第十五章 分式（B卷·拔高培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（湖北专用，人教版）

第15章 分式（B卷·拔高培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项: 亲爱的同学,在你答题前,请认真阅读下面的注意事项: 1.答题前,将你的姓名,准考证号填写在“试卷”和“答题卡"的相应位置. 2.答选择题时,选出每小答案后,用2B 铅笔把“答题卡”上相应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案写在“试卷"上无效. 3.答非选择题时,答案用0.5毫米黑色签字笔书写在“答题卡"上,答案写在“试卷”上无效. 4.认真阅读答题卡上的注意事项 预祝你取得优异成缋! 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1．若使某个分式无意义，则这个分式可以是（     ） A． B． C． D． 2．在下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 3．分式化简结果是（     ） A． B． C． D． 4．若关于的方程无解，则的值是（    ） A． B．2 C．-3 D．3 5．若分式方程 有增根，则k的值是（     ） A． B．3 C．6 D．9 6．某工程队在西城路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（ ） A．每天比原计划少铺设10米，结果延迟15天完成 B．每天比原计划多铺设10米，结果延迟15天完成 C．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天完成 D．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成 7．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 8．若分式（A、B为常数），则A、B的值为（     ） A． B． C． D． 9．已知关于x的方程的解为．则关于y的方程的解为（　　） A． B． C． D． 10．已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上） 11．阅读下列解题过程： 上述解题过程中，从第 步开始出错，正确结果为 ． 12．若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 13．已知，则 ． 14．青少年是全民国防教育的重中之重，要从培养担当民族复兴大任时代新人的高度，教育引导青少年树立国防观念．某校为了提升青少年国防素养，组织共青团员乘大巴车前往距离学校的中国人民革命军事博物馆进行参观学习，出发后前一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前了到达博物馆，则前一小时大巴车的行驶速度为 ． 15．从，，，0，1，2，3这七个数中，随机取出一个数，记为a，那么a使关于x的方程 有整数解，且使关于 x 的不等式组 有解的a的值为 ． 16．已知，则的值是 ． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算与化简： (1) (2) 18．（8分）分式化简 (1) (2) 19．（8分）计算 ： (1) (2)先化简再求值：， 然后选一个合适的整数作为a的值带入求值． 20．（8分）某村计划对总长为的道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成的道路长度是乙队每天能完成的2倍，并且在独立完成长为的道路时，甲队比乙队少用4天． (1)求甲、乙两工程队每天能完成道路的长度分别是多少m？ (2)若村委每天需付给甲队的道路改造费用为万元，乙队为万元，要使这次的道路改造费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？ 21．（8分）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 22．（10分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 23．（10分）阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ (1)已知实数满足，求分式的值． (2)已知实数满足，求分式的值． 24．（12分）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 分式（B卷·拔高培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项: 亲爱的同学,在你答题前,请认真阅读下面的注意事项: 1.答题前,将你的姓名,准考证号填写在“试卷”和“答题卡"的相应位置. 2.答选择题时,选出每小答案后,用2B 铅笔把“答题卡”上相应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案写在“试卷"上无效. 3.答非选择题时,答案用0.5毫米黑色签字笔书写在“答题卡"上,答案写在“试卷”上无效. 4.认真阅读答题卡上的注意事项 预祝你取得优异成缋! 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1．若使某个分式无意义，则这个分式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件，即分母等于0． 根据分式无意义的条件，对每个式子进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、由，得，故A不符合题意； B、由，得，故B符合题意； C、由，得，故C不符合题意； D、由，得，故D不符合题意； 故选：B． 2．在下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，根据分子分母没有公因式的分式是最简分式逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、，不是最简分式，不合题意； 、是最简分式，符合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 故选：． 3．分式化简结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式加减乘除混合运算计算即可． 【详解】解： ， 故选A． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键． 4．若关于的方程无解，则的值是（    ） A． B．2 C．-3 D．3 【答案】D 【分析】先把m当做已知数，求解该分式方程，再根据分式方程无解，则分母为0，即可解答． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：， ∵该方程无解， ∴，解得：， ∴，解得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式方程无解的条件，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式方程无解的条件． 5．若分式方程 有增根，则k的值是（     ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．本题的增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值． 【详解】解：方程两边都乘，得 ， 增根为 ． 故选：D． 6．某工程队在西城路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（ ） A．每天比原计划少铺设10米，结果延迟15天完成 B．每天比原计划多铺设10米，结果延迟15天完成 C．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天完成 D．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，由已知分式方程可以得到需要补充的内容． 【详解】解：设实际每天改造人行道x米， 则表示原计划每天比实际少铺设10米，即每天比原计划多铺设10米， ∴表示原计划铺设天数，表示实际铺设天数， ∴表示原计划铺设天数比实际多15天， ∴题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成， 故选：D． 7．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】先化分式方程为整式方程得到，求得方程的解，根据解的属性，方程的增根两个角度去求解即可．本题考查了分式方程的解，增根，探求字母的取值范围，熟练根据解的属性，增根的意义建立不等式是解题的关键． 【详解】∵， 去分母，得， 解得． ∵分式方程的解为正数，且方程的增根为， ∴，且， 解得，且， 故选C． 8．若分式（A、B为常数），则A、B的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式右边进行分式的减法运算，再根据对应项的系数相等可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴，则， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的加减法、解二元一次方程组，熟练掌握分式加减运算法则是解答的关键． 9．已知关于x的方程的解为．则关于y的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入关于x的方程中，求出，再将，代入关于y的方程中，求出，再进行检验即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解为， ∴， ， ∴， 当时，关于y的方程是：， ∴， ∴， ∴， 经检验：是关于y的方程的解． 故选：D． 【点睛】本题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程解题的关键，分式方程一定要进行检验． 10．已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】将，进行变形得到：，，，利用整体思想，将变形为：，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； ∵，当时，，方程不成立， ∴， ∴方程两边同除以得：， ∴， ∴，即：； 故选B． 【点睛】本题考查分式求值．将已知条件进行变形，利用整体思想代入求值，是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上） 11．阅读下列解题过程： 上述解题过程中，从第 步开始出错，正确结果为 ． 【答案】 ② 【分析】本题考查积的乘方运算、负整数指数幂运算、同底数幂的乘法运算等知识，先由积的乘方运算求解，再由负整数指数幂运算得到系数，最后由单项式乘以单项式运算法则，借助同底数幂的乘法运算法则求解即可得到答案，熟练掌握积的乘方运算、负整数指数幂运算、同底数幂的乘法运算等知识是解决问题的关键． 【详解】解：上述解题过程，从第②步开始出错， 正确计算过程如下： ， 故答案为：②，． 12．若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】根据分式方程的解法即可求出的值． 【详解】解： ， 由题意可知：将代入， ， 解得：或 故答案为：或 【点睛】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型． 13．已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则，正确将已知变形进而化简是解题关键．将变形得到，代入分式化简即可得解． 【详解】解： ， ， ， ， 故答案为：1． 14．青少年是全民国防教育的重中之重，要从培养担当民族复兴大任时代新人的高度，教育引导青少年树立国防观念．某校为了提升青少年国防素养，组织共青团员乘大巴车前往距离学校的中国人民革命军事博物馆进行参观学习，出发后前一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前了到达博物馆，则前一小时大巴车的行驶速度为 ． 【答案】60 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设大巴车前一小时的行驶速度为，则一小时后的行驶速度为，再列方程求解即可． 【详解】设大巴车前一小时的行驶速度为，则一小时后的行驶速度为， 依题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴大巴车前一小时的行驶速度为． 故答案为：60 15．从，，，0，1，2，3这七个数中，随机取出一个数，记为a，那么a使关于x的方程 有整数解，且使关于 x 的不等式组 有解的a的值为 ． 【答案】，0，2 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组和解分式方程的方法是解题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，把数字代入判断确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组无解找出满足题意a的值即可． 【详解】解：方程 两边乘，得 ， 整理，得. 由于方程有整数解且， 所以，0，2，3， 解，得. 解  得. 由不等式组  有解， 得，解得. 所以使关于 x 的方程 有整数解，且使关于 x 的不等式组 有解的a 的值为，0，2. 故答案为：，0，2. 16．已知，则的值是 ． 【答案】4 【分析】先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于、、的方程组，求出方程组的解，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 解得，， ． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了分式的加减，根据恒等式的意义得出关于、、的方程组是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算与化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算分式的除法运算，再计算减法运算即可； （2）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 18．（8分）分式化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）首先进行分数乘法运算，然后进行分式加法运算； （2）先进行括号内的运算，然后进行分式除法运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．（8分）计算 ： (1) (2)先化简再求值：， 然后选一个合适的整数作为a的值带入求值． 【答案】(1) (2)，当时，原式 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式的化简求值： （1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2）解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 20．（8分）某村计划对总长为的道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成的道路长度是乙队每天能完成的2倍，并且在独立完成长为的道路时，甲队比乙队少用4天． (1)求甲、乙两工程队每天能完成道路的长度分别是多少m？ (2)若村委每天需付给甲队的道路改造费用为万元，乙队为万元，要使这次的道路改造费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成道路的长度是，乙工程队每天能完成道路的长度是 (2)至少应安排甲队修建10天 【分析】该题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是找出等量关系式和不等量关系式． （1）设乙工程队每天能完成道路的长度是，根据“已知甲队每天能完成的道路长度是乙队每天能完成的2倍，并且在独立完成长为的道路时，甲队比乙队少用4天”，列分式方程即可求解； （2）设应安排甲队工作天，根据“这次的道路改造费用不超过8万元”列出不等式求解即可； 【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成道路的长度是， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 则甲工程队每天能完成道路的长度是． 答：甲工程队每天能完成道路的长度是，乙工程队每天能完成道路的长度是． （2）解：设应安排甲队工作天， 根据题意得：， 解得：． 答：至少应安排甲队修建10天． 21．（8分）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值、求一元一次不等式组的整数解，括号内先通分，再将除法转化为乘法约分，最后计算减法即可化简，解一元一次不等式组得出整数解，选择符合题意得解代入计算即可得出答案． 【详解】解： ， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为：，， ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 22．（10分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【分析】对于（1），由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； 对于（2），由原式，再整理可得； 对于（3），根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【详解】（1）①，是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式. 故答案为：①③④． （2）， 故答案为:. （3）（3）原式 ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． 23．（10分）阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ (1)已知实数满足，求分式的值． (2)已知实数满足，求分式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）先求出，再根据求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∴． 24．（12分）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”， “和整值”； (2)①；② (3)的值为：或． 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”； （2）①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 解得：， 当，方程有增根， ∴， 解得：， 综上：的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$