第十二章 全等三角形（B卷·培优·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第十二章全等三角形（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图， 于点 ， 于点 ，． 要根据证明，则还需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示， 是 的角平分线， ，垂足为 ， ， 和 的面积分别为49，40，则 的面积为（　　） A．3.5 B．4.5 C．9 D．10 3．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A． B． C． D． 4．如图 是 的角平分线， 于E，点F，G分别是 ， 上的点，且 ， 与 的面积分别是10和3，则 的面积是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝60，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．25 6．如图，在和中，，，，，连接，，延长交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝6，AB＝4，则AD的取值范围是　 　． 8．如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，AD=3cm，BE=1cm，那么DE=　 　cm． 9．如图，中，，AD平分交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且.若，，则AE的长为　 　. 10．如图，在 中， 为 的中点， 平分 ， ， 与 相交于点 ，若 的面积比 的面积大 ，则 的面积是　 　.（用含 的式子表示） 11．如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，，．则△MON 的周长是　 　； 12．如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动　 　秒时，与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）． 3、 解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．已知：在△ABC中，AD是BC边上的高． （1）尺规作图：作∠BAC的平分线AE，交BC于点E； （2）在（1）的条件下：若∠ABC＝105°，∠C＝45°，求∠EAD的度数． 14．已知，如图，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC，求证：CE平分∠BCD. 15．如图，AD是 的角平分线，且AB>AC，E为AD上任意一点， 求证： . 16．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，. （1）求证：； （2）若，，求的长. 17．如图，已知，，，，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．我们知道，“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题时的一种重要的添加辅助线的策略．请参考这种思想，解决本题：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且BD是∠ABC的角平分线． 求证：AE＝ BD． 19．如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，过点作于，点到地面的距离，当他从处摆动到处时，，若，作，垂足为F．求到的距离． 20．如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE． （1）如图1，过F点作FG⊥AC交于G点，求证：AG＝EC； （2）如图2，连接BF交AC于G点，若AC＝BC＝4，AG＝3，求证：E点为BC中点； （3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若，求的值是　 　． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图 （1）【探究与发现】如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形　 　． （2）【理解与应用】填空：如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是　 　． （3）已知：如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：． 22．(1)如图1,在四边形中,,,E、F分别是边、上的点,若,可求得、、之间的数量关系为________.(只思考解题思路,完成填空即可,不必书写证明过程) (2)如图2,在四边形中,,,E、F分别是边、延长线上的点,若,判断、、之间的数量关系还成立吗,若成立,请完成证明,若不成立,请说明理由. 六、解答题（本大题共12分） 23．如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） （2）如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章全等三角形（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图， 于点 ， 于点 ，． 要根据证明，则还需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵于点D，于点F， ∴， ∵， ∴当添加时，根据“”判断． 故答案为：D． 2．如图所示， 是 的角平分线， ，垂足为 ， ， 和 的面积分别为49，40，则 的面积为（　　） A．3.5 B．4.5 C．9 D．10 【答案】B 【解析】解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DN， 在Rt△DEF和Rt△DMN中， ∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL）， ∵DE=DG，DM=DE， ∴DM=DG， ∵DN⊥AC， 在Rt△DGN和Rt△DMN中， ∴Rt△DGN≌Rt△DMN（HL）， 在Rt△DFA和Rt△DNA中， ∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL）， ∴Rt△AED≌Rt△AMD， ∵△ADG和△AED的面积分别为49和40， ∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=49-40=9， S△DNM=S△DEF= S△MDG= ×9=4.5． 故答案为：B. 3．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠BCE=∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； 由题意得：AD=EC=9cm，DC=BE=21cm， ∴DE=DC+CE=30（cm）， 即两堵木墙之间的距离为30cm； 故答案为：A. 4．如图 是 的角平分线， 于E，点F，G分别是 ， 上的点，且 ， 与 的面积分别是10和3，则 的面积是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】解：如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC ∴DE=DH， 在Rt△DEF和Rt△DHG中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL）， ∴S△EDF=S△GDH=3， 同理Rt△ADE≌Rt△ADH， ∴S△ADE=S△ADH= ∴S△ADF= ， 故答案为：A. 5．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝60，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【解析】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1=4m+S2，S3=S2-4m， ∵S1+S2+S3=60， ∴4m+S2+S2+S2-4m=60， 即3S2=60， 解得S2=20． 故答案为：C． 6．如图，在和中，，，，，连接，，延长交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】解：∵∠BAC=∠DAE=49°， ∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD=CE， ∴结论①符合题意； ∴∠ABD=∠ACE， 如图所示： ∵∠AOB=∠COF， ∴∠BFC=∠BAO=49°， ∴结论③符合题意； ∵AD=AE，∠DAE=49°， ∴AD不一定等于BD， ∴结论②不符合题意； 如图所示：过点A作AK⊥BD于K，作AH⊥CE于H， ∵△BAD≌△CAE， ∴AK=AH， ∵AF=AF，∠AKF=∠AHE=90°， ∴Rt△AFK≌Rt△AFH， ∴∠AFD=∠AFE， ∴FA平分∠BFE， ∴结论④符合题意； 综上所述：正确的结论个数有3个， 故答案为：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝6，AB＝4，则AD的取值范围是　 　． 【答案】1＜AD＜5 【解析】解：如图，延长至点，使，连接，则 ∵， ∴. ∴. 中， ∴，即. 故答案为：. 8．如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，AD=3cm，BE=1cm，那么DE=　 　cm． 【答案】2 【解析】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠CAD=∠BCE， 在△CDA与△BEC中， ， ∴△CDA≌△BEC（AAS）， ∴CD=BE，CE=AD， ∵DE=CE-CD， ∴DE=AD-BE， ∵AD=3cm，BE=1cm， ∴DE=3-1=2（cm）， 故答案为：2． 9．如图，中，，AD平分交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且.若，，则AE的长为　 　. 【答案】4 【解析】解：如图，过D点作DF垂直AB于点F， ∵∠C＝90°，∴AC⊥BD， ∵AD平分∠BAC且DC⊥AC，DF⊥AB， ∴DF=DC， 在△BFD和△ECD中， ， ∴△BFD≌△ECD（AAS）， ∴FB=CE=6， ∵AB=16， ∴AF=AB-FB=16-6=10， 在△AFD和△ACD中， ， ∴△AFD≌△ACD（AAS）， ∴AF=AC=10， ∴AE=AC-CE=10-6=4． 故答案为：4． 10．如图，在 中， 为 的中点， 平分 ， ， 与 相交于点 ，若 的面积比 的面积大 ，则 的面积是　 　.（用含 的式子表示） 【答案】 【解析】解：作 于 ， 于 平分 ， 于 ， 于 ， ， 设 的面积为 .则 ， ， 的面积比 的面积大 ， 的面积比 的面积大 ， ， . 故答案为：10a. 11．如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，，．则△MON 的周长是　 　； 【答案】11 【解析】解：如图：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP， ∵PM、PN分别平分∠AMN，∠BNM， ∴PF=PG=PE， ∵S△PMN=·MN·PF=2，MN=2， ∴PF=PG=PE=2， 由题易得： △GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP， ∴GM=GF，FN=NE，OG=OE， ∴S△OPG=S△OPE=×（2+2+7）=， 即S△OPG=·OG·PG=， ∴OG=， ∴C△MON=OM+ON+MN， =OM+ON+MF+FN， =OM+ON+MG+NE， =OG+OE， =2OG， =2×， =11. 故答案为：11. 12．如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动　 　秒时，与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）． 【答案】或或 【解析】解：①当在线段上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°， ∴， 则， ∴， 即时间为秒，不合题意舍去； ②当在线段上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°， ∴， ∴， ∴点的运动时间为秒； ③当在射线上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°， ​​​​​​​∴， ∴， ∴点的运动时间为秒； ④当在射线上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°， ​​​​​​​∴， 则， ∴， ∴点的运动时间为秒； 综上，当点运动或或秒时，与点、、为顶点的三角形全等， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．已知：在△ABC中，AD是BC边上的高． （1）尺规作图：作∠BAC的平分线AE，交BC于点E； （2）在（1）的条件下：若∠ABC＝105°，∠C＝45°，求∠EAD的度数． 【答案】（1）解：如图，射线即为所求， （2）解： 平分， 为高， 14．已知，如图，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC，求证：CE平分∠BCD. 【答案】证明：如图，过 作 于 而∠A=∠B=90°， DE平分∠ADC， E是AB的中点， 而 平分 15．如图，AD是 的角平分线，且AB>AC，E为AD上任意一点， 求证： . 【答案】证明：如图，在AB上截取AF=AC，连接EF， ∵AD是 的角平分线 ∴∠1=∠2 在 与 中 ∵AF=AC，∠1=∠2，AE=AE ∴ ≌ （SAS） ∴ 在 中， 而 ∴ 即 . 16．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，. （1）求证：； （2）若，，求的长. 【答案】（1）解：证明：∵， ∴， ∵ ∴. ∴ 在和中， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴. 17．如图，已知，，，，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：，， ． ，即． 在和中， ， ≌． ． （2）证明：由知：≌， ． ， ． ． ， ． 在中， ． ． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．我们知道，“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题时的一种重要的添加辅助线的策略．请参考这种思想，解决本题：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且BD是∠ABC的角平分线． 求证：AE＝ BD． 【答案】证明：如图，延长AE、BC交于点F ∵AE⊥BE，∠ACB=90° ∴∠BEF=∠BEA=90°，∠ACF=∠ACB=90° ∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90° ∴∠DBC=∠FAC 在△ACF和△BCD中 ∴△ACF≌△BCD (ASA) ∴AF=BD． ∵BD是∠ABC的角平分线 ∴∠ABE=∠FBE- 在△ABE和△FBE 中， ∴△ABE≌△FBE (ASA) ∴ ∴ 19．如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，过点作于，点到地面的距离，当他从处摆动到处时，，若，作，垂足为F．求到的距离． 【答案】解：，于， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即到的距离为． 20．如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE． （1）如图1，过F点作FG⊥AC交于G点，求证：AG＝EC； （2）如图2，连接BF交AC于G点，若AC＝BC＝4，AG＝3，求证：E点为BC中点； （3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若，求的值是　 　． 【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠CAE+∠AEC＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠CAE+∠FAG＝90° ∴∠FAG＝∠AEC， ∵FG⊥AC， ∴∠FGA＝90°＝∠ACE， 在△AGF和△ECA中， ， ∴△AGF≌△ECA（AAS）； ∴AG＝EC； （2）证明：如图2，过点F作FD⊥AC于D， ∵AC＝4，AG＝3， ∴CG＝4﹣3＝1， 由（1）可知，△FAD≌△AEC， ∴CE＝AD，FG＝AC＝BC， 在△FDG 和△BCG中， ， ∴△FDG≌△BCG（AAS）， ∴DG＝GC＝1， ∴CE＝AD＝2， ∴BE＝BC﹣CE＝2， ∴CE＝EB，即E点为BC中点； （3） 【解析】解：（3）过F作FG⊥AD的延长线交于点G，如图3， ∵，BC＝AC，CE＝CB+BE， ∴ 由（1）（2）知：△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB， ∴CD＝DG，AG＝CE， ∴ ∴ ∴ ∴＝． 故答案为：． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图 （1）【探究与发现】如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形　 　． （2）【理解与应用】填空：如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是　 　． （3）已知：如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：． 【答案】（1） （2） （3）解：证明：如图3，延长到M，使，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】解：（1）∵是的中线， ∴， ∴； （2）如图2，延长至点Q，使，连接， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴x的取值范围是； 22．(1)如图1,在四边形中,,,E、F分别是边、上的点,若,可求得、、之间的数量关系为________.(只思考解题思路,完成填空即可,不必书写证明过程) (2)如图2,在四边形中,,,E、F分别是边、延长线上的点,若,判断、、之间的数量关系还成立吗,若成立,请完成证明,若不成立,请说明理由. 【答案】(1) (2).理由见解析 解析：(1)线段、、之间的数量关系是. 如图,延长至M,使,连接, ∵,,即：, ∴, 在和中,, ∴, ∴,, ∵,, ∴, ∴, 在和中, ∴, ∴, ∵, ∴； 故答案为：. (2)结论：. 理由：在上截取,连接, ∵,, ∴, 在与中,, ∴, ∴,,则, ∴ ∵,, ∴, 在与中,, ∴, ∴, 即, 即, ∴. 六、解答题（本大题共12分） 23．如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） （2）如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ （3）解：结论不成立，结论：．证明：如图中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】【解答】（1）解：如图，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$