第3章 圆锥曲线与方程章末题型归纳总结-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

第3章 圆锥曲线与方程章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：求轨迹方程 经典题型二：焦点三角形问题 经典题型三：线段和差最值问题 经典题型四：离心率取值与范围问题 经典题型五：直线与圆锥曲线的位置关系 经典题型六：三角形与四边形面积问题 经典题型七：圆锥曲线定点定值问题 经典题型八：斜率问题 经典题型九：中点弦问题 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：求轨迹方程 【典例1-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知，过点且斜率不为零的直线交于，两点，过点作交于，则 ；点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】 如图所示， 由的方程得圆心，半径为， 因为，所以， 又，所以， 则，所以， 又， 所以， 又斜率不为，所以点不在轴上， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且点不在轴上， 则，，所以， 即点的轨迹方程为， 故答案为：，. 【典例1-2】（2024·高二·全国·课后作业）地震台是利用各种地震仪器进行地震观测的观测点，会先后接收到波、波、面波三种，有利于开展地震观测与地震科学研究.如图，两地震台相距100公里，在地发生轻微地震后，两地震台先后均接收到信息，时间差为10秒，已知波的传播速度约为6公里/秒，则震源的轨迹方程为 .    【答案】 【解析】以所在直线为轴，中点为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 设震源坐标为，则， 因为，可得， 所以点为双曲线的左支，可设方程为， 则，所以，可得， 所以震源的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式1-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知椭圆，若斜率为1的动直线交椭圆于两点，记线段的中点为，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设直线的方程为，联立，得， 令，即， 设，，则， 所以，故，因为， 所以，则消去可得点的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式1-2】（2024·高二·陕西榆林·期中）已知点，动点A在圆M：上运动，线段AN的垂直平分线交AM于P点，则P的轨迹方程为 ；若动点Q在圆上运动，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由题意，圆的圆心为，点， 线段的垂直平分线交于点， 所以是的垂直平分线上的一点，所以， 又由，所以点满足， 根据椭圆的定义，可得点表示为焦点的椭圆，其中， 可得，所以， 所以椭圆的方程为. 圆的方程为， 圆心，半径， 设，则，， 到圆心的距离， 又当时，取得最大值， 的最大值为：， 故答案为：，. 【变式1-3】（2024·高二·湖南益阳·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与拋物线交于两点，（为坐标原点），则分别在点的抛物线的切线交点轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】由题意可得，设， 显然直线的斜率存在，则可设为， 联立可得，消去可得， 则，可得，， 则 ， 因为，， 由可得， 由，解得. 此时抛物线，即，可得， 可知在点处的切线斜率存在，设切线方程为， 联立方程，消去y得， 可得，解得， 则切线方程为，即， 同理可得在点处的切线方程为， 联立方程，解得， 即交点坐标为，可知所求轨迹方程为. 故答案为：. 【变式1-4】（2024·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）已知圆E：，点，P是圆E上的任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q，则动点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】连结QF，根据题意，， 则， 故Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆， 设椭圆方程为，则有 所以，则， 所以点Q的轨迹方程为． 故答案为： ． 【变式1-5】（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设圆的半径为，则，则， 所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆． 则，所以， 所以动圆的圆心的轨迹方程为． 故答案为：. 经典题型二：焦点三角形问题 【典例2-1】（多选题）（2024·高二·江苏南通·阶段练习）设椭圆的两个焦点分别为，是上一点（除去与轴的交点），则（   ） A．周长为定值 B．的最大值为3 C．恒为锐角 D．直线与圆相交 【答案】AC 【解析】对A：由椭圆定义可知，又， 故周长为，故A正确； 对B：由，则， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为，故B错误； 对C： ， 当且仅当时，等号成立， 故恒为正，即恒为锐角，故C正确； 对D：圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 由是上一点（除去与轴的交点）， 故有且， 则，即， 则，即， 故直线与圆相离，故D错误. 故选：AC. 【典例2-2】（多选题）（2024·高二·吉林·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．存在点，使得 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 由可得,焦点坐标分别为. 对A项, 的周长为，故A错误; 对B项,设存在点,根据两点间距离公式和椭圆的定义得, 即,解得或,故B正确; 对C项, 设点,,则, 所以,, 则,又因为,所以, 所以的取值范围为,故C正确; 对D项, 由C知, ,则,因为, 所以,则,同理可得,所以, 当时,取得最大值, 当或时, 的值,但且,所以的取值范围为,故D正确. 故选:BCD. 【变式2-1】（多选题）（2024·高二·广东肇庆·阶段练习）已知，是椭圆C：的上、下焦点，是椭圆上一点，则（    ） A．的周长等于 B．时，满足的点有2个 C．的最大值为 D．面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】对于A，椭圆的长轴长为，焦距为，则的周长为：，由，所以的周长小于，故A不正确； 对于B，当时，则，满足的点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于椭圆短轴两端点，即使得的点为椭圆短轴的端点，故B正确； 对于C，设，，，则，由椭圆的定义知：，所以，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，所以C正确； 对于D，由椭圆几何性质，焦点三角形面积仅当P点在短轴顶点时最大，为，故D正确. 故选：BCD 【变式2-2】（多选题）（2024·高二·四川雅安·阶段练习）已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（    ） A． B． C．的面积为31 D．的周长为 【答案】AD 【解析】由题知，，则．因为在第一象限，所以． 在中，因为，所以，A正确； 且，可得，B错误； 所以，C错误； 因为，所以， 故的周长为，D正确． 故选：AD. 【变式2-3】（多选题）（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知P为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心为，过做，垂足为A，下列结论正确的是（    ） A．的横坐标为2 B． C． D． 【答案】ABC 【解析】双曲线的实半轴长，半焦距， 设的内切圆在，，上的切点分别为，切点， 显然，即，而，则的横坐标为，A正确； 设的内切圆半径为，则，B正确； 延长交于点，由平分，，得，为的中点， 因此，即有，C正确； ，D错误. 故选：ABC 【变式2-4】（多选题）（2024·高三·云南·阶段练习）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（    ） A．P的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的面积为4 【答案】ABD 【解析】依题意， 因为，所以. 由双曲线的定义可得①，两边平方得， 即，解得， 故的面积为，D正确. 设P的纵坐标为h，的面积，解得，A正确. ，解得②， 的周长为，C错误. ①＋②可得，B正确. 故选：ABD 【变式2-5】（多选题）（2024·高二·江西景德镇·期末）设抛物线的焦点为，点是上不同的两点，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，那么点的横坐标为 C．若，则线段的中点到轴距离为4 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ABD 【解析】抛物线，对应，抛物线开口向上， 所以焦点为，准线方程为，A选项正确. B选项，若，根据抛物线的定义可知， 由得，B选项正确. C选项，若，根据抛物线的定义可知， 线段的中点到轴的距离为，所以C选项错误. D选项，设是的中点，则， 根据抛物线的定义可知，所以， 所以：以线段为直径的圆与轴相切，D选项正确. 故选：ABD 【变式2-6】（多选题）（2024·高二·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线与圆于四点，则（    ） A． B． C．当直线斜率为时， D． 【答案】ABC 【解析】由题意可得 设直线方程为， ,则，所以， 对于A，，故A正确， 对于B，，B正确， 对于C，当直线斜率为时，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得，解得，所以 所以，故C正确， 对于D，， 将代入可得， 所以，故D错误， 故选：ABC 经典题型三：线段和差最值问题 【典例3-1】（2024·高二·上海·课后作业）已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为 . 【答案】8 【解析】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则， 当垂直于抛物线的准线时，最小， 此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，， 半径为，所以的最小值为. 故答案为：8. 【典例3-2】（2024·高二·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由抛物线的定义知，，所以 所以，当点位于射线与抛物线交点时，取最大值. 故答案为： 【变式3-1】（2024·高二·河北保定·期末）已知，，是抛物线C：上的一点，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】由题可知为抛物线C的焦点，C的准线方程为． 设d为点M到C的准线的距离，则． 又，所以周长的最小值为． 故答案为：. 【变式3-2】（2024·高二·云南曲靖·学业考试）已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为 ． 【答案】/ 【解析】设， ， ， ， ， ， 令， 则在上单调递减，在上单调递增， ， ， 则的最大值与最小值之和为， 故答案为：． 【变式3-3】（2024·高二·全国·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由为椭圆上任意一点，则 又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号）， ∴， 当且仅当M、N、E、共线时等号成立. ∵，，则， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式3-4】（2024·高二·上海·阶段练习）设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】根据题意可得，， ，， 所以， 由双曲线性质可得，设，， 则， 设，， 设，， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数 是上的增函数. 所以当时，取得最小值4， 即的最小值为4，此时点为右顶点. 故答案为：4. 【变式3-5】（2024·高二·湖北武汉·期末）已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】7 【解析】如图所示： 由题意，设为双曲线右焦点，线段与双曲线右支交于点， 所以，等号成立当且仅当重合， 所以的最小值为7. 故答案为：7. 【变式3-6】（2024·高二·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，， 圆半径为， ，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 所以，又由双曲线的定义，， 所以，即的最小值为， 故答案为：． 经典题型四：离心率取值与范围问题 【典例4-1】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将直线整理可得， 易知该直线恒过定点， 若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部； 易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得， 整理可得，即， 解得. 故选：A 【典例4-2】（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，若a，b，c成等比数列，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，则有， 即，解得， 又，故. 故选：C. 【变式4-1】（2024·高二·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由双曲线的定义可知得 因为，， 设，则， ， ， 为直角三角形 ， ，即， ， 故选：D 【变式4-2】（2024·高二·云南保山·期末）已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，与轴的交点为，． 由且，得①， 又， 所以，故②， 联立①②消去得：，又， 所以， 因，所以有， 所以，故， 所以， 解得离心率， 故选：C． 【变式4-3】（2024·高二·云南红河·期末）已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 则，两式作差得：， 线段AB的中点为，故， 所以， 且直线AB过和， 则直线AB的斜率：, 故， 解得. 故选：B 【变式4-4】（2024·高二·安徽宣城·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，为等腰直角三角形，且， 运用勾股定理，知道根据．由双曲线定义，知道， 即，解得，故离心率为：. 故选：C. 【变式4-5】（2024·高二·山西长治·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，得出， 在中由正弦定理得：, 由椭圆定义可得， ， 椭圆离心率为， . 故选：D. 经典题型五：直线与圆锥曲线的位置关系 【典例5-1】（2024·高二·陕西咸阳·期末）已知椭圆：的离心率为，焦距为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 【解析】（1）由题意得，从而可得， 椭圆的标准方程为. （2）设与直线平行的直线的方程为：， 联立，得， 由，得， 直线的斜截式方程为：. 【典例5-2】（2024·高三·江苏南通·阶段练习）已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数． (1)求动点M的轨迹E； (2)在E上是否存在一点使得它到直线的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点M的轨迹E就是集合． 由此得．将此式两边平方，并化简，得， 所以M的轨迹E为． （2）由直线方程方程可知与坐标轴的交点为， 易知此直线与椭圆无公共点， 设直线m与该直线平行，则直线m的方程可以写成． 由方程组，消去y，得． 令其根的判别式，解得或， 当时，直线与椭圆的公共点到直线的距离最小，最小距离． 【变式5-1】（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）已知椭圆，直线. (1)求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点； (2)直线与椭圆交于两点，且，求的值. 【解析】（1）将直线的方程代入椭圆方程中，得 ， 该一元二次方程根的判别式， 所以直线与椭圆总有两个不同交点； （2）设，则有， 因为，所以 ， 所以的值为. 【变式5-2】（2024·高二·上海·期中）已知双曲线 (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 (2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 【解析】（1）由题意得，可得， 故顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为； （2）联立方程，消去得， 当或时， 即或时，有1个交点； 当时，即时，有2个交点； 当时，即或时，无交点. 【变式5-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 【解析】由题意，可设直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 则， 当时，即，解得或，此时方程只有一个实数解， 即直线与抛物线只有一个公共点； 当时，即，解得或，此时方程两个不等的实数解， 即直线与抛物线两个公共点； 当时，即，解得，此时方程没有实数解， 即直线与抛物线没有公共点， 综上可得：当或，直线与抛物线只有一个公共点； 当或，直线与抛物线两个公共点； 当，直线与抛物线没有公共点. 【变式5-4】（2024·高二·全国·课前预习）设直线，抛物线，当为何值时，与相切 ？相交？相离？ 【解析】联立方程，得 消去并整理，得. 当时，方程为一元二次方程. 所以. 当，即时，与相切； 当，即且时，与相交； 当，即时，与相离. 当时，直线的方程为，显然与抛物线交于点. 综上所述，当时，与相切；当时，与相交； 当时，与相离. 经典题型六：三角形与四边形面积问题 【典例6-1】（2024·高三·重庆·阶段练习）椭圆过点且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于两点，，求的面积. 【解析】（1）将代入椭圆方程可得，即， 又因为，所以，代入上式可得， 故椭圆的标准方程为； （2）由(1)可得， 设直线的方程为，如下图所示： 联立，得， 所以， 则， 所以 ， 解得，即， 所以， 则的面积. 【典例6-2】（湖南省郴州市2023-2024学年高三第一次模拟考试数学试题）已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到左焦点的距离的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求面积的取值范围. 【解析】（1）依题意，设椭圆的标准方程为，半焦距为， 由椭圆的离心率为，得，则， 设，则，椭圆的左焦点， 则， 当且仅当时取等号，因此，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线不垂直于坐标轴时，直线的斜率存在且不为0，设其方程为， 由消去得，则， 直线，同理， 则的面积 ，令，， 当直线垂直于坐标轴时，由对称性，不妨令，， 所以面积的取值范围是. 【变式6-1】（2024·高三·湖南·阶段练习）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点. (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值. 【解析】（1）因为，又由题意得 ，则有， 又点在双曲线上，故，解得， 故的方程为. （2） 根据题意，直线的斜率都存在且不为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以. 令，所以， 则， 当，即时，等号成立. 故四边形面积的最小值为. 【变式6-2】（2024·高三·全国·阶段练习）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，当直线垂直于轴时，． (1)求抛物线方程； (2)若，为坐标原点，求的面积． 【解析】（1）抛物线的焦点为， 令，解得：，，解得：，∴． 抛物线的方程为：； （2） 依题意.设直线方程为 ， 设，，则， 得， 恒成立. ， ． 得， 则直线方程为.点到直线的距离为， 得的面积. 【变式6-3】（2024·高三·浙江·开学考试）已知椭圆的上顶点，点在椭圆上，斜率为的直线过点交椭圆于另一点. (1)求椭圆的方程； (2)当的面积是时，求. 【解析】（1）因为椭圆的上顶点为，所以， 则椭圆方程为， 因为在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2） 设直线的方程为，， 联立消去并整理得， 由，得， 则， 到直线的距离， 则， 解得或. 【变式6-4】（2024·高二·全国·课后作业）已知为坐标原点，是圆上一点，且，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线，且曲线与直线相切． (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，求面积的最大值． 【解析】（1）由题意可知圆， 所以圆心，半径， 因为，线段的垂直平分线交线段于点，所以， 又，所以， 即点的轨迹是以点为左、右焦点的椭圆，所以曲线． 因为曲线与直线相切，故， 解得，所以的方程为． （2）由题意得直线，由，得， 令， 所以，即或． 设，则， 所以 ， 令，则， 则， 当且仅当即时，等号成立， 所以面积的最大值为． 经典题型七：圆锥曲线定点定值问题 【典例7-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知椭圆，点为椭圆上顶点，直线与椭圆相交于两点， (1)若为的中点，为坐标原点，，求实数的值； (2)若直线的斜率为，且，证明：直线过定点，并求定点坐标． 【解析】（1） 当时，， 设， ，消去可得， ， ， 由中点坐标公式可得，， 又，解得，符合题意； （2）当直线的斜率不存在时，设直线方程为，则， 因为点为椭圆上顶点，所以， 所以，则， 所以， 当直线的斜率存在时，直线方程为， 联立椭圆方程，消去可得， ， ， 则， 将韦达定理代入上式并化简可得， 即，舍，所以， 所以直线，此时直线过定点， 综合以上可知直线过定点. 【典例7-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）已知定圆，动圆N过点且与圆M相切，记动圆的圆心N的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程； (2)已知两定点和，过B的动直线交轨迹E于P，Q两点.若直线AP的斜率为，直线AQ的斜率为，求证：为定值. 【解析】（1）由点在定圆M：内， 知圆N与圆M内切，于是有， 由椭圆的定义可知， 动圆的圆心N的轨迹为一个以，为焦点，以4为长轴长的椭圆， 即，所以， 故点N的轨迹P的方程为. （2）当直线PQ斜率为零时，或两点重合，不满足题意， 设直线PQ方程为， 由，得，易知， 设点，所以， 于是 . 故为定值（与直线的斜率无关）. 【变式7-1】（2024·高二·甘肃白银·期末）已知圆心在x轴上移动的圆经过点，且与x轴，y轴分别交于两个动点． (1)求点的轨迹方程E; (2)设P,Q是（1）中曲线E上不同于坐标原点O的两点，且，证明：直线过定点． 【解析】（1）设动圆圆心为D，由题意知，且， 即，化简整理得， 所以. （2）设， 则，得. 当直线的斜率不存在时，，则， 此时直线的方程为； 当直线的斜率存在时，， 直线， 当时，. 综上，直线过定点. 【变式7-2】（2024·浙江温州·模拟预测）已知椭圆：，左右顶点分别是，，椭圆的离心率是.点是直线上的点，直线与分别交椭圆于另外两点，. (1)求椭圆的方程. (2)若，求出的值. (3)试证明：直线过定点. 【解析】（1）由题意可得，，即， 所以，则椭圆； （2）设，由于，则； （3）显然MN斜率不为0，设：，，， 联立方程，则有， ， 则有，， 由于，则， 因为， 故， 即，解得或， 当时，，故舍去，即，适合题意， 故: ，则直线过定点. 【变式7-3】（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知点，圆，点是圆上任一点，线段的垂直平分线交线段于. (1)求点的轨迹方程； (2)过点的直线与点的轨迹相交于两点，设点，问：直线，的斜率之和是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由. 【解析】（1）由题意得：， 所以， 所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆， 且，从而， 所以的轨迹方程为：； （2）当直线斜率存在时，设直线，（其中），， 联立，消可得， 则，解得或， 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，直线，则关于轴对称， 所以，所以； 综上可得直线，的斜率之和为定值. 【变式7-4】（2024·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． (1)求的方程； (2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设双曲线的半焦距为， 由题意可得，解得，所以的方程为． （2）假设存在常数满足条件，由（1）知， 设直线， 联立方程得，消去，整理可得， 所以，， ． 因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以． 此时，即，所以． 设，将代入抛物线方程，得， 则， 所以 ． 所以． 故当时，为定值，所以，当时，为定值． 【变式7-5】（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在处的两条切线的交点为． (1)求点的坐标； (2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于两点，证明：为定值． 【解析】（1）， 解得，所以椭圆方程为， 又，所以右焦点， 当垂直轴时，不妨取，根据对称性可知点在x轴上，且直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立， 消去得：， 则， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 令，解得，故点的坐标为. （2）如图， 由题意可得直线的方程为，即. 设，由题可知， 所以，故直线与垂直， 联立，消去得：， 则， 所以 ， 同理，， 所以， 故为定值． 【变式7-6】（2024·高二·河南焦作·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线，动点到的距离等于.设动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若直线与曲线交于两点，证明：为定值. 【解析】（1）由题设及抛物线定义知，动点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以动点的轨迹的方程为. （2）由（1）所得轨迹方程，联立直线，可得， 且，故，， 所以， 又为定值，得证. 【变式7-7】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆交于两点. (1)当直线倾斜角为时，求直线的方程； (2)求证：的面积为定值. 【解析】（1）因为直线倾斜角为，直线为，因为椭圆， 直线与椭圆只有一个公共点，联立方程，得， ，所以直线为或 （2）因为直线与椭圆只有一个公共点，设直线为由，得 , 又因为直线与椭圆交于两点，得 所以，因为直线与轴交于点，所以 所以 . 【变式7-8】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程; (2)如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值； 【解析】（1）因为，所以， 所以双曲线的方程为，即 因为点在双曲线上，所以，所以 所以所求双曲线的方程为即 （2）由题意可得直线OP的斜率存在，可设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为， 由 ，得，所以 同理可得，， 所以 经典题型八：斜率问题 【典例8-1】（2024·高二·云南·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于，两点，若直线和的斜率互为相反数，证明：直线的斜率为定值． 【解析】（1）因为，所以． 又在上，所以， 解得，， 则椭圆的方程为． （2）证明：由题可知，直线的斜率显然存在， 设的方程为，，， 则，得， 则，， ． 又， 整理可得， 化简得， 即， 所以或． 当时，直线过点，不符合题意， 所以，即直线的斜率为定值． 【典例8-2】（2024·高三·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 【解析】（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即， 又离心率为所以 ． 所以椭圆C的方程为：． （2）依题意，直线l与x轴不重合， 设l的方程为：． 联立得：， 因为在椭圆内，所以， 即，易知该不等式恒成立， 设， 由韦达定理得． 又，则 注意到，即： . 【变式8-1】（2024·高二·贵州六盘水·阶段练习）已知直线与抛物线相切，且切点为. (1)求直线的斜率的值； (2)如图，M，N是轴上两个不同的动点，且满足，直线BM，BN与抛物线的另一个交点分别是P，Q，若直线PQ的斜率为，求的值. 【解析】（1）显然直线的斜率存在且不为0，设直线l的方程为， 与联立，消去x整理得， 令，即， 解得 （2）由题意知，两直线的斜率互为相反数， 设直线BM的方程为，与联立，消去x整理得， 所以,得，从而， 将换成，同理可得， 所以. 【变式8-2】（2024·高二·广西南宁·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 【解析】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，，则， 由消去得，显然， 则， 的面积 ，解得， 所以直线的斜率. 【变式8-3】（2024·高二·上海·期末）双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 【解析】（1），，∴． ∴，∴； （2）设．由题意，，，， 因为是等边三角形，所以，即， 解得．故双曲线的渐近线方程为； （3）由已知，，． 设，，直线l：．显然． 由，得． 因为l与双曲线交于两点，所以，且． 设AB的中点为． 由 即，知，故． 而，，， 所以，得，故l的斜率为． 【变式8-4】（2024·高三·四川绵阳·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于两点，且的周长为16. (1)求的方程； (2)过作直线与交于两点，若，求直线的斜率． 【解析】（1）将代入，得， 所以，所以， 所以由题得，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，显然当直线的斜率不存在或的斜率为0时，不成立， 故直线的斜率存在，且不为0，设，，， 联立， 则，且即， ， 又，所以，所以， 所以由得，解得，故， 故直线的斜率为或. 【变式8-5】（2024·高二·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，过点且与垂直的直线交轴负半轴于点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求此时椭圆的方程； (3)若，直线过且与椭圆交于，两点，，且，求的斜率． 【解析】（1）设，由，， 则，， 因为，所以，解得：， 故，由，， 则，即， 所以，则， 又因为，所以是等边三角形； （2）由(1)知，，故，此时点， 又为直角三角形，故其外接圆圆心为，半径为， 所以，解得：，，， 所以椭圆的方程为： （3）若，则，， 所以椭圆的方程为： 则，，， ①当直线与轴重合时，则，，所以，不满足题意. ②设直线方程为，,, 则，，， 则 由，化简得：， 则有， 因为， 所以， 因为，，化简得：， 即， 即，则， 所以直线的斜率 经典题型九：中点弦问题 【典例9-1】（2024·高三·云南普洱·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在C上. (1)求C的离心率； (2)设恒过点D的直线交C于A，B两点，且D为AB的中点，求直线AB的方程. 【解析】（1）由题意得，解得，， 所以椭圆C的方程为， 故C的离心率； （2）设，， 联立，消去y得， 故， 由直线化为，恒过， 故，即，所以，解得， 此时二次方程为，满足题意， 故所求直线的方程为 【典例9-2】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知椭圆的左焦点为是椭圆上任意一点，的最大值为3，最小值为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知是椭圆内一点，过点任做一条直线与椭圆交于两点，求以为中点的弦所在的直线方程． 【解析】（1）由的最大值为3，最小值为得，则， 可得， 所以椭圆方程为 （2）根据题意得中点弦的斜率存在，且在椭圆内， 设,，,， 所以，， 两式作差，得， 由于是的中点，故， 所以， 所以，所以， 所以中点弦的方程为， 所求的直线方程． 【变式9-1】（2024·高二·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 【解析】（1）设双曲线的标准方程为代入，， 得，解得， ∴双曲线的标准方程. （2）如图： 设直线方程：，联立得 ， 直线与双曲线有两个交点， 所以或或. （或：且）. （3）设A，B两点坐标分别为，由（2）可得， 若P为AB中点，则， 此时， 所以不存在实数，使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点.. 【变式9-2】（2024·高二·福建福州·期末）已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点， 的面积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程. 【解析】（1）由题设双曲线，直线的方程为 联立方程解得 ，又， ，则 而 所以双曲线的标准方程为. （2）法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点， 可知，直线的方程不是， 设直线的方程为即 联立方程 得① 解得 将代入①，得 故直线的方程为. 法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点， 可知，直线的方程不是， 设 得， , 直线的方程为，即， 联立方程 得， 故直线的方程为. 【变式9-3】（2024·高二·四川雅安·开学考试）设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 【解析】（1）因为，所以， 故抛物线的方程为． （2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，即． 【变式9-4】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程． 【解析】（1）因为， 所以， 故抛物线的方程为． （2） 易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，即. 【变式9-5】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点，且线段AB恰好被点平分. (1)求直线l的方程； (2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称?若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）依题意，直线l的斜率存在，且不为0，设直线l的方程为，即， 由消去x得：， ，设，则有， 由，得，于是直线l的方程，即， 所以直线l的方程为. （2）假设抛物线上存在点C，D满足条件，由（1）设直线的方程为， 由消去x得：，有，解得， 设，则，于是线段的中点坐标为， 显然点在直线上，即，解得， 所以抛物线上不存在点C，D，使得C，D关于直线l对称. 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 【典例10-1】（2024·广西玉林·高三校联考开学考试）设椭圆，双曲线的离心率分别为.若，则的所有可能取值的乘积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】由，得，当时，有，得， 当时，有，得，故的所有可能取值的乘积为， 故选：C 【典例10-2】（2024·高二课时练习）设集合A＝{1，2，3，4，5}，，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有（    ） A．8个 B．10个 C．12个 D．16个 【答案】B 【解析】因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝5时，n＝1，2，3，4四种结果； 当m＝4时，n＝1，2，3三种结果；当m＝3时，n＝1，2两种结果；当m＝2时，n＝1一种结果. 即所求的椭圆共有4＋3＋2＋1＝10(个)． 故选：B 【变式10-1】（2024·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义： 椭圆 中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为 “好弦”． 则椭圆中所有 “好弦” 的长度之和为（    ） A．162 B．166 C．312 D．364 【答案】B 【解析】由已知可得 ， 所以， 即椭圆的右焦点坐标为，对于过右焦点的弦，则有： 当弦与轴重合时，则弦长， 当弦不与轴重合时，设， 联立方程，消去x得：， 则， 故， ∵，则，可得，即， ∴， 综上所述：，故弦长为整数有， 由椭圆的对称性可得：“好弦” 的长度和为 ． 故选 ：B． 【变式10-2】（2024·全国·高二专题练习）方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（    ） A．1 B．-4或1 C．-2或-4或1 D．-2或1 【答案】A 【解析】由题意 在双曲线中，焦距即 当即时， 解得：（舍）或 当即时， 解得：（舍）或（舍） 综上， 故选：A. 【变式10-3】（2024·上海浦东新·高二海市建平中学校考阶段练习）过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】当斜率不存在时，直线方程为，只有一个公共点，符合题意； 当斜率存在时，设为k，则直线方程为， 联立，得， ①当时，直线方程为，只有一个公共点，符合题意； ②当时，令，解得，即直线与抛物线有一个公共点. 所以满足题意的直线有3条. 故选：C 【变式10-4】（2024·全国·高二专题练习）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为； 由，消去整理得． ①当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； ②当即时，由，解得， 此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意， 综上所述：符合题意的的所有取值为或， 故选：D ②转化与化归思想 【典例11-1】（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知椭圆方程为，过平面内的点作椭圆的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为， 联立，消去得， 则， 即，两切线垂直故其斜率之积为-1，则由根与系数关系知，即. 当切线斜率不存在或为0时，此时点坐标为，，，，满足方程，故所求轨迹方程为. 故选：A. 【典例11-2】（2024·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）过抛物线的焦点作斜率分别为，的两条不同的直线，，且，与相交于点，与相交于点．分别以、为直径的圆、圆（为圆心）的公共弦记为，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知焦点， 设直线，联立得：， 设， 则， 由抛物线定义可得：， 由题知为的中点，所以， 所以， 所以圆的标准方程为：， 即， 同理可得圆的方程为：， 联立， 所以圆与圆的公共弦所在的直线的方程为：， 由题知，所以直线的方程为：， 所以点到直线的距离为：， 当时，取到最小值，故点到直线的距离的最小值为， 故选：A. 【变式11-1】（2024·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）若是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，的最小值为1，且是抛物线上两点，，则线段的中点到轴的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件可得，设， 则，当时取得等号， 故，. 设，则A、B中点坐标为， 由抛物线的定义可知，故. 故选：C 【变式11-2】（2024·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为与，点在直线：上． 当取最大值时，比的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】补充：米勒最大张角定理，已知点AB是∠MON的边ON上两定点，点P为边OM上一动点，则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大. 证明：如下图所示，当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时(圆心为Q)，取OM上任一点，连接交圆Q于C，显然∠APB=∠ACB≥∠，当且仅当重合时∠取得最大值. 如图所示，由题意易得，根据米勒最大张角定理可知：当的外接圆与直线相切于P时，此时夹角最大，设其圆心， 则，解之得或，由圆的性质知：， 显然时，张角最大为60°， 而此时则. 故选：D 【变式11-3】（2024·全国·高三专题练习）已知点A，B，C，D在椭圆：上，且，直线AC与BD的交点P在椭圆：上，若O为坐标原点，直线AB，OP的斜率分别是，，则的值为（    ） A． B． C． D．． 【答案】A 【解析】 由，得，不妨设点，，，， ，，且，（）， 所以，所以， 代入椭圆的方程可得． 因为，，所以  ①， 同理可得  ②， 由①－②可得， 所以． 故选：A 【变式11-4】（2024·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 由直线与椭圆交于两点可知两点关于原点对称， 所以且， 由题意知：，两式相减得： ， 即， 又， 由椭圆的离心率的取值范围是， 即， 所以， 即， 故选：D. ③数形结合思想 【典例12-1】（2024·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知，，直线l过原点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】如图，当直线l分别经过A，B时为临界情况，又，， 当直线从OA位置顺时针转动到OB位置时，由倾斜角和斜率的关系可知． 故答案为： 【典例12-2】（2024·河南焦作·高二校考阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、二象限，为等边三角形，则双曲线的离心率e为 . 【答案】 【解析】 由双曲线的定义可得， 所以取的中点，连接, 又因为为等边三角形， 则, 在直角三角形中，, 即， 解得：，即， 故答案为：. 【变式12-1】（2024·河南·高三校联考阶段练习）抛物线绕其顶点顺时针旋转后得到抛物线，则的准线方程为 ． 【答案】 【解析】抛物线的标准方程为，其焦点为，准线方程为， 将抛物线绕其顶点顺时针旋转后得到抛物线，其焦点为， 故抛物线的准线方程为． 故答案为：. 【变式12-2】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为 . 【答案】 【解析】如图所示： 设内切圆半径为，切点分别为， 由题意，则，所以， 由双曲线定义有； 又因为，即，所以， 因此， 从而直角三角形的内切圆半径是， 所以的内切圆周长为. 故答案为：. 【变式12-3】（2024·黑龙江伊春·高二黑龙江省伊春市第一中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点， 故， 故，当且仅当共线时取等号， 所以 ， 当且仅当共线时取等号， 而, 故的最小值为， 故答案为： 【变式12-4】（2024·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】 由题中条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则， ∴，，， ． 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 圆锥曲线与方程章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：求轨迹方程 经典题型二：焦点三角形问题 经典题型三：线段和差最值问题 经典题型四：离心率取值与范围问题 经典题型五：直线与圆锥曲线的位置关系 经典题型六：三角形与四边形面积问题 经典题型七：圆锥曲线定点定值问题 经典题型八：斜率问题 经典题型九：中点弦问题 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：求轨迹方程 【典例1-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知，过点且斜率不为零的直线交于，两点，过点作交于，则 ；点的轨迹方程为 ． 【典例1-2】（2024·高二·全国·课后作业）地震台是利用各种地震仪器进行地震观测的观测点，会先后接收到波、波、面波三种，有利于开展地震观测与地震科学研究.如图，两地震台相距100公里，在地发生轻微地震后，两地震台先后均接收到信息，时间差为10秒，已知波的传播速度约为6公里/秒，则震源的轨迹方程为 .    【变式1-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知椭圆，若斜率为1的动直线交椭圆于两点，记线段的中点为，则点的轨迹方程为 . 【变式1-2】（2024·高二·陕西榆林·期中）已知点，动点A在圆M：上运动，线段AN的垂直平分线交AM于P点，则P的轨迹方程为 ；若动点Q在圆上运动，则的最大值为 . 【变式1-3】（2024·高二·湖南益阳·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与拋物线交于两点，（为坐标原点），则分别在点的抛物线的切线交点轨迹方程是 ． 【变式1-4】（2024·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）已知圆E：，点，P是圆E上的任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q，则动点Q的轨迹方程为 ． 【变式1-5】（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 经典题型二：焦点三角形问题 【典例2-1】（多选题）（2024·高二·江苏南通·阶段练习）设椭圆的两个焦点分别为，是上一点（除去与轴的交点），则（   ） A．周长为定值 B．的最大值为3 C．恒为锐角 D．直线与圆相交 【典例2-2】（多选题）（2024·高二·吉林·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．存在点，使得 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【变式2-1】（多选题）（2024·高二·广东肇庆·阶段练习）已知，是椭圆C：的上、下焦点，是椭圆上一点，则（    ） A．的周长等于 B．时，满足的点有2个 C．的最大值为 D．面积的最大值为 【变式2-2】（多选题）（2024·高二·四川雅安·阶段练习）已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（    ） A． B． C．的面积为31 D．的周长为 【变式2-3】（多选题）（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知P为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心为，过做，垂足为A，下列结论正确的是（    ） A．的横坐标为2 B． C． D． 【变式2-4】（多选题）（2024·高三·云南·阶段练习）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（    ） A．P的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的面积为4 【变式2-5】（多选题）（2024·高二·江西景德镇·期末）设抛物线的焦点为，点是上不同的两点，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，那么点的横坐标为 C．若，则线段的中点到轴距离为4 D．以线段为直径的圆与轴相切 【变式2-6】（多选题）（2024·高二·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线与圆于四点，则（    ） A． B． C．当直线斜率为时， D． 经典题型三：线段和差最值问题 【典例3-1】（2024·高二·上海·课后作业）已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为 . 【典例3-2】（2024·高二·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ． 【变式3-1】（2024·高二·河北保定·期末）已知，，是抛物线C：上的一点，则周长的最小值为 ． 【变式3-2】（2024·高二·云南曲靖·学业考试）已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为 ． 【变式3-3】（2024·高二·全国·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【变式3-4】（2024·高二·上海·阶段练习）设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 【变式3-5】（2024·高二·湖北武汉·期末）已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【变式3-6】（2024·高二·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 经典题型四：离心率取值与范围问题 【典例4-1】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，若a，b，c成等比数列，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·高二·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（    ）. A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高二·云南保山·期末）已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·高二·云南红河·期末）已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2024·高二·安徽宣城·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【变式4-5】（2024·高二·山西长治·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（    ） A． B． C． D． 经典题型五：直线与圆锥曲线的位置关系 【典例5-1】（2024·高二·陕西咸阳·期末）已知椭圆：的离心率为，焦距为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 【典例5-2】（2024·高三·江苏南通·阶段练习）已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数． (1)求动点M的轨迹E； (2)在E上是否存在一点使得它到直线的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）已知椭圆，直线. (1)求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点； (2)直线与椭圆交于两点，且，求的值. 【变式5-2】（2024·高二·上海·期中）已知双曲线 (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 (2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 【变式5-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 【变式5-4】（2024·高二·全国·课前预习）设直线，抛物线，当为何值时，与相切 ？相交？相离？ 经典题型六：三角形与四边形面积问题 【典例6-1】（2024·高三·重庆·阶段练习）椭圆过点且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于两点，，求的面积. 【典例6-2】（湖南省郴州市2023-2024学年高三第一次模拟考试数学试题）已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到左焦点的距离的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求面积的取值范围. 【变式6-1】（2024·高三·湖南·阶段练习）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点. (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值. 【变式6-2】（2024·高三·全国·阶段练习）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，当直线垂直于轴时，． (1)求抛物线方程； (2)若，为坐标原点，求的面积． 【变式6-3】（2024·高三·浙江·开学考试）已知椭圆的上顶点，点在椭圆上，斜率为的直线过点交椭圆于另一点. (1)求椭圆的方程； (2)当的面积是时，求. 【变式6-4】（2024·高二·全国·课后作业）已知为坐标原点，是圆上一点，且，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线，且曲线与直线相切． (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，求面积的最大值． 经典题型七：圆锥曲线定点定值问题 【典例7-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知椭圆，点为椭圆上顶点，直线与椭圆相交于两点， (1)若为的中点，为坐标原点，，求实数的值； (2)若直线的斜率为，且，证明：直线过定点，并求定点坐标． 【典例7-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）已知定圆，动圆N过点且与圆M相切，记动圆的圆心N的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程； (2)已知两定点和，过B的动直线交轨迹E于P，Q两点.若直线AP的斜率为，直线AQ的斜率为，求证：为定值. 【变式7-1】（2024·高二·甘肃白银·期末）已知圆心在x轴上移动的圆经过点，且与x轴，y轴分别交于两个动点． (1)求点的轨迹方程E; (2)设P,Q是（1）中曲线E上不同于坐标原点O的两点，且，证明：直线过定点． 【变式7-2】（2024·浙江温州·模拟预测）已知椭圆：，左右顶点分别是，，椭圆的离心率是.点是直线上的点，直线与分别交椭圆于另外两点，. (1)求椭圆的方程. (2)若，求出的值. (3)试证明：直线过定点. 【变式7-3】（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知点，圆，点是圆上任一点，线段的垂直平分线交线段于. (1)求点的轨迹方程； (2)过点的直线与点的轨迹相交于两点，设点，问：直线，的斜率之和是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由. 【变式7-4】（2024·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． (1)求的方程； (2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由． 【变式7-5】（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在处的两条切线的交点为． (1)求点的坐标； (2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于两点，证明：为定值． 【变式7-6】（2024·高二·河南焦作·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线，动点到的距离等于.设动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若直线与曲线交于两点，证明：为定值. 【变式7-7】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆交于两点. (1)当直线倾斜角为时，求直线的方程； (2)求证：的面积为定值. 【变式7-8】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程; (2)如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值； 经典题型八：斜率问题 【典例8-1】（2024·高二·云南·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于，两点，若直线和的斜率互为相反数，证明：直线的斜率为定值． 【典例8-2】（2024·高三·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 【变式8-1】（2024·高二·贵州六盘水·阶段练习）已知直线与抛物线相切，且切点为. (1)求直线的斜率的值； (2)如图，M，N是轴上两个不同的动点，且满足，直线BM，BN与抛物线的另一个交点分别是P，Q，若直线PQ的斜率为，求的值. 【变式8-2】（2024·高二·广西南宁·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 【变式8-3】（2024·高二·上海·期末）双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 【变式8-4】（2024·高三·四川绵阳·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于两点，且的周长为16. (1)求的方程； (2)过作直线与交于两点，若，求直线的斜率． 【变式8-5】（2024·高二·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，过点且与垂直的直线交轴负半轴于点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求此时椭圆的方程； (3)若，直线过且与椭圆交于，两点，，且，求的斜率． 经典题型九：中点弦问题 【典例9-1】（2024·高三·云南普洱·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在C上. (1)求C的离心率； (2)设恒过点D的直线交C于A，B两点，且D为AB的中点，求直线AB的方程. 【典例9-2】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知椭圆的左焦点为是椭圆上任意一点，的最大值为3，最小值为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知是椭圆内一点，过点任做一条直线与椭圆交于两点，求以为中点的弦所在的直线方程． 【变式9-1】（2024·高二·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 【变式9-2】（2024·高二·福建福州·期末）已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点， 的面积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程. 【变式9-3】（2024·高二·四川雅安·开学考试）设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 【变式9-4】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程． 【变式9-5】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点，且线段AB恰好被点平分. (1)求直线l的方程； (2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称?若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由. 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 【典例10-1】（2024·广西玉林·高三校联考开学考试）设椭圆，双曲线的离心率分别为.若，则的所有可能取值的乘积为（    ） A． B． C．2 D． 【典例10-2】（2024·高二课时练习）设集合A＝{1，2，3，4，5}，，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有（    ） A．8个 B．10个 C．12个 D．16个 【变式10-1】（2024·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义： 椭圆 中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为 “好弦”． 则椭圆中所有 “好弦” 的长度之和为（    ） A．162 B．166 C．312 D．364 【变式10-2】（2024·全国·高二专题练习）方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（    ） A．1 B．-4或1 C．-2或-4或1 D．-2或1 【变式10-3】（2024·上海浦东新·高二海市建平中学校考阶段练习）过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式10-4】（2024·全国·高二专题练习）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为（    ） A． B． C．或 D．或 ②转化与化归思想 【典例11-1】（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知椭圆方程为，过平面内的点作椭圆的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【典例11-2】（2024·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）过抛物线的焦点作斜率分别为，的两条不同的直线，，且，与相交于点，与相交于点．分别以、为直径的圆、圆（为圆心）的公共弦记为，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2024·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）若是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，的最小值为1，且是抛物线上两点，，则线段的中点到轴的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2024·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为与，点在直线：上． 当取最大值时，比的值为（  ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2024·全国·高三专题练习）已知点A，B，C，D在椭圆：上，且，直线AC与BD的交点P在椭圆：上，若O为坐标原点，直线AB，OP的斜率分别是，，则的值为（    ） A． B． C． D．． 【变式11-4】（2024·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（    ） A． B． C． D． ③数形结合思想 【典例12-1】（2024·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知，，直线l过原点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围为 ． 【典例12-2】（2024·河南焦作·高二校考阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、二象限，为等边三角形，则双曲线的离心率e为 . 【变式12-1】（2024·河南·高三校联考阶段练习）抛物线绕其顶点顺时针旋转后得到抛物线，则的准线方程为 ． 【变式12-2】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为 . 【变式12-3】（2024·黑龙江伊春·高二黑龙江省伊春市第一中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 . 【变式12-4】（2024·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$