专题17 抛物线中弦长与切线六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题17 抛物线中弦长与切线六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、抛物线中弦长………………………………………………………………2 类型二、抛物线中点弦………………………………………………………………5 类型三、抛物线焦点弦 6 类型四、抛物线相交弦 9 类型五、抛物线切点弦 12 类型六、抛物线的切线 15 压轴能力测评（10题） 20 1.抛物线中弦长： 直线与抛物线相交的弦长公式 （1）定义：连接抛物线上两个点的线段称为抛物线的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与抛物线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被抛物线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 2.抛物线的中点弦 设交点坐标为，，代入抛物线两式相减，可得 ，.设线段的中点为，即， 同理，对于抛物线，则有 3.抛物线的焦点弦 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 4.抛物线切点弦 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为. 5.抛物线切线： 过抛物线上的点的切线方程是. 过抛物线上的点的切线方程是.. 类型一、抛物线中弦长 例．已知抛物线的准线方程是. （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为抛物线的准线方程为， 所以 ， 解得， 所以抛物线的方程为. （2）如图，设，. 将代入， 消去整理得 . 当时， ， . ， 化简得：，解得， 经检验，此时，故. 【变式训练1】已知抛物线：的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与及抛物线：的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】设直线的方程为，与抛物线相切，可得，直线的方程与抛物线方程联立，设，，利用抛物线焦半径公式可得答案. 【详解】由题意可得，设直线的方程为， 由题意可得直线与抛物线必有2个交点， 与抛物线相切，联立方程组，可得， 所以，解得，故直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 设，，则，所以. 故选：C.    【变式训练2】已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若，则的面积为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，过分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，过作于，求得的倾斜角为，得到直线方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，求得，结合面积公式，即可求解. 【详解】设，则，如图所示， 不妨设的倾斜角为锐角，过分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，， 则，，过作于，则， 所以，所以的倾斜角为， 由抛物线的焦点坐标为， 所以直线方程为，即， 联立方程组，整理得， 设，可得， 可得， 所以. 故选：C.      类型二、抛物线中点弦 例．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）点在抛物线上， 由抛物线定义可得，解得， 故抛物线的标准方程为． （2）设，如下图所示： 则，两式相减可得， 即， 又线段的中点为，可得； 则，故直线的斜率为4， 所以直线的方程为， 即直线的方程为． 【变式训练1】设点，，是抛物线上3个不同的点，且，若抛物线上存在点，使得线段总被直线平分，则点的横坐标是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】设，，， 则,同理， 故直线方程为：，整理得,① 由得整理得,② 由①②两式得，即直线过点, 关于点的对称点即为点在抛物线上， 代入得，解得. 故选:A. 【变式训练2】如图，已知抛物线E：的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于8，则E的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求出的坐标，然后得的方程，令，得的坐标，利用直角梯形的面积求出，可得抛物线方程. 【详解】易知，直线AB的方程为，四边形OCMN为直角梯形，且. 设，，，则， 所以，所以，，∴. 所以MC直线方程为，∴令，∴，∴. 所以四边形OCMN的面积为，∴. 故抛物线E的方程为. 故选：B 类型三、抛物线焦点弦 例．（多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（     ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项. 【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 【变式训练1】已知抛物线的焦点为，过且被抛物线截得的弦长为的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程______． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】设直线的方程为， 且直线与抛物线交于，，联立， 可得，所以， 所以，取等号时， 所以抛物线过焦点的弦长最短为， 又因为被抛物线截得的弦长为的直线有且仅有两条， 所以，所以，取，此时抛物线方程为． 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 【变式训练2】（多选）已知：的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（     ） A． B．为线段的中点 C． D． 【答案】AB 【解析】易知，由题意可得直线的方程为． 由，消去并整理，得， 解得，． 由，得， ∴． 过点作垂直准线于点，易知， ∴，∴．. ∵，∴为线段的中点． 故选：AB． 类型四、抛物线相交弦 例．点是抛物线：（）的焦点，为坐标原点，过点作垂直于轴的直线，与抛物线相交于，两点，，抛物线的准线与轴交于点． (1)求抛物线的方程； (2)设、是抛物线上异于、两点的两个不同的点，直线、相交于点，直线、相交于点，证明：、、三点共线． 【答案】(1)；(2)详见解析. 【分析】（1）根据题意不妨设，将点坐标代入抛物线方程求解； （2）由（1）得到，设，分别求得直线AC，直线BD，直线BC，直线AD的方程，联立求得点E，G的坐标，证明即可. 【详解】（1）解：抛物线：（）的焦点坐标为：过点作垂因为直于轴的直线，与抛物线相交于，两点，且， 不妨设，则， 解得或（舍去）， 所以抛物线的方程为； （2）如图所示：    由（1）知，设， 则直线AC的方程为：，直线BD的方程为：， 联立得，解得，则， 所以， 则直线BC的方程为：，直线AD的方程为：， 联立得，解得，则， 所以，则， 所以E，K，G三点共线. 【变式训练1】已知直线与抛物线交于两点，. (1)求； (2)设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积. 【答案】(1)2；(2)32 【分析】（1）联立和抛物线方程，可得根与系数关系式，利用弦长公式即可求得答案； （2）求出直线的方程，联立抛物线方程可得根与系数关系式，求出，根据四边形面积的计算可得答案. 【详解】（1）设， 由，可得， 易得，所以， 则， 即，因为，所以. （2）由题意可得抛物线的焦点为，直线的方程为. 联立，化简可得，则，    设，则， 则， 因为，所以. 【变式训练2】已知抛物线的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别于抛物线交于点C，D．设直线AB，CD的斜率分别为，则（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意设直线的方程和直线的方程，分别与抛物线方程联立得到，，，然后求即可. 【详解】   由题意得，设直线的方程为，，，，, 联立得，， 设直线的方程为，联立得，，同理可得， 所以. 故选：B. 类型五、抛物线中切点弦 例．已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（     ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 【答案】D 【解析】设，则，， 由于，故过点的切线方程为， 即，即， 同理可得过点的切线方程为， 设，过点的两切线交于点， 故，整理得， 同理，整理得， 故直线的方程为， 斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确. 故选：D 【变式训练1】抛物线，过作抛物线的两条切线，分别切抛物线于、两点，则线段中点与轴的距离为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设过的抛物线的切线的斜率为，故切线方程为， 所以联立方程得， 所以，解得，， 所以等价于，所以方程的解为 所以两条切线的斜率分别为 设，， 所以线段中点与轴的距离为. 故选：C 【变式训练2】已知抛物线C：，点M为直线上一动点，过点M作直线，与抛物线C分别切于点A，B，则（     ） A．0 B．1 C．-1 D．0或1 【答案】A 【详解】由，得，设，，所以， 得切线的方程为，即， 切线的方程为，即， 又两条切线过切点，有、， 所以是方程即的两实根， 得， 又， 所以 将代入上式，得. 故选：A 【变式训练3】从抛物线C：（）外一点作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点在抛物线C上，且（F为抛物线的焦点）. （1）求抛物线C的方程； （2）①求证：四边形是平行四边形. ②四边形能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由. 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②能，. 【解析】 （1）因为，所以，即抛物线C的方程是. （2）①证明：由得，.设，， 则直线PA的方程为（ⅰ）， 则直线PB的方程为（ⅱ）， 由（ⅰ）和（ⅱ）解得：，，所以. 设点，则直线AB的方程为. 由得，则，， 所以，所以线段PQ被x轴平分，即被线段CD平分. 在①中，令解得，所以，同理得，所以线段CD的中点坐标为，即，又因为直线PQ的方程为，所以线段CD的中点在直线PQ上，即线段CD被线段PQ平分. 因此，四边形是平行四边形. ②由①知，四边形是平行四边形. 若四边形是矩形，则，即 ， 解得，故当点Q为，即为抛物线的焦点时，四边形是矩形. 类型六、抛物线的切线 例．已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B． （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积． 【答案】（1）见详解；（2）3或． 【解析】（1）设，则． 由于，∴切线DA的斜率为，故 ． 整理得 设，同理可得． 故直线AB的方程为． ∴直线AB过定点． （2）由（1）得直线AB的方程为． 由，可得． 于是， ． 设分别为点D，E到直线AB的距离，则． 因此，四边形ADBE的面积． 设M为线段AB的中点，则． 由于，而，与向量平行，∴．解得t=0或． 当=0时，S=3；当时，． 因此，四边形ADBE的面积为3或． 【变式训练1】已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线与C交于点，，C在点A，B处的切线交于点P． (1)求的值． (2)若点D是抛物线C上位于直线AB上方的点，点D处的切线与PA，PB分别交于点M，N，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意，得，解得． 所以C的方程为． 由于直线AB的斜率必存在，故可设直线AB的方程为． 将其代入中，得， 此时恒成立， 所以． （2）抛物线C在点A处的切线方程为，即① 同理，得抛物线C在点B处的切线方程为．② 联立①②，得， 则， 所以点P的坐标为． 设，则直线MN的方程为． 由得，，即． 所以． 由得，，即． 所以． 所以． 【变式训练2】（多选）曲线的法线定义：过曲线上的点，且垂直于该点处切线的直线即为该点处的法线.已知点是抛物线上的点，是的焦点，点处的切线与轴交于点，点处的法线与轴交于点，与轴交于点，与交于另一点，点是的中点，则以下结论正确的是（     ） A．点的坐标是 B．的方程是 C． D．过点的的法线（包括）共有两条 【答案】BCD 【分析】利用导数求出切线斜率，进而确定切线方程判断A，利用法线的定义判断B，利用两点间距离公式判断C，分类讨论判断D即可. 【详解】 对A，将点代入，得，则，当时， 故的方程为，令，则点的坐标是，故A错误； 对B，的方程为，整理得，故B正确； 对C，易得与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为， 联立，解得或. 与的另一个交点的坐标为， 则，故C正确； 对D，易得点的坐标为，设点为抛物线上一点， 当是原点时，处的法线为轴，显然不过点， 当点不是原点时，则处的法线方程为， 将点代入得，， 又，则， 故或过点的的法线（包括）共有两条，故D正确. 故选：BCD 【变式训练3】（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点，分别过两点 作的切线，且相交于点，则（     ） A． B．点在直线上 C．为直角三角形 D．面积的最小值为16 【答案】BCD 【解析】由题可知，抛物线的焦点， 显然直线的斜率存在，设直线方程为，，， 联立，消去并整理得， ，， 由得，，， 故切线的方程为：① 故切线的方程为：② 联立①②得 ， 对于A，，，不正确，故A不正确； 对于B，，显然点在直线上，故B正确； 对于C，，，，， 将，，且，，代入上式化简得： ，，为直角三角形，故C正确； 对于D，到直线的距离为：， ， ，当时，，故D正确. 故选：BCD 1．已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），为的焦点，则（     ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】联立方程组，消元得， 设，，解得，， 易知过直线，根据抛物线的定义， 可得，， 所以. 故选：D. 2．已知抛物线，过点且斜率为的直线l交C于M，N两点，且，则C的准线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，直线， 联立得， 则，，又l经过C的焦点， 则，解得，故的准线方程为． 故选：D． 3．阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与抛物线交于两点，若为阿基米德三角形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，设直线，联立， 则，解得或，不妨设， 设直线方程为，联立得， ，， ， 解得， 故直线的斜率，故直线， 同理可得直线的斜率，故直线， 联立，解得， 即，则. 故选：C. 4． （多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是（     ） A.若点，则的最小值是3 B.的最小值是2 C.若，则直线的斜率为 D.过点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为，则点的横坐标为 【答案】ACD 【分析】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，进而根据抛物线的定义判断A； 根据判断B；设直线的方程为，，进而联立方程，结合韦达定理，根据解方程即可得判断C；根据直线与曲线的位置关系得过点，分别与抛物线相切的直线方程为，，进而联立方程解得可判断D. 【详解】由题知，，准线方程为，对于A选项，如图，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 故，故A正确； 对于B，设， 故，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，，不成立； 故直线的斜率存在，设方程为，与抛物线方程联立， 得， 所以， 因为， 所以，即，解得，故C正确； 对于D，设过点与抛物线相切的直线方程为， 与抛物线方程联立得， 所以，整理得， 所以，故即为，整理得， 同理得过点与抛物线相切的直线方程为， 所以，联立方程，解方程得， 因为，所以， 所以，即点的横坐标为，故D正确. 故选：ACD 5．（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（     ） A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【解析】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设，由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 6．（多选）已知为坐标原点，焦点为的抛物线过点，过且与垂直的直线与抛物线的另一交点为，则（     ） A． B． C． D．直线与抛物线的准线相交于点 【答案】ACD 【详解】由抛物线过点， 可得，则，故A正确； 由上可知抛物线，准线方程为， 所以，故B错误； 由已知可得，所以直线的方程为，即， 联立方程组，得， 解得或，故， 所以，故C正确； 由直线的方程，令，得， 所以直线与抛物线的准线相交于点，故D正确. 故选：ACD 7．设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线交于点，若，则直线的方程为___________. 【答案】 【解析】因为抛物线方程为，所以焦点，准线. 设，直线方程为， 代入抛物线方程消去，得， 所以. 又过的中点作准线的垂线与抛物线交于点， 设，可得， 因为， 所以， 得到，所以. 因为，所以，解之得， 所以，直线方程为，即. 故答案为：. 8．已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线交抛物线于M、N两点，． (1)求抛物线E的方程； (2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由． 【答案】(1)；(2)四边形为菱形 【解析】(1)设过点F且倾斜角为的直线方程为，代入 得，若，则 所以，则 即抛物线E的方程为 (2)设，则在A作抛物线E的切线为，即 代入，整理得 因为此直线与抛物线相切，所以，即 所以过的切线为 令得，即，所以 又，所以四边形有一组对边平行且相等，且邻边也相等 所以四边形为菱形. 9．已知直线l：与拋物线E：交于A，B两点，与x轴交于点M，． (1)求抛物线E的标准方程； (2)过A，B分别作拋物线E在A，B处切线的垂线，，若与的交点为P，P到y轴的距离为d，直线，与y轴的交点分别为C，D，且，求直线l的方程． 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）设，，由，可得， 满足， 则，， 由题意知，，所以 ， ∴，∴抛物线E的标准方程为． （2）设， 拋物线E在点A处的切线方程为， 由，可得， 由切线与抛物线只有一个公共点得及， 可得， 故的方程为，即， 同理可得的方程为，设， 由， 可得． 得，， 则， 则，得， 又，， 所以，得， 故直线l的方程为或． 10．已知O为坐标原点，点W为：和的公共点，，与直线相切，记动点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)若，直线与C交于点A，B，直线与C交于点，，点A，在第一象限，记直线与的交点为G，直线与的交点为H，线段AB的中点为E． ①证明：G，E，H三点共线； ②若，过点H作的平行线，分别交线段，于点，，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)；(2)①证明见解析 ；②16 【分析】（1）设，根据题目条件列式化简可得轨迹； （2）①设线段的中点为，利用向量证明G，E，F三点共线，同理H，E，F三点共线，进而可得结论；②将四边形面积转化为四边形GAHB面积，将直线和抛物线联立，利用韦达定理，求出直线和直线的方程，则可求出坐标，然后利用面积公式求解最值即可. 【详解】（1）设，与直线的切点为N，则， 所以 化简得，所以C的方程为：； （2）①设线段的中点为， 因为，所以可设，， 又因为， 所以G，E，F三点共线，同理，H，E，F三点共线， 所以G，E，H三点共线． ②设，，，，AB中点为E，中点为F， 将代入得：，所以，， 所以， 同理，，（均在定直线上） 因为，所以△EAT与△EAH面积相等，与△EBH面积相等； 所以四边形的面积等于四边形GAHB的面积， 设，， 直线，即 整理得：直线，又因为，所以， 同理，直线，，所以 所以 所以四边形GAHB面积 ， 当且仅当，即，即时取等号， 所以四边形面积的最大值为16． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 抛物线中弦长与切线六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、抛物线中弦长………………………………………………………………2 类型二、抛物线中点弦………………………………………………………………5 类型三、抛物线焦点弦 6 类型四、抛物线相交弦 9 类型五、抛物线切点弦 12 类型六、抛物线的切线 15 压轴能力测评（10题） 20 1.抛物线中弦长： 直线与抛物线相交的弦长公式 （1）定义：连接抛物线上两个点的线段称为抛物线的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与抛物线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被抛物线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 2.抛物线的中点弦 设交点坐标为，，代入抛物线两式相减，可得 ，.设线段的中点为，即， 同理，对于抛物线，则有 3.抛物线的焦点弦 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 4.抛物线切点弦 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为. 5.抛物线切线： 过抛物线上的点的切线方程是. 过抛物线上的点的切线方程是.. 类型一、抛物线中弦长 例．已知抛物线的准线方程是. （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值. 【变式训练1】已知抛物线：的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与及抛物线：的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式训练2】已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若，则的面积为（     ） A．3 B． C． D． 类型二、抛物线中点弦 例．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 【变式训练1】设点，，是抛物线上3个不同的点，且，若抛物线上存在点，使得线段总被直线平分，则点的横坐标是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】如图，已知抛物线E：的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于8，则E的方程为（     ） A． B． C． D． 类型三、抛物线焦点弦 例．（多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（     ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【变式训练1】已知抛物线的焦点为，过且被抛物线截得的弦长为的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程______． 【变式训练2】（多选）已知：的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（     ） A． B．为线段的中点 C． D． 类型四、抛物线相交弦 例．点是抛物线：（）的焦点，为坐标原点，过点作垂直于轴的直线，与抛物线相交于，两点，，抛物线的准线与轴交于点． (1)求抛物线的方程； (2)设、是抛物线上异于、两点的两个不同的点，直线、相交于点，直线、相交于点，证明：、、三点共线． 【变式训练1】已知直线与抛物线交于两点，. (1)求； (2)设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积. 【变式训练2】已知抛物线的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别于抛物线交于点C，D．设直线AB，CD的斜率分别为，则（     ） A． B． C．1 D．2 类型五、抛物线中切点弦 例．已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（     ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 【变式训练1】抛物线，过作抛物线的两条切线，分别切抛物线于、两点，则线段中点与轴的距离为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】已知抛物线C：，点M为直线上一动点，过点M作直线，与抛物线C分别切于点A，B，则（     ） A．0 B．1 C．-1 D．0或1 【变式训练3】从抛物线C：（）外一点作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点在抛物线C上，且（F为抛物线的焦点）. （1）求抛物线C的方程； （2）①求证：四边形是平行四边形. ②四边形能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由. 类型六、抛物线的切线 例．已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B． （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积． 【变式训练1】已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线与C交于点，，C在点A，B处的切线交于点P． (1)求的值． (2)若点D是抛物线C上位于直线AB上方的点，点D处的切线与PA，PB分别交于点M，N，求证：． 【变式训练2】（多选）曲线的法线定义：过曲线上的点，且垂直于该点处切线的直线即为该点处的法线.已知点是抛物线上的点，是的焦点，点处的切线与轴交于点，点处的法线与轴交于点，与轴交于点，与交于另一点，点是的中点，则以下结论正确的是（     ） A．点的坐标是 B．的方程是 C． D．过点的的法线（包括）共有两条 【变式训练3】（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点，分别过两点 作的切线，且相交于点，则（     ） A． B．点在直线上 C．为直角三角形 D．面积的最小值为16 1．已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），为的焦点，则（     ） A． B． C．2 D． 2．已知抛物线，过点且斜率为的直线l交C于M，N两点，且，则C的准线方程为（     ） A． B． C． D． 3．阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与抛物线交于两点，若为阿基米德三角形，则（     ） A． B． C． D． 4． （多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是（     ） A.若点，则的最小值是3 B.的最小值是2 C.若，则直线的斜率为 D.过点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为，则点的横坐标为 5．（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（     ） A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 6．（多选）已知为坐标原点，焦点为的抛物线过点，过且与垂直的直线与抛物线的另一交点为，则（     ） A． B． C． D．直线与抛物线的准线相交于点 7．设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线交于点，若，则直线的方程为___________. 8．已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线交抛物线于M、N两点，． (1)求抛物线E的方程； (2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由． 9．已知直线l：与拋物线E：交于A，B两点，与x轴交于点M，． (1)求抛物线E的标准方程； (2)过A，B分别作拋物线E在A，B处切线的垂线，，若与的交点为P，P到y轴的距离为d，直线，与y轴的交点分别为C，D，且，求直线l的方程． 10．已知O为坐标原点，点W为：和的公共点，，与直线相切，记动点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)若，直线与C交于点A，B，直线与C交于点，，点A，在第一象限，记直线与的交点为G，直线与的交点为H，线段AB的中点为E． ①证明：G，E，H三点共线； ②若，过点H作的平行线，分别交线段，于点，，求四边形面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$