题21 高斯函数、狄利克雷函数与最值函数及其应用 2023-2024学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 3种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 高斯函数 题型2 狄利克雷函数 题型3 最值函数 1.高斯函数 (1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数. (2)性质 ①定义域：R；值域：Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性. (3)图象 2.狄利克雷函数 (1)定义域R；值域{0，1}. (2)奇偶性：偶函数. (3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. (4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在. 3.最值函数 设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数. 题型1 高斯函数 【例1】设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式1】高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个．高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如．若函数有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝________. 【变式3】设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如： [－0.5]＝－1，[1.5]＝1，已知函数f(x)＝4x－－3×2x＋4(0＜x＜2)，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　) A． B．{－1，0，1} C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2} 【变式4】【多选】对任意实数x，记[x]为不超过x的最大整数，并称函数y＝[x]为高斯函数，又称取整函数.如下m个数：，，，…，可组成一个72元集合，则下列m的取值中不满足要求的有(　　) A．100 B．105 C．110 D．115 【变式5】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[2.1]＝2，则下列说法正确的是(　　) A．函数在区间上单调递增 B．若函数，则的值域为 C．若函数f(x)＝|－|，则的值域为 D．x∈R，x≥[x]＋1 【变式6】函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7】【多选】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：．已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上的值域是 C．在上是增函数 D． 【变式8】【多选】对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 【变式9】【多选】对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．，若，则 D．，使成立 【变式10】【多选】表示不超过的最大整数．十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．高斯函数的应用范围很广，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，下列关于高斯函数的相关结论正确的有（    ） A． B． C．高斯函数为偶函数 D． 【变式11】【多选】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．则（    ） A．， B．不等式的解集为 C．当，的最小值为 D．方程的解集为 题型2 狄利克雷函数 【例2】德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（    ） A．有零点 B．是单调函数 C．是奇函数 D．是周期函数 【变式1】【多选】狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．，使得 D． 【变式2】【多选】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，以下四个命题，其中真命题有（    ） A．是偶函数 B．的周期是任意非零有理数 C．是奇函数 D．，， 【变式3】【多选】已知，下列关于的说法正确的是（ ） A．的值域为 B．的定义域为 C．函数是偶函数 D．任意一个非零有理数， 对任意恒成立 【变式4】【多选】德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)的叙述，正确的是(　　) A．函数y＝f(x)的图象是两条直线 B．f(f(x))＝1 C．f()＞f(1) D．∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x) 【变式5】【多选】1837年，狄利克雷提出了函数的现代定义，即如果变量与变量相关，使得根据某个规则，每个值都对应唯一一个值，那么就是关于自变量的函数．并举出了个著名的函数-狄利克雷函数：，下列说法正确的有（    ） A． B．的值域为 C． D． 【变式6】【多选】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的定义域为 C． D．存在是无理数， 题型3 最值函数 【例3】记为，，中最小的数.已知，且，则的最大值为 . 【变式1】定义为中的最小值，设，则的最大值是 ． 【变式2】【多选】已知函数，则（    ） A．关于直线对称 B．的最大值为 C．在上不单调 D．在，方程（为常数）最多有个解 【变式3】已知函数，用表示中的较小者，记为，则函数的最大值为 ；若，则的取值范围为 ． 【变式4】已知f(x)＝2x＋1，g(x)＝2(x＋1)2，∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为：M(x)＝max{f(x)，g(x)}.当x∈R时，函数M(x)的最小值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 【变式5】定义：（i）表示x的最小值；（ii）表示不超过x的最大整数．设a，b，c为正数，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【变式6】设，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． $$微专题21 高斯函数、狄利克雷函数与最值函数及其应用 2023-2024学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 3种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 高斯函数 题型2 狄利克雷函数 题型3 最值函数 1.高斯函数 (1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数. (2)性质 ①定义域：R；值域：Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性. (3)图象 2.狄利克雷函数 (1)定义域R；值域{0，1}. (2)奇偶性：偶函数. (3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. (4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在. 3.最值函数 设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数. 题型1 高斯函数 【例1】设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，当时，将函数化简变形得，令，然后分和两种情况结合基本不等式可求出的取值范围，从而可求出的值域，再由高斯函数的定义求出的值域. 【详解】显然，． 当时，． 令，当时，，当且仅当时等号成立， 则； 当时，，当且仅当时等号成立， 则． 综上所述，的值域为， 所以根据高斯函数的定义，函数的值域是， 故选：C． 【变式1】高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个．高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如．若函数有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据高斯函数的定义分区间讨论结合对数函数的图象判定即可. 【详解】易知函数的零点即的交点， 对于函数， 显然，所以要符合题意需，如下图所示， 四个交点应在区间，即. 故选：D 【点睛】思路点睛：对于高斯函数相关的函数可以分区间讨论其函数形式，然后利用方程转化为两函数交点问题，数形结合计算即可. 【变式2】函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝________. 【答案】　4 107 【解析】由题意，当2i＋1≤x≤2i＋1－1，i∈N*时， f(x)＝i，在[2i＋1，2i＋1－1]上奇数共有2i－1个， 且f(1)＝0，f(3)＝1， 则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝0＋1＋2×2＋3×22＋…＋9×28＋10. 设T＝1＋2×2＋3×22＋…＋9×28， 则2T＝2＋2×22＋3×23＋…＋8×28＋9×29， 两式相减得－T＝1＋2＋22＋…＋28－9×29 ＝29－1－9×29＝－1－8×29， 所以T＝1＋8×29＝4 097. 所以f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝4 097＋10＝4 107. 【变式3】设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如： [－0.5]＝－1，[1.5]＝1，已知函数f(x)＝4x－－3×2x＋4(0＜x＜2)，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　) A． B．{－1，0，1} C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2} 【答案】　B 【解析】　f(x)＝4x－－3×2x＋4(0＜x＜2)， 令t＝2x，t∈(1，4)， 可得g(t)＝t2－3t＋4＝(t－3)2－， g(t)在(1，3]上递减，在[3，4)上递增， 当t＝3时，g(t)有最小值g(3)＝－， 又因为g(1)＝，g(4)＝0， 所以当t∈(1，4)时，g(t)∈， 即函数f(x)的值域为， 当f(x)∈时，[f(x)]＝－1； f(x)∈[0，1)时，[f(x)]＝0； f(x)∈时，[f(x)]＝1. 所以y＝[f(x)]的值域是{－1，0，1}. 【变式4】【多选】对任意实数x，记[x]为不超过x的最大整数，并称函数y＝[x]为高斯函数，又称取整函数.如下m个数：，，，…，可组成一个72元集合，则下列m的取值中不满足要求的有(　　) A．100 B．105 C．110 D．115 【答案】　ABC 【解析】　∵＝＋1， ∴，，，…，可组成一个72元集合， 进而可转化为，，， ，…，可组成一个72元集合. 令－≥1，得n≤44， 故，，，，…，各不相同，共有45个数， 而＝44，＝43，＝43， 72－45＝27，43－27＋1＝17， 故＝17，故17≤<18， 故<m≤， 又≈112.4，＝119， ∴113≤m≤119，m∈N*，故选项A，B，C不满足要求. 【变式5】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[2.1]＝2，则下列说法正确的是(　　) A．函数在区间上单调递增 B．若函数，则的值域为 C．若函数f(x)＝|－|，则的值域为 D．x∈R，x≥[x]＋1 【答案】　AC 【解析】　对于A，x∈[k，k＋1)，k∈Z，有[x]＝k，则函数y＝x－[x]＝x－k在[k，k＋1)上单调递增，故A正确； 对于B，f＝＝－∈(－1，0)， 则＝－1，故B不正确； 对于C，f(x)＝＝＝， 当0≤|cos 2x|≤时，1≤2－2|cos 2x|≤2， 1≤f(x)≤，有[f(x)]＝1， 当<|cos 2x|≤1时，0≤2－2|cos 2x|<1， 0≤f(x)<1，有[f(x)]＝0， 所以y＝[f(x)]的值域为{0，1}，故C正确； 对于D，当x＝2时，[x]＋1＝3， 有2<[2]＋1，故D不正确. 【变式6】函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解最值，即可根据一元二次不等式求解，即可根据取整函数的定义求解. 【详解】，当且仅当时取等号， 由可得， 所以，故， 故选：C 【变式7】【多选】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：．已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上的值域是 C．在上是增函数 D． 【答案】ABD 【分析】根据偶函数定义可判断A；求出的范围，根据新定义求函数值可判断B；取特值验证可判断C；根据新定义可知，然后可判断D. 【详解】对于A，的定义域为，又， 所以是偶函数，故A选项正确； 对于B，，当时，，此时，， 所以在的值域是，故B选项正确； 对于C，因为，所以在上不是增函数，故C选项不正确； 对于D，因为恒成立，所以，故D选项正确． 故选：ABD 【变式8】【多选】对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】结合取整函数的定义，利用奇偶性的定义可判断A选项；由取整函数的定义得到，进而可判断B，C选项；先解一元二次不等式，然后取整函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A：当时，，当时，， 所以，不是奇函数，即函数的图象不是关于原点对称，故A错误； 对于B：由取整函数的定义知， ，所以， ，函数的值域为，故B正确； 对于C：由取整函数的定义知，，， 所以，故C正确； 对于D：由得，解得， 结合取整函数的定义可得，故D正确. 故选：BCD. 【变式9】【多选】对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．，若，则 D．，使成立 【答案】BCD 【分析】举出反例可判断A，举例可判断B，设，则，，求出的范围可判断C；根据取值特征可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，设，则 ，故B正确； 对于C，设，则，，则，所以，故C正确； 对于D，时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 由， 可得时，成立，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解. 【变式10】【多选】表示不超过的最大整数．十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．高斯函数的应用范围很广，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，下列关于高斯函数的相关结论正确的有（    ） A． B． C．高斯函数为偶函数 D． 【答案】AB 【分析】根据高斯函数的定义可得且，即可判断AB；举例即可判断CD. 【详解】因为表示不超过的最大整数， 所以且，所以，故B正确； 由，得，所以，故A正确； 对于C，设，则， 所以高斯函数即不是偶函数也不是奇函数，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：AB. 【变式11】【多选】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．则（    ） A．， B．不等式的解集为 C．当，的最小值为 D．方程的解集为 【答案】AB 【分析】根据高斯函数的定义逐项分析即可. 【详解】对选项A：设的整数部分为，小数部分为，则， 的整数部分为，，故，正确； 对选项B：，则，故，正确； 对选项C：， 当且仅当，即时成立，不成立，故等号不成立，错误； 对选项D：取，则，满足方程成立，错误； 故选：AB 题型2 狄利克雷函数 【例2】德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（    ） A．有零点 B．是单调函数 C．是奇函数 D．是周期函数 【答案】D 【详解】根据狄利克雷函数的性质即可由或均为有理数求解A，根据即可判断单调性求解B，根据和同为有理数或同为无理数，即可求解C，根据和同为有理数或同为无理数即可求解D. 【分析】对于A，因为或均为有理数， 所以，故没有零点，A错误， 对于B，因为，所以， 故不是单调函数，B错误， 对于C，因为和同为有理数或同为无理数，所以， 故是偶函数，C错误， 对于D，设为任意非零有理数，则和同为有理数或同为无理数， 所以，故是周期函数（以任意非零有理数为周期），D正确， 故选：D. 【变式1】【多选】狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．，使得 D． 【答案】AB 【分析】根据题意，结合狄利克雷函数的性质，以及函数的奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，关于原点对称， 若为有理数，则也为有理数，则有； 若为无理数，则也为无理数，则有， 所以为定义域上的偶函数，所以A正确； 对于B中，当为有理数时， ，则； 若为无理数时，，则， 所以对，均有，所以函数为偶函数，所以B正确； 对于C中，由B知，对，均有，所以C错误； 对于D中，当时，，， 此时，则，所以D错误. 故选：AB. 【变式2】【多选】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，以下四个命题，其中真命题有（    ） A．是偶函数 B．的周期是任意非零有理数 C．是奇函数 D．，， 【答案】ABD 【分析】对于A，分是否是有理数进行讨论即可求解；对于B，直接由周期函数的定义验算即可；对于C，由A选项分析即可判断；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A，当为有理数时，为有理数，则． 当为无理数时，为无理数，则． 故当 时，，所以是偶函数，故A是真命题. 对于B，且， 当是有理数时，是有理数，. 当是无理数时，是无理数，. 所以，，故B是真命题. 对于C，是偶函数，不是奇函数，故C是假命题. 对于D，当，时，是无理数，则， ，满足，故D是真命题. 故选：ABD. 【变式3】【多选】已知，下列关于的说法正确的是（ ） A．的值域为 B．的定义域为 C．函数是偶函数 D．任意一个非零有理数， 对任意恒成立 【答案】BCD 【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项. 【详解】 因为函数，所以的值城为，故A不正确； 因为函数，所以的定义城为，故B正确； 对于C中，若自变量是有理数，则， 若自变量是无理数，则，所以，则是偶函数，C正确 对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故D正确， 故选：BCD. 【变式4】【多选】德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)的叙述，正确的是(　　) A．函数y＝f(x)的图象是两条直线 B．f(f(x))＝1 C．f()＞f(1) D．∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x) 【答案】　BD 【解析】　对于A，函数y＝f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，A错误； 对于B，当x为有理数时，f(x)＝1， 所以f(f(x))＝f(1)＝1， 当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，B正确； 对于C，f()＝0，f(1)＝1， 所以f(1)＞f()，C错误； 对于D，由题意，函数定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数， 若x是有理数，则x＋T也是有理数； 若x是无理数，则x＋T也是无理数； 所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T， f(x＋T)＝f(x)对∀x∈R恒成立， 故f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)＝f(1－x)， 所以∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x)，D正确. 【变式5】【多选】1837年，狄利克雷提出了函数的现代定义，即如果变量与变量相关，使得根据某个规则，每个值都对应唯一一个值，那么就是关于自变量的函数．并举出了个著名的函数-狄利克雷函数：，下列说法正确的有（    ） A． B．的值域为 C． D． 【答案】AD 【分析】根据定义结合分段函数的相关概念一一判定即可. 【详解】当，此时，当，，此时， 则，故A正确； 对B，由题意可知，故B错误； 对C，由题意可知均为有理数，所以，故C错误. 对D，若，则，则， 若，则，则，综上可得：，故D正确； 故选：AD. 【变式6】【多选】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的定义域为 C． D．存在是无理数， 【答案】BCD 【分析】根据函数解析式即可得值域、定义域，即可判断AB；可知，代入运算即可判断C；举反例判断D即可. 【详解】因为函数， 所以的定义域为，值城为，故A错误；B正确； 因为，所以，故C正确； 例如取，则，故D正确； 故选：BCD. 题型3 最值函数 【例3】记为，，中最小的数.已知，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】假设最小值为t然后得到2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z，三式相加，得出t≤，最后判断即可. 【详解】设t=min{y-x,z-y,1-z}, 则t≤y-x, 即2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z, 三式累加可得：4t≤1+(y-2x) ≤1,所以t≤. 取显然满足且,此时t= 所以 故答案为： 【变式1】定义为中的最小值，设，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则为三段函数图像中靠下的部分， 从而通过数形结合可得的最大值点为与在第一象限的交点， 即， 所以． 故答案为：2. 【变式2】【多选】已知函数，则（    ） A．关于直线对称 B．的最大值为 C．在上不单调 D．在，方程（为常数）最多有个解 【答案】BC 【分析】通过求不等式，的解集，得到，作函数图象，结合函数图象逐项判断即可得解. 【详解】若，则， 即，即， 若，则， 即，即， 故， 故其图象如图所示： 对于选项A：由图象可得不关于直线对称，故A错误； 对于选项B：由图象可得的最大值为，故B正确； 对于选项C：当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，故C正确： 对于选项D：由图象，当时，方程在有4个解， 在时，方程在有个解， 当时，方程在有个解， 当或时，方程在有个解，故D错误. 故选：BC. 【变式3】已知函数，用表示中的较小者，记为，则函数的最大值为 ；若，则的取值范围为 ． 【答案】 1 【分析】先确定函数的单调性，再求的最大值；不等式等价于，利用的单调性和奇偶性，求出的范围，进而可得的范围. 【详解】因为函数，用表示中的较小者，记为， 所以， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为， 不等式，即， 又明显为偶函数，在上单调递减， 所以，解得， 因为，恒成立， 所以，即， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 【变式4】已知f(x)＝2x＋1，g(x)＝2(x＋1)2，∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为：M(x)＝max{f(x)，g(x)}.当x∈R时，函数M(x)的最小值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】　B 【解析】　已知函数y＝2x在R上单调递增， 若x＋1≥(x＋1)2，则－1≤x≤0； 若x＋1<(x＋1)2，则x>0或x<－1. 故当－1≤x≤0时，2x＋1≥2(x＋1)2， 即f(x)≥g(x)； 当x>0或x<－1时，2x＋1<2(x＋1)2， 即f(x)<g(x). 综上，M(x)＝ 当x<－1时，易知函数y＝2u(u为自变量)在R上单调递增，函数u＝(x＋1)2在 (－∞，－1)上单调递减， ∴M(x)＝2(x＋1)2在(－∞，－1)上单调递减， 又2(—1＋1)2＝1，∴此时M(x)>1. 当－1≤x≤0时，函数y＝2u(u为自变量)在R上单调递增，函数u＝x＋1在[－1，0]上单调递增， ∴M(x)＝2x＋1在[－1，0]上单调递增， 故此时M(x)≥M(－1)＝2－1＋1＝1. 当x>0时，函数y＝2u(u为自变量)在R上单调递增，函数u＝(x＋1)2在(0，＋∞)上单调递增， ∴M(x)＝2(x＋1)2在(0，＋∞)上单调递增， 又2(0＋1)2＝2，∴此时M(x)>2. 综上，M(x)的最小值为M(－1)＝1.故选B. 【变式5】定义：（i）表示x的最小值；（ii）表示不超过x的最大整数．设a，b，c为正数，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据题意和基本不等式得出：三数中至少有一个不小于2，可判断选项A；再利用反证法和不等式性质即可判断选项B、C；举例验证选项D. 【详解】因为a，b，c为正数， 所以由基本不等式可知：，当且仅当时等号成立. 从而三数中至少有一个不小于2. 不妨设， 则，故选项A错误； 对于选项B：假设 则，，， 则，，， 即，；. 由可得：； 由可得：，两者矛盾， 所以假设错误，故选项B错误； 对于选项C：假设， ①若，，， 则，， 即（1）；（2）； （3）； 结合不等式的性质： 由（1）（2）得，即， 由（1）（3）得，两者矛盾； ②若，，， 则，，， 即（4）；（5）；（6）. 由（4）（5）得，即， 由（4）（6）得，两者矛盾． 综上所述，假设错误，即，故选项C错误； 若取， 则， 从而，故选项D正确. 故选：D． 【变式6】设，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作出函数的图象，即可根据图象求解， （2）求解在上的值域，进而根据与的子集关系，求解的范围即可， （3）作出的图象，对分类讨论，求解的最值，即可根据分类讨论得解. 【详解】（1）当时，在直角坐标系中，分别作出的图象（左图），进而可得的图象（右图）， 令，解得，故 由图可知：的值域为 （2）函数， 由于，，所以，故， 当时，， 在单调递减，在单调递增， 且，故在取最大值，在取最小值 故， 当时，，在单调递增， 若对任意，总存在，使得成立，则在上的值域为的子集即可，故是的子集， 故，解得，或者，解得 综上，所求的范围为. （3）令，解得或， 故的图象如下： ，即 当时，此时在单调递减，故只需要即可，即，解得，不符合题意，舍去， 当时，，此时在上的最大值为，最小为 只需要，，解得， 当时，，此时在上的最大值为， 只需要，且且，无解， 综上可得： 【点睛】方法点睛：函数求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． $$