河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期10月份期中联考数学试题

高三年级10月份联考 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、一元二次函数、方程和不等式、平 面向量与复数、数列、函数与基本初等函数、一元函数的导数及其应用、三角函数与解 显 三角形、立体几何。 却 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 瞰 1.设集合A={x|-x2+8x>0},B={x|x=3k-1,k∈N),则A∩B= A.{-1,2,5} B.{2,5,8} 长 C.{2,5) D.(1,3,5 2.若复数x满足(2十i)·z=5十5i,则z= 区 A.3+i B.3-i C.1+3i D.1-3i 数 3.已知a=3,b=9,c=lg8,则a,b,c的大小关系是 都 A.b>a>c B.a>b>c C.c>a>b D.c>b>a 旅 4.设数列{a.}的前n项和为S。,若an=n十8，a5=38,则So= A.100 B.110 C.210 D.190 5.已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为2√3，则该圆台的体积为 A.63 a24 C.73x D 2 3元 6.已知平面向量a,b均为非零向量，则“a仍”是“|a十b|+1b1=a|”的 A必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知函数fx)=sin2z十aos2x的图象关于直线x一是对称，则当x∈[0,2x]时，曲线y f(x)与y=cosx的交点个数为 A.3 B.6 C.5 D.4 【高三数学第1页（共4页）】 8.如图，已知AA1为某建筑物的高，BB1,CC1分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，A1, B1,C1分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A,B,C分别为该建筑物、甲、乙 的顶点，经测量得AB1=80米，CC1=86米，∠C,A1B1=48.60°，∠A1CB1=30°，在C点 测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高AA,约为（参 考数据：tan33.69°≈0.667，tan51.34°≈1.250，sin48.60°≈0.750) A.268米 B.265米 C.266米 D.267米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知tan(x一a)=一4，则 A.tan a=-4 Bam(子-a)=-号 Cam2a-是 D血2a-8 10.如图，在等腰梯形ABCD中，E为腰CD的中点，BC=3AD=3,∠ABC=子，N是梯形 ABCD内（包含边界）任意一点，AC与BE交于点O,则 A成-威+号武 B.O=配 C.B驼，AN的最小值为0 D酝·矿的最大值为号 11.已知数列{Wa,-3·2”}是常数列，且a1=9,则 A.a1>9X410m B@+3+@+ +…++3_10 517 √a1az √a2as Vasd 5<+是++1 11 C.i6-Jai a: Vas 216 1 >6 D. iog(g+i)√io(g+) 【高三数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知命题“3x∈(1，十∞)，2x一m十1=0”是假命题，则m的取值范围是▲ 13.已知w>0,函数f(x)=sm(ar一牙)在[一awx,w]上单调递增，则u的最大值为A 14.曲线)y=1hx与曲线y一r的公切线方程为▲一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c.若(a一c)(sinA十sinC)=(b-√3c)sinB. (1)求角A的大小： (2)若a=√7，c=1,求bsinC的值. 16.(15分) 如图，在五棱锥P-ABCDE中，AB⊥AE,BC∥AE,DE∥AB,AB=AE=2DE=2BC=2, PA=2√2，PB=PE=2√3. (1)证明：PA⊥平面ABCDE. (2)求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值。 17.(15分) 已知函数f(x)=2a(x-1)c-x2(a>0), (1)当0<a<1时，讨论∫(x)的单调性： (2)若不等式f(x)>x一4ac对x∈（一1，十∞）恒成立，求a的取值范围. 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知数列{a.},{b.}满足a1=b1=1,a+1=b.十2，b+1=3a (1)求a2,b2的值； (2)求{a.},{b.}的通项公式； (3)求数列{nb.}的前2n项和Tm, 19.(17分) 生 定义：对于函数f(x),g(x),若Va,b,c∈(0，十o∞)，f(a)十f(b)>g(c),则称“f(x)- g(x)”为三角形函数 (1)已知函数f(x)=x一lnx,若g(x)为二次函数，且g(2一x)=g(x),写出一个g(x),使 牙 得“f(x)一g(x)”为三角形函数； 2)已知函数fx)一十zE(0,+o©若“f红)-fCx”为三角形函数，求t的取值 范围： 烟 (3)若函数f(x)=x一lnx,g(x)=ln(x十l)一xlnx十x,证明：“f(x)一g(x)”为三角形 3 函数.（参考数据：lh2≈0.405） 岭 窗 【高三数学第4页（共4页）】高三年级10月份联考 数学参考答案 1.C依题意得A={x0<x<8},B={-1,2,5,8,…},则A∩B={2,5. 2B由题意得：信都侣0计-=3+i=3- 4- 3.Aa=3>3°=1，b=9=3>33=a,c=lg8<1g10=1,所以b>a>c. 4.D由am=n十8，得a5=15以十8=38，解得入=2，则an=21十8，则a1=10,aa+1一am=2, 所以a,是以10为首项，2为公差的等差数列，则Sn=10×10十029X2=190, 5B根据题意可得该圆台的体积为3×（π×1+π×2+VX1Xπ×2）X23=143 3元. 6.A由a十b|+1b|=|a|可得a+b1=|a|-b|,平方可得a2+2a·b+b2=|a2- 2a|b|+b12,解得a·b=-a|b|,所以a,b反向，故“ab”是“|a+b|+|b|=|a”的 必要不充分条件 7.D由题可知了0)=(》则a-受+号，解得a=后，所以fx)=s血2x+5cms2x 2sin(2x+）.在坐标系中结合五点法画出y=f(x)与y=cosx的函数图象，如图所示. y=2sin (2+) =0s 由图可知，共有4个交点 8.C分别过B,C作BF⊥AA1,CD⊥BB1,垂足分别为F,D,过D作DE⊥AA:, 垂足为E.根据题意易得∠ABF=51.34°，∠BCD=33.69°.在△A1B1C1中，由正 弦定理得B,C-AB:n∠CAB≈8OX0.750-120米.在R△BCD中， sin∠A1C,B 1 2 BD=120tan33.69°≈80.04米，在Rt△ABF中，AF=80tan51.34°≈80×1.250 =100米，所以AA,=CC1+BD+AF≈86+80.04+100≈266米. D由m红o)一4，得ma=4,则a(径-a)-千m 3 5 tan 2a= 2tan a8 1-tan'a15'sin 2a=2sin acos a= 2sin acos a 2tan a8 sin'a+cos'a tan'a+1 17' 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 10.ABD 7 成-号(BC+B而)=？(BC+B所+AD)=号B+号BC,A正确：设B0=mB配， 则时=受B+智C.因为A,0.C三点共线，所以受+智=1，解得m=号，B正确：由 BC=3AD=3,∠ABC=5,可得BA=2,结合向量数量积的定义式，可知BE·A寸等于 B窕的模与AN在B方向上的投影的乘积，易知当点V位于点B时，BE·AV取得最小 值，最小值为B成.A店=-Bi.(2Bi+号BC)=-号×2-号×2×3×2=-4，C错 2 误：当点N为位于点C时，B驼，AV取得最大值，最大值为B成.AC=(2B+二BC)· (BC-B=-B-B·BC+BC=名，D正确， 11.BCD依题意得/a。-3·2"=√a1-3×2=-3,所以a.=(3·2-3)2=9·(2-1)2, m-9X20-9X4A蜡误国为--D( 3·2" 2}）所以a+3+@+3 …+a+3=1(1-1 11 √a1a2a2a3 Vaa,32-12-1+22-12-1+… 1、510170 1 Va,3·(2"-1) 3.,当月仅当n=1时，等号成立，所以63√a√aVa十十元3× 1 a后 1-(2) 人 16√aVa Va32<16C正确.因为 2 2 =2(n+1-n),所以 1 n+√n√n+√+I og (+1)og1) =>2(/16-√15+15-√14++√2一√I)=6,D正确. (+1) 12.(一∞，3]由题意得“Hx∈(1，十∞)，2x一m十1≠0”是真命题，故m≠2x+1,因为2x+1 ∈(3，十∞)，所以m的取值范围是（一∞，3]. 1.因为x∈[-m,],所以ar-∈[-wx-子wx-]义f)=sin(ar-》 在[一ωπ，，π]上单调递增，所以 解得0<w≤2，则w的最大值为2 π-4≤2 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 14.2x-2y-一=0或y-9x-分》设f)=nx,g6x)=六设1：y-kx+6与曲 线y=fx)相切于点A(x1y),与曲线y=g(x)相切于点B(xy),由了x)=是，得友 -士则x+6=n,即1+6=nx,①.由ga)=之，得k=,则2+6 ,即6=衣0.易得时-即x1=二@将@代人①，可得-2nx=0 1 令Ar)=x2-2nr,则A'(r)=2z-2e=2r0,当0<<c时，'(x)<0,hx)单 调递减，当xe时，h'(x)>0,h(x)单调递增，所以h(x)≥h(We)=e一2eln√e=0,当且 仅当x一时，等号成立则，=，6=。：=后6=名六=合放商线y=nx与曲 e 线y一2衣的公切线方程为y=己一是，即2x-2y一C=0 15.解：(1)由(a一c)(sinA十sinC)=(b-√3c)sinB,得(a-c)(a十c)=(b-√3c)b,…2分 即a2-c2=b-3bce,62+c2-a2=3bc,所t以cosA=+c-a2-Bc=3 2bc 2bc=2,…4分 因为A∈(0，x),所以A=T …6分 6 (2)在△ABC中，由余弦定理有cos=1+b- 6 2b ,…8分 解得b=23或一√3（舍去）.…10分 根据正孩定理可得C 。√7 解得sinC- π 14 …12分 sin- 则6血c-25×径-厚 13分 16.(1)证明：因为PA=22,PB=23,PE=2√3，AB=AE=2, 所以PA2十AB2=PB2,PA2十AE=PE2,…2分 则PA⊥AB,PA⊥AE,…4分 因为AB∩AE=A,ABC平面ABCDE,AEC平面ABCDE,所以PA⊥平面ABCDE ………6分 (2)解：根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系， P(0,0,2√2)，C(2,1,0),D(1,2,0),…7分 则PC=(2,1,-22),CD=(-1,1,0).…8分 易得平面PAB的一个法向量为n=(0,1,0),…9分 设平面PCD的法向量为m=(x,y,之)， 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 则 m·PC=2x十y-22x=0, 11分 m·CD=-x+y=0, 可取m=(2√2,2√2,3). 12分 设平面PAB与平面PCD的夹角为0， 13分 则cos0=cos(m,n)1=mn m·n 2222 8+8+9 5 即平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为2。 …15分 17.解：(1)由题意得f'(x)=2ae十2a(.x-1)e-2.x=2a.xe-2x=2x(ae-1).…2分 <1时，令f(x)=0,得x=n。三一lna或x=0,… 当x<0时，f'(x)>0,f(x)在（一o∞，0）上单调递增，…4分 当0<x<一lna时，f'(x)<0,f(x)在(0，-lna)上单调递减，…5分 当x>一lna时，f'(x)>0,f(x)在（一na,十o∞）上单调递增.…6分 故当0<a<1时，f(x)在（一，0）上单调递增，在(0，一lna)上单调递减，在(-lna,十o∞) 上单调递增。… …7分 (2)由f(.x)>x-4ae得(x+1)(2ae-x)>0, …8分 因为x>-1,所以x+1>0,则2a>(） 9分 令g(x)-二(x>-1),则g'(x)=11 10分 e 当一1<x<1时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x>1时，g'(x)<0,g(x)单调递减， …11分 则g(x)在r=1处取得极大值，也就是最大值，所以g(x)≤g①)= e …13分 则2a>。,所以a>。,故a的取值范围为（无十） …15分 18.解：(1)根据题意可得a2=b1十2=3，… …1分 b2=301=3.… 2分 (2)依题意得a2=b1十2=3a,十2，则a,+2+1=3(a,+1D,所以“+士 a。十1 =3.…3分 当n为奇数时，a,十1=(a1十1)X3号，即a,=2X3宁-1，…5分 当n为偶数时，b.=Q+1-2=2X3-3,… 6分 当n为偶数时，an十1=(a十1)X3号，即a.=4X3号-1，…7分 当n为奇数时，6.=a+1一2=4X3子-3. …8分 2X3宁-1，n为奇数， 综上，aw= 4×3宁-1m为偶数、 9分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 4X3号-3，n为奇数， bm三 …10分 2×3一3，n为偶数. 4n·3一3n,n为奇数， (3)由(2)得nb.= 11分 2m·3-3n,n为偶数。 设M=4X1X3号+4X3×3号+4X5X3号+…+4.(2m-1)·3=41X3+3×3 +5×3+…+(2n-1)·3”1], 则3M=4[1×3+3X32+5×33+…+(21-1)·3"], 两式相减得-2M=4[1×3°+2×3+2×32+…+2·3"-1-(2n一1)·3]=4十8· 3(1-3"-1) 12分 1-3 -4.(2n-1）…3”=81-n)…3”-8,… 则M=4(n一1)…3m十4.… …13分 设N=2×2×3+2X4X3+2X6×3+…+2·2m·3是 =2(2×3+4×32+…+21·3"), 则3N=2(2×32+4×33+6×3+…+2n·3+1). 两式相减得-2V=2(2×3十2×32十2×33+…+2·3"-21·3"+1) =4.3(1-3) 1-3 -4n·3+1=2(1-2n)…3"+1-6,…14分 则N=(2n一1)。3+1十3.…15分 故T=M+V-3.1+2m)·2n 2 =4(n-1)·3"十4十(2n-1)·3m+1+3-3·(1十2m)·…16分 =(10—7)·3"-6n2-3十7.…17分 19.1)解：由fx)=x-nx,可得f'(x)=1-1,令f'(x)>0,解得x>1,令f(x)<0,解得 0<x<1,可知f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 所以f(.x)的最小值为∫(1)=1.…2分 因为“f(x)一g(x)”为三角形函数，所以Hc∈(0，十oo),g(c)<2. 因为g(2一x)=g(x),所以g(x)的图象关于直线x=1对称，又g(x)为二次函数，所以 g(x)=一x2十2x.(答案不唯一，只需满足g(.x)=a.x2-2a.x十c,且c-a<2,a<0即可) …4分 (2②解：fx)-士-2g2=1+二号 2+2 2+2 2+21 当t-2=0,即1=2时，f(x)=1,此时f(a)=f(b)=f(c)=1,满足f(a)+f(b)>f(c), 符合题意；…5分 当1一2>0，即>2时，fx)是(0.+o∞)上的诚函数，所以了x)的值线为1，兮)， 因为a,b.c∈(0，+o∞)fa)+fb)>≥fe).所以1+1，得2<1≤5；…7分 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 当1一2<0.即1<2时，fx)是(0，+o)上的增函数，所以fx)的值域为（中，， 因为va,6.c∈0，+ofa)+b>fe),所以号+≥1.得}<1<2.…9分 综上1的取值范围是[号5]， …10分 (3)证明：由题可知g'(x)= x+1 一lnx, 设h(x)=g'(x)=x中市1hx,则h'（x)= 1一1<0在(0，十o∞)上恒成立，所以 (x+1)2x g'(x)在(0，十∞)上单调递减.… …11分 又g'1)=2>0g(2)-号-1n≈0.4-0.405<0， 3 所以存在，号》使得后，)=0，即n0. 12分 当x∈(0，x)时，g'(x)>0,则g(x)在(0，xo)上单调递增： 当x∈(xo,十o∞)时，g'(x)<0,则g(x)在(xo,十∞)上单调递减. 13分 故当x一x。时，g(x)取得唯一极大值，也是最大值，令g(x)的最大值为M, 则M=g(xo）=n(xD十1)一Coln o十xo,…14分 将①式代入上式，可得M=g(xo)=ln(x。十1)- toFI+xo=In(ro+1)+ 0。。0.00 o十1' …15分 令u(x)=ln(x+1)+ 1，号》则由)十+>0.可知)在 (1,多)上单调递增， …16分 故M=ln(xo+1)+ 2 f(b)成立. 故“∫(x)一g(x)”为三角形函数.……17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】