第3章 章末综合提升(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

类型1　圆锥曲线的定义及应用 “回归定义”解题的三点应用 应用1：求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程； 应用2：涉及椭圆、双曲线的焦点三角形问题，常用定义结合解三角形的知识来解决； 应用3：求与抛物线有关的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决． 提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件． 【例1】　(1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆　　　　　　　　 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 (2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，则∠F1PF2＝________． (1)C　(2)60°　[(1)把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝． ∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线． (2)双曲线方程16x2－9y2＝144，化简为＝1， 即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25， 解得a＝3，c＝5，所以F1(－5，0)，F2(5，0)． 设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6，又已知m·n＝64， 在△PF1F2中，由余弦定理知 cos ∠F1PF2＝ ＝＝ ＝＝． 又0°＜∠F1PF2＜180°， 所以∠F1PF2＝60°．] 类型2　圆锥曲线的方程 　求圆锥曲线方程的一般步骤 求曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是圆锥曲线的焦点位置与对称轴的位置． (2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪条坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)． (3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． 【例2】　(1)已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 (2)已知直线y＝－x＋2和椭圆＝1(a＞b＞0)交于A，B两点，且a＝2b．若|AB|＝2，求椭圆的方程． (1)C　[法一：因为双曲线＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以解得所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x．依题意，不妨设A，B到直线y＝x的距离分别为d1，d2，因为d1＋d2＝6，所以＝6，所以＝6， 解得a＝，所以b＝3， 所以双曲线的方程为＝1，故选C． 法二：因为双曲线＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以 解得如图所示，由d1＋d2＝6，即|AD|＋|BE|＝6，可得|CF|＝3，故 b＝3，所以a＝，所以双曲线的方程为＝1．] (2)[解]　由消去y得x2－4x＋8－2b2＝0．由Δ＝16－4(8－2b2)＞0，得b2＞2． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2． ∵|AB|＝2，∴·＝2， 即·＝2，解得b2＝4，故a2＝4b2＝16． ∴所求椭圆的方程为＝1． 类型3　圆锥曲线的性质及应用 求解离心率的三种方法 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法． (2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法． (3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观． 【例3】　(1)已知F1，F2是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． (2)若双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　) A．2 B． C． D． (1)D　(2)A　[(1)由题意易知直线AP的方程为y＝(x＋a)，① 直线PF2的方程为y＝(x－c)．② 联立①②，得P点纵坐标y＝(a＋c)， 如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则PH＝(a＋c)． 因为∠PF2H＝60°，PF2＝F1F2＝2c， 所以sin 60°＝＝＝， 即a＋c＝5c，即a＝4c， 所以e＝＝．故选D． (2)由题意可知圆的圆心为(2，0)，半径为2．因为双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2，所以＝，所以＝．故离心率e＝＝2．故选A．] 类型4　直线与圆锥曲线的位置关系 1．圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)证明代数式为定值．依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代入所求代数式，化简得出定值． (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形． (3)求某线段长度为定值．利用两点间距离公式求得表达式，再根据条件对其进行化简、变形即可． 2．圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k间的等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点． (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关． 【例4】　设椭圆C：＝1(a＞b＞0)，右顶点是A(2，0)，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l与椭圆交于两点M，N(M，N不同于点A)，若·＝0，求证：直线l过定点，并求出定点坐标． [解]　(1)右顶点是A(2，0)，离心率为， 所以a＝2，＝， ∴c＝1，则b＝， ∴椭圆的标准方程为＝1． (2)证明：当直线MN斜率不存在时， 设lMN：x＝m，－2<m<2， 与椭圆方程＝1联立，得|y|＝，|MN|＝2， 设直线MN与x轴交于点B，|MB|＝|AB|， 即＝2－m， ∴m＝或m＝2(舍)，∴直线lMN过定点； 当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线lMN：y＝kx＋b(k≠0)，与椭圆方程＝1联立，得 (4k2＋3)x2＋8kbx＋4b2－12＝0， Δ＝(8kb)2－4(4k2＋3)(4b2－12)＞0，k∈R， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝， y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2． ·＝0，则(x1－2，y1)(x2－2，y2)＝0， 即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0， ∴7b2＋4k2＋16kb＝0， ∴b＝－k或b＝－2k， ∴直线lMN：y＝k或y＝k(x－2)， ∴直线过定点或(2，0)(舍去)． 综上，直线l过定点． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $