专题19 等差数列及其n项和六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题19 等差数列及其n项和六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、等差数列的基本量求解……………………………………………………3 类型二、等差数列的性质及应用……………………………………………………4 类型三、等差数列的前n项和性质及应用 5 类型四、等差数列的单调性及最值 7 类型五、等差数列的判定与证明 9 类型六、含绝对值等差数列的求和 11 压轴能力测评（10题） 12 1.等差数列的基本量： （1）等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． （2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 2.等差数列的性质： 已知数列是等差数列，等差数列通项公式的性质： （1）通项公式的推广：． （2）若，则． （3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为． （4）若是等差数列，则也是等差数列． 3.等差数列的前n项和性质： 等差数列前项和的性质 （1）； （2）； （3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. （4）数列，，，…构成等差数列． （5）若项数为，则，； （6）若项数为，则，，，. 4.等差数列的单调性及最值： （1）二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． （2）邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 5.等差数列的判定与证明： （1）定义法：或是等差数列； （2）定义变形法：验证是否满足； （3）等差中项法：为等差数列； （4）通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； （5）前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 6.含绝对值等差数列的求和： 含绝对值等差数列求和步骤： 首先解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 然后求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加，最后写成分段形式 类型一、等差数列的基本量求解 例．记为等差数列的前项和．若，则（     ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【解析】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以．故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是，所以． 故选：C 【变式训练1】已知等差数列的前5项和，则 ． 【答案】11 【分析】由等差数列的性质求解， 【详解】由题意得，得， 故，，则， 故答案为：11 【变式训练2】已知等差数列的前n项和为，若，，则（     ） A．77 B．88 C．99 D．110 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，计算出等差数列的基本量，即可利用等差数列的求和公式求解. 【详解】，得，解得， ，得，解得， 故， . 故选：B 【变式训练3】设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），，解得，， 又，， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列，，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 类型二、等差数列的性质及应用 例．已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（     ） A．10 B．20 C．25 D．50 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质，化简原式，得到，用基本不等式求最值. 【详解】∵，∴， 由已知，得， ∴，当且仅当时等号成立. 故选：C. 【变式训练1】记正项等差数列的前n项和为，，则的最大值为（     ） A．9 B．16 C．25 D．50 【答案】C 【解析】∵， 又∵， ∴，当且仅当时，取“=” ∴的最大值为25. 故选：C 【变式训练2】设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（     ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【详解】由等差数列的等和性可得， . 故选：C. 类型三、等差数列的前n项和性质及应用 例．（多选）已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是（     ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】ABC 【分析】由已知条件结合等差数列性质可判断B；判断出数列的公差小于0，可判断A；根据数列各项的正负情况以及单调性可判断C；利用前n项和公式结合等差数列性质判断D. 【详解】设等差数列的公差为d， 由于，，故， 则，B正确； ，则数列为递减数列，A正确， 由以上分析可知，时，， 故的最大值为，C正确； ，D错误， 故选：ABC 【变式训练1】设是等差数列的前项和，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由等差数列片段和性质知：是等差数列. 由，可设，则， 于是依次为， 所以，所以. 故选：B 【变式训练2】等差数列的前项和为，若且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的公差为d，∵∴， 即{}为等差数列，公差为，由知，故故选：A﹒ 【变式训练3】两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】两个等差数列和的前项和分别为、，且， 所以. 故选：A 类型四、等差数列的单调性及最值 例．已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为_______________ 【答案】36 【解析】等差数列中，公差，即数列是递减等差数列， 显然，而，且，解得，则， ，由，得， 因此数列前9项均为非负数，从第10项起均为负数， 所以的最大值为. 故答案为：36 【变式训练1】已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，且,，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为数列是公差为的等差数列，是其前项和，且，， 则， 所以，，所以，，A对； ，则，B错； ，C对； 因为，则， 又因为，所以，数列是单调递增数列， 当时，；当时，. 综上所述，，D错. 故选：C 【变式训练2】（多选）已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 因为， 所以当时，，当时，， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD 【变式训练3】已知是等差数列的前n项和，若对任意的，均有．成立，则的最小值为（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】由题意，等差数列，对任意的，均有成立， 即是等差数列的前n项和中的最小值，必有，公差， 当，此时，、是等差数列的前n项和中的最小值， 此时，即，则. 当，，此时是等差数列的前n项和中的最小值， 此时，，即， 则，则有，，，，，综合可得，所以的最小值为. 故选：D . 类型五、等差数列的判定与证明 例．已知数列的前项和为，且， （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）借助与的关系消去后化简可得，即可得证； （2）计算出后再次借助与的关系计算即可得数列的通项公式. 【解析】（1）由已知，令，解得， 又， 则，则，则， 则，则，即， 又，故是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）可知，， 故，则， 由（1）可知，， 当时，， 综上，可得． 【变式训练1】设数列的前项和为，若，且． （1）证明数列是等差数列，并求的表达式； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）证明见解析，；（2） 【解析】（1）证明：由于，且，， 两边同乘，得：， 所以数列是等差数列，其首项，公差为2． ， 所以. （2）当时， ， 当时，不适合上式． 综上， 【变式训练2】记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列. 【答案】证明见解析. 【分析】先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证. 【详解】∵数列是等差数列，设公差为 ∴， ∴， ∴当时， 当时，，满足， ∴的通项公式为， ∴ ∴是等差数列. 类型六、含绝对值等差数列的求和 例．记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 【变式训练1】已知等差数列中，，，设，则（     ） A．245 B．263 C．281 D．290 【答案】C 【解析】等差数列中，由，，得公差， 则，显然当时，，当时，， 所以 . 故选：C 1．已知为等差数列，前项和为，且，，则（     ） A．54 B．45 C．23 D．18 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 因为，，所以，解得， 所以. 故选：C 2．已知数列的前项和为，且满足，则（     ） A．110 B．200 C．65 D．155 【答案】B 【解析】因为， 所以是以为公差的等差数列， 又，所以， 故，所以， 故选：B 3．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（     ） A．60 B．61 C．75 D．76 【答案】B 【解析】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为，公差为的等差数列， 所以， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴当时取最小值为． 故选：B. 4．已知等差数列的前项和为，，，则满足的值为（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为d， 因为，则，解得， 可得， 且，当时，；当时，； 可知：当或时，；当时，； 若，所以. 故选：B. 5．设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得则得，即， 令得，即①，即得. 因为首项，公差，则得，即. 又因为，所以，代入①得. 当时，由得 即，所以即 因此当或11时，的最小值为. 故选：C 6．（多选）已知公差为d的等差数列的前n项和为，且满足，则（     ） A． B． C．对任意的正整数n，有 D．使得的最小正整数n为4047 【答案】BD 【分析】先通过条件得到可判断A，C；通过判断B；通过计算判断D. 【详解】由，得. 选项A，B：因为，所以， 故A错误，B正确； 选项C：当时，取得最小值，故C错误； 选项D：因为，所以，，故D正确. 故选：BD. 7．（多选）已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（     ） A．若，则为等差数列 B．若，则为递增数列 C．若，则当且仅当时取得最小值 D．“”是“数列为递增数列”的充要条件 【答案】ACD 【解析】由，当时，， 当时，， 若，则，符合，故为等差数列，A正确； 若，则，，所以不是递增数列，B错误； 若，则，当时，，为公差为2的等差数列， 且，所以当且仅当时取得最小值，C正确； 当时，，故数列为递增数列等价于， 即，可得，故D正确. 故选：ACD 8．等差数列{an}的公差d≠0满足=，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】成等比数列，=1，可得：=，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值． 【详解】由=， ∴（1+2d）2=1+12d，d≠0， 解得d=2． ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1． Sn=n+×2=n2． ∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4， 当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4， 故答案为4． 9．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由已知得，且，， 取，由得， 由于为数列的前n项积， 所以，故， 所以， 由于，所以，即，其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; （2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， ，， 当时，， 当时，，显然对于不成立， ∴ 10．已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设的公差为，依题意得， 所以，即， 化简得，解得或（舍去），， 所以经检验满足题意. （2）依题意得，，， 其前项和， 当时，，， 故， 当时，， 故 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 等差数列及其n项和六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、等差数列的基本量求解……………………………………………………3 类型二、等差数列的性质及应用……………………………………………………4 类型三、等差数列的前n项和性质及应用 5 类型四、等差数列的单调性及最值 7 类型五、等差数列的判定与证明 9 类型六、含绝对值等差数列的求和 11 压轴能力测评（10题） 12 1.等差数列的基本量： （1）等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． （2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 2.等差数列的性质： 已知数列是等差数列，等差数列通项公式的性质： （1）通项公式的推广：． （2）若，则． （3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为． （4）若是等差数列，则也是等差数列． 3.等差数列的前n项和性质： 等差数列前项和的性质 （1）； （2）； （3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. （4）数列，，，…构成等差数列． （5）若项数为，则，； （6）若项数为，则，，，. 4.等差数列的单调性及最值： （1）二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． （2）邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 5.等差数列的判定与证明： （1）定义法：或是等差数列； （2）定义变形法：验证是否满足； （3）等差中项法：为等差数列； （4）通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； （5）前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 6.含绝对值等差数列的求和： 含绝对值等差数列求和步骤： 首先解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 然后求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加，最后写成分段形式 类型一、等差数列的基本量求解 例．记为等差数列的前项和．若，则（     ） A．25 B．22 C．20 D．15 【变式训练1】已知等差数列的前5项和，则 ． 【变式训练2】已知等差数列的前n项和为，若，，则（     ） A．77 B．88 C．99 D．110 【变式训练3】设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 类型二、等差数列的性质及应用 例．已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（     ） A．10 B．20 C．25 D．50 【变式训练1】记正项等差数列的前n项和为，，则的最大值为（     ） A．9 B．16 C．25 D．50 【变式训练2】设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（     ） A． B． C． D． E．均不是 类型三、等差数列的前n项和性质及应用 例．（多选）已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是（     ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 【变式训练1】设是等差数列的前项和，若，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】等差数列的前项和为，若且，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练3】两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（     ） A． B． C． D． 类型四、等差数列的单调性及最值 例．已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为_______________ 【变式训练1】已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，且,，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（多选）已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练3】已知是等差数列的前n项和，若对任意的，均有．成立，则的最小值为（     ） A．2 B． C．3 D． 类型五、等差数列的判定与证明 例．已知数列的前项和为，且， （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式． 【变式训练1】设数列的前项和为，若，且． （1）证明数列是等差数列，并求的表达式； （2）求数列的通项公式． 【变式训练2】记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列. 类型六、含绝对值等差数列的求和 例．记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【变式训练1】已知等差数列中，，，设，则（     ） A．245 B．263 C．281 D．290 1．已知为等差数列，前项和为，且，，则（     ） A．54 B．45 C．23 D．18 2．已知数列的前项和为，且满足，则（     ） A．110 B．200 C．65 D．155 3．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（     ） A．60 B．61 C．75 D．76 4．已知等差数列的前项和为，，，则满足的值为（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 5．设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．（多选）已知公差为d的等差数列的前n项和为，且满足，则（     ） A． B． C．对任意的正整数n，有 D．使得的最小正整数n为4047 7．（多选）已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（     ） A．若，则为等差数列 B．若，则为递增数列 C．若，则当且仅当时取得最小值 D．“”是“数列为递增数列”的充要条件 8．等差数列{an}的公差d≠0满足=，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为 ． 9．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 10．已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$