第十四章 整式的乘法与因式分解（单元重点综合测试卷，人教版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（山东专用）

第十四章 整式的乘法与因式分解（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的判定，根据因式分解的定义“将几个多项式的和变为整式的积的形式”，由此即可求解． 【详解】解：A、结果不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、提取公因式得，是因式分解，符合题意； C、不是因式分解，不符合题意； D、结果不是积的形式，不符合题意； 故选：B ． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意分别利用同底数幂乘法、除法、合并同类项、积的乘方运算法则对各个选项逐一进行判断即可． 【详解】解：A. ，本选项错误，不符合题意； B. ，本选项错误，不符合题意； C. ，本选项错误，不符合题意； D. ，本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂乘法、除法、合并同类项、积的乘方运算，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 3．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的混合运算，掌握幂的混合运算法则是解题关键．根据幂的混合运算法则可推出，再整体代入求值即可． 【详解】解：． 故选C． 4．多项式①②③④在分解因式后，结果含有相同因式的是（    ）． A．①④ B．①② C．③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了提公因式分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟练掌握公式结构是求解的关键． 根据提公因式法和完全平方公式把各选项的多项式分解因式，然后再找出结果中含有相同因式的即可． 【详解】解：①，②，③，④， ∴①④含有相同因式． 故选：A． 5．已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（ ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的有关计算．先根据多项式乘多项式法则计算多项式与的乘积，然后根据乘积展开式不含x的一次项，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解： ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项， ∴， ∴． 故选：C． 6．加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解题关键．先根据题意算出这个多项式，再与相加即可． 【详解】解：由题意可知，这个多项式为：， 正确的计算结果是：， 故选：B． 7．已知单项式与 的积为，则的值为（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据单项式乘单项式法则可得，即可求出m、n的值． 本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 【详解】， ， ，， ． 故选：C． 8．已知，且，计算的结果是（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式展开得出，然后把，整体代入计算即可． 【详解】解∶∵，且， ∴ ， 故选∶D． 9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答． 【详解】解：由左图可得：阴影部分的面积为； 由右图可得：阴影部分的面积为：； 所以． 故选：A． 10．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． …… …… ……1 …… …… …1   1 …… …… 1   2  1 …… … 1  3   3  1 ………1  4  6  4  1 … 1  5  10  10  5  1 … 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为（） A．84 B．56 C．35 D．28 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察杨辉三角的排列规律，每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1．第一个数字为1，第二个数字与次数相同，第三个数字等于它“肩”上的两个数之和，据此先求出的展开式的第3个数字为，第4个数字为20，进而求出的展开式的第3个数字为，第4个数字为，据此可得答案． 【详解】解：观察杨辉三角的排列规律，每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1．第一个数字为1，第二个数字与次数相同，第三个数字等于它“肩”上的两个数之和， ∴的展开式的第3个数字为，第4个数字为， ∴的展开式的第3个数字为，第4个数字为， ∴的展开式的第4个数字为， 故选：B． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的计算，积的乘方，幂的乘方．根据题意从左到右先把每项单独计算，再计算乘法，最后计算加减即可得到本题答案． 【详解】解：， ， ， ． 12．已知多项式是完全平方式，则m的值为 ． 【答案】或1/1或 【分析】完全平方式有两个，是和，根据以上得出，求出即可． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得：或1． 故答案为：或1． 【点睛】本题考查了对完全平方式的理解和掌握，注意：完全平方式有两个，是和． 13．已知，则的值为 . 【答案】 【详解】分析：将原式化简成两个完全平方式，从而得出a和b的值，然后得出答案． 详解：根据题意可得：，  ∴a=－2，b=－3， ∴． 点睛：本题主要考查的就是完全平方公式以及非负数的性质，属于中等难度的题型．解答本题的关键就是要将等式转化为两个完全平方式． 所以, 所以, 所以. 点睛:本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解,解决本题的关键是要熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解. 14．若27m÷9÷3=321，则m= ． 【答案】8 【分析】先把式子左边化简成3n的形式，即可求得m的值. 【详解】27m÷9÷3=321 故答案为8 【点睛】此题重点考查学生对整式乘法的应用，正确化简是解题的关键. 16．已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2=5，则（a﹣2017）（2018﹣a）= ． 【答案】﹣2． 【分析】设a﹣2017=x, 2018﹣a=y,可得x2+y2=5,所以，（x+y）2-2xy=5,xy= 【详解】设a﹣2017=x, 2018﹣a=y, 因为（a﹣2017）2+（2018﹣a）2=5 所以，x2+y2=5, 所以，（x+y）2-2xy=5, 所以，xy=. 故答案为-2 【点睛】本题考核知识点：完全平方. 解题关键点：熟记完全平方式. 3、 解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（9分））把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握利用公式法分解因式是解本题的关键. （）用完全平方公式进行因式分解即可； （）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （）先将常数项去括号，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 18．（8分））张老师在黑板上布置了一道题：计算：2(x+1)2﹣(4x﹣5)，求当x＝和x＝﹣时的值．小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说的对？并说明理由． 【答案】小亮说的对,理由见解析 【分析】先根据完全平方公式和去括号法则计算，再合并同类项，最后代入计算即可求解． 【详解】2（x+1）2﹣（4x﹣5） =2x2+4x+2﹣4x+5， =2x2+7， 当x=时，原式=+7=7； 当x=﹣时，原式=+7=7． 故小亮说的对． 【点睛】本题考查完全平方公式和去括号，解题的关键是明确完全平方公式和去括号的计算方法． 19．（10分））（1）先化简，再求值： ，其中 （2）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】（1），；（2），； 【分析】本题考查整式的化简求值： （1）先根据乘法法则计算，再合并同类项化到最简，最后代入求解即可得到答案； （2）先根据乘除法法则计算，再合并同类项化到最简，最后代入求解即可得到答案； 【详解】解：（1）原式 ， 当时， 原式 ； （2）原式 ， 当，时， ∴原式， ． 20．（10分）随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形． (1)用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简； (2)若，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱． 【答案】(1) (2)完成硬化共需要28000元． 【分析】本题考查了多项式的乘法混合运算，乘方的运算法则，完全平方公式的展开，结合图形准确列出阴影面积的代数式是解题关键． （1）硬化面积是大长方形的面积减去小正方形的面积； （2）把，代入求值即可． 【详解】（1）由图得，阴影面积为： ； （2）当时， 阴影面积为：（平方米），（元， 答：完成种植园共需要28000元． 21．（11分）数学是研究数量关系和空间形式的科学．对于一些特殊的整式运算，我们要善于观察并发现规律：（） ；         ； ；     ． (1)尝试：_________________； (2)猜想：_________________； (3)利用以上结论求值： ①； ②若，_________________． 【答案】(1) (2) (3)①；②0 【分析】本题考查多项式除以多项式，规律探究： （1）根据已有等式，进行作答即可； （2）根据已有等式，抽象概括出规律即可； （3）根据规律构造等式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，可得：； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）①； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 22．(12分）先阅读下面的材料，再分解因式． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a，再把它的后两项分成一组，并提出b，从而得． 这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有． 这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式． (1)请用上面材料中提供的方法分解因式： ①； ②； ③． (2)已知的三边长为，，，并且，试判断此三角形的形状． 【答案】(1)①，②，③ (2)等边三角形 【分析】（1）根据题意，按照“分组分解法”分解因式即可； （2）将等式的两边同时乘以2，根据完全平方公式将等式整理得，根据偶次方的非负性即可求得，即可判断． 【详解】（1）解：① ． ② ． ③ ． （2）解：∵， ∴． ∴． ∴． ∵，，， ∴，，； ∴，，． ∴． ∴此三角形为等边三角形． 【点睛】本题考查了分组法分解因式，完全平方公式，偶次方的非负性，等边三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 23．（12分））如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)按要求填空： ①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于______； ②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积： 方法1：______ 方法2：______ ③观察图②，请写出代数式(m+n)2，(m-n)2，mn这三个代数式之间的等量关系：______； (2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：若|m+n-6|+|mn-4|=0，求(m-n)2的值． (3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了______． 【答案】（1）①m﹣n；②（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn，③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（2）（m﹣n）2=20；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2 【分析】（1）①观察可得阴影部分的正方形边长是m-n； ②方法1：阴影部分的面积就等于边长为m-n的小正方形的面积；方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积； ③根据以上相同图形的面积相等可得； （2）根据|m+n-6|+|mn-4|=0可得m+n=6、mn=4，利用（1）中结论（m-n）2=（m+n）2-4mn计算可得； （3）根据：大长方形面积等于长乘以宽或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和列式可得． 【详解】（1）①阴影部分的正方形边长是m﹣n． ②方法1：阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积， 即（m﹣n）2， 方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，即（m+n）2﹣4mn； ③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn． （2））∵|m+n﹣6|+|mn﹣4|=0， ∴m+n﹣6=0，mn﹣4=0， ∴m+n=6，mn=4 ∵由（1）可得（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn ∴（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=62﹣4×4=20， ∴（m﹣n）2=20； （3）根据大长方形面积等于长乘以宽有：（2m+n）（m+n）， 或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和有：2m2+3mn+n2， 故可得：（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2． 故答案为（1）m﹣n；（2）①（m﹣n）2，②（m+n）2﹣4mn，③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练的掌握完全平方公式的相关知识． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式的乘法与因式分解（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．多项式①②③④在分解因式后，结果含有相同因式的是（    ）． A．①④ B．①② C．③④ D．②③ 5．已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（ ） A．0 B． C．2 D．3 6．加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 7．已知单项式与 的积为，则的值为（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 8．已知，且，计算的结果是（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　） A． B． C． D． 10．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． …… …… ……1 …… …… …1   1 …… …… 1   2  1 …… … 1  3   3  1 ………1  4  6  4  1 … 1  5  10  10  5  1 … 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为（） A．84 B．56 C．35 D．28 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．计算： ． 12．已知多项式是完全平方式，则m的值为 ． 13．已知，则的值为 . 14．若27m÷9÷3=321，则m= ． 16．已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2=5，则（a﹣2017）（2018﹣a）= ． 3、 解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（9分））把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3). 18．（8分））张老师在黑板上布置了一道题：计算：2(x+1)2﹣(4x﹣5)，求当x＝和x＝﹣时的值．小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说的对？并说明理由． 19．（10分））（1）先化简，再求值： ，其中 （2）先化简，再求值： ，其中，． 20．（10分）随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形． (1)用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简； (2)若，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱． 21．（11分）数学是研究数量关系和空间形式的科学．对于一些特殊的整式运算，我们要善于观察并发现规律：（） ；         ； ；     ． (1)尝试：_________________； (2)猜想：_________________； (3)利用以上结论求值： ①； ②若，_________________． 22．(12分）先阅读下面的材料，再分解因式． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a，再把它的后两项分成一组，并提出b，从而得． 这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有． 这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式． (1)请用上面材料中提供的方法分解因式： ①； ②； ③． (2)已知的三边长为，，，并且，试判断此三角形的形状． 23．（12分））如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)按要求填空： ①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于______； ②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积： 方法1：______ 方法2：______ ③观察图②，请写出代数式(m+n)2，(m-n)2，mn这三个代数式之间的等量关系：______； (2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：若|m+n-6|+|mn-4|=0，求(m-n)2的值． (3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$