4.3一次函数的图象（10大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

（北师大版）八年级上册数学《第4章 一次函数》 4.3 一次函数的图象 知识点一 函数图象的画法 ◆1、描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 知识点二 正比例函数的图象及性质 ◆1、正比例函数的图象： 正比例函数y=k x(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线. ◆2、正比例函数的性质： 正比例函数y＝k x（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝k x． 当k＞0时，直线y＝k x依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝k x依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． ◆3、若某函数图象是直线且经过原点（坐标轴除外），那么它对应的函数是正比例函数. ◆4、正比例函数的图象的位置、函数的增减性是由比例系数k的符号决定的；反过来也是成立的. 知识点三 一次函数的画法 ◆1、一次函数图象的画法： 两点法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝k x+b． 【注意】①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． ②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． 知识点四 一次函数的图象和性质 ◆1、一次函数的图象：一次函数 y＝k x+b（k≠0）的图象是经过（0，b）、（，0）两点的一条直线， 我们称它为直线y＝k x+b（k≠0）. ◆2、一次函数的性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； 当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． ◆3、一次函数图象与系数的关系 直线y＝k x+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点. 当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝k x+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、四象限； ◆4、将直线y＝k x（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝k x+b． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 【注意】①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； 题型一 正比例函数图象与系数的关系 解题技巧提炼 本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，根据正比例函数的性质判断k的范围是解题的关键． 1．（2023春•思明区校级期末）正比例函数yx的图象经过的象限是（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 2．关于正比例函数y＝﹣3x，下列说法错误的是（　　） A．其图象是一条经过原点的直线 B．其图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．点（﹣2，6）在其图象上 3．（2023秋•太原期中）下列正比例函数中，y随x的增大而增大的是（　　） A．y＝2x B．y＝﹣2x C．yx D．y＝﹣8x 4．正比例函数y＝3x的图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．在直角坐标系中，y随x的增大而减小的正比例函数y＝kx的图象是（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•丰顺县校级期末）在y＝k1x中，y随x的增大而减小，k1k2＜0，则在同一平面直角坐标系中，y＝k1x和y＝k2x的图象大致为（　　） A． B． C． D． 7．已知正比例函数yx，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2023秋•渠县校级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a 9．已知正比例函数y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的图象经过第一、三象限． （1）求m的值； （2）当x＜2时，求y的最小值． 题型二 画正比例函数的图象 解题技巧提炼 正比例函数的图象是一条经过原点的直线，因此可以用“两点法”画正比例函数的图象，所以经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 1．在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象． （1）yx； （2）y＝﹣3x． 2．用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． （1）y＝5x；（2）yx． 3．在同一平面直角坐标系上画出函数y＝2x，yx，y＝﹣0.6x的图象． 4．（1）画出函数y＝﹣x的图象； （2）判断点A（，），B（0，0），C（，）是否在函数y＝﹣x的图象上． 5．已知函数为常数）是正比例函数且y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）作出函数的图象； （3）自变量x每增加1，y将作什么样的变化？自变量x每减少2，y将作什么样的变化？ 6．已知函数y＝x；y＝﹣2x．yx，y＝3x． （1）在同一坐标系内画出函数的图象． （2）探索发现： 观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与y轴的位置关系有何变化？ （3）灵活运用 已知正比例函数y1＝k1x；y2＝k2x在同一坐标系中的图象如图所示，则k1与k2的大小关系为　 　． 7．（2023秋•包河区期中）已知函数y＝2x﹣4． （1）填表，并画出这个函数的图象： x … 0 　 　 … y＝2x﹣4 … 　 　 0 … （2）根据函数y＝2x﹣4的性质或图象，直接写出x取何值时，﹣4≤y≤0． 题型三 利用正比例函数的性质比较函数值的大小 解题技巧提炼 利用正比例函数的性质比较函数值的大小的方法一般有三种： （1）利用求值比较法；（2） 利用数形结合的思想； （3） 利用函数的增减性来比较大小. 1．已知，函数y＝3x的图象经过点A（1，y1），点B（﹣2，y2），则（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1、y2无法比较大小 2．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y＝﹣3x上的两点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．以上都有可能 3．（2023秋•灞桥区校级期中）若点P（x1，y1），Q（x2，y2）在正比例函数y＝m x的图象上，且x1＜x2时y1＞y2，则m的值可以是（　　） A．2 B．0 C． D．2 4．（2023春•仓山区校级期中）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（　　） A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0 5．（2023•宾阳县二模）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣3x上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＜y1＜y2 6．（2023•榆阳区一模）若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（　　） A．a＜b B．a＞b C．a≤b D．a≥b 7．（2023秋•玄武区期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x图象上的两个点，若x1﹣x2＜0，则y1　 　y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 8．（2023秋•丹东期末）已知点A（﹣1，m），点B（2，n）在直线y＝8x上，则m　 　n（填“＞”“＜”或“＝”）． 9．（2023春•青云谱区校级期末）已知y关于x的函数y＝（2m+6）x+m﹣3，且该函数是正比例函数． （1）求m的值； （2）若点（a，y1），（a+1，y2）在该函数的图象上，请直接写出y1，y2的大小关系． 题型四 利用正比例函数的性质求参数的问题 解题技巧提炼 由正比例函数的性质y随x的增大而增大（或减小），可以判断比例系数的符号，当y随x 的增大而增大时，比例系数大于0，反之，比例系数小于0. 1．（2023春•道里区期末）已知函数y＝（k﹣3）x，y随x的增大而减小，则常数k的取值范围 是（　　） A．k＞3 B．k＜3 C．k＜﹣3 D．k＜0 2．（2023•乾县二模）已知正比例函数y＝（2k﹣3）x，若y随x增大而减小，则k的值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知正比例函数y＝（2m﹣6）x的图象上一点（x0，y0），且0，则m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m C．m D．m＜3 4．（2023•振兴区校级二模）若一次函数y＝（2﹣m）x+n﹣3的图象不经过第二象限，则（　　） A．m＞2，n＞3 B．m＜2，n＜3 C．m＞2，n≥3 D．m＜2，n≤3 5．（2023秋•东城区校级期末）已知正比例函数y＝kx的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条件的函数表达式 　　 ． 6．（2023秋•长宁区校级期中）如果正比例函数y＝（3k﹣2）x，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是 　 ． 7．（2023春•荣昌区期末）正比例函数y＝（1﹣k）x图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则k的取值范围是 　 　． 8．（2024秋•霍邱县月考）请写出一个一次函数，使其图象满足以下条件： ①经过第一、三、四象限， ②与y轴的交点坐标为（0，﹣3），此一次函数的表达式可以为　 　． 9．已知函数y（k为常数）． （1）当k为何值时，该函数是正比例函数？ （2）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而增大？ （3）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？ 10．按照下列条件求k的取值范围： （1）正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过一、三象限； （2）正比例函数y＝（1k）x中，y随x的增大而增大； （3）已知y＝（1﹣m）的图象经过一、三象限． 题型五 画一次函数的图象 解题技巧提炼 一次函数的图象的画法是用“两点法”画：即经过两点（0，b）、（，0）作直线y＝kx+b． 1．（2023春•秀英区校级期中）如图，一次函数y＝2x﹣3的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•河北期末）一次函数y＝﹣2x﹣2的图象是（　　） A． B． C． D． 3．（2023春•上思县期末）在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象． （1）y＝﹣3x+4． （2）y＝3x+4． 4．在同一平面直角坐标系中作出下列两个函数的图象．y＝﹣2x+3，y＝2x﹣1． 5．（2023春•盘山县期末）已知函数y＝﹣2x+4． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）求出这个函数的图象与x轴、y轴的交点的坐标． 6．（2023春•新乐市校级月考）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数． （1）求m的值； （2）在如图中画出该函数图象； （3）y的值随x的值的增大而 　 　．（填“增大”或“减小”） 题型六 一次函数的图象的位置与系数的关系 解题技巧提炼 一次函数图象与系数的关系：由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 1．（2023春•思明区校级期中）一次函数y＝2x﹣3的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023秋•武侯区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（　　） A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＞0 3．（2023秋•莱芜区期末）已知k＜0，则一次函数y＝﹣kx+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 4．（2023春•永定区期末）若k＞0，则一次函数y＝kx+2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．（2023春•宜宾期末）一次函数y＝（k﹣1）x﹣b的图象如图所示，则下列正确的是（　　） A．k＞1，b＞0 B．k＜1，b＞0 C．k＞1，b＜0 D．k＜1，b＜0 6．（2023秋•莲池区校级期末）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，则一次函数y＝x+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．（2023秋•铁西区校级期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．（2023春•洪江市期末）一次函数y＝kx﹣k（k为常数，k≠0）与正比例函数y＝﹣kx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型七 一次函数与正比例函数之间的关系 解题技巧提炼 一次函数与正比例函数图象之间的关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 1．（2023秋•泗阳县期末）一次函数y＝2x+1的图象，可由函数y＝2x的图象（　　） A．向上平移1个单位长度而得到 B．向左平移1个单位长度而得到 C．向右平移1个单位长度而得到 D．向下平移1个单位长度而得到 2．（2023秋•埇桥区校级期中）将直线y＝2x向上平移3个单位长度后得到直线y＝kx+b，则下列关于直线y＝kx+b的说法正确的是（　　） A．函数的图象与y轴的交点坐标是（3，0） B．函数图象经过第一、二、三象限 C．点（﹣2，1）在函数图象上 D．若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2 3．（2023秋•裕安区校级期中）在平面直角坐标系中，若将直线y＝﹣x+m向下平移3个单位长度后，恰好经过原点，则m的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3 4．（2023秋•漳州期中）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移2个单位，则平移后的直线表达式为 　． 5．（2023春•白云区期末）函数y＝﹣3x+1的图象，可以看作直线y＝﹣3x向 　 　平移 　个单位长度而得到． 6．（2023•雁塔区校级一模）在平面直角坐标系中，将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为（m，0），则m的值为 　 　． 7．（2023秋•镇江期末）将正比例函数y＝3x的图象平移后经过点（1，4）． （1）求平移后的函数表达式； （2）求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 题型八 利用一次函数的性质解决问题 解题技巧提炼 1、当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；当k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 2、当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 1．（2024春•遵义期末）已知一次函数y＝（k﹣2）x+3，若y随x的增大而增大，则k的值可能是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．1 D．3 2．（2024•合肥二模）若直线y＝kx+2（k是常数，k≠0）经过第一、二、三象限，则k的值可能为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1 3．（2024春•兴隆县期末）已知一次函数y＝（1﹣2k）x+k的函数值y随x的增大而增大，且图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是（　　） A．k＞0 B．k＜0 C．0＜k D．k 4．（2023秋•六盘水期中）已知点（﹣3，y1）和点（﹣5，y2）在直线y＝2x﹣1上，则（　　） A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法判定 5．（2023秋•霞浦县期中）点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在一次函数（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 6．（2023秋•贵池区期末）已知，一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，5），下列说法中不正确的是（　　） A．若x满足x≥4，则当x＝4时，函数y有最小值﹣5 B．该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为 C．该函数的图象与一次函数y＝﹣2x﹣3的图象相互平行 D．若函数值y满足﹣7≤y≤7时，则自变量x的取值范围是﹣2≤x≤5 7．（2023春•冷水滩区校级期中）已知一次函数y＝mx﹣3m2+12，请按要求解答问题： （1）m为何值时，函数图象过原点，且y随x的增大而减小？ （2）若函数图象平行于直线y＝﹣x，求一次函数解析式； （3）若点（0，﹣15）在函数图象上，求m的值． 8．已知一次函数y＝（4+2m）x+m﹣4，求： （1）m为何值时，y随x的增大而减小？ （2）m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？ （3）m为何值时，图象经过第一、三、四象限？ （4）图象能否过第一、二、三象限？ 9．（2023春•石家庄期中）已知一次函数y＝2x+4． （1）图象与x轴的交点A的坐标是 　 ，与y轴的交点B的坐标是 　 　； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象； （3）求出△AOB的面积； （4）利用图象直接写出：当y＜0时，x的取值范围是 　 　． 10．（2023秋•东港区校级期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数y＝|x﹣1|﹣3的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 0 ﹣1 ﹣2 a ﹣2 b 0 … 则a＝　 ，b＝　 　． （2）描点并画出该函数的图象． （3）①判断：函数y＝|x﹣1|﹣3的图象 　 　（填“是”或“不是”）轴对称图形； ②观察函数图象，当﹣3≤y≤﹣1时，x的取值范围是 　 　； ③观察函数图象，试判断函数y＝|x﹣1|﹣3是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． 题型九 一次函数的平移 解题技巧提炼 一次函数图象的平移规律：一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”. ①y=kx+b向左平移m个单位是y=k(x+m)+b, 向右平移m个单位是y=k(x﹣m)+b； ②y=kx+b向上平移n个单位是y=kx+b+n, 向下平移n个单位是y=kx+b﹣n. 1．（2023秋•安庆期中）将直线y＝3x﹣1平移后，得到直线y＝3x+6，则原直线（　　） A．沿y轴向上平移了7个单位 B．沿y轴向下平移了7个单位 C．沿x轴向左平移了7个单位 D．沿x轴向右平移了7个单位 2．（2023春•潮阳区校级期末）把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（　　） A．y＝2x+5 B．y＝2x+6 C．y＝2x﹣4 D．y＝2x+4 3．（2023秋•碑林区校级期末）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（　　） A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3 4．（2023秋•新城区校级期末）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+b的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点（﹣1，0），则b的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 5．（2024•杭州模拟）在平面直角坐标系中，有一条直线y＝2x+3，若把y轴向上平移5个单位长度，平移后直线的表达式变为 　 ． 6．（2023•汉滨区四模）关于x的一次函数y＝kx+b的图象是由直线y＝2x+1左移2个单位再向上移3个单位得到的，则k+b的值是 　 　． 7．（2024•新北区一模）若一次函数y＝2x﹣1的图象向上平移2个单位长度后经过点（1，t），则t＝　 　． 8．（2024秋•富顺县校级月考）直线y＝2x﹣1沿y轴平移3个单位长度，平移后直线与x轴的交点坐标为 　 ． 9．（2024春•舞阳县期末）已知平面直角坐标系如图所示： （1）画出函数y＝2x+1的图象； （2）写一条关于这个一次函数图象的性质：　 　； （3）把直线y＝2x+1向下平移一个单位，得到的函数表达式是 　 ． 10．（2023秋•庐阳区校级期中）已知y+3与x+2成正比例，且x＝2时，y＝7． （1）求y与x的函数关系式； （2）将所得函数图象向上平移3个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积． 题型十 一次函数的图象上点的坐标特征 解题技巧提炼 一次函数解析式y＝kx+b（k≠0，且k, b为常数）的图象是一条直线，它与x轴 的交点坐标是（，0），与y轴的交点坐标是（0，b），直线上任意一点的坐 标都满足函数解析式y＝kx+b. 1．（2024春•乾安县期末）点P（a，b）在函数y＝3x﹣1的图象上，则代数式6a﹣2b+2022的值等于 　 　． 2．（2024•红桥区三模）若直线y＝kx+1（k为常数，k≠0）经过点（2，3），则该直线与x轴的交点坐标为 　 　． 3．（2024春•北京期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+5的图象与x轴，y轴分别相交于点A，点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）若点C（1，b）在一次函数y＝﹣2x+5的图象上，求△AOC的面积． 4．（2023秋•电白区期中）如图，已知一次函数y＝kx﹣3图象经过点M（﹣3，1），且与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求k的值； （2）求A、B两点的坐标； （3）求△MOB的面积． 5．（2023秋•茂南区期末）已知，一次函数yx+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A、B两点的坐标； （2）画出该函数图象； （3）求AB的长． 6．如图，等边△OAB边长为4，过点A的直线yx+m与x轴交于点E． （1）求点A、E的坐标及m的值； （2）求证：OA⊥AE． 7．（2023秋•宁波期末）已知一次函数y＝﹣x+5的图象与x轴，y轴分别交于点A，B． （1）求点A，B的坐标； （2）若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，求点C的坐标． 8．（2023秋•徐州期末）已知一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）． （1）求k的值； （2）请在图中画出该函数的图象； （3）已知A（2，0），P为图象上的动点，连接AP，则AP的最小值为 　 　． 9．（2023春•柘城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）八年级上册数学《第4章 一次函数》 4.3 一次函数的图象 知识点一 函数图象的画法 ◆1、描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 知识点二 正比例函数的图象及性质 ◆1、正比例函数的图象： 正比例函数y=k x(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线. ◆2、正比例函数的性质： 正比例函数y＝k x（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝k x． 当k＞0时，直线y＝k x依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝k x依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． ◆3、若某函数图象是直线且经过原点（坐标轴除外），那么它对应的函数是正比例函数. ◆4、正比例函数的图象的位置、函数的增减性是由比例系数k的符号决定的；反过来也是成立的. 知识点三 一次函数的画法 ◆1、一次函数图象的画法： 两点法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝k x+b． 【注意】①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． ②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． 知识点四 一次函数的图象和性质 ◆1、一次函数的图象：一次函数 y＝k x+b（k≠0）的图象是经过（0，b）、（，0）两点的一条直线， 我们称它为直线y＝k x+b（k≠0）. ◆2、一次函数的性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； 当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． ◆3、一次函数图象与系数的关系 直线y＝k x+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点. 当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝k x+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、四象限； ◆4、将直线y＝k x（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝k x+b． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 【注意】①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； 题型一 正比例函数图象与系数的关系 解题技巧提炼 本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，根据正比例函数的性质判断k的范围是解题的关键． 1．（2023春•思明区校级期末）正比例函数yx的图象经过的象限是（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 【分析】根据正比例函数的性质即可得到结论． 【解答】解：∵k0， ∴正比例函数yx的图象经过第二、四象限， 故选：B． 【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，掌握当k＜0时，正比例函数y＝kx（k≠）的图象经过第二、四象限是解决问题的关键． 2．关于正比例函数y＝﹣3x，下列说法错误的是（　　） A．其图象是一条经过原点的直线 B．其图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．点（﹣2，6）在其图象上 【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，进而可得出选项C的说法错误． 【解答】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小． 故选：C． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键． 3．（2023秋•太原期中）下列正比例函数中，y随x的增大而增大的是（　　） A．y＝2x B．y＝﹣2x C．yx D．y＝﹣8x 【分析】先根据正比例函数中，y随x的增大而增大判断出k的符号，再对各选项进行分析即可． 【解答】解：∵正比例函数中，y随x的值增大而增大， ∴k＞0， A、k＝2＞0，故本选项符合题意； B、k＝﹣2＜0，故本选项不符合题意； C、k0，故本选项不符合题意； D、k＝﹣8＜0，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数y＝kx（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大是解答此题的关键． 4．正比例函数y＝3x的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数的性质即可得到结论． 【解答】解：∵k＝3＞0， ∴正比例函数y＝3x的图象经过第一、三象限， 故选B． 【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，掌握k＞0，正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限是解决问题的关键． 5．在直角坐标系中，y随x的增大而减小的正比例函数y＝kx的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用正比例函数的性质可判断k＜0，然后根据正比例函数的图象经过原点和第二、四象限进行判断． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx，y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴直线y＝kx经过原点和第二、四象限． 故选：C． 【点评】本题考查了正比例函数图象：正比例函数y＝kx的图象是一条经过原点的直线，当k＞0，直线经过第一、三象限；当k＜0，直线经过第二、四象限． 6．（2023秋•丰顺县校级期末）在y＝k1x中，y随x的增大而减小，k1k2＜0，则在同一平面直角坐标系中，y＝k1x和y＝k2x的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据正比例函数的性质判断出k1的符号，即可根据k1k2＜0判断k2的符号，再根据正比例函数的性质判断即可． 【解答】解：∵在y＝k1x中，y随x的增大而减小， ∴k1＜0， ∴函数y＝k1x图象在二、四象限， ∵k1k2＜0， ∴k2＞0， ∴函数y＝k2x的图象在一、三象限， 故选：B． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解答此题的关键． 7．已知正比例函数yx，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】正比例函数y＝kx，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小，进而判断①②是否正确；再运用上述正比例函数的单调性即可得到当x＞0时与当x＞1时，y的取值范围，进而再判断③④是否正确． 【解答】解：∵正比例函数yx中0， ∴y随x的增大而增大，y随x的减小而减小，故①正确，②正确； ③当x＞0时，y＞0，正确； ④当x＞1时，y，错误， ∴正确的是①②③， 故选：C． 【点评】本题考查正比例函数的性质应用，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 8．（2023秋•渠县校级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a 【分析】根据所在象限判断出a、b、c的符号，再根据直线越陡，则|k|越大可得答案． 【解答】解：∵y＝ax，y＝bx，y＝cx的图象都在第一三象限， ∴a＞0，b＞0，c＜0， ∵直线越陡，则|k|越大， ∴b＞a＞c， 故选：C． 【点评】此题主要考查了正比例函数图象的性质，y＝kx中，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大． 9．已知正比例函数y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的图象经过第一、三象限． （1）求m的值； （2）当x＜2时，求y的最小值． 【分析】（1）根据k＞0时，正比例函数的图象经过第一、三象限，列式计算即可得解； （2）根据一次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：由正比例函数y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的图象经过第一、三象限， 可得：3m﹣2＞0，3﹣|m|＝1， 解得m＝2； （2）由（1）知，m＝2， ∴正比例函数的解析式为y＝4x， 当x时，y＝﹣3，当x＝2时，y＝8， ∴当x＜2时，y的最小值是﹣3． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，对于正比例函数y＝kx（k≠0），当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小． 题型二 画正比例函数的图象 解题技巧提炼 正比例函数的图象是一条经过原点的直线，因此可以用“两点法”画正比例函数的图象，所以经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 1．在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象． （1）yx； （2）y＝﹣3x． 【分析】根据正比例函数图象的性质可得出它们所经过的两点：原点和（1，k），画图象即可． 【解答】解：采用两点法，并且取各点的坐标值为整数最简单． （1）该函数是正比例函数，函数图象是过原点的一条直线． 当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝3，则该直线经过点（0，0），（2，3）． 其图象如图所示． （2）该函数是正比例函数，函数图象是过原点的一条直线． 当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝﹣3，则该直线经过点（0，0），（1，﹣3）． 其图象如图所示． 【点评】本题考查了正比例函数的图象，正比例函数的图象一定过（0，0），（1，k）． 2．用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． （1）y＝5x；（2）yx． 【分析】经过（0，0）和（1，k）作出正比例函数y＝kx的图象即可． 【解答】解：（1）y＝5x的图象经过（0，0）和（1，5）， 图象为： （2）正比例函数yx的图象经过（0，0）和（1，），其图象为： 【点评】本题考查了正比例函数的图象的知识，了解正比例函数的图象所经过的点是解答本题的关键． 3．在同一平面直角坐标系上画出函数y＝2x，yx，y＝﹣0.6x的图象． 【分析】分别在每个函数图象上找出两点，画出图象，根据函数图象的特点进行解答即可． 【解答】解： x 0 1 y＝2x 0 2 yx 0 y＝﹣0.6x 0 ﹣0.6 【点评】本题考查了画函数的图象，考查的是用描点法画函数的图象，解答此题的关键是描出各点，画出函数图象，再根据函数图象找出规律． 4．（1）画出函数y＝﹣x的图象； （2）判断点A（，），B（0，0），C（，）是否在函数y＝﹣x的图象上． 【分析】（1）画出函数图象即可； （2）把各点坐标代入解析式判断即可． 【解答】解：（1）图象如图： （2）把x代入y＝﹣x，所以A在图象上； 把x＝0代入y＝﹣x＝0，所以B在图象上； 把x代入y＝﹣x，所以C在图象上． 【点评】此题考查正比例函数问题，关键是把各点坐标代入解析式判断． 5．已知函数为常数）是正比例函数且y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）作出函数的图象； （3）自变量x每增加1，y将作什么样的变化？自变量x每减少2，y将作什么样的变化？ 【分析】（1）根据此函数为正比例函数且正比例函数y随x的增大而增大，可得出k2﹣3＝1以及k0，即可求出答案； （2）利用描点法作图即可； （3）可令x分别等于a，a+1和a，a﹣2，求出相应的函数值，再求差即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意得k2﹣3＝1且k0， 解得k＝2； （2）∵k＝2， ∴yx， ∵图象过点（0，0）和（2，5）， ∴函数图象如图： （3）令x＝a，则ya， 令x＝a+1，则y（a+1）a， ∵aa， ∴当自变量x增加1时，y增加； 令x＝a，则ya， 令x＝a﹣2，则y（a﹣2）a﹣5， ∵a﹣5a＝﹣5， ∴当自变量x每减少2，y减小5． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，函数的图象，熟知正比函数的图象与系数的关系是解题的关键． 6．已知函数y＝x；y＝﹣2x．yx，y＝3x． （1）在同一坐标系内画出函数的图象． （2）探索发现： 观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与y轴的位置关系有何变化？ （3）灵活运用 已知正比例函数y1＝k1x；y2＝k2x在同一坐标系中的图象如图所示，则k1与k2的大小关系为　 　． 【分析】（1）由两条直线的解析式可知其图象均过原点，再分别令x＝1求出y的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象； （2）比较分析可得答案． （3）由（2）分析的规律即可判断． 【解答】解：（1）如图： （2）观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与y轴的夹角越小． （3）由（2）规律可知，k1＞k2， 故答案为k1＞k2． 【点评】本题考查了画出正比例函数的图象，以及正比例函数的性质，正确画出图象是解题的关键． 7．（2023秋•包河区期中）已知函数y＝2x﹣4． （1）填表，并画出这个函数的图象： x … 0 　 　 … y＝2x﹣4 … 　 　 0 … （2）根据函数y＝2x﹣4的性质或图象，直接写出x取何值时，﹣4≤y≤0． 【分析】（1）分别将x＝0，y＝0代入解析式求解，根据直线与坐标轴交点作图； （2）由图象在x轴上方时x的取值范围求解． 【解答】解：（1）如图， x … 0 2 … y＝2x﹣4 … ﹣4 0 … 图象如图： （2）由图象可得，当﹣4≤y≤0时，x的取值范围为0≤x≤2． 【点评】本题考查一次函数的图象和性质，解题关键是掌握一次函数图象以及一次函数与方程及不等式的关系． 题型三 利用正比例函数的性质比较函数值的大小 解题技巧提炼 利用正比例函数的性质比较函数值的大小的方法一般有三种： （1）利用求值比较法；（2） 利用数形结合的思想； （3） 利用函数的增减性来比较大小. 1．已知，函数y＝3x的图象经过点A（1，y1），点B（﹣2，y2），则（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1、y2无法比较大小 【分析】分别把点A（1，y1），点B（﹣2，y2）代入函数y＝3x，求出点y1，y2的值，再比较其大小即可． 【解答】解：∵函数y＝3x的图象经过点A（1，y1），点B（﹣2，y2）， ∴y1＝3，y2＝﹣6． ∵3＞﹣6， ∴y1＞y2． 故选：A． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 2．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y＝﹣3x上的两点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．以上都有可能 【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合x1＞x2，即可得出y1＜y2． 【解答】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小． 又∵x1＞x2， ∴y1＜y2． 故选：B． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键． 3．（2023秋•灞桥区校级期中）若点P（x1，y1），Q（x2，y2）在正比例函数y＝m x的图象上，且x1＜x2时y1＞y2，则m的值可以是（　　） A．2 B．0 C． D．2 【分析】一次函数的性质得到m＜0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵点A（x1，y2），B（x2，y2）在正比例函数y＝mx的图象上，且x1＜x2时y1＞y2， ∴y随x的增大而减小， ∴m＜0， 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的性质是解答此题的关键． 4．（2023春•仓山区校级期中）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（　　） A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0 【分析】利用正比例函数的性质，可得出点A，B分别在一、三象限，结合点A，B的坐标，可得出m＞0，n＜0． 【解答】解：∵一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2）， ∴点A，B分别在一、三象限， ∴m＞0，n＜0． 故选：B． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，正比例函数y＝kx的图象在第一、三象限；当k＜0时，正比例函数y＝kx的图象在第二、四象限”是解题的关键． 5．（2023•宾阳县二模）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣3x上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＜y1＜y2 【分析】先根据直线y＝﹣3x判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可． 【解答】解：∵直线y＝﹣3x，k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵﹣2＜﹣1＜1， ∴y1＞y2＞y3． 故选：A． 【点评】本题考查的是正比例函数的增减性，即正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小． 6．（2023•榆阳区一模）若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（　　） A．a＜b B．a＞b C．a≤b D．a≥b 【分析】利用正比例函数的定义，可求出m的值，进而可得出m﹣1＝﹣2＜0，利用正比例函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合1＞﹣1，即可得出a＜b． 【解答】解：∵y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数， ∴， 解得：m＝﹣1， ∴m﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小． 又∵A（1，a）和B（﹣1，b）在函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1的图象上，且1＞﹣1， ∴a＜b． 故选：A． 【点评】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”． 7．（2023秋•玄武区期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x图象上的两个点，若x1﹣x2＜0，则y1　 　y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 【分析】由k＝﹣5＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合x1﹣x2＜0，可得出y1＞y2． 【解答】解：∵k＝﹣5＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x+1图象上的两个点，且x1﹣x2＜0， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 8．（2023秋•丹东期末）已知点A（﹣1，m），点B（2，n）在直线y＝8x上，则m　 　n（填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】由8＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合﹣1＜2，可得出m＜n． 【解答】解：∵5＞0， ∴y随x的增大而增大， 又∵点A（﹣1，m），点B（2，n）在直线y＝8x上，且﹣1＜2， ∴m＜n． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 9．（2023春•青云谱区校级期末）已知y关于x的函数y＝（2m+6）x+m﹣3，且该函数是正比例函数． （1）求m的值； （2）若点（a，y1），（a+1，y2）在该函数的图象上，请直接写出y1，y2的大小关系． 【分析】（1）利用正比例函数的定义，可得出关于m的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可求出m的值； （2）由m＝3，可得出k＝2m+6＝12＞0，利用正比例函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合a＜a+1，即可得出y1＜y2． 【解答】解：（1）∵函数y＝（2m+6）x+m﹣3是正比例函数， ∴， 解得：m＝3， ∴m的值为3； （2）∵m＝3， ∴k＝2m+6＝2×3+6＝12＞0， ∴y随x的增大而增大， 又∵点（a，y1），（a+1，y2）在该函数的图象上，且a＜a+1， ∴y1＜y2． 【点评】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，解题的关键是：（1）牢记“一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数”；（2）牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”． 题型四 利用正比例函数的性质求参数的问题 解题技巧提炼 由正比例函数的性质y随x的增大而增大（或减小），可以判断比例系数的符号，当y随x 的增大而增大时，比例系数大于0，反之，比例系数小于0. 1．（2023春•道里区期末）已知函数y＝（k﹣3）x，y随x的增大而减小，则常数k的取值范围 是（　　） A．k＞3 B．k＜3 C．k＜﹣3 D．k＜0 【分析】先根据正比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵函数y＝（k﹣3）x，y随x的增大而减小， ∴k﹣3＜0，解得k＜3． 故选：B． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键． 2．（2023•乾县二模）已知正比例函数y＝（2k﹣3）x，若y随x增大而减小，则k的值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由y随x增大而减小，利用正比例函数的性质可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【解答】解：∵正比例函数y＝（2k﹣3）x的y值随x值的增大而减小， ∴2k﹣3＜0， ∴k． 故选：A． 【点评】本题考查了正比例的性质，牢记“k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键． 3．已知正比例函数y＝（2m﹣6）x的图象上一点（x0，y0），且0，则m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m C．m D．m＜3 【分析】由0，利用正比例函数的性质可得出2m﹣6＜0，解之即可得出m的取值范围． 【解答】解：∵正比例函数y＝（2m﹣6）x的图象上一点（x0，y0），且0， ∴2m﹣6＜0， ∴m＜3． 故选：D． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，正比例函数图象经过第一、三象限；当k＜0时，正比例函数经过第二、四象限”是解题的关键． 4．（2023•振兴区校级二模）若一次函数y＝（2﹣m）x+n﹣3的图象不经过第二象限，则（　　） A．m＞2，n＞3 B．m＜2，n＜3 C．m＞2，n≥3 D．m＜2，n≤3 【分析】根据一次函数与系数的关系得到2﹣m＜0且n﹣3≥0，然后写出两个不等式的公共解即可． 【解答】解：∵一次函数y＝（2﹣m）x+n﹣3的图象不经过第二象限， 即图象经过第一、三、四象限或图象经过一、三象限， ∴2﹣m＞0且n﹣3≤0， ∴m＜2，n≤3． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y＝kx+b，当k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 5．（2023秋•东城区校级期末）已知正比例函数y＝kx的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条件的函数表达式 　　 ． 【分析】先根据正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四象限得出k的取值范围，进而可得结论． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四象限， ∴k＜0， ∴函数表达式为y＝﹣x． 故答案为：y＝﹣x（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解答此题的关键． 6．（2023秋•长宁区校级期中）如果正比例函数y＝（3k﹣2）x，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是 　 ． 【分析】根据正比例函数的性质即可得到关于k的不等式，解不等式即可． 【解答】解：∵正比例函数y＝（3k﹣2）x，y随着x的增大而减小， ∴3k﹣2＜0， 解得k． 故答案为：k． 【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增大而减小；当k＞0时，y随x的增大而增大是解题的关键． 7．（2023春•荣昌区期末）正比例函数y＝（1﹣k）x图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则k的取值范围是 　 　． 【分析】利用正比例函数的增减性得出1﹣k的符号，进而求出k的取值范围． 【解答】解：∵正比例函数y＝（1﹣k）x图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）， 当x1＜x2时，y1＞y2， ∴y随x的增大而减小， ∴1﹣k＜0， 解得：k＞1， 则k的取值范围是：k＞1． 故答案为：k＞1． 【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，熟知反比例函数图象与系数的关系是解题关键． 8．（2024秋•霍邱县月考）请写出一个一次函数，使其图象满足以下条件： ①经过第一、三、四象限， ②与y轴的交点坐标为（0，﹣3），此一次函数的表达式可以为　 　． 【分析】根据一次函数增减性，与y轴的交点坐标，确定一次函数的k，b的值即可． 【解答】解：由题意可知：y随x的增大而增大， ∴k＞0，可取k＝1， ∵与y轴的交点坐标为（0，﹣3）， ∴y＝x﹣3， 故答案为：y＝x﹣3（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一次函数图象和性质及与y轴的交点问题．熟练掌握一次函数的增减性质是解题关键． 9．已知函数y（k为常数）． （1）当k为何值时，该函数是正比例函数？ （2）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而增大？ （3）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？ 【分析】（1）由正比例函数的定义得到方程组解得即可； （2）由正比例函数的性质即可得到结论； （3）由正比例函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）依题意有，解得：k＝±2， ∴当k＝±2时，该函数是正比例函数； （2）由（1）得，当k＝2时，正比例函数y随x的增大而增大； （3）由（1）得，当k＝﹣2时，正比例函数y随x的增大而减少． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数的定义，熟记函数的定义是解题的关键． 10．按照下列条件求k的取值范围： （1）正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过一、三象限； （2）正比例函数y＝（1k）x中，y随x的增大而增大； （3）已知y＝（1﹣m）的图象经过一、三象限． 【分析】（1）根据正比例函数图象在坐标平面内的位置与系数的关系作答； （2）先根据正比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可； （3）根据正比例函数图象的性质，得k﹣1＞0，解不等式即可求得k的取值范围； 【解答】解：（1）由正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第一、三象限， 可得：k﹣2＞0，则k＞2； （2）∵正比例函数y＝（1k）x中，y随x的增大而增大， ∴1k＞0，解得k． （3）由正比例函数y＝（1﹣m）的图象经过一、三象限， 可得：m2﹣1＝1，且1﹣m＞0， 则m． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大． 题型五 画一次函数的图象 解题技巧提炼 一次函数的图象的画法是用“两点法”画：即经过两点（0，b）、（，0）作直线y＝kx+b． 1．（2023春•秀英区校级期中）如图，一次函数y＝2x﹣3的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可． 【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3中，k＝2＞0，b＝﹣3＜0， ∴此函数的图象经过一、三、四象限． 故选：B． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 2．（2024春•河北期末）一次函数y＝﹣2x﹣2的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据k、b的值和一次函数的性质可以得到函数y＝﹣2x﹣2的图象经过哪几个象限，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵k＝﹣2＜0，b＝﹣2＜0， ∴函数y＝﹣2x﹣2的图象经过第二、三、四象限． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，写出该函数图象经过哪几个象限． 3．（2023春•上思县期末）在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象． （1）y＝﹣3x+4． （2）y＝3x+4． 【分析】首先根据一次函数解析式计算出两个函数y＝﹣3x+4和y＝3x+4的图象分别经过的两点的坐标，再画出图象即可． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0+4＝4， 当y＝﹣2时，x＝2， 因此一次函数y＝﹣3x+4的图象经过（2，﹣2）和（0，4）； （2）当x＝0时，y＝0+4＝4， 当y＝﹣2时，x＝﹣2， 因此一次函数y＝3x+4的图象经过（﹣2，﹣2）和（0，4）； 如图所示： 【点评】此题主要考查了一次函数的图象，关键是正确掌握计算两函数图象所经过的点坐标的方法． 4．在同一平面直角坐标系中作出下列两个函数的图象．y＝﹣2x+3，y＝2x﹣1． 【分析】先作得直线y＝﹣2x，再通过平移得到直线y＝﹣2x+3； 先作得直线y＝2x，再通过平移得到直线y＝2x﹣1． 【解答】解：方法一：作直线y＝﹣2x． 当x＝0时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝2．则该直线经过点（0，0），（﹣1，2），由两点确定一条直线作图，如图所示． 将直线y＝﹣2x向上平移3个单位得到直线y＝﹣2x+3； 作直线y＝2x． 当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝2．则该直线经过点（0，0），（1，2），由两点确定一条直线作图，如图所示． 将直线y＝2x向下平移1个单位得到直线y＝2x﹣1． 方法二：作直线y＝﹣2x+3． 当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝1．则该直线经过点（0，3），（1，1），由两点确定一条直线作图，如图所示． 作直线y＝2x﹣1． 当x＝0时，y＝﹣1；当x＝1时，y＝1．则该直线经过点（0，﹣1），（1，1），由两点确定一条直线作图，如图所示． 【点评】本题考查了一次函数图象和正比例函数图象．掌握直线的平移规律（“上加下减、左加右减”）是解题的技巧所在． 5．（2023春•盘山县期末）已知函数y＝﹣2x+4． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）求出这个函数的图象与x轴、y轴的交点的坐标． 【分析】（1）根据描点法画出图象即可； （2）将x＝0，代入y＝﹣2x+4，求出y的值，即得出这个函数的图象与y轴的交点；将y＝0，代入y＝﹣2x+4，求出x的值，即得出这个函数的图象与x轴的交点； 【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣2+4＝2， 当x＝2时，y＝﹣2×2+4＝0． ∴画出这个函数的图象如下： （2）当x＝0时，y＝4， ∴这个函数的图象与y轴的交点为（0，4）； 当y＝0时，即0＝﹣2x+4， 解得：x＝2， ∴这个函数的图象与x轴的交点为（2，0）． 【点评】本题考查画一次函数图象，求一次函数图象与坐标轴的交点．注意一次函数图象是一条直线是解题关键． 6．（2023春•新乐市校级月考）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数． （1）求m的值； （2）在如图中画出该函数图象； （3）y的值随x的值的增大而 　 　．（填“增大”或“减小”） 【分析】（1）根据一次函数的定义，可得答案； （2）找出与x轴、y轴交点坐标，连线即可； （3）根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数，得 ， 解得m＝0， 函数解析式为y＝﹣2x+4， （2）∵y＝﹣2x+4， 当x＝0时，y＝4，当x＝2时，y＝0， 过（0，4）和（2，0）画一条直线即可， 〇 （3）∵k＝﹣2， ∴y的值随x的值的增大而减小， 故答案为：减小． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 题型六 一次函数的图象的位置与系数的关系 解题技巧提炼 一次函数图象与系数的关系：由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 1．（2023春•思明区校级期中）一次函数y＝2x﹣3的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据一次函数y＝ax+b（a≠0）的a、b的符号判定该一次函数所经过的象限即可． 【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3的k＝2＞0，b＝﹣3＜0， ∴一次函数y＝2x﹣3图象经过第一、三、四象限， 即一次函数y＝2x﹣3图象不经过第二象限． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的图象，即直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 2．（2023秋•武侯区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（　　） A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＞0 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可确定k，b的取值范围． 【解答】解：根据一次函数y＝kx+b的图象可知k＞0，b＜0， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 3．（2023秋•莱芜区期末）已知k＜0，则一次函数y＝﹣kx+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】判断一次函数y＝﹣kx+k的图象经过象限即可． 【解答】解：∵k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝﹣kx+k的图象经过一、三、四象限； 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数y＝kx+b，当k＞0，b＞0时，图象过一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，图象过一、三、四象限；k＜0，b＞0时，图象过一、二、四象限；k＜0，b＜0时，图象过二、三、四象限． 4．（2023春•永定区期末）若k＞0，则一次函数y＝kx+2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一次函数的图象与系数的关系求解． 【解答】解：∵k＞0， ∴直线y＝kx+2呈上升趋势，且与y轴交于y的正半轴． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，掌握这种关系是解题的关键． 5．（2023春•宜宾期末）一次函数y＝（k﹣1）x﹣b的图象如图所示，则下列正确的是（　　） A．k＞1，b＞0 B．k＜1，b＞0 C．k＞1，b＜0 D．k＜1，b＜0 【分析】先根据函数图象得出其经过的象限，由一次函数图象与系数的关系即可得出结论． 【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣1）x﹣b的图象经过二、三、四象限， ∴k﹣1＜0，﹣b＜0． 解得：k＜1，b＞0 故选：B． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＜0时函数的图象经过二、三、四象限． 6．（2023秋•莲池区校级期末）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，则一次函数y＝x+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数经过第二、四象限，得出k的取值范围，进而解答即可． 【解答】解：因为正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限， 所以k＜0， 所以一次函数y＝x+k的图象经过一、三、四象限， 故选：B． 【点评】此题考查正比例函数的图象，关键是根据正比例函数经过第二、四象限，得出k的取值范围． 7．（2023秋•铁西区校级期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数y＝ax和y＝x+a的图象经过哪几个象限，本题得以解决． 【解答】解：当a＜0时，函数y＝ax是经过原点的直线，经过第二、四象限，函数y＝x+a是经过第一、三、四象限的直线，选项C符合题意； 当a＞0时，函数y＝ax是经过原点的直线，经过第一、三象限，函数y＝x+a是经过第一、二、三象限的直线，没有符合题意的选项； 故选：C． 【点评】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答． 8．（2023春•洪江市期末）一次函数y＝kx﹣k（k为常数，k≠0）与正比例函数y＝﹣kx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的性质和分类讨论的方法，可以写出一次函数y＝kx﹣k（k为常数，k≠0）与正比例函数y＝﹣kx的图象经过的象限，然后对照选项，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：当k＞0时，﹣k＜0，一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三、四象限，正比例函数y＝﹣kx的图象经过第二、四象限且经过原点； 当k＜0时，﹣k＞0，一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，正比例函数y＝﹣kx的图象经过第一、三象限且经过原点，故选项A符合题意； 由上可得，选项D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型七 一次函数与正比例函数之间的关系 解题技巧提炼 一次函数与正比例函数图象之间的关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 1．（2023秋•泗阳县期末）一次函数y＝2x+1的图象，可由函数y＝2x的图象（　　） A．向上平移1个单位长度而得到 B．向左平移1个单位长度而得到 C．向右平移1个单位长度而得到 D．向下平移1个单位长度而得到 【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位后所得直线的解析式为：y＝2x+1． 故选：A． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 2．（2023秋•埇桥区校级期中）将直线y＝2x向上平移3个单位长度后得到直线y＝kx+b，则下列关于直线y＝kx+b的说法正确的是（　　） A．函数的图象与y轴的交点坐标是（3，0） B．函数图象经过第一、二、三象限 C．点（﹣2，1）在函数图象上 D．若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出函数解析式，再逐一分析即可． 【解答】解：将直线y＝2x向上平移3个单位长度后得到直线y＝2x+3， A．x＝0时，y＝x+3＝3，直线y＝2x+3与y轴交于（0，3），错误； B．直线y＝2x+3经过第一、二、三象限，正确； C．x＝﹣2时，y＝2x+3＝﹣1，点（﹣2，﹣1）在函数图象上y，错误； D．k＝2＞0，直线y＝2x+3随x的增大而增大， 若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y2，错误． 故选：B． 【点评】此题主要考查了一次函数图象的几何变换和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 3．（2023秋•裕安区校级期中）在平面直角坐标系中，若将直线y＝﹣x+m向下平移3个单位长度后，恰好经过原点，则m的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3 【分析】根据一次函数y＝﹣x+m的图象向下平移k不变，可得平移后的函数解析式为：y＝﹣x+m﹣3，把点（0，0）代入即可求得m． 【解答】解：∵若将一次函数y＝﹣x+m的图象向下平移3个单位长度， ∴平移后的函数解析式为：y＝﹣x+m﹣3， ∵函数解y＝﹣x+m﹣3的图象经过点（0，0）， ∴m﹣3＝0，解得：m＝3， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平移后k不变是解决问题的关键， 4．（2023秋•漳州期中）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移2个单位，则平移后的直线表达式为 　． 【分析】根据一次函数平移规律“上加下减”得出即可． 【解答】解：将直线y＝﹣2x向上平移2个单位，则平移后的直线表达式为：y＝﹣2x+2． 故答案为：y＝﹣2x+2． 【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 5．（2023春•白云区期末）函数y＝﹣3x+1的图象，可以看作直线y＝﹣3x向 　 　平移 　个单位长度而得到． 【分析】根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案． 【解答】解：函数y＝﹣3x+1的图象是由直线y＝﹣3x向上平移1个单位长度得到的． 故答案为：上，1． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 6．（2023•雁塔区校级一模）在平面直角坐标系中，将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为（m，0），则m的值为 　 　． 【分析】根据平移的规律求出平移后的直线解析式，然后代入（m，0），即可求出m的值． 【解答】解：将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到y＝3（x+2）﹣3，即y＝3x+3， ∵平移后的直线与x轴交于（m，0）， ∴0＝3m+3， 解得m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 7．（2023秋•镇江期末）将正比例函数y＝3x的图象平移后经过点（1，4）． （1）求平移后的函数表达式； （2）求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【分析】（1）根据平移不改变k的值可设y＝3x+b，然后将点（1，4）代入即可得出直线的函数解析式； （2）根据坐标轴上点的坐标特征求得直线与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可． 【解答】解：（1）设平移后的函数解析式为y＝3x+b， 则由题意，得4＝3×1+b， 解得：b＝1． ∴函数解析式为：y＝3x+1． （2）令x＝0，则y＝1； 令y＝0，则3x+1＝0， 解得x， ∴直线y＝3x+1与坐标轴的交点坐标为（，0），（0，1）； ∴平移后的函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 题型八 利用一次函数的性质解决问题 解题技巧提炼 1、当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；当k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 2、当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 1．（2024春•遵义期末）已知一次函数y＝（k﹣2）x+3，若y随x的增大而增大，则k的值可能是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．1 D．3 【分析】利用一次函数的性质，可得出k﹣2＞0，再对照四个选项，即可得出结论． 【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+3，y随x的增大而增大， ∴k﹣2＞0， ∴k＞2， ∴k的值可能是3． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x都增大而减小”是解题的关键． 2．（2024•合肥二模）若直线y＝kx+2（k是常数，k≠0）经过第一、二、三象限，则k的值可能为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1 【分析】由一次函数图象经过第一、二、三象限，可知k＞0，在范围内确定k的值即可． 【解答】解：因为直线y＝kx+2（k是常数，k≠0）经过第一、二、三象限， 所以k＞0， 所以k可以取1， 故选：D． 【点评】此题考查一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，常数项的值的符号，从而确定字母k的取值范围． 3．（2024春•兴隆县期末）已知一次函数y＝（1﹣2k）x+k的函数值y随x的增大而增大，且图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是（　　） A．k＞0 B．k＜0 C．0＜k D．k 【分析】由一次函数y＝（1﹣2k）x+k的函数值y随x的增大而增大，则1﹣2k＞0，而图象经过第一、二、三象限，即图象与y轴的交点在x轴的上方，则k＞0，解两个不等式即可得到k的取值范围． 【解答】解：∵一次函数y＝（1﹣2k）x+k的函数值y随x的增大而增大， ∴1﹣2k＞0，即k； 由∵图象经过第一、二、三象限， ∴k＞0； 所以k的取值范围是0＜k． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，它的图象为一条直线，当k＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方；当b＝0，图象过坐标原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴的下方． 4．（2023秋•六盘水期中）已知点（﹣3，y1）和点（﹣5，y2）在直线y＝2x﹣1上，则（　　） A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法判定 【分析】由k＝2＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合﹣3＞﹣5，即可得出y1＞y2． 【解答】解：∵k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大， 又∵点（﹣3，y1）和点（﹣5，y2）在直线y＝2x﹣1上，且﹣3＞﹣5， ∴y1＞y2． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 5．（2023秋•霞浦县期中）点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在一次函数（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 【分析】由k0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合﹣2＜﹣1＜3，即可得出y2＜y1＜y3． 【解答】解：∵k0， ∴y随x的增大而增大， 又∵点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在一次函数（m是常数）的图象上，且﹣2＜﹣1＜3， ∴y2＜y1＜y3． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 6．（2023秋•贵池区期末）已知，一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，5），下列说法中不正确的是（　　） A．若x满足x≥4，则当x＝4时，函数y有最小值﹣5 B．该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为 C．该函数的图象与一次函数y＝﹣2x﹣3的图象相互平行 D．若函数值y满足﹣7≤y≤7时，则自变量x的取值范围是﹣2≤x≤5 【分析】根据待定系数法确定一次函数的解析式，再由一次函数的性质及与坐标轴的交点依次判断即可． 【解答】解：一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，5）， ∴5＝﹣k+3， 解得：k＝﹣2， ∴y＝﹣2x+3， ∵k＝﹣2， ∴y随x的增大而减小， A、x满足x≥4，则当x＝4时，函数y有最大值﹣5， 故选项A错误，符合题意； B、当x＝0时，y＝3， 当y＝0时，， ∴与坐标轴的两个交点分别为（0，3），， ∴函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为：， 故选项B正确，不符合题意； C、y＝﹣2x﹣3与y＝﹣2x+3，k都为﹣2，图象相互平行， 故选项C正确，不符合题意； D、当y＝7时，7＝﹣2x+3， 解得：x＝5； 当y＝﹣7时，﹣7＝﹣2x+3， 解得：x＝﹣2； ∴函数值y满足﹣7≤y≤7时，则自变量x的取值范围是﹣2≤x≤5， 故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查一次函数解析式、与坐标轴的交点问题，围成的三角形面积等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题的关键． 7．（2023春•冷水滩区校级期中）已知一次函数y＝mx﹣3m2+12，请按要求解答问题： （1）m为何值时，函数图象过原点，且y随x的增大而减小？ （2）若函数图象平行于直线y＝﹣x，求一次函数解析式； （3）若点（0，﹣15）在函数图象上，求m的值． 【分析】（1）根据函数图象过原点，且y随x的增大而减小，可知m＜0，﹣3m2+12＝0，该函数为正比例函数； （2）根据函数图象平行于直线y＝﹣x，可知m＝﹣1，从而可以得到一次函数解析式； （3）根据点（0，﹣15）在函数图象上，可以得到一次函数解析式，从而可以得到m的值． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx﹣3m2+12，函数图象过原点，且y随x的增大而减小， ∴ 解得，m＝﹣2， 即当m＝﹣2时，函数图象过原点，且y随x的增大而减小； （2）∵一次函数y＝mx﹣3m2+12，函数图象平行于直线y＝﹣x， ∴m＝﹣1， ∴﹣3m2+12＝﹣3×（﹣1）2+12＝9， ∴一次函数解析式是y＝﹣x+9； （3）∵一次函数y＝mx﹣3m2+12，点（0，﹣15）在函数图象上， ∴m×0﹣3m2+12＝﹣15， 解得，m＝±3， 即m的值是±3． 【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是明确一次函数的性质，根据题目中的条件解决问题． 8．已知一次函数y＝（4+2m）x+m﹣4，求： （1）m为何值时，y随x的增大而减小？ （2）m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？ （3）m为何值时，图象经过第一、三、四象限？ （4）图象能否过第一、二、三象限？ 【分析】（1）当y随x的增大而减少时，4+2m＜0，解得即可得出结论； （2）函数图象与y轴的交点在x轴下方时，m﹣4＜0，4+2m≠0，解得即可得出结论； （3）图象经过第一、三、四象限时，，解得即可得出结论； （4）图象经过第一、二、三象限时，，解得即可得出结论． 【解答】解：（1）依题意得：4+2m＜0， 解得m＜﹣2； （2）依题意得：m﹣4＜0，4+2m≠0， 解得m＜4且m≠﹣2； （3）依题意得：， 解得﹣2＜m＜4． （4）若图象过第一、二、三象限，则， 解得m＞4， 故当m＞4时，图象能过第一、二、三象限． 【点评】考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数y＝kx+b的性质．当k＞0，y随x的增大而增大，图象一定过第一、三象限；当k＜0，y随x的增大而减小，图象一定过第二、四象限；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴上方；当b＝0，图象过原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴下方． 9．（2023春•石家庄期中）已知一次函数y＝2x+4． （1）图象与x轴的交点A的坐标是 　 ，与y轴的交点B的坐标是 　 　； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象； （3）求出△AOB的面积； （4）利用图象直接写出：当y＜0时，x的取值范围是 　 　． 【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可以求得点A和点B的坐标，然后即可画出相应的函数图象； （2）根据（1）中的函数图象，可以写出当y＜0时，x的取值范围． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+4， ∴当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣2， ∵函数图象与x轴的交于点A，与y轴的交于点B， ∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4）， 故答案为：（﹣2，0），（0，4）； （2）函数图象如图所示； （3） ＝4； （4）由图象可得， 当y＜0时，x＜﹣2． 故答案为：x＜﹣2． 【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 10．（2023秋•东港区校级期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数y＝|x﹣1|﹣3的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 0 ﹣1 ﹣2 a ﹣2 b 0 … 则a＝　 ，b＝　 　． （2）描点并画出该函数的图象． （3）①判断：函数y＝|x﹣1|﹣3的图象 　 　（填“是”或“不是”）轴对称图形； ②观察函数图象，当﹣3≤y≤﹣1时，x的取值范围是 　 　； ③观察函数图象，试判断函数y＝|x﹣1|﹣3是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． 【分析】（1）把x的值代入计算，即可求出a、b的值； （2）根据（1）中的表格，描点连线即可画出图象； （3）①利用轴对称图形的定义对函数图象进行分析即可判断； ②分情况讨论：x＞1时和x＜1时，分别求解不等式，即可得到答案； ③利用绝对值的性质，得到|x﹣1|﹣3≥﹣3，当且仅当x＝1时取等号，即可判断最小值． 【解答】解：（1）∵y＝|x﹣1|﹣3， 当x＝1时，y＝|1﹣1|﹣3＝﹣3，即a＝﹣3； 当x＝3时，y＝|3﹣1|﹣3＝﹣1，即b＝﹣1， 故答案为：﹣3；﹣1； （2）函数图象如下： （3）①由（2）图象可知，函数y＝|x﹣1|﹣3的图象是轴对称图形， 故答案为：是； ②观察图象可知满足条件的x的值为：﹣1≤x≤3． 故答案为：﹣1≤x≤3； ③存在，最小值为﹣3，证明如下： ∵|x﹣1|≥0， ∴|x﹣1|﹣3≥﹣3，当且仅当x＝1时取等号， ∴函数y＝|x﹣1|﹣3的最小值为﹣3， 即存在最小值，最小值为﹣3． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，绝对值的意义，轴对称图形的识别，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 题型九 一次函数的平移 解题技巧提炼 一次函数图象的平移规律：一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”. ①y=kx+b向左平移m个单位是y=k(x+m)+b, 向右平移m个单位是y=k(x﹣m)+b； ②y=kx+b向上平移n个单位是y=kx+b+n, 向下平移n个单位是y=kx+b﹣n. 1．（2023秋•安庆期中）将直线y＝3x﹣1平移后，得到直线y＝3x+6，则原直线（　　） A．沿y轴向上平移了7个单位 B．沿y轴向下平移了7个单位 C．沿x轴向左平移了7个单位 D．沿x轴向右平移了7个单位 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【解答】解：将直线y＝3x﹣1沿y轴向上平移了7个单位得到直线y＝3x+6， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数图象的平移，根据平移规律：“左加右减，上加下减”，即可求解． 2．（2023春•潮阳区校级期末）把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（　　） A．y＝2x+5 B．y＝2x+6 C．y＝2x﹣4 D．y＝2x+4 【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可． 【解答】解：把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位， 那么平移后所得图象的函数解析式为：y＝2x+1﹣5，即y＝2x﹣4． 故选：C． 【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键． 3．（2023秋•碑林区校级期末）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（　　） A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3 【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【解答】解：直线y＝2x向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝2（x﹣2）+1， 即y＝2x﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 4．（2023秋•新城区校级期末）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+b的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点（﹣1，0），则b的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 【分析】将点（﹣1，0），先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到平移后的点，该点一次函数y＝2x+b的图象上，利用待定系数法求出b的值即可． 【解答】解：将点（﹣1，0），先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点（﹣1+3，0+2），即（2，2）， 由题意，得：（2，2）在一次函数y＝2x+b的图象上， ∴2＝2×2+b， ∴b＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查一次函数图象的平移．将图象的平移，转化为点的平移，利用待定系数法求解析式是解题的关键． 5．（2024•杭州模拟）在平面直角坐标系中，有一条直线y＝2x+3，若把y轴向上平移5个单位长度，平移后直线的表达式变为 　 ． 【分析】利用一次函数平移规律“上加下减”，进而得出平移后函数解析式即可． 【解答】解：直线y＝2x+3，若把y轴向上平移5个单位长度，相当于该直线沿y轴向下平移5个单位，那么该直线的表达式变为：y＝2x+3﹣5＝2x﹣2， 故答案为：y＝2x﹣2． 【点评】此题主要考查了一次函数平移变换，正确记忆一次函数平移规律是解题关键． 6．（2023•汉滨区四模）关于x的一次函数y＝kx+b的图象是由直线y＝2x+1左移2个单位再向上移3个单位得到的，则k+b的值是 　 　． 【分析】根据一次函数图象平移的性质即可得出平移后的解析式，从而求得k、b的值． 【解答】解：∵一次函数y＝2x+1的左移2个单位，再向上移3个单位后所得图象的解析式是：y＝2（x+2）+1+3，即y＝2x+8， ∴k＝2，b＝8， ∴k+b＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键． 7．（2024•新北区一模）若一次函数y＝2x﹣1的图象向上平移2个单位长度后经过点（1，t），则t＝　 　． 【分析】根据直线的平移规律：上加下减可得平移后的直线为y＝2x﹣1+2，再将点（1，t）代入求解即可． 【解答】解：将一次函数y＝2x﹣1的图象向上平移2个单位长度后得y＝2x﹣1+2＝2x+1， 将点（1，t）代入y＝2x+1，得t＝2+1＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握直线的平移规律是解题的关键． 8．（2024秋•富顺县校级月考）直线y＝2x﹣1沿y轴平移3个单位长度，平移后直线与x轴的交点坐标为 　 ． 【分析】分直线沿y轴向上平移和向下平移两种情况进行解答即可． 【解答】解：若将直线y＝2x﹣1沿y轴向上平移3个单位，则平移后所得直线的解析式为：y＝2x+2， 在y＝2x+2中，由y＝0可得：2x+2＝0，解得：x＝﹣1， ∴平移后的直线与x轴的交点坐标为：（﹣1，0）； 若将直线y＝2x﹣1沿y轴向下平移3个单位，则平移后所得直线的解析式为：y＝2x﹣4， 在y＝2x﹣4中，由y＝0可得：2x﹣4＝0，解得：x＝2， ∴平移后的直线与x轴的交点坐标为：（2，0）； 综上所述，平移后的直线与x轴的交点坐标为：（﹣1，0）或（2，0）． 故答案为：（﹣1，0），（2，0）． 【点评】此题主要考查了一次函数图象的几何变换，关键是掌握直线平移后，函数解析式的b值上移加，下移减． 9．（2024春•舞阳县期末）已知平面直角坐标系如图所示： （1）画出函数y＝2x+1的图象； （2）写一条关于这个一次函数图象的性质：　 　； （3）把直线y＝2x+1向下平移一个单位，得到的函数表达式是 　 ． 【分析】（1）根据一次函数特殊点法即可作出一次函数图象； （2）根据一次函数的性质即可求解； （3）根据一次函数的平移性质即可求解． 【解答】解：（1）如图所示， （2）函数图象的增减性，y随x的增大而增大， 故答案为：y随x的增大而增大； （3）由一次函数的平移性质可知，把直线y＝2x+1向下平移一个单位，得到y＝2x+1﹣1，即y＝2x， 故答案为：y＝2x． 【点评】本题考查了一次函数图象及性质，一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 10．（2023秋•庐阳区校级期中）已知y+3与x+2成正比例，且x＝2时，y＝7． （1）求y与x的函数关系式； （2）将所得函数图象向上平移3个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【分析】（1）由y+3与x+2成正比例，设出关系式，把x与y的值代入k的值，即可确定出解析式； （2）该函数的图象向上平移3个单位，求出它的解析式，然后求得该函数图象与坐标轴的交点，则根据三角形的面积公式进行解答即可． 【解答】解：（1）设y+3＝k（x+2）， 把x＝2，y＝7代入得：7+3＝4k，即k， 则y与x函数关系式为y+3（x+2），即yx+2； （2）将直线yx+2向上平移3个单位后得到的直线是：yx+5； ∵当y＝0时，x＝﹣2． 当x＝0时，y＝5， ∴平移后的图象与x轴交点的坐标是（﹣2，0），与y轴的交点坐标是（0，5）， 则平移后的图象与两坐标轴围成的三角形面积是：5． 【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系． 题型十 一次函数的图象上点的坐标特征 解题技巧提炼 一次函数解析式y＝kx+b（k≠0，且k, b为常数）的图象是一条直线，它与x轴 的交点坐标是（，0），与y轴的交点坐标是（0，b），直线上任意一点的坐 标都满足函数解析式y＝kx+b. 1．（2024春•乾安县期末）点P（a，b）在函数y＝3x﹣1的图象上，则代数式6a﹣2b+2022的值等于 　 　． 【分析】将点P坐标代入一次函数解析式中，得到a，b的关系，整体代入所求的式子中即可． 【解答】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x﹣1的图象上， ∴b＝3a﹣1， ∴3a﹣b＝1， ∴6a﹣2b+2022＝2（3a﹣b）+2022＝2×1+2022＝2024． 故答案为：2024． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出a和b的关系，属于中考必考题型． 2．（2024•红桥区三模）若直线y＝kx+1（k为常数，k≠0）经过点（2，3），则该直线与x轴的交点坐标为 　 　． 【分析】根据直线y＝kx+1（k为常数，k≠0）经过点（2，3），可以求得k的值，然后令y＝0求出x的值即可． 【解答】解：∵直线y＝kx+1（k为常数，k≠0）经过点（2，3）， ∴2k+1＝3， 解得k＝1， ∴y＝x+1， 当y＝0时，x＝﹣1， 即该直线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）， 故答案为：（﹣1，0）． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出k的值． 3．（2024春•北京期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+5的图象与x轴，y轴分别相交于点A，点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）若点C（1，b）在一次函数y＝﹣2x+5的图象上，求△AOC的面积． 【分析】（1）利用坐标轴上点的坐标特征求出点A，点B坐标即可； （2）由一次函数解析式求得C点的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：（1）由 y＝﹣2x+5 令y＝0，，令x＝0，y＝5， ∴点A的坐标为 ，点B的坐标为（0，5）． （2）∵点C（1，b）在y＝﹣2x+5 的图象上， ∴b＝﹣2×1+5． ∴b＝3， ． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． 4．（2023秋•电白区期中）如图，已知一次函数y＝kx﹣3图象经过点M（﹣3，1），且与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求k的值； （2）求A、B两点的坐标； （3）求△MOB的面积． 【分析】（1）运用待定系数法求一次函数的解析式， （2）根据当y＝0求出x值，当x＝0求出y值，即可得知A、B两点的坐标； （3）根据△MOB的面积，直接代入数值进行计算即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx﹣3图象经过点M（﹣3，1）， ∴1＝﹣3k﹣3， ∴， ∴k的值为； （2）由（1）知， 则当y＝0时，， 解得， 点A的坐标为； 当x＝0时，y＝﹣3， 故点B的坐标为（0，﹣3）； （3）由（2）知点B的坐标为（0，﹣3）， ∴OB＝3， ∴△MOB的面积． 【点评】题考查了一次函数的图象性质，一次函数分别与x轴、y轴的交点坐标问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．（2023秋•茂南区期末）已知，一次函数yx+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A、B两点的坐标； （2）画出该函数图象； （3）求AB的长． 【分析】（1）分别令y＝0，x＝0求解即可； （2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可； （3）根据勾股定理求解． 【解答】解：（1）令y＝0，则x＝6， 令x＝0，则y＝3， ∴点A的坐标为（6，0）， 点B的坐标为（0，3）； （2）如图： （3）∵点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3）， ∴OA＝6，OB＝3， 在Rt△ABC中，AB3． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法是解题的关键． 6．如图，等边△OAB边长为4，过点A的直线yx+m与x轴交于点E． （1）求点A、E的坐标及m的值； （2）求证：OA⊥AE． 【分析】（1）根据题意和图形，可以求得点A、点E的坐标和m的值； （2）根据（1）中的结果，可以求得OA、AE、OE的长，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【解答】解：（1）作AD⊥x轴于点D， ∵等边△OAB边长为4， ∴OB＝4， ∴OD＝BD＝2， ∴AD， ∴点A（2，2）， ∵点A在直线yx+m上， ∴， 解得，m， ∴yx， 当y＝0时，x＝8， ∴点E（8，0）， 即点A（2，2），点E（8，0），m； （2）证明：∵点D（2，0），点E（8，0）， ∴OD＝2，OE＝8， ∴DE＝OE﹣OD＝6， ∵AD＝2， ∴AE， ∵OA＝4，OE＝8， ∴，OE2＝82＝64， ∴OA2+AE2＝OE2， ∴△OAE是直角三角形，∠OAE＝90°， ∴OA⊥AE． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 7．（2023秋•宁波期末）已知一次函数y＝﹣x+5的图象与x轴，y轴分别交于点A，B． （1）求点A，B的坐标； （2）若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，求点C的坐标． 【分析】（1）根据直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，即可求点A、B的坐标； （2）根据△ABC是等腰三角形，分三种情况求点C的坐标即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B， 当y＝0时，x＝5，当x＝0时，y＝5， ∴点A，B的坐标为A（5，0）和B（0，5）； （2）∵A（5，0），B（0，5）， ∴OA＝5，OB＝5， ∴AB2， ∵点C在x轴上，且△ABC是等腰三角形， ①当AC＝BC时， ∴C（0，0）， ②当AB＝AC时， ∵AC＝2， ∴C（25，0）或（25，0）， ③当AB＝BC时， ∵OC＝OA＝5， ∴C（﹣5，0）， 综上所述：点C的坐标为（﹣5，0）或（25，0）或（25，0）或（0，0）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． 8．（2023秋•徐州期末）已知一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）． （1）求k的值； （2）请在图中画出该函数的图象； （3）已知A（2，0），P为图象上的动点，连接AP，则AP的最小值为 　 　． 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）利用两点画出函数的图象； （3）线段OP的最小值，就是原点到已知直线的距离，可以根据所构建的三角形面积一样来求OP； 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）． ∴﹣3k+4＝0， ∴k； （2）由函数y＝kx+4可知直线与y轴的交点为（0，4）， （3）作AP⊥BC于P，此时AP是最小值， ∵A（2，0），B（0，4），C（3，0）， ∴BC＝5，AC＝5， ∵CA•OB， ∴5×4＝5AP， ∴AP＝4． ∴AP的最小值是4， 故答案为：4． 【点评】本题考查一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用两点之间的距离公式以及面积法是解决本题的关键． 9．（2023春•柘城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB的长， （2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，﹣6）． （3）先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标． 【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4， ∴B（0，4）． ∴OB＝4 令y＝0得：0x+4，解得：x＝3， ∴A（3，0）． ∴OA＝3． 在Rt△OAB中，AB5． （2）∵AC＝AB＝5， ∴OC＝OA+AC＝3+5＝8， ∴C（8，0）． 设OD＝x，则CD＝DB＝x+4． 在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6， ∴D（0，﹣6）． （3）存在，理由如下： ∵S△PABS△OCD， ∴S△PAB6×8＝12． ∵点P在y轴上，S△PAB＝12， ∴BP•OA＝12，即3BP＝12，解得：BP＝8， ∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）． 【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． 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