专题12 相似三角形中的基本模型之十字架模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 2 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 9 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 14 21 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 例1．（24-25九年级上·广东·课后作业）如图，在矩形中，，，点、、分别在线段、、上，且，则 ． 例2．（23·24下·河北·九年级期中）如图，在矩形中，、、、分别为、、、边上的点，当时，证明：． 例3．（23·24下·湖北·九年级期中）在矩形纸片中，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点．（1）如图①，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则______°．（2）如图②，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是______；（3）如图③，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度．        例4．（23-24乐山九年级校考期末）解答 (1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若，求的值；(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，，求的值． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 例1．（23·24下·淄博·一模）如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，，连接AF，BE，相交于点P．(1)求的度数；(2)求证：． 例2．（23-24九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，点，分别是等边的边，上的点，且，，连接，相交于点．（1） °．（2）若等边的边长为6，则的长为 ． 例3．（23·24下·吉安·模拟预测）课本再现： (1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程： 证明：∵是等边三角形，∴． ∵，∴，∴． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是 　 　；    迁移应用：(2)如图2，将图1中的延长至点G，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：；②若，求证：；拓展提升：(3)在等边中，若点D，E分别在射线上，连接交于点F，且，将绕点C逆时针旋转到，且使得．直线与直线交于点P，若，则的值为 　 　 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 该模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形两类情况讨论。 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 例1．（23·24上·合肥·阶段练习）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为（    ） A．2 B． C． D． 例2．（23·24下·沧州·二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（    ） A． B．若点D是AB的中点，则 C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若，则 例3．（23-24九年级上·江西抚州·期末）如图①，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作于点，交于点，连接． (1)求证：；(2)若，求证：； (3)如图②，若，，求的值． 例4．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图①，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：． 【类比探究】（2）如图②，在矩形中，，点E是边上一点，连接，且，求的值． 【拓展延伸】（3）如图③，在中，，点D在边上，连结，过点C作于点E，的延长线交边于点F．若，，求的值． 1．（23·24上·宜宾·期中）如图，在中，，点D是的中点，连结，过点B作分别交于点E、F．与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，现给出以下几个结论：①；②；③点F是的中点；④；⑤． 其中所有正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①④⑤ 2．（2023.江苏九年级期中）如图，在正方形中，为对角线，E为上一点，过点E作，与，分别交于点H、F，G为的中点，连接，，，．下列结论：①；②为等腰直角三角形；③：④若，则．其中正确的结论有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图所示，在矩形中，F是上一点，平分交于点E，且，垂足为点M，，，则的长是（    ） A． B． C．1 D． 4．（2023.江苏九年级期中）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ． 5．（23·24·山西·模拟预测）如图，中，，，点是边的中点，过点作，垂足为，延长交于点，则的长为 ． 6．（23·24上·沈阳·阶段练习）如图，在中，，D为中点，连接，过点B作于点F，交于点B，若，则的长为 ．      7．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在矩形 中，，若 ，则的值为 ． 8．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在中，，，是边上不与，重合的一个点，于点，交于点．(1)求的度数；(2)连接，若．①求证：；②求的值． 9．（23-24九年级上·四川成都·期末）在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； (2)【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； (3)【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 10．（23·24下·重庆·九年级期中）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．    11．（福建2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题）（1）如图①，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，过点作，交于点，则与的数量关系是： ； 问题探究：（2）如图②，在矩形中， ，，点，分别在边、上，点为线段上一动点，过点作的垂线分别交边、于点、点．若线段恰好平分矩形的面积，且，求的长； 问题解决：（3）如图③，在正方形中，为上一点，且，、分别为、上的动点，且，若，求的最小值． 12．（23·24下·合肥·三模）已知：如图，等边中，点、分别在、边上，且，、相交于点，连接．    (1)当时，的度数为______；(2)当时，①求的值；②求证：． 13．（23·24上·咸阳·期末）【问题探究】 (1)如图①，在矩形中，点E为边上一点，于点F，点G为边上一点，连接，过点E作于点P，交于点H，求证：； (2)【问题解决】如图②，矩形为某开发区的一片空地，点E、F分别为边、上的点，经测量，米，米，开发商现欲在边上找一点，使得四边形的面积为67600平方米，设计人员的设计过程如下： ①以点F为圆心，任意长为半径画弧，交于M、N两点； ②分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P； ③连接并延长，分别交、于点H、G． 请问：若按上述作法，得到的点G是否符合要求？请证明你的结论． 14．（（23·24下·山东·九年级期中））探究证明： （1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM； （2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：； （3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值． 15．（23·24下·苏州·三模）【问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．    (1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】(2)如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值． 【灵活运用】(3)如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________． 16．（2023年湖北省中考模拟数学试题）已知E是矩形的边上的一点．    (1)如图，若四边形是正方形，交于点，求证；； (2)已知，，分别交，于，两点，且平分矩形的面积． 如图2，若，求的长；如图3，与交于点，连接，求出线段长的最小值． 17．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 18．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）【数学模型】（1）如图1，在矩形中，，，点、分别在边、上，，垂足为点，则　　　． 【模型探究】（2）如图2，在平行四边形中，点、分别在边、上，与交于点，且，请证明：； 【拓展应用】（3）如图3，白云小区有一块四边形绿地，为了居民出行方便计划在四边形中修两条小路，在边上取一点，连接与交于点，、即为规划的两条小路，其中，，，且，求两条小路长度的比，即求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 2 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 27 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 39 84 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 例1．（24-25九年级上·广东·课后作业）如图，在矩形中，，，点、、分别在线段、、上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形判定与性质，能通过构造辅助线构造相似三角形是解决本题的关键．过点作于点，交于点，求出，证，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形， ∴，， 又，， ，，，故答案为：． 例2．（23·24下·河北·九年级期中）如图，在矩形中，、、、分别为、、、边上的点，当时，证明：． 【答案】见解析 【分析】过点作于点，过点作于点，先根据余角的性质证明，再证明即可证明结论成立． 【详解】证明：如解图，过点作于点，过点作于点， ∵，且四边形为矩形， ∴，∴，∴． 又∵，∴，∴． 又∵，∴， ∴． 【点睛】本题考查了余角的性质，矩形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 例3．（23·24下·湖北·九年级期中）在矩形纸片中，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点．（1）如图①，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则______°．（2）如图②，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是______；（3）如图③，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度．        【答案】（1）90，45；（2）；（3） 【分析】（1）当点与点重合时，是的中垂线，得出；当点与点重合时，此时；（2）由题意可知当点E与点A重合时，AP达到最长，可知四边形EPFD为正方形，可算出AP的长度；当点F与点C重合时，AP长度达到最小，利用勾股定理可算出AP的长度； （3）连接，设．由折叠知：，，，证明，得出，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）当点P与点A重合时，如图4，是AD的中垂线，．       当点E与点A重合时，如图5， 此时，故答案为：；． （2）如图6所示，连接，则是的中垂线，∴， 在中，，即，当点与点重合时，； 当与重合时，的值最小，连接，由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得，∴， ∴线段的取值范围是．故答案为：．       （3）如图7所示，连接，设． 由折叠知：，，， ∵，∴，在和中， ，∴，∴， ∴，， 在中，，∴，解得．∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想． 例4．（23-24乐山九年级校考期末）解答 (1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若，求的值；(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，，求的值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP＝EF，GH＝BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； （2）只需运用（1）中的结论，就可得到，就可解决问题； （3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得．设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5+x，RD＝10﹣y，在Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2＝25①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得（5+x）2+（10﹣y）2＝100②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决． 【详解】（1）解：过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1， ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC． ∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ． 又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°． ∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP+∠DPA＝90°， ∴∠AQT＝∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴，∴； （2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN， ∴由（1）中的结论可得，，∴． （3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3， 则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形， ∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS． ∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得． 设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5+x，RD＝10﹣y，∴在Rt△CSD中，x2+y2＝25①， 在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2＝100②，由②﹣①得x＝2y﹣5③， 解方程组，得，（舍去），或， ∴AR＝5+x＝8，∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 例1．（23·24下·淄博·一模）如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，，连接AF，BE，相交于点P．(1)求的度数；(2)求证：． 【答案】(1)；(2)见解析 【分析】（1）根据证明，利用三角形的外角性质即可得解； （2）证明，利用对应边对应成比例列式即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴，， 又∵，∴，∴， ∴； （2）证明：∵，，∴． ∵∴，∴，∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质和已知条件证明三角形全等是解题的关键． 例2．（23-24九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，点，分别是等边的边，上的点，且，，连接，相交于点．（1） °．（2）若等边的边长为6，则的长为 ． 【答案】 ； ． 【分析】根据是等边三角形，，，可得，利用可证，即有，利用外角的性质，可以求出；作交于点，根据是等边三角形，，，，，可得，，，则可求出，，利用勾股定理有，利用已知条件易证得，即有． 【详解】解：∵是等边三角形，∴， ∵点，分别是等边的边，上的点，且，，∴， 在和中∴，∴， ∴如图示，作交于点 ∵是等边三角形，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，∴， 又∵∴∴即有故答案是：，． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 例3．（23·24下·吉安·模拟预测）课本再现： (1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程： 证明：∵是等边三角形，∴． ∵，∴，∴． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是 　 　；    迁移应用：(2)如图2，将图1中的延长至点G，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：；②若，求证：；拓展提升：(3)在等边中，若点D，E分别在射线上，连接交于点F，且，将绕点C逆时针旋转到，且使得．直线与直线交于点P，若，则的值为 　 　 【答案】(1)60°(2)①见解析；②见解析(3)2或3 【分析】（1）由全等的性质，得角相等，作等量代换得证结论； （2）①求证，得，相应可证，于是；②可证，得，相应的，可证得； （3）如图3，当点D，点E分别在上时，由，得，可求证是等边三角形，进一步求证，得，从而；如图4，当点D，点E分别在的延长线，的延长线上时，求证是等边三角形，得，进一步求证，得，求证CB=2BD，所以CP=3BP，． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）证明：①由（1）知，∴， 又∵，∴是等边三角形，∴． ∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； ②∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴； （3）解：如图3，当点D，点E分别在上时，       ∵，∴，∵， ，∴，∵，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∴，∴，由②知 AD=2BD，∴； 如图4，当点D，点E分别在的延长线，的延长线上时， ∵,∴. ∵,∴, ∵,∴∴是等边三角形， ∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴CB=2BD，∴CP=3BP，∴，故答案为：2或3． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；当属于动点情况时，注意分类讨论，情况完备是解题的关键． 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 该模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形两类情况讨论。 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 例1．（23·24上·合肥·阶段练习）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，先根据等腰直角三角形的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得，然后根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得的长，最后根据线段的和差即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 是的中线，，， 在中，，， 是等腰直角三角形，， 设，则， ，，， 在和中，，， ，即，解得，， ，故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 例2．（23·24下·沧州·二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（    ） A． B．若点D是AB的中点，则 C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若，则 【答案】D 【分析】由，可确定A项正确；由可得，进而由确定点F为的三等分点，可确定B项正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质得到，得到为圆的直径，因为，根据垂径定理得到，故C项正确；因为D为的三等分点，即，可得，由此确定D项错误． 【详解】解：依题意可得，∴，∴， 又，∴．故A项正确；如图， ∵，，∴． 在与中，，∴，∴， 又∵，∴；∵为等腰直角三角形， ∴；∴； ∵，∴，∴，∴．故B项正确； 当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质可得， ∴是B、C、F、D四点所在圆的直径，∵，∴，∴，故C项正确； ∵，，，∴， ∴，，∴，∴； ∴．故D项错误．故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用． 例3．（23-24九年级上·江西抚州·期末）如图①，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作于点，交于点，连接． (1)求证：；(2)若，求证：； (3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，证明； （2）过点B作交的延长线于H，根据相似三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论；（3）证明，根据相似三角形的性质求出，根据平行线分线段成比例列出比例式，计算即可． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴； （2）证明：如图①，过点B作交的延长线于H， ∵，∴，∴，∴，∴， 由（1）可知，，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （3）解：在中，，，，则，， 设，则，在中，，则， ∵，，∴， ∴，即，解得： (舍去)， ∵，，∴，∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的解法，掌握相似三角形的判断定理是解题的关键． 例4．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图①，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：． 【类比探究】（2）如图②，在矩形中，，点E是边上一点，连接，且，求的值． 【拓展延伸】（3）如图③，在中，，点D在边上，连结，过点C作于点E，的延长线交边于点F．若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形中十字架模型是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，利用证明即可； （2）根据同角的余角的相等，得，证明，则； （3）过点A作，延长交于点G，首先根据，可得，则，再由（2）同理得，得，进而解决问题． 【详解】解：（1）证明：如图1，设与的交点为G， ∵四边形是正方形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴； （2）如图2，设与交于点G，∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴， ，∴， ∵，∴，∴； （3）如图，过点A作，延长交于点G， 在中，，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴． 1．（23·24上·宜宾·期中）如图，在中，，点D是的中点，连结，过点B作分别交于点E、F．与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，现给出以下几个结论：①；②；③点F是的中点；④；⑤． 其中所有正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①④⑤ 【答案】B 【分析】根据题意证明，进而可确定①；由，，得出，进而判断结论② ，由，可得由，进而判断结论③，可得，进而由可得，即可判断③，根据，以及是的中点即可判断④和⑤． 【详解】依题意得，，， ，，， 又，，故①正确； 如图，标记如下角， ，，，， ，，∴，故②正确； 在与中，（ASA），， 又点是的中点，，， ，， ，，， 在与中，（SAS），， 是直角三角形，，，即点不是线段的中点，故③不正确； 是等腰直角三角形，， ，， ，，，，故④正确； ，，点是的中点，， ，即，故⑤错误．综上所述，①②④正确．故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中线的性质，证明与是解题的关键． 2．（2023.江苏九年级期中）如图，在正方形中，为对角线，E为上一点，过点E作，与，分别交于点H、F，G为的中点，连接，，，．下列结论：①；②为等腰直角三角形；③：④若，则．其中正确的结论有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】设交于，过点作于． ∵四边形为正方形，，∴， ∴是等腰直角三角形，∴， ∴ ，即，故①正确， ∵，∴，∴， ∴，∴ ，，∵，    ∴，∴是等腰直角三角形，故②正确， ∵，∴， 与不相似，故③错误， ，∴可以假设，则， ，， 是等腰直角三角形，， ，， ，故④错误，故选：． 3．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图所示，在矩形中，F是上一点，平分交于点E，且，垂足为点M，，，则的长是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键在于利用三角形相似构造方程求得对应边的长度． 根据已知证，利用勾股定理求出的长，再证明，得出，然后证明，得出对应边成比例，建立关于a、x的方程，求解即可． 【详解】解：∵平分交于点E，且， ，∴， 又∵，∴，设， 在和中，，∴， ∴，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴，解得：，故选：D． 4．（2023.江苏九年级期中）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：四边形是正方形，，， ，，， ，，，， 又，，， ，，， ，．故答案为：． 5．（23·24·山西·模拟预测）如图，中，，，点是边的中点，过点作，垂足为，延长交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】延长AD至G，使得DG=AD，连接CG，证明△ABD≌△GCD可得CG=AB，借助勾股定理和等面积法分别求出AE、EG、AB，再证明△AEF∽△GEC，根据相似三角形对应边成比例可求得AF，由此可求得FB． 【详解】解：延长AD至G，使得DG=AD，连接CG， 在△ABD和△GCD中，∵ ,∴△ABD≌△GCD，∴∠G=∠GAB，CG=AB， 中，∵，，∴， ∵是边的中点，∴,∴， ∵，∴， ∴，即，即， ∴，， ∴， 在△AEF和△GEC中，∵，∴△AEF∽△GEC， ∴，即，解得，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定．能正确作出辅助线和借助勾股定理与等面积法求出相应线段的长度是解题关键． 6．（23·24上·沈阳·阶段练习）如图，在中，，D为中点，连接，过点B作于点F，交于点B，若，则的长为 ．      【答案】/ 【分析】在中,运用勾股定理求出，再根据面积得到，过点作交于点,设 ,根据，则有，，根据相似三角形的对应边成比例解题即可． 【详解】∵为边的中点,,∴. ∵在中, ，. ∵于点, ， ， ∵, ， 过点作交于点,如图所示,设 , ∵，∴，∴，∴ ，，，即 ， 解得 ．故答案为：．    【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 7．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在矩形 中，，若 ，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：过点G、F作、垂直，利用相似三角形对应边成比例即可得到与的比值． 【详解】解： 如图：过点G、F作、垂直， ∵在矩形中，， ∴，, ∵，,∴， 又∵（对顶角相等），∴， ∴∴．故答案为：． 8．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在中，，，是边上不与，重合的一个点，于点，交于点．(1)求的度数；(2)连接，若．①求证：；②求的值． 【答案】(1)；(2)①见解析；②3 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识． （1）先求出，再求出，即可得出结果； （2）①先证明，再由是等腰直角三角形，得出，即可得出结论；②过点作于点，交于点，则，，，再证明，得出，进而证明，得出，然后由，得出，推出，即可得出答案． 【详解】（1），，， ，，是等腰直角三角形，， ，； （2）如图1，，，即， ，，， ，， 是等腰直角三角形，， 又，； ②解：如图2，过点作于点，交于点， 则，，，， ，， ，，， ，，， ，，即， 在和中，，，， ，由①得：， ，，，． 9．（23-24九年级上·四川成都·期末）在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； (2)【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； (3)【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)成立，理由见解析(3) 【分析】（1）由四边形为矩形，，可得，，结合，即可求解，（2）由已知可得，进而得到，由，可得，通过等量代换，即可求解，（3）作等腰梯形，导角可得，，设，用含的代数式，表示出，，，列出等量关系，即可求解， 本题考查了，矩形的性质、平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练应用相似三角形的线段比，进行求解． 【详解】（1）解：四边形为矩形，，， ，， ，，，，， （2）解：仍然成立，理由如下：，， ，，， ，， ，，， 四边形为平行四边形，，， ，，， ∵，，，，∴， （3）解：在线段上取一点，使得， 则四边形为等腰梯形，， ，， ，， ，， ，，，，， 为中点，，，设，则，， ，，，，，， 过点作，交于点，， ，， ，，（舍去），，，故答案为：． 10．（23·24下·重庆·九年级期中）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．    【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3）3 【分析】（1）由矩形的性质得，再证，即可得出结论； （2）证，得，再证，得，然后由平行线的性质得，即可得出结论； （3）延长至点，使，连接，，得，，再证是等边三角形，得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，，， ，，，，； （2）证明：四边形是正方形，，，， ，，， ，，点在的延长线上，， 又，，， ，，； （3）解：如图3，延长至点，使，连接，    四边形是菱形，，，， ，，， ，，是等边三角形，， ，，即的长为3． 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 11．（福建2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题）（1）如图①，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，过点作，交于点，则与的数量关系是： ； 问题探究：（2）如图②，在矩形中， ，，点，分别在边、上，点为线段上一动点，过点作的垂线分别交边、于点、点．若线段恰好平分矩形的面积，且，求的长； 问题解决：（3）如图③，在正方形中，为上一点，且，、分别为、上的动点，且，若，求的最小值． 【答案】（1）=；（2）；（3） 【分析】（1）证明△ABF≌△DAE（AAS），得DE=AF；（2）先判断EF过矩形的对称中心，作DI∥EF，AJ∥GH，证明△ADI∽△BAJ，从而求出BJ，进而求得；（3）设DF=a，则BE=2a，ME+2AF最小值可以看作在平面直角坐标系中，点H（2a，0）到定点I（3，4），J（0，8）的距离之和最小，进而求得． 【详解】解：（1）如图1，DE=AF，理由如下： 在正方形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AB，∴∠BAF+∠AFB=90°， ∵AF⊥DE，∴∠AOE=90°，∴∠BAF+∠AED=90°， ∴∠AFB=∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴DE=AF，故答案是“=”； （2）如图2，连接AC，交EF于O， ∵线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，∴O是矩形的对称中心，∴BE=DF=1， 作DI∥EF，AJ∥GH，∵四边形ABCD是矩形，∴DF∥IE， ∴四边形DIEF是平行四边形，∴EI=DF=1，∴AI=AB-BE-EI=2，同理可得，AJ=GH， ∵EF⊥GH，∴DI⊥AJ，由（1）得，∠AID=∠AJB， ∴△ADI∽△BAJ，，，， 在Rt△ABJ中由勾股定理得，, （3）如图3，作EG⊥AD于G，∵∴AM=3， 设DF=a，则BE=2a，∴GM=AM-AG=3-2a，在Rt△ADF中，, 在Rt△EGM中， ∴，， ME+2AF最小值可以看作在平面直角坐标系中，点H（2a，0）到定点I（3，4），J（0，8）的距离之和最小，如图4，作J的对称点K，连接KI， 则KI与x轴的交点是H点，此时ME最小，作IK⊥y轴于T， 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是数形结合． 12．（23·24下·合肥·三模）已知：如图，等边中，点、分别在、边上，且，、相交于点，连接．    (1)当时，的度数为______；(2)当时，①求的值；②求证：． 【答案】(1)120°；(2)①；②见解析． 【分析】（1）根据，是等边三角形，通过点是外心即可求出度数； （2）①作平行线构造相似三角形，得到边与边之间的数量关系，再利用等边三角形的性质证明三角形全等，进行等线段代换即可； ②取中点，证明和全等，即可证明． 【详解】：（1）∵是等边三角形，∴，， ∵，，∴, ∴，，∴点是的外心， ∴．故填：． （2）①过作交延长线于.交延长线于．      ，， ∴，， ，， 为等边三角形，，， ，，， 设，则，， ，，，，， ②由①得：，  ∴， ，取中点，连接，      由①得，， ，，，， ，， ，即． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，解此题的关键是添加辅助线构造相似三角形． 13．（23·24上·咸阳·期末）【问题探究】 (1)如图①，在矩形中，点E为边上一点，于点F，点G为边上一点，连接，过点E作于点P，交于点H，求证：； (2)【问题解决】如图②，矩形为某开发区的一片空地，点E、F分别为边、上的点，经测量，米，米，开发商现欲在边上找一点，使得四边形的面积为67600平方米，设计人员的设计过程如下： ①以点F为圆心，任意长为半径画弧，交于M、N两点； ②分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P； ③连接并延长，分别交、于点H、G． 请问：若按上述作法，得到的点G是否符合要求？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)得到的点G符合要求，证明见解析 【分析】（1）由矩形，可得，，利用互余可得，从而可证得； （2）由作图步骤可知，利用（1）的思路可证得，，利用矩形的性质可得米，利用勾股定理可得米，再利用相似三角形列出比例式，求得米，从而通过计算出的面积即可判断点G是否符合要求． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴． ∵于点P，∴， ∴，∴． 又∵，∴． （2）解：得到的点G符合要求，理由如下： 过点F作于点K，如图②． 由作图过程可知，于点H，即， ∵四边形是矩形，∴，∴． 又∵，∴． ∵，∴四边形是矩形，∴． ∵米，米，∴米，米． ∵，∴，即，解得米， ∴（平方米）， ∴得到的点G符合要求． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质及尺规作图作垂线，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 14．（（23·24下·山东·九年级期中））探究证明： （1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM； （2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：； （3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）由矩形的性质结合等角的余角相等，可证明∠NBC=∠MAB，进而证明△BCN∽△ABM，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可； （2）过点B作BG∥EF交CD于G，由两组对边分别平行判定四边形BEFG是平行四边形，再根据平行四边形的性质，可证明△GBC∽△MAB，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可； （3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，可得四边形ABSR是平行四边形，再由含有一个90°角的平行四边形是矩形，证明四边形ABSR是矩形，进而得到∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．，结合（2）中结论可证明△ACD≌△ACB，由全等三角形对应角相等得到∠ADC=∠ABC，再由等角的余角相等，证明△RAD∽△SDC，根据相似三角形对应边成比例，设SC=x，解得DR、DS的长，再结合勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C=90°∴∠NBA+∠NBC=90°． ∵AM⊥BN，∴∠MAB+∠NBA=90°， ∴∠NBC=∠MAB，∴△BCN∽△ABM，∴= （2）结论：=理由：如图2中，过点B作BG//EF交CD于G， ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD， ∴四边形BEFG是平行四边形，∴BG=EF． ∵EF⊥AM，∴BG⊥AM，∴∠GBA+∠MAB=90°． ∵∠ABC=∠C=90°，∴∠GBC+∠GBA=90°， ∴∠MAB=∠GBC，∴△GBC∽△MAB， ∴=，∴= （3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形． ∵∠ABC=90°，∴四边形ABSR是矩形， ∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS． ∵AM⊥DN，∴由（2）中结论可得：= ∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ACD≌△ACB，∠ADC=∠ABC=90°，∴∠SDC+∠RDA=90°． ∵∠RAD+∠RDA=90°，∴∠RAD=∠SDC，∴△RAD∽△SDC，∴=，设SC=x， ∴=∴RD=2x，DS=10-2x，在Rt△CSD中，∵， ∴52=（10-2x）2+x2，∴x=3或5（舍弃），∴BS=5+x=8，∴=== 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键． 15．（23·24下·苏州·三模）【问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．    (1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】(2)如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值． 【灵活运用】(3)如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解； （2）构造矩形，延长交于点G， 由（1）中结论可得：，，设，，则，，，，再证明，则，即可求出，即可求解； （3）连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，证明，，根据，得出，设，则，，得出，即可求出，由（1）中结论可得：，最后证明四边形为平行四边形，则． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵四边形为矩形，∴，，， ∴，∴，∴，∴； （2）解：构造如图所示矩形，延长交于点G，由（1）中结论可得：， ∵，∴设，，∵点为的中点，∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∵，∴，则，，解得：，， ∵四边形为矩形，∴，∴，∴， ∴，即，解得：，∴；    （3）解：连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P， ∵，，，∴， ∴，∴， ∵四边形为矩形，∴，∴， ∵，∴，∵，∴设，， ∴，设，则，， ∴，整理得：，∴， 由（1）中结论可得：． ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴，∴．故答案为：．    【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形是四个角都是直角的平行四边形，相似三角形对应边成比例，以及正确作出辅助线，构造题中所给几何模型，进行解答． 16．（2023年湖北省中考模拟数学试题）已知E是矩形的边上的一点．    (1)如图，若四边形是正方形，交于点，求证；； (2)已知，，分别交，于，两点，且平分矩形的面积． 如图2，若，求的长；如图3，与交于点，连接，求出线段长的最小值． 【答案】(1)详见解析(2)； 【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）①由“”可证，可得，可求，由勾股定理可求的长，通过证明，可得，即可求解； ②由相似三角形的性质可求，的长，由勾股定理可求的长，由点在以为直径的圆上运动，则当点在线段上时，有最小值，即可求解． 【详解】（1）解：证明：，， 四边形是正方形，，， ，， 在和中，，，； （2）如图2，连接，交于点，过点作，交于，    ，，， 平分矩形的面积，点为的中点，， ，，， ，， ，，四边形是平行四边形， ，，， ，，， ，， 又，，，，； ②解：如图3，连接，取的中点，连接，，过点作于，    ，，，， 点是的中点，，，， 又，，， ，，，， ，点在以为直径的圆上运动， 则当点在线段上时，有最小值，的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是数形结合． 17．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)，(2)，理由见解析(3)①见解析；②或． 【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得；（2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案； （3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线；在延长线上取点F，使，连接； ②根据①中的三种情况讨论：第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得； 第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得； 第三种情况无交点，不符合题意． 【详解】（1）解：，为的中点，，，， ，，，即，解得， ，；故答案为：1；； （2）解：，理由如下：根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点， ，；又，， ；设，则，，， ，，， ，，； （3）解：①第一种情况：作的平行线，使，连接， 则四边形为平行四边形；延长交于点， ，，， ，，，即，为的中点； 故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第二种情况：作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接，故为的中点； 同理可证明：，则，则四边形是平行四边形； 故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第三种情况：作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线； 在延长线上取点F，使，连接，则为的中点， 同理可证明，从而，故四边形是平行四边形； 故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： ②若按照图1作图， 由题意可知，， 四边形是平行四边形，，，是等腰三角形； 过P作于H，则，，，，， ，； ,，，，即   ∴ 若按照图2作图， 延长、交于点，同理可得：是等腰三角形， 连接，，，， ，；同理，， ，，，，即，   ， 若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意） 故答案为：或． 【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键． 18．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）【数学模型】（1）如图1，在矩形中，，，点、分别在边、上，，垂足为点，则　　　． 【模型探究】（2）如图2，在平行四边形中，点、分别在边、上，与交于点，且，请证明：； 【拓展应用】（3）如图3，白云小区有一块四边形绿地，为了居民出行方便计划在四边形中修两条小路，在边上取一点，连接与交于点，、即为规划的两条小路，其中，，，且，求两条小路长度的比，即求的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解； （2）当时，可证明得到，再证明，得到，由此可得，即； （3）如图所示，过点C作交延长线于N，过点D作交延长线于M，则四边形是平行四边形，证明，则，再证，得，则，在上取一点P，使，连接，证是等边三角形，得，，然后证，得，设，则，，进而由，得出方程，求出，即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，， ，，，故答案为：； （2）∵，，∴， 又∵，∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴， 又∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，∴； （3）如图所示，过点C作交延长线于N，过点D作交延长线于M，则四边形是平行四边形，∴，，， 同（2）可得，在上取一点P使得，连接， ∵，∴，∴是等边三角形， ∴，∴； ∵，∴， ∴，∴，∴， 设，则，，∴， ∵，∴，解得， ∴，∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$