精品解析：山东省聊城市茌平区实验中学2024-—2025学年上学期九年级10月月考数学试题

九年级数学第一次学业水平检测试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知sin=，且是锐角，则等于( ) A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：本题只需要根据特殊角的三角函数值即可得出答案.sin60°=，则=60°. 2. 下列说法不一定正确的是 （ ） A. 所有的等边三角形都相似 B. 有一个角是的等腰三角形相似 C. 所有的正方形都相似 D. 所有的矩形都相似 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似形的识别，把形状相同的图形叫做相似图形．根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、所有的等边三角形，形状相同，符合相似性的定义，故正确； B、有一个角是的等腰三角形，形状相同，符合相似性的定义，故正确； C、所有的正方形，形状相同，符合相似性的定义，故正确； D、所有的矩形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误． 故选D． 3. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（　　） A. sinA＝ B. cosA＝ C. tanA＝ D. cosB＝ 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再根据锐角三角函数的定义可得答案． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴sinA＝sin∠BCD＝； cosA＝cos∠BCD= ; tanA＝； cosB＝； 所以B、C、D均错误 故选：A． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数定义，理解熟记锐角三角函数定义是解题关键，需要注意的是锐角三角函数是在直角三角形的条件下定义的． 5. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查网格中的三角函数，连接，，则，勾股定理求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可. 【详解】解：连接，，则，如图： 由勾股定理，得：， ∴； 故选：B． 6. 如图，某建筑物直立于水平地面，米，，要建造阶梯，使每阶高不超过，则此阶梯最少要建（最后一阶的高不足时按一阶计算，）（ ） A. 23阶 B. 24阶 C. 25阶 D. 26阶 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，求出的长，除以每阶的高度，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，米，， ∴， ∵， ∴此阶梯最少要建26阶； 故选D． 7. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD交于点F，：：25，则DE：=( ) A. 2：5 B. 3：2 C. 2：3 D. 5：3 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到DC//AB，DC=AB，得到△DFE∽△BFA，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】四边形ABCD是平行四边形， ，， ∽， ：， ， ：：2， 故选B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，点是线段上一点，以原点为位似中心把放大到原来的两倍，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似，根据以原点为位似中心的位似图形的对应点的坐标关系或，进行求解即可． 【详解】解：点是线段上一点，以原点为位似中心把放大到原来的两倍，则点的对应点的坐标为或，即：或； 故选B． 9. 如图，将矩形密铺在长为，宽为的矩形纸片右侧，若组成的新矩形与原矩形（图中阴影部分）相似，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似图形的性质，根据相似图形的对应边对应成比例，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 设， ∵组成的新矩形与原矩形（图中阴影部分）相似， ∴， 解得：； ∴． 故选C． 10. 如图，在中，中线相交于点，连线，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，根据中线的定义推出为的中位线，进而得到，证明，，利用相似三角形的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵在中，中线相交于点， ∴为的中位线， ∴， ∴；故①正确； ∴，， ∴，故②错误； ∴，故③正确； ∴， ∴，故④正确； 故选C． 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 在锐角中，如果，满足，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】先由非负性质得到△ABC中，tanA=1，cosB= ，求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵△ABC中，|tanA-1|+（cosB-）2=0 ∴tanA=1，cosB= ∴∠A=45°，∠B=60°， ∴∠C=75°． 故答案为75°． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 12. 如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B处)．AB＝80米，则孔明从A到B上升的高度BC是____米． 【答案】40 【解析】 【分析】根据坡度为30°,可得BC：AB=1：2,然后根据AB=80米,代入求出BC的值即可． 【详解】解：∵山坡的坡度为30°, ∴BC：AB=1：2, ∵AB=80米, ∴BA=×80=40（米）, 故答案为40． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是要熟练掌握坡度的概念和解直角三角形的方法． 13. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是_____． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可． 【详解】解：由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5， ∴∠EFC+∠AFB=90°， ∵∠B=90°， ∴∠BAF+∠AFB=90°， ∴∠EFC=∠BAF，cos∠BAF=， ∴cos∠EFC=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，余弦的概念． 14. 如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，再由相似三角形的性质得，求得该古城墙的高度． 【详解】解：由题意知：入射光线与反射光线，， 又， ， 所以 即， 解得米． 故答案为：8 15. 如图，小阳发现电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上，量得，米，与地面成角，且此时测得米的影长为米，则电线杆的高度为__________米． 【答案】（14+2）米 【解析】 【分析】过D作DE⊥BC的延长线于E，连接AD并延长交BC的延长线于F，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，再根据勾股定理求出CE，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF，再求出BF，再次利用同时同地物高与影长成正比列式求解即可． 【详解】如图，过D作DE⊥BC的延长线于E，连接AD并延长交BC的延长线于F． ∵CD=8，CD与地面成30°角， ∴DE=CD=×8=4， 根据勾股定理得：CE===4． ∵1m杆的影长为2m， ∴=， ∴EF=2DE=2×4=8， ∴BF=BC+CE+EF=20+4+8=（28+4）． ∵=， ∴AB=（28+4）=14+2． 故答案为（14+2）． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出AB的影长若全在水平地面上的长BF是解题的关键． 16. 如图，在中，，点在边上，过点作直线与边交于点，使截得的三角形与原三角形相似，且，则__________． 【答案】或3 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：当时，则：， 即：， 解得：； 当时，则：， 即：， 解得：； 综上：或； 故答案为：或3． 三、解答题（本大题共8小题，共66.0分） 17. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论； 根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】证明：（1）略． 解：（2）∵， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∴在中，． 又∵， ∴， ∴． 【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键. 19. 小左同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，她在某一时刻立一长度为1米的标杆，测得其影长为米，同时旗杆投影的一部分在地上，另一部分在某一建筑物的墙上，测得旗杆与建筑物的距离为10米，旗杆在墙上的影高为2米，请帮小左同学算出学校旗杆的高度． 【答案】14.5米 【解析】 【分析】先求出墙上的影高落在地面上时的长度，再设旗杆的高度h米，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可． 【详解】设墙上的影高2米落在地面上时的长度为x米，旗杆的高度为h米， 某一时刻测得长为1米的竹竿影长为米，墙上的影高为2米， ，解得米， 树的影长为：米， ，解得米． 答：学校旗杆的高度米． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是正确求出旗杆的影长，这是此题的易错点． 20. 2021年3月23日苏伊士运河发生阻塞时使用了一种如图1的浮式起重机，它是捞、救援的重要设备，某数学研究小组为了计算如图2所示浮式起重机悬索的长，他们测量了如下数据，，，，请你帮助他们求出悬索的长（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含甲的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识；求出、的长是解题的关键．过点作于点，由含甲的直角三角形的性质和锐角三角函数定义求出，，再证为等腰直角三角形，得，即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图2所示： 在中，，，， ，，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 答：悬索的长为． 21. 济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进80m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计≈1.732，结果精确到0.1m，求该楼的高度CD． 【答案】该楼的高度为． 【解析】 【分析】由题意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：该楼的高度为． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键． 22. 如图，在ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，Q、M在BC上，AD交PN于点E．设BC＝20，AD＝10，PQ：PN＝3：4． （1）证明：APN∽ABC； （2）求矩形PQMN的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形PQMN是矩形， ∴PN∥QM， ∴△APN∽△ABC； （2）S矩形PQMN= 48． 【解析】 【分析】（1）由PN∥BC即可得出结论； （2）设PQ=3x，则PN=4x，利用PN∥BC，可得到，代入可求得x，再计算矩形PQMN的面积即可． 【详解】（1） 略 （2）解：∵PQ：PN=3：4， ∴设PQ=3x，则PN=4x， ∵四边形PQMN为矩形， ∴ED=PQ=3x，AE=AD-DE=10-3x， 又PN∥BC， ∵△APN∽△ABC， ∴， 即， 解得x=2， ∴PQ=6，PN=8， ∴S矩形PQMN=PQ•PN=6×8=48． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头，．某海岛上的观测塔距离海岸5海里，在处测得位于南偏西方向．一艘渔船从出发，沿正北方向航行至处，此时在处测得位于南偏东方向，求此时观测塔与渔船之间的距离（结果精确到0.1海里）． （参考数据:，，，，，） 【答案】4.3海里 【解析】 【分析】过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，由正切函数与正弦函数的定义，以及矩形的性质，即可求解． 【详解】过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，则四边形CDEF是矩形， ∵∠BAE=22°，AE=5（海里）， ∴BE=AE∙tan22°=5×=2（海里）， ∵DE=BD-BE=6-2=4（海里）， ∵四边形CDEF是矩形， ∴CF=DE=4（海里）， ∴AC=CF÷sin67°=4÷≈4.3（海里）． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 24. 已知，动点从点开始在线段上以每秒2个单位的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒1个单位的速度向O点移动，设点移动时间为秒．当为何值时，以点为顶点的三角形与相似？ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的性质的出关于的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．根据相似三角形的性质，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由题意可得， 所以， ①当时，，即 ②当时，，即． 所以，当或时，以点为顶点的三角形与相似 25. 在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． （1）如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． （2）如图1所示，若为任意锐角，证明：． （3）若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 【答案】（1） （2）见解析 （3）成立，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角，相似三角形的判定，熟练掌握一线三等角相似模型，是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，结合三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）等边三角形的性质，得到，利用三角形的外角得到，即可得证； （3）成立，同法（2）即可得证． 【小问1详解】 解：∵边三角形和等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 证明：由（1）知：， ∵，， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 成立，证明如下： ∵等边三角形和等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一次学业水平检测试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知sin=，且是锐角，则等于( ) A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 2. 下列说法不一定正确的是 （ ） A. 所有的等边三角形都相似 B. 有一个角是的等腰三角形相似 C. 所有的正方形都相似 D. 所有的矩形都相似 3. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（　　） A. sinA＝ B. cosA＝ C. tanA＝ D. cosB＝ 5. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某建筑物直立于水平地面，米，，要建造阶梯，使每阶高不超过，则此阶梯最少要建（最后一阶的高不足时按一阶计算，）（ ） A. 23阶 B. 24阶 C. 25阶 D. 26阶 7. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD交于点F，：：25，则DE：=( ) A. 2：5 B. 3：2 C. 2：3 D. 5：3 8. 在平面直角坐标系中，点是线段上一点，以原点为位似中心把放大到原来的两倍，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 如图，将矩形密铺在长为，宽为的矩形纸片右侧，若组成的新矩形与原矩形（图中阴影部分）相似，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 10. 如图，在中，中线相交于点，连线，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 在锐角中，如果，满足，那么________． 12. 如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B处)．AB＝80米，则孔明从A到B上升的高度BC是____米． 13. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是_____． 14. 如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是__________． 15. 如图，小阳发现电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上，量得，米，与地面成角，且此时测得米的影长为米，则电线杆的高度为__________米． 16. 如图，在中，，点在边上，过点作直线与边交于点，使截得的三角形与原三角形相似，且，则__________． 三、解答题（本大题共8小题，共66.0分） 17. 计算： （1） （2）． 18. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 小左同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，她在某一时刻立一长度为1米的标杆，测得其影长为米，同时旗杆投影的一部分在地上，另一部分在某一建筑物的墙上，测得旗杆与建筑物的距离为10米，旗杆在墙上的影高为2米，请帮小左同学算出学校旗杆的高度． 20. 2021年3月23日苏伊士运河发生阻塞时使用了一种如图1的浮式起重机，它是捞、救援的重要设备，某数学研究小组为了计算如图2所示浮式起重机悬索的长，他们测量了如下数据，，，，请你帮助他们求出悬索的长（结果保留根号）． 21. 济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进80m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计≈1.732，结果精确到0.1m，求该楼的高度CD． 22. 如图，在ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，Q、M在BC上，AD交PN于点E．设BC＝20，AD＝10，PQ：PN＝3：4． （1）证明：APN∽ABC； （2）求矩形PQMN的面积． 23. 如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头，．某海岛上的观测塔距离海岸5海里，在处测得位于南偏西方向．一艘渔船从出发，沿正北方向航行至处，此时在处测得位于南偏东方向，求此时观测塔与渔船之间的距离（结果精确到0.1海里）． （参考数据:，，，，，） 24. 已知，动点从点开始在线段上以每秒2个单位的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒1个单位的速度向O点移动，设点移动时间为秒．当为何值时，以点为顶点的三角形与相似？ 25. 在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． （1）如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． （2）如图1所示，若为任意锐角，证明：． （3）若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $