专题03 圆锥曲线重难点题型归纳（十大题型）-2024-2025学年高二数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019选择性必修）

专题3 圆锥曲线重难点题型归纳（十大题型） 【题型一】 弦的垂直平分线问题 【题型二】 动弦过定点的问题 【题型三】 过已知曲线上定点的弦的问题 【题型四】 共线向量问题 【题型五】 面积问题 【题型六】 弦或弦长为定值、最值问题 【题型七】 数形几何确定直线与圆锥曲线的位置问题 【题型八】 轨迹问题 【题型九】 对称问题 【题型十】 存在性问题 【题型一】 弦的垂直平分线问题 【方法点拨】这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。 【典例1】已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点． (1)求椭圆的方程和焦距； (2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q不在坐标轴上），且直线PQ与x轴平行，线段的垂直平分线与y轴交于点，圆在点处的切线与y轴交于点．求线段长度的最小值． 【变式1-1】已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时. (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点. 【变式1-2】已知椭圆过点和． (1)求C的方程； (2)设直线l：，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l，直线AB于M，N两点，求的最小值． 【变式1-3】设点O为坐标原点，P是圆A：上任意一点，点，线段BP的垂直平分线与直线AP交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)设直线l与曲线C（在y轴右侧）恰有一个公共点，且l与直线分别交于M，N两点，求面积S的最小值． 【题型二】 动弦过定点的问题 【典例2】如图，已知椭圆，长轴长为6，离心率为，过椭圆右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于、，过作垂直于直线，连接. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求出定点坐标. 【变式2-1】已知椭圆的右焦点恰为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线截抛物线､椭圆所得的弦长之比为. (1)求的值； (2)已知为直线上任一点，分别为椭圆的上､下顶点，设直线与椭圆的另一交点分别为，求证：直线过定点.并求出该定点. 【变式2-2】已知椭圆的左、右顶点分别为，，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线，M是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AM交直线l于点P，直线BM交直线l于点Q.求证：以PQ为直径的圆恒过定点. 【变式2-3】已知椭圆，直线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线.分别交椭圆于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点. 【变式2-4】已知：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于、两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线交直线于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证线段必过定点，并求定点的坐标. 【题型三】 过已知曲线上定点的弦的问题 【典例3】已知椭圆E：过点，且其离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点的斜率不为零的直线与椭圆E交于C，D两点，A，B分别为椭圆E的左、右顶点，直线AC，BD交于一点P，M为线段PB上一点，满足，问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（O为坐标原点）． 【变式3-1】已知椭圆过点，且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若过椭圆C焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，且以为底边的等腰直角三角形的顶点恰好在y轴上，求直线l的方程． 【变式3-2】已知椭圆经过两点. (1)求的方程； (2)设为的上顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在点的下方，点在线段上，若，证明：. 【变式3-3】已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求的长． 【题型四】 共线向量问题 【典例4】已知F是抛物线C：的焦点，点P在C上，点Q满足，点Q的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)过点F的直线l与曲线E交于M，N两点，，求直线l的方程． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，动点在抛物线上运动，点在轴上的射影为，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线顺次交于、两点，过点作斜率为1的直线与曲线的另一个交点为点，求证：直线过定点. 【变式4-2】椭圆C的方程为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于点P、Q，椭圆的右焦点为，已知的周长为8，且椭圆过点． (1)求椭圆C中的值； (2)过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若，求证：为定值． 【变式4-3】已知圆和点，动圆M经过点A且与圆C内切， (1)求动圆圆心M的轨迹方程； (2)作轴于P，点Q满足﹐求点Q的轨迹方程． 【题型五】 面积问题 【典例5】已知椭圆的离心率为，右焦点为，圆，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为． (1)求的标准方程； (2)若直线与曲线交于两点，求面积的最大值． 【变式5-1】过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知. (1)求抛物线的方程； (2)O为坐标原点，求的面积. 【变式5-2】已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. (1)求动点的轨迹方程； (2)为线段的中点，求点的轨迹方程； (3)过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 【变式5-3】已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 【变式5-4】已知圆，动圆与圆均外切，记圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率为4的直线与曲线交于两点，求的面积． 【变式5-5】在平面直角坐标系中，已知椭圆（过点，且离心率． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A、B两点，求的面积的最大值． 【变式5-6】如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． (1)求焦点坐标，焦距，短轴长； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 【题型六】 弦或弦长为定值、最值问题 【典例6】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 【变式6-1】已知双曲线C的方程为． (1)直线截双曲线C所得的弦长为，求实数m的值； (2)过点作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段的中点M的轨迹方程． 【变式6-2】已知双曲线的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长． 【题型七 直线问题】 【典例7】已知P为椭圆E: 上任意一点，F1，F2为左、右焦点，M为PF1中点.如图所示:若，离心率. (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知直线l倾斜角为135°，经过且与椭圆交于A，B两点，求弦长|AB|的值. 【变式7-1】已知椭圆的左､右焦点分别为，经过左焦点的直线与椭圆交于两点（异于左、右顶点）. (1)求的周长； (2)求椭圆上的点到直线距离的取值范围. 【变式7-2】已知双曲线的离心率为，虚轴长为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【变式7-3】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于A，两点，求的面积． 【变式7-4】已知、，若动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若斜率为1的直线与曲线交于，两点，且，求直线的方程． 【变式7-5】如图，椭圆E：两焦点为，且经过点. (1)求椭圆E的离心率e与椭圆方程； (2)经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），求证：直线与的斜率之和为定值. 【变式7-6】已知点，点分别是直线，上的动点，且，的中点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线与，若与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求的取值范围． 【题型八】 轨迹问题 【方法点拨】 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法 四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。 五、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 【典例8】一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)点为上一动点，点为坐标原点，曲线的右焦点为，求的最小值. 【变式8-1】已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程为 ． 【变式8-2】已知点与定点的距离和它到定直线的距离的比是． (1)求点的轨迹的标准方程； (2)设点，若点是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值． 【变式8-3】在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点形成轨迹. (1)求轨迹的方程； (2)若直线与曲线交于、两点，为曲线上一动点，求面积的最大值. 【题型九】 对称问题 【典例9】已知椭圆的焦距为，点关于直线的对称点在椭圆上. （1）求椭圆的方程. （2）如图，过点的直线与椭圆交于两个不同的点，（点在点的上方），试求面积的最大值. 【变式9-1】已知直线x+y-1=0与椭圆C：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上. （1）求此椭圆C的离心率； （2）若椭圆C的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆C的方程. 【变式9-2】已知椭圆的左右焦点分别是，，点为椭圆短轴的端点，且的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上的一点，是椭圆上的两动点，且直线关于直线对称，试证明：直线的斜率为定值. 【变式9-3】已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆相交于，两点，记的面积为，求的最大值. 【题型十】 存在性问题 【典例10】已知椭圆过点．过点的直线交直线于点，交于两点． (1)求的方程； (2)是否存在实数使得?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式10-1】如图已知抛物线C的方程为，焦点为F，过抛物线内一点A作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点P，已知，，， (1)求p的值； (2)斜率为k的直线过点，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为，探究：是否存在，使得，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由. 【变式10-2】平面上的动点到定点的距离等于点P到直线的距离，记动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)直线与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在这样的直线l，使得，若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由. 【变式10-3】已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 (1)求的方程； (2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 圆锥曲线重难点题型归纳（十大题型） 【题型一】 弦的垂直平分线问题 【题型二】 动弦过定点的问题 【题型三】 过已知曲线上定点的弦的问题 【题型四】 共线向量问题 【题型五】 面积问题 【题型六】 弦或弦长为定值、最值问题 【题型七】 数形几何确定直线与圆锥曲线的位置问题 【题型八】 轨迹问题 【题型九】 对称问题 【题型十】 存在性问题 【题型一】 弦的垂直平分线问题 【方法点拨】这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。 【典例1】已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点． (1)求椭圆的方程和焦距； (2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q不在坐标轴上），且直线PQ与x轴平行，线段的垂直平分线与y轴交于点，圆在点处的切线与y轴交于点．求线段长度的最小值． 【答案】(1)椭圆C的方程为，焦距2 (2) 【分析】 （1）根据给定条件，求出，写出椭圆的方程并计算焦距作答. （2）设出坐标，求线段中垂线方程得点，求圆在点处的切线方程得点，再借助均值不等式求解作答. 【详解】（1） 由题意知，，∴， ∴椭圆的方程为，焦距为． （2） 由直线与轴平行，可设， 则，， 根据椭圆与圆的对称性，不妨取， ∵，， ∴直线的斜率为，线段的中点为， ∴线段的垂直平分线为， 令，则， 而，则， 圆在点处的切线方程为， 令，则， ∴线段长度为， 当且仅当，即时，等号成立， 故线段长度的最小值为．    【变式1-1】已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时. (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 （1）根据椭圆定义求解即可. （2）根据题意设出直线方程，利用直线与圆相切得到k与m的关系，当直线斜率不存在时，以为直径的圆过原点，先猜后证的方法，猜测恒过原点，再验证以为直径的圆过原点即可. 【详解】（1）    因为点是线段的垂直平分线上的一点 所以 因为 所以点的轨迹C是以E，F为焦点的椭圆 其中，， 所以点Q的轨迹C的方程为： （2）   （i）当直线垂直于x轴时，不妨设，， 此时，所以，故以为直径的圆过点. （ii）当直线不垂直于轴时，设直线方程为，，， 因为直线与圆相切，所以点到直线的距离为， 即. 由得， 所以，， 所以， 所以，故以为直径的圆过点. 综上所述，以为直径的圆过定点. 【变式1-2】已知椭圆过点和． (1)求C的方程； (2)设直线l：，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l，直线AB于M，N两点，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将点代入方程求椭圆参数，即可得方程； （2）设直线，联立椭圆消去x，得，应用韦达定理求N点坐标，弦长公式求，点斜式写出直线并求出M点坐标，点线距离公式求到直线距离，最后得到关于参数t的方程，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件. 【详解】（1）由题设，故. （2）由题意，直线不与x轴重合，可设直线， 联立椭圆消去x，可得，即， 此时，所以，， 则，故， 故直线，令，则，所以， 而， 到直线距离，又， 所以，令， 则， 当且仅当时取等号，故最小值为.    【点睛】关键点睛：第二问，注意设直线，联立椭圆，应用韦达定理、中点公式求中点坐标，点斜式求中垂线并求坐标为关键. 【变式1-3】设点O为坐标原点，P是圆A：上任意一点，点，线段BP的垂直平分线与直线AP交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)设直线l与曲线C（在y轴右侧）恰有一个公共点，且l与直线分别交于M，N两点，求面积S的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据几何知识得到Q的轨迹为以A，B为焦点的双曲线，然后求轨迹方程即可； （2）设直线的方程，联立直线与双曲线的方程，根据恰有一个公共点得到，联立直线与渐近线方程，利用韦达定理求三角形面积的最小值即可. 【详解】（1） ， 则Q的轨迹为以A，B为焦点的双曲线， 设方程为，则，，， 所以Q的轨迹方程为． （2） 设l：，代入曲线C的方程得， 由已知得且，即， 将l：，代入得， 设，，则，， 直线l与x轴交点为， 则 由得，即， 则当时，S最小值为． 【题型二】 动弦过定点的问题 【典例2】如图，已知椭圆，长轴长为6，离心率为，过椭圆右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于、，过作垂直于直线，连接. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）利用椭圆的几何性质求得，从而得解； （2）根据题意得到，再联立直线与椭圆的方程得到，从而推得直线必过定点. 【详解】（1）由题意知，，则，，故， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，，则，， 由椭圆对称性可知，若存在定点，则定点必在轴上， 由题意，设， 联立，得，易知， 所以，，则 对于， 令，化简得 ， 所以直线必过定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式2-1】已知椭圆的右焦点恰为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线截抛物线､椭圆所得的弦长之比为. (1)求的值； (2)已知为直线上任一点，分别为椭圆的上､下顶点，设直线与椭圆的另一交点分别为，求证：直线过定点.并求出该定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据给定条件，求出过焦点的弦长，建立方程组求解即得. （2）设出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，再求出直线方程即可得解. 【详解】（1）设点，则椭圆半焦距，由得，由得， 依题意，，又，解得， 所以. （2）由（1）知，椭圆的方程为，，设点， 当时，直线的方程为的方程为， 由，得，解得， 由，得，解得， 即点，则直线的斜率， 于是直线的方程为， 整理得，显然直线恒过定点直线， 当时，直线的方程为，也经过， 所以直线恒过定点直线.    【点睛】思路点睛：过圆锥曲线上的动点的直线过定点问题，借助圆锥曲线方程设出动点坐标，求出相关的直线方程，并与圆锥曲线方程联立，求出另一交点坐标，再与已知结合推理求解即可. 【变式2-2】已知椭圆的左、右顶点分别为，，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线，M是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AM交直线l于点P，直线BM交直线l于点Q.求证：以PQ为直径的圆恒过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据左右顶点坐标得到，根据离心率得到，然后得到，即可得到椭圆方程； （2）设，得到，根据坐标得到直线和的直线方程，即可得到，，然后根据坐标和得到圆的方程为，即可得到以为直径的圆过定点. 【详解】（1）由左、右顶点分别为，，得， 由离心率为，得，解得，所以， 所以椭圆的方程为. （2）证明：设，则， 由，，得，令，则， 由，，得：，令，则， 以为直径的圆的方程为， 即， 又，所以， 令，则，故以为直径的圆恒过定点和. 【变式2-3】已知椭圆，直线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线.分别交椭圆于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据直线被椭圆截得的线段长为可求得交点坐标后代入椭圆方程求得值，从而得到椭圆方程. （2）设互相垂直的两条直线方程求出它们与椭圆交点的坐标，写出直线的方程得到直线恒过定点. 【详解】（1）根据题意，设直线与题意交于两点.不妨设点在第一象限， 又长为，∴，∴ ∴，故的标准方程为 （2）显然直线的斜率存在且不为0， 设，由得， ∴，同理可得 当时，， 所以直线的方程为 整理得，所以直线 当时，直线的方程为，直线也过点 所以直线过定点. 【变式2-4】已知：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于、两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线交直线于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证线段必过定点，并求定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据题意可列方程，求解即可得椭圆的标准方程； （2）由题意知，结合对称性可知点在轴上，设直线方程：，设，，，代入椭圆方程可得，，求解直线直线方程，求解其与轴的交点，即可确定点坐标. 【详解】（1）解：由题可知：，所以，， 故椭圆的标准方程为； （2）解：由题意知，结合对称性可知点在轴上，又， 设直线方程：，设，，， 联立方程得得 所以， 又 所以直线方程为： 令，则 . 所以直线过定点. 【题型三】 过已知曲线上定点的弦的问题 【典例3】已知椭圆E：过点，且其离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点的斜率不为零的直线与椭圆E交于C，D两点，A，B分别为椭圆E的左、右顶点，直线AC，BD交于一点P，M为线段PB上一点，满足，问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（O为坐标原点）． 【答案】(1) (2)是定值，定值为 【分析】（1）将点代入椭圆方程，以及联立离心率可求得椭圆方程； （2）首先设过点的直线为，与椭圆方程联立，利用坐标分别表示直线和方程，并求得点的坐标，利用几何关系，转化，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，，解得：，，， 所以椭圆的方程为； （2）设过点的直线为，，，，， 联立，得， ，， ，所以， ，联立直线和方程， 得， ， 所以，得，，即 因为点是的中点，，所以， 所以.    所以是定值，且定值为. 【变式3-1】已知椭圆过点，且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若过椭圆C焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，且以为底边的等腰直角三角形的顶点恰好在y轴上，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意，由求解； （2）当直线l与x轴重合时，符合题意；当直线l与x轴垂直时，判断；当直线l与x轴不重合，不垂直时，设直线方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理求得线段AB的中点M及中垂线方程，令得到点N的坐标，再由求解. 【详解】（1）解：由题意得：， 又，解得， 所以椭圆的方程为： （2）如图所示： 当直线l与x轴重合时，符合题意； 当直线l与x轴垂直时，，，N，不符合题意； 当直线l与x轴不重合，不垂直时，设直线方程为， ， 联立，消去y得， 则，， ， 线段AB的中点坐标为， 则线段AB的中垂线方程为，即， 令，得， 由题意知：，则， 所以， 即， 即， 整理解得，即， 所以直线方程为：， 综上：直线的方程为：或. 【变式3-2】已知椭圆经过两点. (1)求的方程； (2)设为的上顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在点的下方，点在线段上，若，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据点在椭圆上即可求解； （2）根据韦达定理和几何性质，利用三角形的相似关系证明. 【详解】（1）由题意可知, 解得或（舍去）， 故的方程为. （2） 证明：由（1）可知，设， ，直线的方程为， 联立得， 则， 所以， . 由，得 ， 所以，则， 所以点在线段的垂直平分线上， 即. 易知，设， 所以， 则.① 又在直线上，所以， 则， 所以， 则， 整理得，② 由①②得，所以，则， 所以， 故. 【变式3-3】已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出抛物线的方程，然后代点计算即可得答案； （2）将直线与抛物线的方程联立，求出两点坐标，然后用两点距离公式求解即可. 【详解】（1）设抛物线的方程为， 将代入方程解得． 因此抛物线C的标准方程为； （2）直线的方程为，设， 联立直线与抛物线的方程：，解得 所以的长为． 【题型四】 共线向量问题 【典例4】已知F是抛物线C：的焦点，点P在C上，点Q满足，点Q的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)过点F的直线l与曲线E交于M，N两点，，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）设出，根据得到，代入抛物线方程，求出答案； （2）设直线l的方程为，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据弦长列出方程，求出或，得到直线方程. 【详解】（1）由题意得， 设，则， 所以，，， 所以， 由P在抛物线C上可得，即， 则曲线E的方程为． （2）显然当直线l的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求， 设直线l的方程为，设，， 代入，消去x得， 则，，， 所以 ， 所以或． 所以直线l的方程为或． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，动点在抛物线上运动，点在轴上的射影为，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线顺次交于、两点，过点作斜率为1的直线与曲线的另一个交点为点，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）根据向量关系得点的坐标关系，利用相关点法可得； （2）设方程为，的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理可得，代入方程化简即可得证. 【详解】（1）设，则，则， 又，所以，得， 因为点在抛物线上，所以， 所以动点的轨迹方程为 （2）显然直线斜率存在且不为0，设方程为， 由得，， 设，则， 所以①， 直线的方程为， 由得，， 设，则②， 由①②得，整理得③， 若直线斜率不存在，则，代入③可得， 则，所以直线方程为； 若直线斜率存在，则， 则直线方程为，即， 将③代入得， 即，故直线斜率存在时过定点. 综上，直线过定点. 【点睛】关键点睛：第二问关键在于设出方程，联立抛物线方程，利用韦达定理消去点坐标，得到坐标关系，根据此关系代入方程整理即可得证. 【变式4-2】椭圆C的方程为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于点P、Q，椭圆的右焦点为，已知的周长为8，且椭圆过点． (1)求椭圆C中的值； (2)过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的定义，得到，再由点在椭圆上，列出方程，求得的值，即可求解； （2）设，直线的方程为，联立方程组，求得，结合题意得到，代入化简，即可求解. 【详解】（1）解：因为的周长为，由椭圆的定义，可得，解得， 又由椭圆过点，可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：设点， 由题意知，直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 因为点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点， 可得， 又因为，且， 可得， 所以， 所以. 【变式4-3】已知圆和点，动圆M经过点A且与圆C内切， (1)求动圆圆心M的轨迹方程； (2)作轴于P，点Q满足﹐求点Q的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，根据椭圆的定义可得解； （2）设出点，点，根据坐标化可得，再由点在上代入可得解. 【详解】（1） 设动圆的半径为R，圆C的方程可变为， 可得圆心，半径， 由动圆经过点且与圆C内切，则，， 即得，又， 所以圆心是以点为左右焦点的椭圆，其方程为. （2）设点，点，则， 又，得，整理得， 又，代入运算得， 所以点的轨迹方程为. 【题型五】 面积问题 【典例5】已知椭圆的离心率为，右焦点为，圆，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为． (1)求的标准方程； (2)若直线与曲线交于两点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知分别求出即可得到的标准方程； （2）通过直曲联立，求出弦长，再由点到直线距离公式求出原点到直线的距离， 代入三角形面积公式，利用不等式求出面积的最大值． 【详解】（1） 设椭圆的半焦距为，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为， 则，又， 解得， 所以的标准方程为． （2）设， 联立直线与椭圆的方程，可得， 所以，得． 又原点到直线的距离， 所以， 所以． 令，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 即当时，的面积取得最大值． 【变式5-1】过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知. (1)求抛物线的方程； (2)O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示焦点弦长公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，利用点到直线的距离公式表示三角形的高，即可求解面积. 【详解】（1）设方程为，， 由并化简得， 则， ，故 所以抛物线方程为. （2）由（1）知方程为， 则原点O到的距离 所以. 【变式5-2】已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. (1)求动点的轨迹方程； (2)为线段的中点，求点的轨迹方程； (3)过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由椭圆定义可知，点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆，由此能求出动点的轨迹方程； （2）设，，利用中点坐标公式及“代点法”即可得出点的轨迹方程； （3）对直线的斜率分不存在、为、存在且不为三种情况讨论，当直线的斜率存在（不为）时，把直线的方程与椭圆的方程联立，解得点，的坐标，利用两点间的距离公式即可得出，再利用点到直线的距离公式即可得出点到直线的距离，利用三角形的面积计算公式即可得出． 【详解】（1）因为，由椭圆定义可知， 点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，则，，所以， 故动点的轨迹方程为； （2）设，， ，且为线段的中点， ，即，代入的轨迹方程，可得， 整理得， 即点的轨迹方程为； （3）①当直线的斜率不存在时，可得，， ，点到轴的距离为1， ； ②当直线的斜率为时，则，， ，点到轴的距离为， 所以； ③当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，，，． 联立，化为． 解得，则，则，． ． 又点到直线的距离． ， ， 当时，当且仅当，即可时取等号， 当时，当且仅当，即可时取等号， 所以， 当且仅当时，即，取最大值，最大值为， 综上所述面积的最大值． 【变式5-3】已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用离心率的定义求解； （2）设的中点为，先分别确定点的坐标，再最终求解. 【详解】（1）由已知有，，故，所以离心率. （2） 如图，设，，的中点为. 则由，可知. 而，故. 所以，从而在直线上. 由知，故，结合可知直线的方程为. 所以是直线和的交点，故. 而，故的方程为，与椭圆联立解得，. 所以，，故. 【变式5-4】已知圆，动圆与圆均外切，记圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率为4的直线与曲线交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析即可得解； （2）联立直线与曲线的方程，利用弦长公式求得，再利用点线距离求得到直线的距离，从而利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 由条件可得，即， 则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支， 则，可得， 所以曲线的方程为． （2）依题意，直线的方程为，即， 联立，消去，得， 易知，设，则， 所以， 而到直线的距离为， 所以的面积为. 【变式5-5】在平面直角坐标系中，已知椭圆（过点，且离心率． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A、B两点，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用，可得，再将点坐标代入方程，解方程组求得从而可得椭圆的方程； （2）设直线l的方程为，代入椭圆方程中整理得，借助根的判别式可得，结合根与系数的关系可得，接下来利用点到直线的距离公式可求出点到直线的距离，再利用三角形面积公式和基本不等式进行求解，即可解决问题. 【详解】（1）因为，所以，①因为椭圆C过点， 所以，②由①②解得，所以椭圆的方程为． （2）设直线l的方程为，联立， 得，所以， 又直线l与椭圆相交，所以，解得， 则，点P到直线l的距离， 所以， 当且仅当，即时，的面积取得最大值为2．    【变式5-6】如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． (1)求焦点坐标，焦距，短轴长； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 【答案】(1)焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； (2). 【分析】（1）根据椭圆方程求得，再根据求出，再根据相关定义即可求解； （2）通过直线与椭圆方程建立方程组，化简得到关于的一元二次方程，进而得到，根据图象可得，进而得解. 【详解】（1）设长半轴、短半轴、焦距分别为，由已知方程得到，，所以，，由得， 故焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； （2）设，， 由已知得直线的方程为，与联立方程组得， 则，， 故， 令的面积为，所以 . 【题型六】 弦或弦长为定值、最值问题 【典例6】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出椭圆方程，由题意可得，，即可和椭圆方程； （2）把直线与椭圆方程进行联立，结合弦长公式求解即可. 【详解】（1）由题意可设， 则，即，且，可得， 所以椭圆方程为. （2）设， 将直线与椭圆联立，得，解得或 所以弦长. 【变式6-1】已知双曲线C的方程为． (1)直线截双曲线C所得的弦长为，求实数m的值； (2)过点作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段的中点M的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）联立直线与双曲线方程，得到韦达定理式，利用弦长公式即可求出值； （2）设,，利用点差法结合中点公式即可得到，化简即可. 【详解】（1）联立,得， 直线被双曲线截得的弦长为,, 设直线与双曲线交于, 则, 由弦长公式得, 解得. （2）设,，则 ， ， 上式作差得， 当直线的斜率不存在时，根据双曲线对称性知， 当直线的斜率存在时，但时，此时直线为直线，根据双曲线对称性知， 当直线的斜率存在时，且时，， ，，化简得，其中， 而点，适合上述方程， 则线段的中点的轨迹方程是.    【变式6-2】已知双曲线的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点可构造方程求得，由此可得双曲线方程； （2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果. 【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线斜率，又渐近线方程为，； 双曲线过点，； 由得：，双曲线的方程为：； （2）由（1）得：双曲线的焦点坐标为； 若直线过双曲线的左焦点，则， 由得：； 设，，则， ； 由双曲线对称性可知：当过双曲线右焦点时，； 综上所述：. 【题型七 直线问题】 【典例7】已知P为椭圆E: 上任意一点，F1，F2为左、右焦点，M为PF1中点.如图所示:若，离心率. (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知直线l倾斜角为135°，经过且与椭圆交于A，B两点，求弦长|AB|的值. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）由题意可得，根据离心率求得，进而可得椭圆方程； （2）由题设有，联立椭圆方程求得，，应用两点距离公式即可求弦长|AB|. 【详解】（1）在△中，则， 所以，故，又，则，故， 所以椭圆E的标准方程. （2）由题设，直线，即， 联立并整理得：，可得，， 所以，，即，， 故. 【变式7-1】已知椭圆的左､右焦点分别为，经过左焦点的直线与椭圆交于两点（异于左、右顶点）. (1)求的周长； (2)求椭圆上的点到直线距离的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）结合椭圆的定义即可求解的周长； （2）设直线与直线平行且与椭圆相切，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0求出切线方程，利用两平行线间的距离求解范围即可. 【详解】（1）已知椭圆方程为，所以， 的周长为，其中， 所以的周长为； （2）设直线与直线平行且与椭圆相切， 则得，即 令，解得，所以， 当时，与之间的距离， 当时，与之间的距离为， 即椭圆上的点到直线距离的范围为. 【变式7-2】已知双曲线的离心率为，虚轴长为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的方程求得三角形的面积，从而证得结论成立. 【详解】（1）因为双曲线的虚轴长为2，所以. 因为，且， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）证明：当直线的斜率不存在时，的方程为， 此时. 当直线的斜率存在时，不妨设直线，且. 联立方程组，得. 由，得. 联立方程组，得. 不妨设与的交点为，则. 同理可求，所以. 因为原点到直线的距离，所以. 因为，所以，故的面积是定值，且定值为3. 【点睛】方法点睛：求解双曲线的标准方程，关键是根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“双曲线的离心率以及虚轴长”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得双曲线的标准方程. 【变式7-3】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于A，两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题列出a、b、c的方程，解之即可； （2）将直线与椭圆联立，韦达定理，然后利用弦长公式求底，利用点到直线的距离公式求高，即可求出三角形的面积. 【详解】（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：， 因为焦距为，， 又离心率，， 再由， 所以椭圆标准方程为：. （2）由（1）知：左焦点为，直线的方程为： 则 ， ， 由弦长公式, 到直线的距离, ． 【变式7-4】已知、，若动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若斜率为1的直线与曲线交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】设动点坐标，利用向量的坐标运算就可以得轨迹方程； 设动直线l：与椭圆联立方程组，利用韦达定理和弦长公式，就可得到关于的方程，解得即可. 【详解】（1）设，则结合已知条件得：，，, ， . 平方整理得：，即， 的轨迹为的方程为. （2）根据已知条件可设直线l：，将代入方程， 整理得：， 设，，则，解得， 所以有：，， 则， 整理得：，满足，所以， 即直线l方程为或. 【变式7-5】如图，椭圆E：两焦点为，且经过点. (1)求椭圆E的离心率e与椭圆方程； (2)经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），求证：直线与的斜率之和为定值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由题意知，，从而求得，进而可求解； （2）由题设知，直线的方程为（且），设，，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理，求得斜率，把韦达公式代入化简即可求解. 【详解】（1）由题意知，，由由解得. 所以，，则椭圆的方程为. （2）由题设知，直线的方程为（且）， 代入，得， 由已知，设，，. 则，， 从而直线与的斜率之和 故：直线与的斜率之和为定值2. 【变式7-6】已知点，点分别是直线，上的动点，且，的中点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线与，若与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，，根据可得关系即得点的轨迹方程. （2）化简，先计算当与一条与轴垂直时值，再设直线、方程联立，计算，换元转化为二次函数求值域即可. 【详解】（1）设，，， 则，． 由得， 从而，即曲线的方程为． （2）由于，所以． 当与一条与轴垂直，另一条与轴垂直时， 不妨设， 可得 ． 当与都不与坐标轴垂直时，不妨设，，其中． 将的方程与曲线的方程联立消去得， 显然对都有．设，， 则，， 因此． 同理可得． 所以． 令，有． 由于，因此， 从而． 综上所述，的取值范围是． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【题型八】 轨迹问题 【方法点拨】 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法 四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。 五、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 【典例8】一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)点为上一动点，点为坐标原点，曲线的右焦点为，求的最小值. 【答案】(1) (2)45 【分析】（1）设动圆圆心为，半径为，由题意可得，从而可得点的轨迹是焦点为，且长轴长等于12的椭圆，进而可求出其方程； （2）设，则，再结合的取值范围可求得结果. 【详解】（1）设动圆圆心为，半径为， 将圆的方程分别配方得：圆，圆， 当动圆与圆外切时，， 当动圆与圆内切时，， 所以， 所以点的轨迹是焦点为，且长轴长等于12的椭圆. 设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为， 所以，所以，所以， 所以动圆圆心轨迹方程为. （2）由（1）得，，设， 所以. 因为点在椭圆上，所以， 所以， 所以当时，， 故的最小值为45. 【变式8-1】已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程为 ． 【答案】 【分析】由垂直平分线的性质，结合椭圆的定义得出点的轨迹方程. 【详解】依题意，点，半径，线段的垂直平分线交于点，则， 于是， 因此点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 由，，得， 所以点的轨迹的方程为：. 故答案为：. 【变式8-2】已知点与定点的距离和它到定直线的距离的比是． (1)求点的轨迹的标准方程； (2)设点，若点是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设 ，然后根据题中的几何条件得出方程，从而求解出轨迹方程； （2）根据题意设出直线，求出直线与椭圆相交弦长，并结合点到直线距离知识从而求解. 【详解】（1）依题意，得，整理化简得，， 所以：点的轨迹的方程为：. （2）设为坐标原点，连接，延长交椭圆于点，连接， 由椭圆对称性可知：， 又，所以为为平行四边形， 所以：，则：，且三点共线， 所以：四边形的面积， 设直线， 由，得：， 所以：， 又，所以：点到直线的距离即为点到直线的距离， 因为：点到直线的距离， 所以， 设：，则：， 所以：， 又因为：，所以当时，即时，四边形面积取得最大值，最大值为． 【点睛】方法点睛：本题（2）中对面积的求解转化为对的面积求解，然后设出直线与椭圆联立求出弦长，然后再结合基本不等式求解出最值. 【变式8-3】在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点形成轨迹. (1)求轨迹的方程； (2)若直线与曲线交于、两点，为曲线上一动点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点、，则，由中点坐标公式可得，由已知条件可得出，将代入等式，化简可得出轨迹的方程； （2）设点，求出点到直线距离的最大值，然后将直线的方程与曲线的方程联立，求出，利用三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】（1）解：设点、，则， 由中点的坐标公式可得，所以，， 因为点在圆上，则，则，整理可得. 因此，轨迹的方程为. （2）解：设点，则点到直线的距离为 ，其中为锐角，且， 所以，的最大值为， 联立可得或， 所以，， 所以，面积的最大值为. 【题型九】 对称问题 【典例9】已知椭圆的焦距为，点关于直线的对称点在椭圆上. （1）求椭圆的方程. （2）如图，过点的直线与椭圆交于两个不同的点，（点在点的上方），试求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）1. 【分析】（1）根据椭圆的焦距为，可得，然后又由关于直线的对称点在椭圆上，得到在椭圆上，进而得到a即可. （2）设过点的直线方程为，与椭圆方程联立，求得弦长以及点到直线的距离，代入面积公式求解. 【详解】（1）因为椭圆的焦距为， ，即， 关于直线的对称点在椭圆上， 在椭圆上， ， ， . （2）设过点的直线方程为， 联立方程组可得， 消可得， ，设，， ，， ， 点到直线的距离， ， 设，则， ， 当时，取得最大值，即为1. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的三角形最值问题的求法：一般由直线与曲线联立求得弦长及相应点的直线的距离，得到含参数的△OMN的面积的表达式，再应用基本不等式或函数法求最值． 【变式9-1】已知直线x+y-1=0与椭圆C：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上. （1）求此椭圆C的离心率； （2）若椭圆C的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆C的方程. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及中点坐标公式解得线段AB中点M坐标，代入直线l的方程，解得离心率； （2）利用方程组解得右焦点关于直线l的对称点坐标，代入圆方程，结合（1）解得a，b,即可求出椭圆标准方程. 【详解】椭圆C：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)，即， （1）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 由得：． ，即． x1+ x2=， y1+ y2＝-( x1+ x2)+2=， ∴点M的坐标为（，）． 又点M在直线l上，∴=0， ∴， ∴， ∴． （2）由（1）知，设椭圆的右焦点F（b，0）关于直线l： 的对称点为（x0，y0）， 由，解得 ∵， ∴， ∴， ， 显然有． ∴所求的椭圆的方程为． 【点睛】解决此题的关键在于求出A，B两点的中点坐标，利用中点坐标在直线l：x-2y=0上，建立关于的方程，结合，转化为关于的方程，求出椭圆的离心率. 【变式9-2】已知椭圆的左右焦点分别是，，点为椭圆短轴的端点，且的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上的一点，是椭圆上的两动点，且直线关于直线对称，试证明：直线的斜率为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由焦距得，再由三角形面积可得，从而求得，得椭圆方程． （2）易知直线斜率存在，设直线：，即， 由对称性得直线，求出的坐标，然后计算斜率即可证． 【详解】解：（1）由已知得，又，，∴． 所以椭圆的标准方程为. （2）已知点，当直线斜率不存在时显然不满足题意，所以直线斜率存在，设直线：，即，由于直线关于直线对称，则直线， 设， 联立：得 （方程有一解是），同理 则 所以直线的斜率为定值. 【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的定值问题，解题方法是解析几何的基本方法：设出直线方程，求出交点坐标，计算直线斜率，证得结论． 【变式9-3】已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆相交于，两点，记的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据题意，列出关于，，的方程即可求解； （2）设直线方程（有两种方法，一种设；另一种设），与椭圆方程联立，结合韦达定理及基本不等式即可求出面积的最大值. 【详解】（1）因为，所以，则， 所以的标准方程为， 因为点在上，所以， 解得，从而，. 所以的标准方程为. （2）易知点在的外部，则直线的斜率存在且不为0， 设，，， 联立方程组消去得， 由得，由根与系数的关系知 所以， 化简得. 设点到直线的距离为，则， 所以的面积 令，得，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 因为满足，所以的最大值为. 评分细则： 第二问另解： （2）设，，， 联立方程组，消去得. 由得，由根与系数的关系知. 所以， 化简得. 设点到直线的距离为，则， 所以的面积. 令，得， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 因为满足，所以的最大值为. 【题型十】 存在性问题 【典例10】已知椭圆过点．过点的直线交直线于点，交于两点． (1)求的方程； (2)是否存在实数使得?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，实数 【分析】（1）根据椭圆经过的点，列出方程组，求得，即可求得椭圆方程； （2）方法1：讨论直线l的斜率是否存在，存在时设出直线方程，并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，假设存在实数使得，可得，结合根与系数的关系式化简，即可得结论； 方法2：因为直线的斜率不为0，故可设：，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，假设存在实数使得，可得，结合根与系数的关系式化简，即可得结论； 【详解】（1）将，代入椭圆的方程中得：， 解得， 所以的方程为：. （2）方法1：当直线斜率不存在时，l的方程为， AB的方程为，则， 不妨令，， 假设存在实数使得， 所以. 当直线的斜率存在时，设：，，， 联立，得， 所以，解得或， 则，， 因为的方程为：，联立， 得， 假设存在实数使得，所以 ， 综上：存在实数使得. 方法2：因为直线的斜率不为0，设：，，， ，得， 所以， 解得， 则，， 因为的方程为：，联立， 所以， 假设存在实数使得，所以 ， 综上：存在实数使得. 【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于第二问探究性问题，计算量较大，解答时要注意利用直线方程联立椭圆方程，得到根与系数的关系进行化简，解答时要十分细心，否则很容易出错. 【变式10-1】如图已知抛物线C的方程为，焦点为F，过抛物线内一点A作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点P，已知，，， (1)求p的值； (2)斜率为k的直线过点，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为，探究：是否存在，使得，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，的范围是 【分析】（1）根据题目信息可知在中，，则根据定义可知，再根据可表示点，代入方程即可求解的值. （2）假设过的直线方程：，并与抛物线进行联立，求解出，. 由于共线，则可知横坐标成比例，整理关于的表达式，通过的范围进行求解. 【详解】（1）因为，则在中，， 又因为抛物线的定义可知，，则， 又因为，，则可计算. 代入抛物线方程得：，整理得，则或（舍）. （2） 由（1）可知抛物线方程为：，设，， 斜率为k，过点的直线方程为：， 则联立，整理得：， 由韦达定理可得：，. 所以； 又因为，则， 所以， 令，则， 所以，即. 所以、同向，所以. 整理得，解得：或. 所以存在，使得. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线综合题目，只要出现直线与圆锥曲线相交，只需要联立方程，计算韦达定理，然后再分析题干信息联立求解即可. 【变式10-2】平面上的动点到定点的距离等于点P到直线的距离，记动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)直线与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在这样的直线l，使得，若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析. 【分析】 （1）根据抛物线的定义，直接写出曲线C的方程； （2）设，联立直线与抛物线，由得，应用韦达定理及中点公式得，结合求得，即可得结论. 【详解】（1） 由题意，动点P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故， 所以曲线C的方程为. （2）设，联立，得， 且，则，故，所以， 所以，又，即，不满足， 所以不存在满足要求的直线l.    【变式10-3】已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 (1)求的方程； (2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，该直线方程为 【分析】（1）根据圆与圆外切、内切列式得，结合椭圆的定义可求出结果； （2）根据点差法求出斜率，再根据点斜式可求出结果. 【详解】（1）设动圆的半径为， 依题意得，所以为定值，且， 所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， ，，，， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）假设存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点， 设，， 则，两式相减得， 得，即， 由点斜式得直线方程为，即. 所以存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，且该直线方程为.      原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$