九年级上学期数学期中测试模拟卷01-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（浙江专用）

九年级上学期期中测试模拟卷1 考试范围：九年级全册 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）若3x＝2y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在0.4，则口袋中红色小球的个数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．15 3．（3分）要将抛物线y＝x2+2x+3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是（　　） A．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 4．（3分）如图，一根3m长的木头AB斜靠在垂直于地面的墙上，当端点A离地面的高度AC为1m时，木头AB的倾斜角α的余弦cosα的值为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为（　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 6．（3分）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝25°，则∠ABO的度数为（　　） A．35° B．40° C．50° D．55° 7．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，A（1，4），C（3，﹣2），抛物线y＝﹣x2+bx经过点D，则b的值是（　　） A． B． C．5 D． 8．（3分）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，，DE∥BC，EF∥AB，点M是EF的中点，连接BM并延长交AC于点N，则的值是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，将绕着点A顺时针旋转一定的角度后得到，交AB于E点，若点D在⊙O上．若半径是5，EO＝1，则弦CD的长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 10．（3分）如图，矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝3，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）已知P是线段AB上的一个黄金分割点，AP＜BP，AB＝8cm，那么AP＝　 　cm． 12．（3分）已知圆锥的高为12，母线长为13，则圆锥的侧面积为 　 　． 13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝15°，则∠BCD的度数为 　 　． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+3交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C． （1）a＝　 　； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，当△PDE周长的最大时，点P的坐标为 　 　． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A（﹣4，0），B（0，4）的直线上，PQ与⊙O相切于点Q，则切线长PQ的最小值为 　 　． 16．（3分）图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“L型”托架A﹣C﹣E用于放置手机，支架BD两端分别与托架和底座MN（其厚度忽略不计）相连，支架B端可调节旋转角度，已知BD＝6cm，AB＝2BD＝4BC，支架调整到图2位置时，∠BDM＝60°，∠ABD＝120°．因实际需要，现将支架B端角度调整为∠ABD＝150°，如图3所示，则点A的位置较原来的位置上升高度为 　 　cm． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）计算： （1）； （2）． 18．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）以点O为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C1，且△ABC与△A1B1C1的位似比为1：2，△ABC与△A1B1C1的周长比是 　 　； （2）作出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2； （3）填空：若⊙P为图中△ABC的外接圆，则圆心P的坐标为 　 　，⊙P的半径长为 　 　． 19．（8分）足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高OB为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 20．（8分）为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，方便居民使用、如图，在侧截面示意图中，遮阳棚BC长4米，与水平线的夹角为22°、且靠墙端离地的高AB为4米，当太阳光线CD与地面DA的夹角为60°时，求AD的长．（结果精确到0.1米：参考数据：，，，．） 21．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若BC＝6，AC＝8，求DE的长． 22．（10分）如图，⊙O的直径AB为10，弦BC为6，D是的中点，弦BD和CE交于点F，且DF＝DC． （1）求证：EB＝EF； （2）求证：； （3）求CE的长． 23．（12分）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为 　 　m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8m，DG＝1.5m．将观测点D后移24m到D′处．采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m．求雕塑高度（结果精确到1m）． 24．（12分）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如A（a，2a）就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数y＝（x﹣1）2+2就是“友好二次函数”． （1）直线y＝4x﹣1上的“友好点”坐标为 　 　； （2）若“友好二次函数”y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； （3）若“友好二次函数”的图象过点（﹣2，8），且顶点在第一象限． ①当m﹣1≤x≤m时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求m的值； ②已知点M（5，4），N（1，n），当线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出n的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上学期期中测试模拟卷1 考试范围：九年级全册 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）若3x＝2y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、由＝得，xy＝6，故本选项比例式不成立； B、由＝得，3x＝2y，故本选项比例式成立； C、由＝得，2x＝3y，故本选项比例式不成立； D、由＝得，xy＝6，故本选项比例式不成立． 故选：B． 2．（3分）在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在0.4，则口袋中红色小球的个数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．15 【分析】设红色小球x个，由题意可知摸到红色小球的概率为0.4，再根据概率公式列出方程，求出答案即可 【解答】解：设红色小球x个， 根据题意，得：， 解得x＝10． 故选：C． 3．（3分）要将抛物线y＝x2+2x+3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是（　　） A．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【分析】依据题意，将抛物线y＝x2+2x+3平移后得到抛物线y＝x2，根据“左加右减，上加下减”的平移规律，即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2， 又根据“左加右减，上加下减”的平移规律， ∴y＝（x+1﹣1）2+2﹣2，可得y＝x2，即将抛物线y＝x2+2x+3平移后得到抛物线y＝x2，是向右平移1个单位，向下平移2个单位． 故选：A． 4．（3分）如图，一根3m长的木头AB斜靠在垂直于地面的墙上，当端点A离地面的高度AC为1m时，木头AB的倾斜角α的余弦cosα的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可以求得BC的长度，从而可得cosα的值． 【解答】解：由题意可知，在Rt△ABC中，AB＝3m，AC＝1m， ∴（m）， ∴， 故答案为：A． 5．（3分）如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为（　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 【分析】连接OB、OC，如图，利用等腰三角形的性质得∠OBA＝∠A＝65°，∠OCD＝∠D＝60°，则根据三角形内角和定理得到∠AOB＝50°，∠COD＝60°，则∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD＝40°，于是得到的度数为40°． 【解答】解：连接OB、OC，如图， ∵OA＝OB，OC＝OD， ∴∠OBA＝∠A＝65°，∠OCD＝∠D＝60°， ∴∠AOB＝180°﹣2×65°＝50°，∠COD＝180°﹣2×60°＝60°， ∴∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD＝150°﹣50°﹣60°＝40°， ∴的度数为40°． 故选：B． 6．（3分）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝25°，则∠ABO的度数为（　　） A．35° B．40° C．50° D．55° 【分析】根据圆周角和圆心角的关系，可以得到∠AOC的度数，然后根据AB为⊙O的切线和直角三角形的两个锐角互余，即可求得∠ABO的度数． 【解答】解：∵∠ADC＝25°， ∴∠AOC＝50°， ∵AB为⊙O的切线，点A为切点， ∴∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝∠OAB﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°， 故选：B． 7．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，A（1，4），C（3，﹣2），抛物线y＝﹣x2+bx经过点D，则b的值是（　　） A． B． C．5 D． 【分析】过点D作MN⊥x轴，过点A作AM⊥MN于M，过点C作CN⊥MN于N，利用三角形全等的即可得出D点坐标，代入y＝﹣x2+bx即可得出b的值． 【解答】解：过点D作MN⊥x轴，过点A作AM⊥MN于M，过点C作CN⊥MN于N， ∴∠AMD＝∠CND＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°，AD＝DC， ∴∠CDN+∠DCN＝90°＝∠ADM+∠CDN， ∴∠DCN＝∠ADM， 在△ADM和△DCN中， ， ∴△ADM≌△DCN（AAS）， ∴DM＝CN，AM＝DN， 设D（m，n）， ∵点A、C的坐标分别是A（l，4），C（3，﹣2）， ∴， 解得：， ∴D（5，2）， ∵点D在抛物线y＝﹣x2+bx的图象上， ∴.2＝﹣52+5b， ∴b＝． 故选：B． 8．（3分）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，，DE∥BC，EF∥AB，点M是EF的中点，连接BM并延长交AC于点N，则的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】过点F作FG∥BN交AC于点G，可证EN＝GN．同理，可得，EC＝3AE，；由FG∥BN，得，于是GC＝3NG；设EN＝NG＝a，则GC＝3a，EC＝5a，，从而得． 【解答】解：过点F作FG∥BN交AC于点G， ∴， ∴EN＝GN， ∵DE∥BC， ∴． ∴EC＝3AE． ∵EF∥AB， ∴． ∵FG∥BN， ∴． ∴GC＝3NG． 设EN＝NG＝a，则GC＝3a， ∴EC＝EN+NG+GC＝5a ∴EC＝3AE＝5a． ∴． ∴． ∴． 故选：A． 9．（3分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，将绕着点A顺时针旋转一定的角度后得到，交AB于E点，若点D在⊙O上．若半径是5，EO＝1，则弦CD的长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】连接BC、BD，DE，连接CD交AB于F，由旋转的性质得，∠CAB＝∠BAD，⊙O与⊙O'是等圆，由三角形相似判定方法得△ABC∽△CBF，由三角形相似的性质得求出BC，由勾股定理求出DF，据此即可求解． 【解答】解：如图，连接BC、BD，DE，设CD交AB于F， ∵半径是5，EO＝1， ∴OB＝OA＝5，AB＝10， ∴BE＝OB﹣OE＝4， 由旋转得：， ∴AC＝AD，BC＝BD， ∴AB⊥CD，CF＝DF， ∴∠CFB＝90°， ∵∠BAD＝∠DAE， ∴DE＝DB， ∴， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠CFB＝90°， ∵∠ABC＝∠CBF， ∴△ABC∽△CBF， ∴，即：， ∴BC2＝20， 在Rt△BDF中，， ∴CD＝2DF＝8； 故选：C． 10．（3分）如图，矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝3，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH＝AB＝2，根据勾股定理求得AF，根据平行线分线段成比例定理求得OH，由相似三角形的性质求得AM与AF的长，根据相似三角形的性质，求得AN的长，即可得到结论． 【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2， ∵BF＝2FC，BC＝AD＝3， ∴BF＝AH＝2，FC＝HD＝1， ∴AF＝＝＝2， ∵OH∥AE， ∴＝＝， ∴OH＝AE＝， ∴OF＝FH﹣OH＝2﹣＝， ∵AE∥FO， ∴△AME∽FMO， ∴＝＝， ∴AM＝AF＝， ∵AD∥BF， ∴△AND∽△FNB， ∴＝＝， ∴AN＝AF＝， ∴MN＝AN﹣AM＝﹣＝． 故选：D． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）已知P是线段AB上的一个黄金分割点，AP＜BP，AB＝8cm，那么AP＝　（12﹣4）　cm． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：点P是线段AB的黄金分割点，AP＜BP，若AB＝8cm， ∴BP＝8×＝（4﹣4）（cm）， ∴AP＝AB﹣BP＝8﹣（4﹣4）＝（12﹣4）cm， 故答案为：（12﹣4）． 12．（3分）已知圆锥的高为12，母线长为13，则圆锥的侧面积为 　65π　． 【分析】根据勾股定理求出圆锥的底面半径，根据扇形面积公式计算即可． 【解答】解：由勾股定12．（3分）已知圆锥的高为12，母线长为13，则圆锥的侧面积为 　65π　． 理得，圆锥的底面半径＝＝5， ∴圆锥的底面周长＝10π， ∴圆锥的侧面积＝×10π×13＝65π， 故答案为：65π． 13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝15°，则∠BCD的度数为 　105°　． 【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB＝90°，∠ACD＝15°，即可求∠BCD的度数． 【解答】解：连接AC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠AED＝15°， ∴∠ACD＝15°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°， 故答案为：105°． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+3交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C． （1）a＝　﹣1　； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，当△PDE周长的最大时，点P的坐标为 　　． 【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入函数解析式即可求出答案； （2）求出lBC解析式，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点E（m，﹣m+3），求出当时，PE最大，即时，C△PDE最大，即可得到答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+3交x轴于点A（﹣1，0）， ∴将点A（﹣1，0）代入函数解析式， 即0＝a•（﹣1）2+2×（﹣1）+3， 解得a＝﹣1， 故答案为：﹣1． （2）∵抛物线y＝ax2+2x+3交x轴于点A，B两点，交y轴于点C， 由（1）可得y＝﹣x2+2x+3， 令y＝0，即﹣x2+2x+3＝0， 解得x＝﹣1或x＝3， 令x＝0，即y＝3， ∴B（3，0），C（0，3）， 设lBC解析式为：y＝kx+b， 将B（3，0），C（0，3）代入， 得， 解得， ∴lBC解析式为：y＝﹣x+3， 设点P（m，﹣m2+2m+3），则点E（m，﹣m+3）， ∴， ∵﹣1＜0，抛物线开口向下， ∴当时，PE最大，为， ∵PD⊥BC， ∴∠PDE＝∠BOC＝90°， ∴△PDE∽△BOC， ∴， 则， ∴当PE最大时，即时，C△PDE最大， 则点， 故答案为：． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A（﹣4，0），B（0，4）的直线上，PQ与⊙O相切于点Q，则切线长PQ的最小值为 　　． 【分析】连接OQ，OP，由切线的性质可知，要使PQ的值为最小，则需满足OP为最小值即可，然后根据点到直线垂线段最短可知当OP⊥AB时OP为最小值，进而问题可求解． 【解答】解：连接OQ，OP，如图所示： ∵PQ与⊙O相切于点Q， ∴OQ⊥PQ， ∵OQ＝1， ∴， ∵A（﹣4，0），B（0，4）， ∴OA＝OB＝4， ∴△AOB是等腰直角三角形，且， 要使PQ的值为最小，则需满足OP为最小值即可，根据点到直线垂线段最短可知当OP⊥AB时OP为最小值， ∴， ∴， ∴PQ的最小值为； 故答案为：． 16．（3分）图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“L型”托架A﹣C﹣E用于放置手机，支架BD两端分别与托架和底座MN（其厚度忽略不计）相连，支架B端可调节旋转角度，已知BD＝6cm，AB＝2BD＝4BC，支架调整到图2位置时，∠BDM＝60°，∠ABD＝120°．因实际需要，现将支架B端角度调整为∠ABD＝150°，如图3所示，则点A的位置较原来的位置上升高度为 　　cm． 【分析】如图2，过点A作AQ⊥MN交MN于点Q，过点B作BG∥MN交AQ于点G，过点B作BF⊥MN于点F，如图3，延长BC交MN于点H，在Rt△ABG和Rt△BDF中分别算出AG和BF，求出点A到MN的距离，再在Rt△BDH中，算出BH，AH，再作差即可求得． 【解答】解：如图2，过点A作AQ⊥MN交MN于点Q，过点B作BG∥MN交AQ于点G，过点B作BF⊥MN于点F，如图3，延长BC交MN于点H 旋转前如图3： ∵∠BDM＝60°，∠ABD＝120°，BG∥MN， ∴∠ABG＝∠DBG＝60°， ∵AB＝2BD＝4BC，BD＝6cm， ∴AB＝12cm，BE＝3cm， ∵∠AGB＝∠BFD＝90°， ∴在Rt△ABG和Rt△BDF中， cm， cm， 故点A到MN的距离为：cm， 旋转后如图3： ∵∠ABD＝150°， ∴∠DBC＝30°， ∵∠BDM＝60°， ∴∠DHB＝90°， 在Rt△BDH中， （cm）， 故cm， 点A的位置较原来的位置上升高度为：（cm）， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，立方根，再计算即可； （2）先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝； （2） ＝ ＝ ＝． 18．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）以点O为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C1，且△ABC与△A1B1C1的位似比为1：2，△ABC与△A1B1C1的周长比是 　1：2　； （2）作出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2； （3）填空：若⊙P为图中△ABC的外接圆，则圆心P的坐标为 　（4，4）　，⊙P的半径长为 　　． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可；根据相似三角形的性质可得答案． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点P，则点P为△ABC的外接圆圆心，即可得圆心P的坐标；利用勾股定理求出PB的长，即可得⊙P的半径长． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． 由题意得，△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2， ∴△ABC与△A1B1C1的周长比是1：2． 故答案为：1：2． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点P， 则点P为△ABC的外接圆圆心， ∴圆心P的坐标为（4，4）． 连接PB， 由勾股定理得，PB＝＝， ∴⊙P的半径长为． 故答案为：（4，4）；． 19．（8分）足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高OB为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）当x＝0时，，即可求解． 【解答】解：（1）∵8﹣6＝2， ∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线y＝a（x﹣2）2+3， 把点A（8，0）代入得：36a+3＝0， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）当x＝0时， ， ∴球不能射进球门． 20．（8分）为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，方便居民使用、如图，在侧截面示意图中，遮阳棚BC长4米，与水平线的夹角为22°、且靠墙端离地的高AB为4米，当太阳光线CD与地面DA的夹角为60°时，求AD的长．（结果精确到0.1米：参考数据：，，，．） 【分析】作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，在Rt△BCE中，解直角三角形得出米，米，证明四边形AECF为矩形，得出米，米，在Rt△CDF中，解直角三角形得出DF≈1.4米，即可得解． 【解答】解：如图：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F， 由题意得∠BCE＝22°，BC＝4米，AB＝4米，∠CDF＝60°，∠BAD＝90°， 在Rt△BCE中，∠BCE＝22°，BC＝4米， ∴（米），（米）， ∴（米）， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠CEA＝∠CFA＝∠BAD＝90°， ∴四边形AECF为矩形， ∴米，米， 在Rt△CDF中，， ∴DF≈1.4米， ∴（米）． 21．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若BC＝6，AC＝8，求DE的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及圆心角、弦、弧之间的关系可得∠CAE＝∠OCA，进而得到OC∥AE，再根据平行线的性质得出OC⊥EC即可； （2）利用相似三角形的性质，勾股定理以及圆心角、弧、弦之间的关系进行计算即可求出DE的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵C是的中点， ∴∠OAC＝∠CAE， ∴∠CAE＝∠OCA， ∴OC∥AE， ∵AE⊥CE， ∴OC⊥CE， ∵OC是半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∵BC＝6，AC＝8， ∴AB＝＝10， 又∵∠BAC＝∠CAE，∠AEC＝∠ACB＝90°， ∴△AEC∽△ACB， ∴， 即＝， ∴CE＝， ∵点C是的中点， ∴＝， ∴CD＝BC＝6， ∴DE＝＝． 22．（10分）如图，⊙O的直径AB为10，弦BC为6，D是的中点，弦BD和CE交于点F，且DF＝DC． （1）求证：EB＝EF； （2）求证：； （3）求CE的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠DCF＝∠DFC，再根据对顶角相等及同弧所对的圆周角相等得∠DBE＝∠EFB，即可证明EB＝EF； （2）根据题意可得，则∠DBA＝∠DBC，再证明∠ABE＝∠ECB，即可证明； （3）过B作BH⊥CE于点H，连接AE，AC，利用等弧所对的圆周角相等证明△BCH是等腰直角三角形，再根据勾股定理解答即可． 【解答】（1）证明：∵DF＝DC， ∴∠DCF＝∠DFC， ∵∠DCF＝∠DBE，∠DFC＝∠EFB， ∴∠DBE＝∠EFB， ∴EB＝EF； （2）证明：∵D是的中点， ∴， ∴∠DBA＝∠DBC， ∵∠DBE＝∠EFB， ∴∠DBE﹣∠DBA＝∠EFB﹣∠DBC， 即∠ABE＝∠ECB， ∴； （3）解：过B作BH⊥CE于点H，连接AE，AC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∠AEB＝90°， 由（2）可知：， ∵AE＝BE， 由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2， ∵AB＝10， ∴AE＝BE＝5， ∴∠ACE＝∠BCE＝45°， 在等腰直角三角形BCH中，CH＝BH＝， 在Rt△BEH中，EH＝＝＝4， ∴． 23．（12分）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为 　11.3　m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8m，DG＝1.5m．将观测点D后移24m到D′处．采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m．求雕塑高度（结果精确到1m）． 【分析】（1）由影长EF恰好等于自己的身高DE，知△DEF是等腰直角三角形，△ABC是等腰直角三角形，故AB＝BC＝11.3m， （2）证明△DEC∽△ABC，可得＝，故AB＝12，即旗杆高度为12米； （3）由△DCG∽△DAB，得＝，设AB＝x m，BD＝y m，则＝，知y＝x，同理可得＝，即得＝，从而＝，解出x即可得雕塑高度约为31m． 【解答】解：（1）∵影长EF恰好等于自己的身高DE， ∴△DEF是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝11.3m， 故答案为：11.3； （2）如图： 由反射定律可知，∠DCE＝∠ACB， 又∠DEC＝90°＝∠ABC， ∴△DEC∽△ABC， ∴＝，即＝， 解得AB＝12， ∴旗杆高度为12米； （3）如图： ∵∠CDG＝∠ADB，∠CGD＝90°＝∠ABD， ∴△DCG∽△DAB， ∴＝， 设AB＝x m，BD＝y m，则＝， ∴y＝x， 同理可得＝， ∴＝， ∴＝， 解得x＝28.8； 经检验，x＝28.8是原方程的解， 故AB≈29m， ∴雕塑高度AB约为29m． 24．（12分）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如A（a，2a）就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数y＝（x﹣1）2+2就是“友好二次函数”． （1）直线y＝4x﹣1上的“友好点”坐标为 　　； （2）若“友好二次函数”y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； （3）若“友好二次函数”的图象过点（﹣2，8），且顶点在第一象限． ①当m﹣1≤x≤m时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求m的值； ②已知点M（5，4），N（1，n），当线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出n的取值范围． 【分析】（1）根据“友好点”的定义设该坐标为（b，2b），再代入y＝4x﹣1，求解即可； （2）根据“友好二次函数”的定义，设顶点为（h，2h），继而得出该函数的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+2h，再推出与y轴交点为（0，0），再代入y＝﹣（x﹣h）2+2h求解即可； （3）设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点（﹣2，8），确定“友好该二次函数”的解析式为， ①图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，4），当m≤2时，m﹣1≤x≤m在对称轴左侧，y随x的增大而减小，当x＝m时，函数有最小值6，得，求解即可；当，即2＜m≤3时，函数的最小值为4，不符合题意；当m﹣1＞2，即m＞3时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，则当x＝m﹣1时，函数有最小值6，得，求解即可； ②如图所示，确定，B（1，4），当点N在点C上方时，线段MN与抛物线有且只有一个交点；当点N在点B时，线段MN与抛物线有且只有一个交点， 【解答】解：（1）设直线y＝4x﹣1上的“友好点”的坐标为（b，2b）， ∴2b＝4b﹣1， 解得：， ∴， ∴直线y＝4x﹣1上的“友好点”坐标为， 故答案为：； （2）∵函数y＝﹣x2+bx+c是“友好二次函数”，设它的顶点为（h，2h）， ∴y＝﹣（x﹣h）2+2h， 由题意知，“友好二次函数”y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点是“友好点”， ∴与y轴交点为（0，0）， 将（0，0）代入y＝﹣（x﹣h）2+2h得： 0＝﹣h2+2h， 解得：h1＝0，h2＝2， 当h＝0时，y＝﹣x2； 当h＝2时，y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x， ∴这个“友好二次函数”的表达式为y＝﹣x2或y＝﹣x2+4x； （3）“友好二次函数”的图象过点（﹣2，8），且顶点在第一象限．设“友好二次函数”的解析式为， ∴， 解得h1＝2，h2＝﹣14， ∵这个“友好二次函数”的图象顶点在第一象限， ∴h＞0， ∴h＝2， ∴． ①∵“友好二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，4）， 当m≤2时，m﹣1≤x≤m在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∴当x＝m时，函数有最小值6， ∴， 解得：，， ∵m≤2， ∴， 当，即2＜m≤3时，函数的最小值为4， ∴不存在最小值为6； 当m﹣1＞2，即m＞3时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当x＝m﹣1时，函数有最小值6， ∴， 解得：，， ∵m＞3， ∴， 综上所述，m的值为或； ②．已知点M（5，4），N（1，n），线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点，如图， ∵N（1，n）， ∴点N在直线x＝1上运动， 设直线x＝1与“友好二次函数”交于点C， 当x＝1时，， ∴， 设二次函数的顶点为A， ∴A（2，4）， ∵M（5，4）， ∴当点B的坐标为（1，4）时，此时点B、A、M共线且与二次函数的图象只有一个交点， 当点N在点C上方时，线段MN与抛物线有且只有一个交点； 当点N在点B时，线段MN与抛物线有且只有一个交点， ∴当线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为或n＝4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$