期中各名校真题-压轴必刷题（60题）-2024-2025学年高二数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019选择性必修）

期中各名校真题-压轴必刷题（60题） 范围：第一章～第三章 一、单选题 1．点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 2．已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 5．设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C．2 D． 6．长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知正三棱锥的底面的边长为2，是空间中任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．已知椭圆C：的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点（不同于左、右顶点），则下列说法正确的是（    ） A．当直线l与x轴垂直时， B．△ABF1的周长为 C．的内切圆的面积的最大值为 D．的最小值为4 11．如图，在正方体中，，点在平面内，，延长交平面于点，则以下结论正确的是（    ）    A．点到的距离的最大值为2 B．线段长度的最小值为 C．直线与所成的角的正弦值的最小值为 D．直线与平面所成的角正切值的最大值为 12．已知长方体的棱，，点满足：，、、，下列结论正确的是（ ） A．当时，点到平面的距离的最大值为 B．当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为 C．当，时，到的距离为 D．当，时，四棱锥外接球的表面积为 13．如图，在直三棱柱中，是直角三角形，且为的中点，点是棱上的动点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）    A．异面直线与所成角的余弦值是 B．三棱柱的外接球的表面积是 C．当点是线段的中点时，三棱锥的体积是 D．的最小值是2 14．已知F为椭圆C：的左焦点，直线l： 与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（    ） A． B．的最小值为2 C．直线BE的斜率为 D．为钝角 15．已知，，为圆上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．以为直径的圆与圆相交所得的公共弦所在直线方程为 B．若点，则的面积为 C．过点且与圆相切的圆的圆心轨迹为圆 D．的最小值为 16．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为、.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程为 B．若点在椭圆上，则的最大值为 C．若点在椭圆上，的最大值为 D．过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点 第II卷（非选择题） 三、填空题 17．平面内，已知两点，及动点.给出下列结论： ①满足的点的轨迹为线段； ②若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为； ③若点到定点的距离与它到定直线的距离之比为，则点的轨迹为椭圆. 其中所有正确结论的序号是 . 18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为 ． 19．已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则的最小值是 ． 20．摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线(基线)上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点运动的轨迹就得到内摆线.已知基线圆的方程为，半径为2的动圆内切于定圆作无滑动的滚动，切点的初始位置为.若，则的最小值为 ；若，且已知线段的中点的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为 . 21．已知是椭圆的焦点，点是上的动点，则的取值范围为 . 22．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为 .    23．在空间直角坐标系中，向量，则的最大值为 ． 24．如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为 ，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为 .    25．设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E ； 26．已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 四、解答题 27．已知椭圆：的长轴长等于6，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，且，求的面积. 28．已知两定点，，过动点的两直线和的斜率之积为．设动点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)设，过的直线交曲线于、两点（不与、重合）．设直线与的斜率分别为，，证明为定值． 29．已知圆的方程为. (1)求过点，且与圆相切的直线的方程； (2)是圆上一动点，点的坐标为.若点为的中点，求动点的轨迹方程. 30．已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于，且分别是弦的中点. (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线过定点； (3)求面积的最大值. 31．已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率． 32．已知焦点在轴上的椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，坐标原点为.，，三点满足，且为椭圆与圆：的一个切点． (1)求椭圆的方程； (2)设为过的直线，与圆交于两点，求的取值范围． 33．如图，四棱锥中，，，，，，为线段中点，线段与平面交于点. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求四棱锥的体积. 34．如图所示，已知四棱锥，满足为中点，，．    (1)求证平面 (2)若与夹角的余弦值为，且，求与平面夹角的正弦值 35．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．    (1)求证： 平面； (2)求证：平面平面 (3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 36．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是线段的中点． (1)求证：平面； (2)若，求二面角的大小； (3)若线段上总存在一点P，使得，求t的最大值． 37．在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.    (1)求二面角的余弦值； (2)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 38．已知三棱柱，，，为线段上的点，且满足．    (1)求证：平面； (2)求证：； (3)设平面平面，已知二面角的正弦值为，求的值． 39．如图：等边三角形的边长为3，，．将三角形沿着折起，使之成为四棱锥．点满足，点在棱上，满足．且． (1)求到平面的距离； (2)求面与面夹角的余弦值； (3)点在面的正射影为点，求与平面夹角的正弦值． 40．如图，在三棱柱中，，侧面是正方形，二面角的大小是． (1)求三棱柱的体积； (2)若点是线段上的一个动点，求直线与平面所成角的最大值． 41．如图所示，正方体的棱长为3，动点在底面正方形内，且与两个定点，的距离之比为． (1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)求动点到平面的距离的取值范围． 42．如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形， 为中点，平面为内的动点(含边界). (1)求平面与平面夹角的正弦值; (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 43．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 44．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切. （1）求椭圆C的方程； （2）如图，过定点的直线l交椭圆C于A，B两点，连接并延长交C于M，求证：. 45．已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求椭圆C的方程； （2）如图，点M是x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A在x轴的上方)，若，且直线l与圆相切于点N，求△OMN的面积． 46．椭圆的离心率为，长轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与圆相切于点M，交于两点A，B，试问：是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由. 47．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且离心率为． (1)求C的方程； (2)直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，，N，四点共圆． 48．如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)记的面积为S，求S的最大值. 49．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值. 50．已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设直线不经过点且与椭圆相交于，两点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 51．已知点，，平面内一动点满足直线与的斜率乘积为． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线交轨迹于两点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，求坐标原点到直线的距离的取值范围． 52．已知椭圆的离心率为且椭圆经过点，为左右焦点. (1)求椭圆方程； (2)P是椭圆上任意一点，求的取值范围； (3)过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值. 53．已知F是双曲线的右焦点，过F作渐近线的垂线，垂足为． (1)求双曲线E的标准方程； (2)过P作直线l与双曲线E交于两点A、B，记FA、FB的斜率（斜率均有在）分别为，证明：是定值，并求出这个值． 54．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，且经过点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，是双曲线上关于原点对称的两点，垂直于的直线与双曲线相切于点，当点位于第一象限，且被轴分割为面积比为的两部分时，求直线的方程. 55．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线的左焦点，过点作直线交的左支于两点.点，直线交直线于点.设直线的斜率分别，求证：为定值. 56．在平面直角坐标系中，动点在抛物线上运动，点在轴上的射影为，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线顺次交于、两点，过点作斜率为1的直线与曲线的另一个交点为点，求证：直线过定点. 57．已知抛物线的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值 58．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且线段的中点为，该抛物线的焦点到准线的距离不大于3. (1)求抛物线的方程； (2)设点为抛物线上的动点，若，当的中点到抛物线的准线距离最短时，求所在直线方程. 59．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上. (1)求抛物线的方程. (2)若直线与抛物线交于另一点，证明：为定值. (3)过点作圆的两条切线，与轴分别交于两点，求面积取得最小值时对应的的值. 60．已知抛物线过点，直线l与该抛物线C相交于M，N两点，过点M作x轴的垂线，与直线交于点G，点M关于点G的对称点为P，且O，N，P三点共线． (1)求抛物线C的方程； (2)若过点作，垂足为H（不与点Q重合），是否存在定点T，使得为定值？若存在，求出该定点和该定值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中各名校真题-压轴必刷题（60题） 范围：第一章～第三章 一、单选题 1．点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程求出，由椭圆的定义可求出，然后利用等面积法可求出P点的纵坐标. 【详解】由，得， 所以， 所以， 设的内切圆半径为， 因为 所以，得. 故选：B 2．已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要求的最小值，根据椭圆的定义可以转化为（其中为椭圆的左焦点），即求的最小值，即为圆心与的距离减去半径，进而解决问题． 【详解】如图，由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1， 设椭圆的左焦点为，即， 则， 故要求的最小值，即求的最小值， 所以的最小值等于， 即的最小值为， 故选：D． 3．已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据点在椭圆上可得，继而根据，设，求出，代入中，即可求得答案. 【详解】由于点是椭圆上的动点，设，则， 又于点，则； 设，由，得， 则，代入，得， 即点的轨迹方程为， 故选：A 4．已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义转化结合几何性质求最值即可. 【详解】由椭圆方程可知：， 设右焦点为，则，，且，即， 如图所示，    可得：， 当且仅当在线段上时，等号成立， 所以的最大值为3. 故选：C. 5．设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义可得,再结合余弦定理可得，然后由向量数量积定义得解. 【详解】由椭圆的定义可得, 在 中，由余弦定理， 又 ,可得： ，即, 即，即， 则， 故选：A. 6．长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出、、点坐标，由题意可得、两点坐标间的关系，用点的横纵坐标替换、点坐标代入计算即可得. 【详解】设、，， 则有，，即，， 由题意可得，即，即. 故选：D. 7．已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断P点轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程. 【详解】圆：和：的圆心、半径分别为， 由可知圆内含于圆内， 设动圆半径为, 由题意，，, 两式相加可得, 故P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：C 8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，，. 所以 . 因为，所以. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解. 9．已知正三棱锥的底面的边长为2，是空间中任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用转化法求向量数量积的最值即可. 【详解】设中点为，连接，设中点为，连接， 则， ， 当与重合时，取最小值，此时有最小值. 故选：A. 二、多选题 10．已知椭圆C：的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点（不同于左、右顶点），则下列说法正确的是（    ） A．当直线l与x轴垂直时， B．△ABF1的周长为 C．的内切圆的面积的最大值为 D．的最小值为4 【答案】ACD 【分析】利用代入法，结合椭圆的定义、椭圆的性质、平面向量数量积的运算性质逐一判断即可. 【详解】当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为， 所以，解得，所以，故A正确； 的周长为， 故B错误； 设的内切圆的半径为， ， 当A为椭圆C的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值， 最大值，所以 的内切圆的半径的最大值， 所以的内切圆的面积的最大值为，故C正确； ， 因为， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用椭圆的定义和焦点三角形面积的性质. 11．如图，在正方体中，，点在平面内，，延长交平面于点，则以下结论正确的是（    ）    A．点到的距离的最大值为2 B．线段长度的最小值为 C．直线与所成的角的正弦值的最小值为 D．直线与平面所成的角正切值的最大值为 【答案】AC 【分析】建立空间直角坐标系，表示出点的坐标，根据点线距公式可判断A；由的轨迹位置可判断B；根据最小角定理可判断C；根据线面角的向量公式可判断D. 【详解】如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设， 所以点的坐标为，， 由可得，． 因为，， ，， 所以点到的距离为， 由正方体性质易知，平面，设平面 ， 所以，， 所以点的轨迹为平面内以点为圆心，半径为的圆，而易知为边长为的正三角形， 其内切圆半径为，所以点的轨迹为的内切圆， 设其与三边的切点依次为，如图所示，易求得：，， 因此当时，即点在处，的中点时，点到的距离，A正确； 当点在处时，此时在处，，B错误； 设直线与所成的角为，因为，由最小角定理可知， 直线与平面所成的角小于等于，即， 所以，当点为过点且与平行的直线与内切圆的交点时取等号，C正确； 设直线与平面所成的角为，易知平面的一个法向量为， 所以， 而由等和线定理可知，，所以，当时，，即， 即点为平行于的直线与内切圆相切的切点时取得，故D错误．    故选：AC． 【点睛】本题的解题关键根据选项选择不同的处理方式，建系表示出点的坐标，根据正方体的性质得出点的轨迹，从而利用点线距，线面角的向量公式判断出AD的真假，再根据特殊位置以及最小角定理判断出BC的真假． 12．已知长方体的棱，，点满足：，、、，下列结论正确的是（ ） A．当时，点到平面的距离的最大值为 B．当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为 C．当，时，到的距离为 D．当，时，四棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性关系确定所在的位置或区域，结合长方体的结构求点线、点面距离判官AC；根据线面角的定义求直线与平面所成角的正切值判断B；求棱锥外接球的半径，进而求外接球的表面积判断D作答. 【详解】如图，    对于A，，则，则在底面上运动， 于是当在上时，的到平面的距离最大， 而，面，面，则面， 由长方体结构特征知，所求最大值距离为到的距离，，则，A正确； 对于B，，则，即，则在上运动， 由长方体的结构知：当与重合时，直线与平面所成角的正切值最大，为，B正确； 对于C，，则，即，则在上运动，而， 因此到的距离为棱与的距离，C错误； 对于D，，则，则为中点， 如图，，，      则四棱锥的底面为矩形，顶点在的投影为的交点， 因此外接球的球心一定在直线上，令球体半径为R， 而，，且， 解得，于是外接球的表面积为，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：根据各选项的条件，利用向量加减、数乘的几何意义确定的位置或运动区域为关键. 13．如图，在直三棱柱中，是直角三角形，且为的中点，点是棱上的动点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）    A．异面直线与所成角的余弦值是 B．三棱柱的外接球的表面积是 C．当点是线段的中点时，三棱锥的体积是 D．的最小值是2 【答案】AC 【分析】由空间向量的坐标运算判断A，由棱柱的外接球半径与球的表面积公式判断B， 由线面平行关系与棱锥的体积公式判断C，在平面中，数形结合求的最小值后判断． 【详解】解：在直三棱柱中，是直角三角形，且，则， 则建立以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示：    则，，，， 对于：，， ，     故异面直线与所成角的余弦值是，故A正确； 对于：将直三棱柱补成直四棱柱， 可得三棱柱的外接球就是直四棱柱的外接球， 外接球半径， 故三棱柱的外接球的表面积是，故B错误； 对于：连接，则是的中点， 点是线段的中点， ， 平面，是棱上的动点， 点到平面的距离就是点到平面的距离， 又 ，故C正确； 对于：由选项C得是的中点， 则平面，平面，平面， 在中，，，且， 在平面中，建立以为原点，以为轴，以为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：    则，，，， 过作直线的对称点，当时， 此时的值最小，且为，也就是点到轴的距离，     设，可得的中点坐标为， 直线的方程为，即， ，解得，的最小值是，故D错误， 故选：． 14．已知F为椭圆C：的左焦点，直线l： 与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（    ） A． B．的最小值为2 C．直线BE的斜率为 D．为钝角 【答案】AC 【分析】对于A，利用椭圆与的对称性可证得四边形为平行四边形，进而得到； 对于B，利用A中的结论及基本不等式“1”的妙用即可得到的最小值； 对于C，由题意设各点的坐标，再由两点斜率公式即可得到； 对于D，先由各点坐标结合椭圆方程可得到，从而可证得，由此可知. 【详解】由椭圆C：得，则，，， 对于A，设将圆C的右焦点为，如图，连接，， 由椭圆与的对称性可知，则四边形为平行四边形， 故，故A正确； . 对于B， ， 当且仅当，且，即时，等号成立， 故的最小值为，故B错误； 对于C，设，，，故直线BE的斜率，故C正确； 对于D，设，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，则， 又点P和点A在椭圆C上，故，， 两式相减得，则，故， 易知，则，得， 所以，故，故D错误. 故选：AC． 15．已知，，为圆上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．以为直径的圆与圆相交所得的公共弦所在直线方程为 B．若点，则的面积为 C．过点且与圆相切的圆的圆心轨迹为圆 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】根据题意求出圆的一般方程，与圆的一般式方程相减即可判断A；根据点到直线的距离公式三角形的面积公式计算即可判断B；作出图形，结合图形和椭圆的定义即可判断C；根据两点求距离公式得，而表示圆上动点到定点的距离的平方，结合点与圆的位置关系即可判断D. 【详解】A:由，，则其中点为，所以， 则圆的标准方程为，化为一般式方程为①， 又圆的一般式方程为②， 而， ①-②得为两圆相交弦所在的直线方程．故A正确； B：由直线的方程为，则点到直线的距离，．故B正确； C:由图可知，设过点且与圆内切的圆的圆心为，且切点为， 则满足椭圆定义， 故圆心的轨迹为椭圆．故C错误； D：设， ， 则可转化为圆上动点到定点的距离的平方， 所以的最小值为， 故．故D错误. 故选：AB. 16．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为、.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程为 B．若点在椭圆上，则的最大值为 C．若点在椭圆上，的最大值为 D．过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点 【答案】ACD 【分析】利用椭圆的定义及离心率大小可求得椭圆方程，判断,利用余弦定理，可得顶角的最大为钝角，故最大值为，可判断;设出点的坐标为，利用两点间的距离公式求得范围即可判断;利用椭圆在点处的切线方程为，及点在直线上，求出，两点满足的方程，即可求得所过定点，判断 【详解】一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，如下图所示： 所以可得即 又椭圆的离心率为，可得， 所以， 故椭圆方程为，所以正确； 由椭圆的定义知， 不妨设， ， 因为，可得 所以， 当且仅当时等号成立，此时最大为钝角设为， 则，故当时， 的最大值为，故错误； 易得,设点， 则 当时，，故正确； 易知椭圆在点处的切线方程为， 证明如下：当切线斜率存在时， 设直线与相切与点， 联立， 所以， 整理可得， 又易知，即， 所以 整理可得①； 又切点在椭圆上，即， 整理可得②， 联立①②，可得 即， 所以切线方程为， 化简得， 经检验，直线斜率不存在时也符合上式， 即椭圆在点处的切线方程为， 设， 所以椭圆在点处的切线的方程为， 在点处的切线的方程为， 两线相交于点，所以可得 ， 即点满足方程， 所以直线的方程为， 整理可得， 令， 故直线的方程过定点，故正确，    故选： 【点睛】关键点睛：本题在求解直线过定点问题时，关键是利用结论:椭圆在点处的切线方程为，分别求得两个切线方程即可得出直线过的定点. 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 17．平面内，已知两点，及动点.给出下列结论： ①满足的点的轨迹为线段； ②若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为； ③若点到定点的距离与它到定直线的距离之比为，则点的轨迹为椭圆. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】由判断①；由斜率公式判断②；由距离公式判断③. 【详解】对于①：，则点的轨迹为线段； 对于②： 设，因为， 即，所以点的轨迹方程为； 对于③：设，则， ，整理得， 即点的轨迹为椭圆. 故答案为：①②③ 18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为 ． 【答案】4 【分析】由向量垂直的充要条件得出，然后根据椭圆的定义求出，再根据直线的斜率为，得到，，最后利用椭圆定义得到：，从而列出关于的方程，解出的值即可． 【详解】 由，， 又直线的斜率为， 则，， 又椭圆方程为：，. ,解得， 又，， ，即. 故答案为：4． 19．已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】结合图形得，即求焦半径的最小值. 【详解】圆的圆心， 椭圆的焦点为，， 因为， 即求焦半径的最小值. 先证焦半径公式： 设是椭圆上任一点， 是椭圆的两焦点， 则 因为，所以，. 由焦半径公式知，则当时， 取得最小值， 则 . 故答案为：    20．摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线(基线)上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点运动的轨迹就得到内摆线.已知基线圆的方程为，半径为2的动圆内切于定圆作无滑动的滚动，切点的初始位置为.若，则的最小值为 ；若，且已知线段的中点的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为 . 【答案】 4 【分析】根据圆、摆线、椭圆的知识求得正确答案. 【详解】当时，的最小值为. 当时，初始位置为，圆的四分之一弧长为， 圆的半周长为，所以的轨迹过点，所以， 椭圆焦点在轴上，所以椭圆方程为： 故答案为：4；. 21．已知是椭圆的焦点，点是上的动点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据椭圆标准方程可得焦点坐标，得出的表达式再由椭圆的范围利用二次函数性质可得出结果. 【详解】不妨取为椭圆的左焦点，设， 由椭圆可得，且满足，即； 因此， 又易知，所以可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 22．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为 .    【答案】 【分析】利用空间线面位置关系、空间向量、向量法求空间中点到直线距离的公式、二次函数分析运算即可得解. 【详解】解：    如上图，取的中点为.连接 、、. ∵，点是的中点，∴. 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴ 平面.又∵平面∴. 又∵底面是矩形，、是、中点，∴. ∴以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴 建立空间直角坐标系如图所示，由，，， 得，. ∴，，，则，， 设 ，则，， ， ∵， ∴向量的单位方向向量， 则， 因此点到直线的距离， 当时，取最小值， ∴线段上的动点到直线的距离的最小值为. 故答案为：. 【点睛】向量法求点到直线距离的步骤： 1.根据图形求出直线（或向量）的单位方向向量. 2.在直线上任取一点（可选择特殊便于计算的点），计算点与直线外的点的方向向量点. 3.点到直线的距离. 23．在空间直角坐标系中，向量，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据向量数量积的运算求得正确答案. 【详解】由题意得， 则， 当且仅当时等号成立， ，， ，要使同向，可取， ， 即，. 所以的最大值为． 故答案为： 24．如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为 ，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为 .    【答案】 / 【分析】建立适当的空间直角坐标系，第一空：只需证明即可得到平面截正方体所得截面为梯形，进一步结合已知条件求解即可；第二空：结合已知将取得最小值转换为，其中，进一步求出两平面的法向量即可求解. 【详解】由题意以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    第一空：因为分别为的中点，所以， 因为， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为，所以，即四点共面， 所以平面截正方体所得截面为梯形，由对称性可知该梯形是等腰梯形， 因为正方体棱长为4， 所以梯形的上底，下底，梯形的腰长为， 所以梯形的高为， 故所求截面面积为； 第二空：由题意，且， 所以， 在中，当时，， 所以表示经过点且法向量为的平面， 即点在平面上， 由以上分析可知，， 若要取得最小值，只需最小，此时，当然也有， 由题意设，而， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 所以可取， 显然平面的一个法向量可以是， 二面角的余弦值为. 故答案为：18，. 【点睛】关键点点睛：第二空的关键在于将取得最小值转换为，其中，由此即可顺利得证. 25．设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E ； 【答案】 【分析】设点，由重心坐标和外心坐标，结合圆的几何性质以及列方程，化简后求得轨迹E的方程． 【详解】设点，则的重心， ∵是不等边三角形，∴， 再设的外心， ∵已知，∴MN∥AB，∴， ∵点N是的外心，∴， 即， 化简整理得轨迹E的方程是. ∴动点C的轨迹E是指焦点在轴上的标准位置的一个椭圆（去掉其顶点）． 故答案为：. 【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和曲线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题． 26．已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点， 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， ， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 由题意知，，， 则， 的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，解答的关键是根据椭圆的定义将目标等价转化点共线问题，也即线段的长度问题，通过数形结合即可求解，考查学生的转化与化归思想． 四、解答题 27．已知椭圆：的长轴长等于6，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由椭圆的定义，结合余弦定理列出方程，再由三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】（1）依题意，，∴. ∵，即，∴. ∴. ∴椭圆的方程为. （2）由（1）知，，， 设，， 则， 即， 将，代入后，得， ∴，即， ∴. ∴ . ∴ 的面积为 . 28．已知两定点，，过动点的两直线和的斜率之积为．设动点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)设，过的直线交曲线于、两点（不与、重合）．设直线与的斜率分别为，，证明为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设出动点，且根据题意，从而求解； （2）设出直线的方程，然后与椭圆进行联立后利用根与系数关系从而证明为定值. 【详解】（1）设点，根据题意得： ， 整理得：， 故曲线的方程为：. （2）设直线的方程为， 联立，得：， 设点，，由根与系数的关系得： ，， 则： ， 综上，为定值2． 【点睛】（2）问中利用直线与椭圆联立后利用根与系数关系即可求解. 29．已知圆的方程为. (1)求过点，且与圆相切的直线的方程； (2)是圆上一动点，点的坐标为.若点为的中点，求动点的轨迹方程. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）考虑切线斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径计算得到答案. （2）设，根据中点坐标公式得到，代入圆方程化简得到答案. 【详解】（1）当切线斜率不存在时，是圆的切线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到切线的距离，解得，故切线方程为， 综上所述：切线方程为：或. （2）设，则，即，点在圆上，则， 即. 30．已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于，且分别是弦的中点. (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线过定点； (3)求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据条件列出方程组求解； （2）设直线的方程为，根据已知条件，利用韦达定理和中点公式求得，，然后按照其横坐标是否相等，分别研究直线的方程，从而得到结论； （3）求得△MNF2面积关于的表达式，然后利用换元思想，设转化为关于的函数，利用函数的单调性求解得到. 【详解】（1）因为椭圆经过点， 所以，因为与短轴的一个顶点构成一个等腰直角三角形， 所以， 所以，解得， 所以椭圆方程为. （2）证明：设直线的方程为， 则直线的方程为， 联立，消去得， 设，则, 所以， 由中点坐标公式得， 将的坐标中的用代换，得的中点， 当时，所在直线为， 当时，，直线的方程为， 整理得， 令，可得，即有， 所以直线过定点，且为. （3）方法一：面积为. 令， 由，，在上，∴递增，则在上递减，所以当，即时，取得最大值为， 则面积的最大值为. 方法二：， 则面积， 令，则，当且仅当， 即时，面积的最大值为. 所以面积的最大值为. 31．已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率． 【答案】(1) (2)直线的斜率或 【分析】（1）由题意首先依次得出，，进一步结合离心率公式以及的关系式即可求解； （2），则，进一步表示出点以及的面积，结合已知可得点的坐标，由此即可得解. 【详解】（1）圆过， ， 又圆过， ， 又 ， 椭圆的方程为. （2）设，则，    由题知且， 则， ， 由，解得， ， 又， ， 又， ， 直线的斜率或. 32．已知焦点在轴上的椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，坐标原点为.，，三点满足，且为椭圆与圆：的一个切点． (1)求椭圆的方程； (2)设为过的直线，与圆交于两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为上顶点且为与圆：的切点，得出，再根据得出，进而得出，即可得出椭圆方程； （2）分两种情况讨论，当斜率存在时，设：，由点到直线距离公式求得原点到直线的距离，再根据勾股定理得出，进而得出范围；当斜率不存在时，，即可求解． 【详解】（1）设：（）， 因为为上顶点且为与圆：的切点，所以， 令，因为，所以， 所以，即：． （2）因为，所以， 1°当斜率存在时，设：， 所以到的距离， 则， 所以， 2°当斜率不存在时，，， 综上，的取值范围为． 33．如图，四棱锥中，，，，，，为线段中点，线段与平面交于点. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得平面，进而可得，根据三线合一以及勾股定理可证平面，进而可得结果； （2）建系，利用空间向量求面面夹角； （3）设，根据线面关系可得，利用向量求面积以及点到面的距离，结合体积公式运算求解. 【详解】（1）连接， 因为，且为线段中点，则， 又因为，，平面， 所以平面， 由平面，可得，所以， 取的中点，连接， 因为，则，且， 可知，可得， 且，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 则， 且平面与平面夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）设， 因为，则，解得，即， 可得， 又因为，解得，即， 可得， 则， 可得， 可知为钝角，则， 所以的面积为， 又因为，则， 可得， 可知为锐角，则， 所以的面积为， 可知四边形的面积为， 又因为点到平面的距离， 所以四棱锥的体积. 34．如图所示，已知四棱锥，满足为中点，，．    (1)求证平面 (2)若与夹角的余弦值为，且，求与平面夹角的正弦值 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点为，连接，，，，易证平面，得到，从而平面； （2）以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系，设面的法向量为， 则. 【详解】（1）    取中点为，连接，，，， ∵，为中点，∴ ∵，为中点，∴， 又因为，， 平面，平面，∴． ，，平面 平面． （2）   解：以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系， 设，，设， ，所以三点共线， 在中，，， ， 在中，为中点， 得，，，，，， 有，， ∴得． 所以 设面的法向量为， ， ，令有， 设与面的夹角为，则． 35．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．    (1)求证： 平面； (2)求证：平面平面 (3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设交于点，连接，利用三角形相似证得，从而证得，进而证得直线 平面； （2）通过平面，证得平面，所以平面平面； （3）建立空间直角坐标系，设，通过向量和平面的法向量建立直线与平面所成角的正弦值的关系式，并利用基本不等式，即可求最值. 【详解】（1）如图，设交于点，连接，由圆锥的性质可知底面，    因为平面，所以， 又因为是底面圆的内接正三角形，由，可得， ，解得， 又，，所以，即，， 又因为，所以， 所以，即， 又平面，直线平面，平面， 所以直线 平面． （2）因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （3）易知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，，    设平面的法向量为， 则，令，则， 设，可得， 设直线与平面所成的角为， 则， 即， 令， 则 ， 当且仅当时，等号成立，所以当时，有最大值， 即当时，的最大值为1，此时点， 所以， 所以点到平面的距离， 故当直线与平面所成角的正弦值最大时，点到平面的距离为. 36．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是线段的中点． (1)求证：平面； (2)若，求二面角的大小； (3)若线段上总存在一点P，使得，求t的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)的最大值为. 【分析】（1）法一：设，连结，，先证为平行四边形，得到，再由线面平行的判定证结论；法二：证面，构建空间直角坐标系，应用向量法证线面平行； （2）应用向量法求二面角的大小即可； （3）设，其中，进而得到 ，再结合向量垂直的坐标表示列方程得，最后求t的最大值． 【详解】（1）法一：设，连结，， 矩形中是线段的中点，是线段的中点， 所以，，所以为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面； 法二：由题意，正方形和矩形所在的平面互相垂直， 面面，，面，所以面， 以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为，，是线段的中点， 则，，，，，， 从而，，，， 设面的法向量为，则由，可知， 令，则，，从而面的一个法向量为， 则，又平面，所以，从而面. （2）若，则，，面的一个法向量为， 设面的法向量为，则，可知， 令，则，，从而面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，因为为锐角，所以， 所以二面角的大小为. （3）因为点在线段上，而， 设，其中，则，从而 ， 于是，而， 由知，即， 所以，解得，故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，设，其中，根据向量的坐标表示得到，，再由垂直关系列方程得到参数关系为关键. 37．在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.    (1)求二面角的余弦值； (2)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量求解； （2）设，表示出，利用向量的夹角公式代入列式，即可得解. 【详解】（1）因为在梯形中，，，，为的中点，所以，，， 所以是正三角形，四边形为菱形， 可得，， 而平面平面，平面平面， 平面，， 平面，所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则， ， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则，， ， ， 所以二面角的余弦值为. （2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为. 设，因为，，所以， 设与平面所成角为，则， 即，，解得， 所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 38．已知三棱柱，，，为线段上的点，且满足．    (1)求证：平面； (2)求证：； (3)设平面平面，已知二面角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）作辅助线，先证明四边形为平行四边形，得线线平行，再由线面平行判定定理可证； （2）以为一组基底，先利用基底表达向量，再向量平方利用数量积求模，求得，由勾股定理计算可证垂直； （3）先证明两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用法向量求解二面角余弦值，即可根据题意建立等量关系求参数. 【详解】（1）过分别作交于点交于点， ， 且， ， ∴四边形为平行四边形，， 平面．平面． 平面． （2）， ， ，，． （3）取中点，连接 为等边三角形且，则 ． 在中，， 由， 在中，为中点，，， . 如图，分别以为轴建立空间直角坐标系．    ． 即， ，设， 则，即， 故， 又，同理可得， ， 设平面的一个法向量， 而平面的一个法向量， 设二面角的的平面角为，则， 则， 化简得， 解得或. 39．如图：等边三角形的边长为3，，．将三角形沿着折起，使之成为四棱锥．点满足，点在棱上，满足．且． (1)求到平面的距离； (2)求面与面夹角的余弦值； (3)点在面的正射影为点，求与平面夹角的正弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）先求出，利用勾股定理证得，以点为原点建立空间直角坐标系，根据求出点的坐标，再根据即可求出点的坐标，即可得解； （2）分别求出两平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得解； （3）先确定点的位置，再利用向量法求解即可. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得， 所以，所以，即， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设， 则， ， 因为， 所以，解得， 则，故， 所以， 设，由， 得，解得，即， 所以到平面的距离为； （2）， 设平面得法向量为， 则有，可取， 设平面得法向量为， 则有，可取， 则， 所以面与面夹角的余弦值为； （3）因为平面， 所以平面， 因为点在面的正射影为点，所以平面， 所以，所以在上， ，则， 故，则， 则， 所以与平面夹角的正弦值为． 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 40．如图，在三棱柱中，，侧面是正方形，二面角的大小是． (1)求三棱柱的体积； (2)若点是线段上的一个动点，求直线与平面所成角的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）取和得中点和，连接，，取的中点，连接，得出为三棱柱的高，再根据棱柱的体积公式即可求解； （2）取中点，连接，所以，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设，用表示出，从而求出直线与平面所成角正弦值的范围，即可求解. 【详解】（1）如图，取和得中点和，连接，，取的中点，连接， 因为，所以，因为侧面是正方形，所以，，所以， 因为平面平面，所以为二面角的平面角， 因为二面角的大小是，所以， 因为，且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以，所以为等边三角形，所以，且， 因为，，且平面，平面，且两直线相交，所以平面， 又平面，所以， 因为，，平面，平面，且两直线相交，所以平面， 所以.    （2）取中点，连接，所以，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 由题可得，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，，所以， 因为点在线段上，所以 ， 所以， 直线与平面所成角为， 则 所以当，即时， 有最大值，所以， 所以直线与平面所成角的最大值为.    41．如图所示，正方体的棱长为3，动点在底面正方形内，且与两个定点，的距离之比为． (1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)求动点到平面的距离的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系根据平面上轨迹的求法求解； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求点面距离，再由三角代换求取值范围即可. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图，    设 ， 由，得 化简得， 即， 故曲线C是以为圆心，2为半径的圆在正方形内一段圆弧． （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图，    则， 所以， 设平面的法向量， 则，令，则，，故， 由（1）可设，其中, 则， 设到平面的距离为， 则， 由（1）可令，其中， 则， 因为，所以， 即，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：第二问中求圆弧上动点到平面距离范围时，首先利用向量法表示出动点到面的距离是解题的第一个关键点，再根据圆的性质进行三角代换求距离的取值范围是第二个关键点，本题难度较大，属于难题. 42．如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形， 为中点，平面为内的动点(含边界). (1)求平面与平面夹角的正弦值; (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，运用面面夹角的坐标公式计算即可; （2）设出点的坐标，由平面面，可以表示出的坐标，结合线面角公式计算可得，利用换元法求解即可. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 由题意知，，又，则， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 则， 设平面与平面夹角为，则， 则， 即平面与平面夹角的正弦值为. （2）如（1）建系及图可知，平面的法向量为， 平面的法向量为， 设，则， 因为平面面，所以， 解得，所以， 又因为平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 又为内的动点(含边界)所以，解得， 所以， 令，则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 两边同乘以3可得直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 【点睛】思路点睛：求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的两个平面的夹角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算． 43．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，根据几何关系，构造中位线，即可证明； （2）首先建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，根据法向量夹角的余弦值，即可求解； （3）根据（2）的结果，代入线面角的向量公式，即可求解. 【详解】（1）连结，交于点，连结， 点是的中点，点是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面； （2）如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，， 则，， 设平面的法向量， 则，令，，， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为； （3），，，， ，，， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 解得或， 又， 则或. 44．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切. （1）求椭圆C的方程； （2）如图，过定点的直线l交椭圆C于A，B两点，连接并延长交C于M，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）设圆O的方程为，根据圆O与直线相切，求得，再根据和，求得，即可得到椭圆C的方程； （2）设直线，联立方程组，求得，根据斜率公式，化简，得到，代入即可求解. 【详解】（1）由题意，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆， 可得圆O的方程为， 因为圆O与直线相切，所以， 由及，解得， 所以椭圆C的方程为. （2）由题意可知直线l的斜率必存在，设直线， 联立方程组，消去y得， 有，整理得， 设，，则，， 有 其中 所以，所以. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 45．已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求椭圆C的方程； （2）如图，点M是x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A在x轴的上方)，若，且直线l与圆相切于点N，求△OMN的面积． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据离心率，点在椭圆上，建立关于 的方程，解出未知数即可； （2）联立方程组，结合，得出，再根据相切的特点即圆心到直线的距离等于半径得，可得直线方程，求出半径，利用三角形面积公式可解. 【详解】解：（1）由题意知 解得， 所以椭圆的方程为． （2）设，直线， 由，有， 由得， 由韦达定理得，． 由，则， ，化简得， 原点到直线的距离，又直线与圆相切， 所以．即． ， 即 解得，此时，满足，此时， 在中，， 所以 46．椭圆的离心率为，长轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与圆相切于点M，交于两点A，B，试问：是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是定值，定值为. 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，利用待定系数法求椭圆的标准方程；（2）斜率不存在时易求定值，当斜率不存在时，利用直线与圆相切，求得，且，方法一：设直线，利用韦达定理表示，再化简求定值；方法二：由韦达定理，以及条件求得，从而求得为直角三角形，再由射影定理求得定值. 【详解】（1）由题意，且，解得：，，所以， 则椭圆； （2）当直线的斜率不存在时，不妨令，故，，则 当直线的斜率存在时，设直线：，，，， 故，圆心到直线的距离，且， 联立：， ∴，，且， 方法一： 由于A，M，B三点共线，则， 注意到且，则，代入上式， 即得： 故 方法二： 为直角三角形，由射影定理有：为定值. 【点睛】方法点睛：1、求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定理。 2、定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的。 47．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且离心率为． (1)求C的方程； (2)直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，，N，四点共圆． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据顶点与离心率的公式求解即可； （2）设点，，则点，再联立直线与椭圆的方程，进而求得，，再求得直线AE，AF的方程得到，，根据可得，同理证明即可 【详解】（1）由题意知，解得，，，所以C的方程为． （2）证明：设点（不妨设，则点， 由，消去y得，所以，， 所以直线AE的方程为． 因为直线AE与y轴交于点M，令得， 即点，同理可得点． 所以，， 所以，所以，同理． 则以MN为直径的圆恒过焦点，，即M，，N，四点共圆． 综上所述，M，，N，四点共圆． 48．如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)记的面积为S，求S的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线过定点坐标求得，再由椭圆所过点的坐标求得得椭圆方程； （2）设，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得， 计算弦长，再求得到直线的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值． 【详解】（1）由题意可得，直线恒过定点， 因为为的中点， 所以， 即. 因为椭圆经过点 ，所以 ， 解得， 所以椭圆的方程为. （2）设. 由得 恒成立， 则， 则 又因为点到直线的距离， 所以 令， 则， 因为，时，，在上单调递增， 所以当时，时，故. 即S的最大值为 . 【点睛】方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值． 49．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【分析】（1）结合两点的坐标，利用待定系数法求得椭圆的方程. （2）设直线，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，利用求得的关系式，从而判断出直线过左焦点，由此求得的周长为定值. 【详解】（1）由已知设椭圆方程为：， 代入，得， 故椭圆方程为. （2）设直线， 由得， ，， 又， 故 ， 由，得， 故或， ①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去； ②当时，直线，过定点，即直线过左焦点， 此时，符合题意. 所以的周长为定值. 50．已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设直线不经过点且与椭圆相交于，两点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)直线恒过定点，定点坐标为 【分析】(1)根据题意椭圆过点P2、、，代入椭圆方程列出方程组，解之即可求解； (2)根据角、线段之间的数量关系可得，设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理和平面向量的坐标表示可得 ，求出m的值，即可得出直线恒过的定点. 【详解】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点. 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上. 因此解得 故C的方程为. （2）在中，，， 所以，从而， 又为线段的中点，即，所以， 因此，从而， 根据题意可知直线的斜率一定存在，设它的方程为，，， 联立消去得①， ， 根据韦达定理可得，， 所以 所以， 整理得，解得或 又直线不经过点，所以舍去， 于是直线的方程为，恒过定点， 该点在椭圆内，满足关于的方程①有两个不相等的解， 所以直线恒过定点，定点坐标为. 51．已知点，，平面内一动点满足直线与的斜率乘积为． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线交轨迹于两点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，求坐标原点到直线的距离的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按题意列方程即可，注意取不到的特殊点； （2）设出直线方程后和曲线方程联立，由斜率关系可解得其中一个参数，再表示出点到直线的距离即可求解. 【详解】（1）设，则且 化简得. （2）如图，设， 若，则关于轴对称，有，不合题意 故，同理可知，故 由化简整理可得 所以，且 由可知，故即 于是 解得，满足 坐标原点到直线的距离. 52．已知椭圆的离心率为且椭圆经过点，为左右焦点. (1)求椭圆方程； (2)P是椭圆上任意一点，求的取值范围； (3)过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据椭圆的离心率和所过点求得，从而求得椭圆的方程； （2）设出P点坐标，代入椭圆方程，得到之间的关系，再用表示出，将其转化为函数问题，即可求出范围； （3）联立直线的方程并与椭圆方程，得到，再利用弦长公式得到弦长，代入面积公式化简再利用基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，解得， 椭圆的方程为； （2）设在椭圆上， ， ； （3）由（1）得，椭圆的左焦点，右焦点， 则直线的斜率存在时方程为：，设， 联立，消去，得， 显然， 则， 所以， 点O到直线的距离， 则， 当且仅当，即不存在时，取“=”， 所以当不存在时，面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系，求焦点弦与原点所构成的三角形的面积，关键在于设出斜率，并用其表示出弦长和原点到焦点弦的距离，代入面积公式进行计算，本题的难点在于面积表达式的化简，运用整体思想以及基本不等式即可求出最大值. 53．已知F是双曲线的右焦点，过F作渐近线的垂线，垂足为． (1)求双曲线E的标准方程； (2)过P作直线l与双曲线E交于两点A、B，记FA、FB的斜率（斜率均有在）分别为，证明：是定值，并求出这个值． 【答案】(1) (2)是定值，定值为1 【分析】（1）结合双曲线的几何性质，以及几何关系，即可求解； （2）首先直线的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，即可证明和求解定值. 【详解】（1）由题意可知，点落在渐近线上，则， 设右焦点，到渐近线的距离， 则，且由可知，， 所以，解得：， 所以双曲线的标准方程为； （2）直线与双曲线无交点，所以直线的斜率存在， 设直线，，，焦点 联立，得， 则，， 解得：， 可得，， 所以， ， ， . 综上可知，为定值，定值为1. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 54．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，且经过点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，是双曲线上关于原点对称的两点，垂直于的直线与双曲线相切于点，当点位于第一象限，且被轴分割为面积比为的两部分时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，解方程组即可求出结果； （2）分别将直线以及直线的方程与双曲线联立，表示出点与点的坐标，然后根据题意得到关于的方程组，解方程组即可求出结果. 【详解】（1）因为的右焦点为，且经过点， 所以，解得． 故双曲线的标准方程为． （2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为． 联立消去，得． 由得且， 解得． 因为与垂直，所以设的方程为． 联立消去，化简得． 由且，得． 因为与双曲线有且仅有一个公共点， 所以，即， 化简得，且点． 因为点位于第一象限，所以，． 不妨设，分别位于双曲线的左、右两支上，记与轴的交点为．    因为被轴分割为面积比为的两部分，且与面积相等， 所以与的面积比为，由此可得． 因此，即． 又因为，所以，解得． 因为，所以， 故直线的方程为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 55．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线的左焦点，过点作直线交的左支于两点.点，直线交直线于点.设直线的斜率分别，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件，列方程组求，可得双曲线标准方程； （2）设直线的方程与双曲线联立方程组，设两点坐标，表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值. 【详解】（1）由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，，所以双曲线的方程为. （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 由于过点作直线交的左支于两点， 设，，所以，， 由直线，得， 所以，又， 所以 ， 因为，所以，且， 所以，即为定值. 【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 56．在平面直角坐标系中，动点在抛物线上运动，点在轴上的射影为，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线顺次交于、两点，过点作斜率为1的直线与曲线的另一个交点为点，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）根据向量关系得点的坐标关系，利用相关点法可得； （2）设方程为，的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理可得，代入方程化简即可得证. 【详解】（1）设，则，则， 又，所以，得， 因为点在抛物线上，所以， 所以动点的轨迹方程为 （2）显然直线斜率存在且不为0，设方程为， 由得，， 设，则， 所以①， 直线的方程为， 由得，， 设，则②， 由①②得，整理得③， 若直线斜率不存在，则，代入③可得， 则，所以直线方程为； 若直线斜率存在，则， 则直线方程为，即， 将③代入得， 即，故直线斜率存在时过定点. 综上，直线过定点. 【点睛】关键点睛：第二问关键在于设出方程，联立抛物线方程，利用韦达定理消去点坐标，得到坐标关系，根据此关系代入方程整理即可得证. 57．已知抛物线的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求，由此可得抛物线方程； （2）（i）设的方程为，联立方程组并化简，设，应用韦达定理得，写出直线方程，求出它与轴的交点坐标即得； （ii）由（i）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值． 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以的方程为：； （2）（i）由已知可得直线的斜率不为0，且过点， 故可设的直线的方程为， 代入抛物线的方程， 可得， 方程的判别式， 设，， 不妨设，则, 所以直线AD的方程为：，即 即，令，可得， 所以，所以 所以； （ii）如图所示，可得， ， 所以与的面积之和 当且仅当时，即时，等号成立， 所以与的面积之和的最小值为.    【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。 58．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且线段的中点为，该抛物线的焦点到准线的距离不大于3. (1)求抛物线的方程； (2)设点为抛物线上的动点，若，当的中点到抛物线的准线距离最短时，求所在直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据中点坐标设出点，再代入抛物线，求出的值即可； （2）先设出直线与两点，联立后得到韦达定理，求出中点坐标，结合韦达定理求出直线中点到准线距离的最值，最后求出直线方程即可. 【详解】（1）依题意得，焦点到准线的距离不大于3，所以， 设，由的中点坐标为， 得，解得， 因为在抛物线，所以 即，解得或（舍）， 所以抛物线的方程为. （2）如图所示，    根据题意直线的斜率存在，设直线的方程为，设中点， 由， ， ， 所以， 则 所以， 又因为的中点到准线的距离等于， 所以当最小时，的中点到准线的距离最短. 因为， 当且仅当时，解得，则. 所以直线的方程为或. 【点睛】关键点睛：本题的关键在于理解中点到准线的距离的最小值本质上是中点纵坐标的最小值，然后应用均值不等式求最值即可. 59．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上. (1)求抛物线的方程. (2)若直线与抛物线交于另一点，证明：为定值. (3)过点作圆的两条切线，与轴分别交于两点，求面积取得最小值时对应的的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据抛物线准线相关知识直接求解即可； （2）设，直线，与抛物线联立，然后结合韦达定理求解； （3）记两个切点分别为，．连接，，，．分别由和，求得DE，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）因为抛物线的准线与轴的交点为， 所以，解得， 所以抛物线的方程为 （2）由（1）得，， 设，直线， 联立，可得， ，． 又，则． 上式通分后得分子为， 故，为定值 （3）如图，记两个切点分别为，．连接，，，．    由题意，得． 由切线长定理，知，，， ， 又， ， ， ， 解得， ， 当且仅当，即时，取等号． 此时． 故当面积取得最小值时， 【点睛】方法点睛：本题考查解析几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为： （1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线与图形关系进而求解； （2）坐标法：在平面直角坐标系中，通过坐标的运算与转化，运用方程联立与韦达定理等知识，用坐标运算求解答案. 60．已知抛物线过点，直线l与该抛物线C相交于M，N两点，过点M作x轴的垂线，与直线交于点G，点M关于点G的对称点为P，且O，N，P三点共线． (1)求抛物线C的方程； (2)若过点作，垂足为H（不与点Q重合），是否存在定点T，使得为定值？若存在，求出该定点和该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在定点，使得为定值，该定值为 【分析】（1）将点代入抛物线方程可求出，从而可求出抛物线方程； （2）设点，，然后表示出点的坐标，由O，N，P三点共线，化简可得，设直线l的方程为，代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系可得，则直线l过定点，从而可得点H的轨迹是以为直径的圆. 【详解】（1）因为抛物线过点，所以，所以， 所以抛物线C的方程为． （2）设点，，联立，得， 又因为点M关于点G的对称点为P，所以点， 由O，N，P三点共线，可得，即， 化简得， 设直线l的方程为，联立，消去x，得， 则，即，可得，， 代入，可得，可得， 所以直线l的方程：，即，则， 所以直线l过定点， 因为， 所以点H的轨迹是以为直径的圆（除去E，Q两点），圆心为，半径为， 所以存在定点，使得为定值，该定值为． . 【点睛】关键点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线中的定点问题，解题的关键是将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，再结合O，N，P三点共线的条件表示出直线方程，从而可求得直线过的定点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$