高二数学期中考试模拟试卷（B卷）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019，北京专用）

2024-2025学年度第一学期期中考试模拟试卷（B卷） 高二数学 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．不存在 2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点（   ） A． B． C． D． 3．以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．圆与圆的公切条数为（    ） A．2条 B．1条 C．3条 D．4条 5．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线l与平面垂直，则实数x的值为（    ） A． B．10 C． D． 6．在正方体中，直线与平面所成的角为（    ）.    A． B． C． D． 7．已知直线和直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图所示，在平行六面体中，点满足，若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 9．已知直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，则m的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知直线和直线，点M，N分别是直线和上的点，点，则周长的最小值是（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知直线与直线垂直，则的值为 ． 12．已知，，求在上的投影向量 （用坐标表示） 13．已知空间向量、满足，，，则向量、的夹角为 . 14．已知直线与圆相切，且被圆截得的弦长为，则 ； ． 15． 如图，在棱长为3的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的有 ①．当时， ②．当时，点到平面的距离为1 ③．直线与所成的角可能是 ④．若二面角的平面角的正弦值为，则或 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．已知空间向量． (1)若，求； (2)若，求的值． 17．已知，，．求： (1)BC边上的中线所在的直线方程； (2)AB边垂直平分线方程； (3)过点A且倾斜角为直线倾斜角2倍的直线方程： 18．如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，. (1)求两点间的距离； (2)求证：平面； (3)求证：平面平面. 19．已知圆经过点，从下列3个条件选取一个________ ①过点； ②圆恒被直线平分； ③与轴相切. (1)求圆的为程； (2)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 20．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由． 21．已知点，的坐标分别为和，动点满足到点的距离是它到点的距离的2倍，动点的轨迹为曲线，曲线与轴的交点分别为，点．点是直线上的一个动点，直线，分别与曲线相交于，两点（均与，不重合）． (1)若是等腰三角形，求点的坐标； (2)求证：直线过定点，并求出定点坐标； (3)求四边形面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期中考试模拟试卷（B卷） 高二数学 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】根据直线倾斜角的定义即可求解. 【详解】直线与轴垂直，倾斜角为. 故选：B. 2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的性质，即可求解. 【详解】根据空间直角坐标系的性质，都可点关于平面的对称点是． 故选：A. 3．以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线过定点可得圆心坐标，再结合半径可得圆的方程. 【详解】由，得， 令，则， 即直线恒过定点， 则圆的方程为，即， 故选：D. 4．圆与圆的公切条数为（    ） A．2条 B．1条 C．3条 D．4条 【答案】A 【分析】首先把圆的一般式转换为标准式，进一步判断两圆的位置关系，最后得出两圆的公切线的条数. 【详解】由是以为圆心， 3为半径的圆.， 转换为， 即该圆是以为圆心，4为半径的圆. 所以圆心距， 所以 所以两圆相交，故公切线的条数为2， 故选：A 5．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线l与平面垂直，则实数x的值为（    ） A． B．10 C． D． 【答案】D 【分析】根据线面垂直得到与平行，设，得到方程组，求出. 【详解】直线l与平面垂直，故与平行， 设，即，解得. 故选：D 6．在正方体中，直线与平面所成的角为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可. 【详解】    如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 直线与平面所成的角为， 则，令，即， 所以， 所以. 故选：B 7．已知直线和直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题意先求出时a数值，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，解得或 当时，直线，直线，此时， 当时，直线，直线，此时， 综上，则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8．如图所示，在平行六面体中，点满足，若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，由空间的基底表示向量即可得解. 【详解】在平行六面体中，， 由， 而，且不共面， 所以，. 故选：A 9．已知直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标以及半径，由等边三角形的性质可得到圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式列出方程求出的值即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 若直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形， 则圆心到直线的距离， 又由点到直线的距离公式可得，解得， 故选：D. 10．已知直线和直线，点M，N分别是直线和上的点，点，则周长的最小值是（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】分别求出关于直线的对称点的坐标，线段的长即为所求最小值． 【详解】设关于直线的对称点， 则，解得，即, 设关于直线的对称点， 则，解得，即, 所以，当且仅当共线时取等号． 故选：B． 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知直线与直线垂直，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据两直线垂直的等价条件即可得到结果. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故答案为：. 12．已知，，求在上的投影向量 （用坐标表示） 【答案】 【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由，得， 在上的投影向量为， 故答案为： 13．已知空间向量、满足，，，则向量、的夹角为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的垂直关系求出的值，再利用空间向量数量积求出，结合向量夹角的取值范围可求得结果. 【详解】因为空间向量、满足，，， 则，可得， 所以，， 因为，故， 所以，向量、的夹角为. 故答案为：. 14．已知直线与圆相切，且被圆截得的弦长为，则 ； ． 【答案】 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求出，即可求出直线的方程，再由弦长求出圆心到直线的距离，即可求出. 【详解】因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得或（舍去）， 则直线的方程为：， 又被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离， 解得或（舍去）. 故答案为：； 15． 如图，在棱长为3的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的有 ①．当时， ②．当时，点到平面的距离为1 ③．直线与所成的角可能是 ④．若二面角的平面角的正弦值为，则或 【答案】①②④ 【分析】建立空间直角坐标系，求解点的坐标，利用点的坐标得到向量坐标，即可利用点到面的建立公式，以及空间角的计算公式，结合选项逐一求解. 【详解】建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，，， 因为，所以， 所以，，，①正确； ，， 因为，所以，所以， 设平面的一个法向量为， 则即 设，则， 所以点到平面的距离为，②正确； 设，则，所以， 又，所以， 解得，所以直线与所成的角不可能是，③错误； ，， 由C知， 设平面，平面的一个法向量分别为，， 所以   即   分别令，，则，， 设二面角的平面角为，， 则， 解得或，故或，④正确. 故选:①②④. 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．已知空间向量． (1)若，求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，则得，由向量模的坐标运算求解即可； （2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，则得，由空间向量的夹角公式求解即可． 【详解】（1）空间向量，，， 因为，所以存在实数k，使得， 所以，解得，所以， 则． （2）因为，则，解得， 所以， 故． 17．已知，，．求： (1)BC边上的中线所在的直线方程； (2)AB边垂直平分线方程； (3)过点A且倾斜角为直线倾斜角2倍的直线方程： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求中点的坐标，再求直线的斜率，利用点斜式表示直线，再化成一般式即可； （2）利用直线垂直的充要条件求出直线的方程； （3）利用直线的倾斜角的关系利用三角函数关系式求出直线的斜率，进一步求出直线的方程． 【详解】（1）由于，，则中点坐标为， 直线的斜率， 所以BC边上的中线所在的直线方程为，整理得； （2）由于，，所以中点，直线的斜率， 所以直线的垂直平分线的斜率， 所求的垂直平分线的方程为，整理得； （3）由于，，所以直线的斜率，设其倾斜角为，故， 所求直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，所求直线的斜率， 故所求的直线的方程为，整理得． 18．如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，. (1)求两点间的距离； (2)求证：平面； (3)求证：平面平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合空间向量求解，进而求解； （2）利用空间向量可得，进而得到，进而根据线面平行的判定定理即可证明； （3）利用空间向量可得，进而得到平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）由题可知，底面，， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 即两点间的距离为. （2）由（1）知，， 所以，即，即， 又平面平面， 所以平面. （3）由（2）知，，，， 所以，， 则，即， 又，且平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 19．已知圆经过点，从下列3个条件选取一个________ ①过点； ②圆恒被直线平分； ③与轴相切. (1)求圆的为程； (2)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①③时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，根据待定系数法，即可确定圆的方程，选择②时，根据几何法确定圆心和半径即可求解， （2）根据相关点法即可求解轨迹方程． 【详解】（1）选条件①．设圆的方程为， 将，代入可得 ，解得， 则圆的方程为． 选条件②． 直线恒过点． 因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为， 又圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为，即． 选条件③． 设圆的方程为， 由题意可得，解得， 则圆的方程为，即． （2）设，， 因为为线段的中点，所以， 因为点是圆上的动点，所以， 所以的轨迹方程为． 20．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在；的长为或 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角； （3）假设棱存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 点是的中点，点是的中点， 所以,平面,平面， 所以平面；    （2）如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系， 即，，，则， 设平面的法向量，则， 令得，所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为；    （3）由（2）知，，，， ，，， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则 整理得，解得或 故当时，；当时， 则的长为或． 21．已知点，的坐标分别为和，动点满足到点的距离是它到点的距离的2倍，动点的轨迹为曲线，曲线与轴的交点分别为，点．点是直线上的一个动点，直线，分别与曲线相交于，两点（均与，不重合）． (1)若是等腰三角形，求点的坐标； (2)求证：直线过定点，并求出定点坐标； (3)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)或． (2)证明见解析，定点． (3)． 【分析】（1）根据给定条件，求出曲线的方程，再利用等腰三角形特性求出点的坐标. （2）由（1）结合已知探求直线的斜率关系，设出直线方程，与曲线的方程联立，利用斜率坐标公式结合韦达定理计算推理即得. （3）由（2）中信息，求出四边形面积的函数关系，再求出最大值即得. 【详解】（1）设点，由，得， 整理得曲线的轨迹方程为，由对称性不妨令， 设点，若是等腰三角形，则，解得， 所以点的坐标为或. （2）由（1）知，，则直线的斜率，直线的斜率，有， 而，则直线的斜率，即， 设直线，代入得：， 设，则，， 因为， 整理得， 则，而，解得， 所以直线恒过定点． （3）由（2）得，， 则， 令，则， 而，则当时，取得最大值，此时， 所以当直线方程为时，四边形面积的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$