3.3.1 抛物线的标准方程（五大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

3.3.1 抛物线的标准方程 课程标准 学习目标 （1）能从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的定义． （2）能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题，进步体会曲线方程的建立方法． （1）理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程. （2）掌握抛物线的定义及其标准方程的应用. （3）了解抛物线定义的实际应用． 知识点01 抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释： （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线． （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化． 【即学即练1】（2023·高二课时练习）若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线 知识点02 抛物线的标准方程 标准方程的推导 如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系． 设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为． 设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合 ， 将上式两边平方并化简，得．① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是． 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，． 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是． 一般情况归纳： 方程 图象的开口方向 焦点 准线 时开口向右 时开口向左 时开口向上 时开口向下 ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论． ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况． 【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为； (2)准线方程为：； (3)焦点到准线的距离为6. 题型一：抛物线的定义 【典例1-1】（2024·高二·全国·课后作业）动点满足方程，则点的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【典例1-2】（2024·高二·全国·课后作业）方程所表示的曲线为（    ） A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．直线 【变式1-1】（2024·高二·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【变式1-2】（2024·高二·吉林长春·阶段练习）已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式1-3】（2024·高二·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【变式1-4】（2024·高二·浙江·期中）抛物线的焦点到其准线的距离为（   ） A． B．1 C．2 D．4 题型二：抛物线的标准方程 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，若到轴的距离为5，且，则该抛物线的标准方程为 ． 【典例2-2】（2024·高二·上海·随堂练习）已知抛物线C：的焦点与椭圆的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为 ． 【变式2-1】（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）已知抛物线对称轴为轴．若抛物线上的动点到直线的最短距离为1，则该抛物线的标准方程为 ． 【变式2-2】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点为； (2)准线为； (3)过点； (4)焦点到准线的距离为． 题型三：轨迹方程—抛物线 【典例3-1】（2024·高二·上海·课后作业）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为 . 【典例3-2】（2024·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 【变式3-1】（2024·陕西西安·一模）平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为 . 【变式3-2】（2024·高三·西藏林芝·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 【变式3-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 【变式3-4】（2024·江西鹰潭·二模）已知直线，定点，是直线上的动点，若经过点，的圆与直线相切，则这个圆的面积的最小值为 ． 【变式3-5】（2024·高二·全国·课后作业）已知点，直线，两个动圆均过A且与l相切，若圆心分别为､，则的轨迹方程为 ；若动点M满足，则M的轨迹方程为 . 【变式3-6】（2024·高二·四川·开学考试）已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为 . 题型四：抛物线距离和与差的最值问题 【典例4-1】（2024·高二·上海·课后作业）已知抛物线，圆：．若，则圆心到抛物线上任意一点距离的最小值是 ． 【典例4-2】（2024·高二·全国·竞赛）设点P是曲线上一点，点P到y轴的距离是，到直线l：的距离是则的最小值是 . 【变式4-1】（2024·高二·辽宁·开学考试）已知抛物线的焦点为为坐标原点，M为抛物线上异于点O的动点，则的最小值是 ． 【变式4-2】（2024·高二·辽宁·期末）已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是 . 【变式4-3】（2024·高二·陕西商洛·期末）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为 ． 【变式4-4】（2024·高二·黑龙江大庆·期中）已知抛物线和圆，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，则的最小值为 【变式4-5】（2024·高二·上海·课后作业）已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为 . 【变式4-6】（2024·高二·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ． 题型五：抛物线的实际应用26．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为 m．（精确到1m）    【典例5-1】（2024·高二·上海浦东新·期中）省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米 【典例5-2】（2024·高二·上海闵行·期末）如图，是抛物线型拱桥，在平时水面离拱顶3米，水面宽米，由于连续降雨，水位上涨了1米，此时水面宽为 . 【变式5-1】（2024·高二·内蒙古赤峰·期末）如图所示的拋物线型拱桥，设水面宽米，拱顶距水面8米，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形，若米，则不超过 米时，才能使货船通过拱桥． 【变式5-2】（2024·高二·全国·专题练习）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）． 已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 ． 【变式5-3】（2024·高二·北京通州·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于，已行车道AB总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为 m． 1．（2024·高二·内蒙古·期末）已知是抛物线的焦点，点在上，则（   ） A．以为直径的圆与轴相切，切点为 B．以为直径的圆与轴相切，切点为 C．以为直径的圆与的准线相切，切点为 D．以为直径的圆与的准线相切，切点为 2．（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 3．（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高三·广西·阶段练习）已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．5 B． C．6 D． 5．（2024·高三·江苏南通·阶段练习）已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·陕西宝鸡·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·陕西安康·期末）已知是抛物线的准线，与轴交于点是上一点，直线的斜率的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 8．（2024·高二·安徽阜阳·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·高二·江苏南通·阶段练习）点到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2024·高二·广东·期中）已知抛物线C：上的两点M，N与焦点F的距离之和为10，M，N到x轴的距离的平方和为32，O为坐标原点，则p的值可能为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 11．（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）（多选）已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，则m的值为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·高二·福建厦门·阶段练习）抛物线经过点，，F为焦点，且，则的值为 ． 13．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线和直线：，则两直线交点的轨迹方程是 ． 14．（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线，定点为抛物线上任意一点，点在线段上，且有．当点在抛物线上运动时，点的轨迹方程是 ． 15．（2024·高二·上海·随堂练习）在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求： (1)点P到点F与它到________的距离之和的最小值； (2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值； (3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值． 16．（2024·高二·湖南湘西·期末）已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4. (1)求C的方程； (2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程. 17．（2024·高二·广东梅州·期中）已知双曲线（，）的焦距为，且经过抛物线的焦点．记为坐标原点，过点的直线与相交于不同的两点，． (1)求的方程； (2)证明：“的面积为”是“轴”的必要不充分条件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3.1 抛物线的标准方程 课程标准 学习目标 （1）能从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的定义． （2）能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题，进步体会曲线方程的建立方法． （1）理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程. （2）掌握抛物线的定义及其标准方程的应用. （3）了解抛物线定义的实际应用． 知识点01 抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释： （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线． （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化． 【即学即练1】（2023·高二课时练习）若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线 【答案】B 【解析】动点到点的距离和它到直线的距离相等，而点不在直线， 所以动点的轨迹是以点到直线的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物线. 故选：B 知识点02 抛物线的标准方程 标准方程的推导 如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系． 设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为． 设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合 ， 将上式两边平方并化简，得．① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是． 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，． 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是． 一般情况归纳： 方程 图象的开口方向 焦点 准线 时开口向右 时开口向左 时开口向上 时开口向下 ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论． ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况． 【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为； (2)准线方程为：； (3)焦点到准线的距离为6. 【解析】（1）因为焦点为，故抛物线焦准距为， 则抛物线标准方程为； （2）抛物线准线方程为：，则， 焦点在y轴正半轴上，则抛物线标准方程为； （3）焦点到准线的距离为6，即， 焦点位置不确定， 故抛物线标准方程为或或或. 题型一：抛物线的定义 【典例1-1】（2024·高二·全国·课后作业）动点满足方程，则点的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】由得， 等式左边表示点和点的距离， 等式的右边表示点到直线的距离， 整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等， 且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线. 故选：D. 【典例1-2】（2024·高二·全国·课后作业）方程所表示的曲线为（    ） A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．直线 【答案】A 【解析】化简得， 即动点到定点的距离与到直线的距离相等， 且点不在直线上， 故方程表示的曲线为抛物线． 故选：A. 【变式1-1】（2024·高二·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【解析】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离， 即. 故选：B. 【变式1-2】（2024·高二·吉林长春·阶段练习）已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】因为抛物线的焦点准线方程为， 点M在C上，所以M到准线的距离为. 又M到直线的距离为4，故. 故选：D. 【变式1-3】（2024·高二·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】C 【解析】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6， 所以点M到y轴的距离为. 故选：C． 【变式1-4】（2024·高二·浙江·期中）抛物线的焦点到其准线的距离为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】因为抛物线的焦点到准线的距离为， 所以由抛物线可得，则焦点到其准线的距离为2. 故选：C 题型二：抛物线的标准方程 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，若到轴的距离为5，且，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【解析】由抛物线，可得准线方程为， 因为，根据抛物线定义可知点到准线的距离为， 又因为到轴的距离为5，可得，解得， 所以抛物线的标准方程为． 故答案为：． 【典例2-2】（2024·高二·上海·随堂练习）已知抛物线C：的焦点与椭圆的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为 ． 【答案】 【解析】椭圆的右焦点坐标为，由题意可知抛物线的焦点坐标为， 所以抛物线C的标准方程为． 故答案为：． 【变式2-1】（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）已知抛物线对称轴为轴．若抛物线上的动点到直线的最短距离为1，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【解析】如图，若抛物线上的动点到直线的最短距离为1，即抛物线的焦点在轴的负半轴， 设抛物线方程为，如图，平移直线，当直线与抛物线相切时，此时切点到直线的距离为最小值1， 设切线方程为，切点到直线的距离为平行线间的距离， 即，得或（舍），所以切线方程为， 联立，得，，得或（舍）， 所以抛物线方程为. 故答案为： 【变式2-2】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点为； (2)准线为； (3)过点； (4)焦点到准线的距离为． 【解析】（1）由于焦点在轴的负半轴上，且，， 抛物线的标准方程为． （2）焦点在轴正半轴上，且，， 抛物线的标准方程为． （3）由题意，抛物线方程可设为或， 将点的坐标代入，得或， 或． 所求抛物线的标准方程为或． （4）由焦点到准线的距离为，可知． 所求抛物线的标准方程为或或或． 题型三：轨迹方程—抛物线 【典例3-1】（2024·高二·上海·课后作业）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】因为点P到点的距离比它到直线的距离大1， 所以点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即抛物线的焦点在轴正半轴，，即， 所以点P的轨迹方程为. 故答案为： 【典例3-2】（2024·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】由题意得，直线l：，且圆N：， 设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为． 故答案为： 【变式3-1】（2024·陕西西安·一模）平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为 . 【答案】或 【解析】动点M到定点的距离比M到轴的距离大3， 当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线， 设抛物线方程为，则，即，所以； 当时，满足条件. 综上所述：动点M的轨迹方程为：时，；时，. 故答案为：或 【变式3-2】（2024·高三·西藏林芝·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点的轨迹方程为：. 故答案为：. 【变式3-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】如图，由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等， 所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为． 故答案为: . 【变式3-4】（2024·江西鹰潭·二模）已知直线，定点，是直线上的动点，若经过点，的圆与直线相切，则这个圆的面积的最小值为 ． 【答案】 【解析】根据题意，设圆的圆心为，则圆心到的距离等于到直线的距离， 故的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 当点与原点重合时，半径最小为， 此时，圆心到直线的距离为， 直线与圆有交点，满足，圆的面积的最小值为. 故答案为： 【变式3-5】（2024·高二·全国·课后作业）已知点，直线，两个动圆均过A且与l相切，若圆心分别为､，则的轨迹方程为 ；若动点M满足，则M的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，所以的轨迹方程为， 设，，，因为动点满足， 所以，即，， 所以，，因为，所以， 所以，即的轨迹方程为. 故答案为：；. 【变式3-6】（2024·高二·四川·开学考试）已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】方法一：由题意知，设， 则， ， 解得. 方法二：由题意知，动点M到的距离比到的距离多1， 则动点M到的距离与到的距离相等， 根据抛物线的定义，为准线，为焦点， 设抛物线为，，， 故. 故答案为：. 题型四：抛物线距离和与差的最值问题 【典例4-1】（2024·高二·上海·课后作业）已知抛物线，圆：．若，则圆心到抛物线上任意一点距离的最小值是 ． 【答案】3 【解析】设为抛物线上任意一点， 圆的圆心, 则， 因为，且在单调递增， 所以当时，. 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高二·全国·竞赛）设点P是曲线上一点，点P到y轴的距离是，到直线l：的距离是则的最小值是 . 【答案】/ 【解析】抛物线的焦点为，点P到抛物线准线的距离为，交y轴于点M，连接PF，作于点N， 则，， ∴， 故当、、三点共线，即P点是过点F作l的垂线段与抛物线的交点时，最小， 从而最小，最小值是. 故答案为： 【变式4-1】（2024·高二·辽宁·开学考试）已知抛物线的焦点为为坐标原点，M为抛物线上异于点O的动点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【解析】，设，则， 则， 故， 令，则， 则， 当，即时，， 所以的最小值是. 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高二·辽宁·期末）已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是 . 【答案】6 【解析】 抛物线准线方程为, 过点作抛物线准线的垂线，垂足为， 则， 当过圆心作抛物线准线的垂线时，三点共线时，且在线段上时， 最小，且. 故答案为：6. 【变式4-3】（2024·高二·陕西商洛·期末）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为 ． 【答案】5 【解析】抛物线的焦点，准线方程为，如图所示： 设点M在准线上的射影为D， 由抛物线的定义知， 所以使得的最小值，则求的最小值， 当D，M，P三点共线时，最小，即点到准线的距离， 则最小值为. 故答案为：5. 【变式4-4】（2024·高二·黑龙江大庆·期中）已知抛物线和圆，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，则的最小值为 【答案】 【解析】根据题意可知，抛物线的焦点为， 圆的圆心为，半径为，即焦点与圆心重合，如下图所示： 设直线的方程为，，且，， 联立直线和抛物线方程可得， 所以， 由抛物线定义可知，又易知， 所以， 当且仅当，即时等号成立； 所以的最小值为. 故答案为： 【变式4-5】（2024·高二·上海·课后作业）已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为 . 【答案】8 【解析】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则， 当垂直于抛物线的准线时，最小， 此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，， 半径为，所以的最小值为. 故答案为：8. 【变式4-6】（2024·高二·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由抛物线的定义知，，所以 所以，当点位于射线与抛物线交点时，取最大值. 故答案为： 题型五：抛物线的实际应用26．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为 m．（精确到1m）    【答案】5 【解析】以抛物线的顶点为原点，过顶点与焦点的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 设抛物线的方程为，则，代入方程得， 所以抛物线的方程为，又， 令，则，故， 所以，根据对称性知：水池直径为m，约为5 m. 故答案为：5. 【典例5-1】（2024·高二·上海浦东新·期中）省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米 【答案】 【解析】建利坐标系如图，设抛物线方程为且， 则根据题意可知图中坐标为， 所以，可得， 所以抛物线方程为， 令，代入方程，解得， 可得到水面两点坐标分别为 所以水面的宽度为米． 故答案为： 【典例5-2】（2024·高二·上海闵行·期末）如图，是抛物线型拱桥，在平时水面离拱顶3米，水面宽米，由于连续降雨，水位上涨了1米，此时水面宽为 . 【答案】４米 【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为，且， 由题意在抛物线上，则，，即抛物线方程为． 水面上升1米，到位置，即，，， ∴水面宽度为 故答案为：４米． 【变式5-1】（2024·高二·内蒙古赤峰·期末）如图所示的拋物线型拱桥，设水面宽米，拱顶距水面8米，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形，若米，则不超过 米时，才能使货船通过拱桥． 【答案】 【解析】 以拋物线顶点建立如图所示平面直角坐标系， 则，由，拱顶距水面8米，故， 设该抛物线方程为，有， 解得，即， 由，令，则，即， ，故不超过米时，才能使货船通过拱桥. 故答案为：. 【变式5-2】（2024·高二·全国·专题练习）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）． 已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 ． 【答案】/0.9 【解析】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上， 设抛物线方程为，代入， 所以，解得，所以抛物线方程为， 则该抛物线的焦点到顶点的距离为． 故答案为 ：0.9 【变式5-3】（2024·高二·北京通州·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于，已行车道AB总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为 m． 【答案】/ 【解析】取隧道截面，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 设抛物线方程为，由图易知抛物线过点， 所以，得到，故抛物线方程为， 又行车道AB总宽度，将代入，得到， 所以限制高度为， 故答案为：. 1．（2024·高二·内蒙古·期末）已知是抛物线的焦点，点在上，则（   ） A．以为直径的圆与轴相切，切点为 B．以为直径的圆与轴相切，切点为 C．以为直径的圆与的准线相切，切点为 D．以为直径的圆与的准线相切，切点为 【答案】B 【解析】由点在：，得，解得，则抛物线的焦点， 以为直径的圆的圆心，半径， 圆心到轴的距离，圆心到抛物线准线的距离， 因此以为直径的圆与轴相切，切点为，A错误，B正确； 以为直径的圆与的准线相离，CD错误. 故选：B 2．（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【解析】易知抛物线的准线方程为，过作的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，所以， 当且仅当三点共线且准线时，等号成立．故的最小值为12．故A正确. 故选：A. 3．（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为， 因为，所以，即， 由于，所以， 由可知，所以，而， 由可知，即的方程为．故C正确. 故选：C. 4．（2024·高三·广西·阶段练习）已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【解析】设点，由圆的方程可知圆心，半径； 又切线长为，可得， 即，解得，可得； 再由抛物线定义可得点P到M的准线的距离为. 故选：C 5．（2024·高三·江苏南通·阶段练习）已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点P的坐标为，则， 且， 又因为，所以当时，有最小值. 所以的最小值为. 故选：D 6．（2024·高二·陕西宝鸡·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，的坐标为.设点，则，， 即，得，， 即，得，因此， 解得，故抛物线的准线方程为. 故选：A 7．（2024·高二·陕西安康·期末）已知是抛物线的准线，与轴交于点是上一点，直线的斜率的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】易知，当直线与相切时，设的方程为， 与联立，可得， 则，解得，故直线的斜率的最大值为1. 故选：A. 8．（2024·高二·安徽阜阳·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，抛物线的准线，过点作垂直于准线且交准线于H，则， 由题可知，的周长为，又， 如图，，当三点共线时， 的周长最小，且最小值为. 故选：C. 9．（多选题）（2024·高二·江苏南通·阶段练习）点到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】因为点到点的距离等于它到直线的距离， 则所在曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，则设点， 所以，即， 可知方程只有一解， 当时，方程为，解得，符合题意； 当时，，解得， 综上所述， 故选：CD. 10．（多选题）（2024·高二·广东·期中）已知抛物线C：上的两点M，N与焦点F的距离之和为10，M，N到x轴的距离的平方和为32，O为坐标原点，则p的值可能为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】BD 【解析】设, 由题意得 , 得,, 解得或. 故选：BD. 11．（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）（多选）已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】依题意，设所求抛物线方程为，则焦点为， 因为在抛物线上，且， 所以，解得 所以. 故选：CD. 12．（2024·高二·福建厦门·阶段练习）抛物线经过点，，F为焦点，且，则的值为 ． 【答案】 【解析】∵抛物线经过点，为抛物线的焦点，且， ∴抛物线的定义，可得，解得， ∴， ∵的横坐标为， ∴，解得． 所以. 故答案为：． 13．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线和直线：，则两直线交点的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】联立两直线方程得, 解之得，消去参数得， 所以两直线交点的轨迹方程为：． 故答案为：. 14．（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线，定点为抛物线上任意一点，点在线段上，且有．当点在抛物线上运动时，点的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设点，点， 因为点在线段上，且有， 则①，②， 点在抛物线上， ， 将①②代入此方程，得， 化简得． 故答案为：． 15．（2024·高二·上海·随堂练习）在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求： (1)点P到点F与它到________的距离之和的最小值； (2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值； (3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值． 【解析】（1）因为抛物线的焦点F的坐标,准线l的方程为, 选①：因点在抛物线的内部， 根据抛物线的定义，点P到焦点F的距离即为点P到准线l的距离, 所以最小值就是点B到准线l的距离， 故最小值是； 选②：因点在抛物线外部，所以最小值就是点B到点F的距离， 故最小值是. （2） 因为点在准线l上， 点P到准线l的距离即为点P到焦点F的距离， 所以点P到点与它到准线l的距离之和的最小值即为的最小值， 则最小值为. （3） 点P到准线l的距离即为点P到焦点F的距离， 所以点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值， 即为点F到直线的距离，由点到直线距离公式得 ． 16．（2024·高二·湖南湘西·期末）已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4. (1)求C的方程； (2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程. 【解析】（1）C上一点到点F的距离为4, 由抛物线定义可得，，抛物线的方程为． （2）设直线，，设,,,， 将方程代入方程整理得，需满足， ， 故，解得， 当时，满足，故符合题意， 故直线方程为 17．（2024·高二·广东梅州·期中）已知双曲线（，）的焦距为，且经过抛物线的焦点．记为坐标原点，过点的直线与相交于不同的两点，． (1)求的方程； (2)证明：“的面积为”是“轴”的必要不充分条件． 【解析】（1）设双曲线的焦距为，则，解得， 又抛物线的焦点为，所以，则， 所以的方程为. （2）当轴时，不妨设在第一象限， 由，解得或，则，， 所以，必要性得证； 依题意直线的斜率存在，设直线：，由， 消去整理得， 由且，可得且， 设，， 所以，， 所以， 则， 即，即， 整理得，解得或（满足且）， 所以当或均有的面积为，故充分性不成立， 所以“的面积为”是“轴”的必要不充分条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$