专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 2 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 9 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 14 21 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 例1．（2024·山西大同·模拟预测）矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，则线段的长为 ． 例2．（23·24下·山东·九年级期中）如图，在矩形中，，，在上有一点，若，则和之间有什么数量关系？然后请证明． 例3．（22-23下·衢州·二模）在矩形中，E是边的中点，连接，过点B作于点F，射线与直线交于点P，设． (1)如图①，若，求证：；(2)如图②，当点P恰好与点D重合时，试确定m的值； (3)作点B关于直线的对称点，当以点P，D，为顶点的三角形是等腰三角形时，求的值． 例4．（23-24江苏九年级期中）某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他们解决：（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形对折，使得点B、点D重叠，折痕为EF，过点F作AB的垂线交AB于点G，求EF的长；（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点E，F分别在AB，DC上，点G，H分别在AD，BC上且EF⊥GH，求的值；（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： 。 例1．（23·24上·莆田·阶段练习）如图，等边的边长是6，点E，F分别在边上，，连接，相交于点P．(1)求的度数；(2)若，求的值． 例2．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ． 例3．（23·24下·六安·一模）如图1，等边中，点D、E分别在上，且，连接交于点(1)求证：；(2)如图2，连接，若，判断与的位置关系并说明理由；(3)如图3，在的条件下，点G在上，的延长线交于H，当时，请直接写出线段FH的长．    模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 该模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形两类情况讨论。 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 例1．（23·24·广东·期中）如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长． 例2．（23·24·内江·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下三个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB； ③若，则S△ABC=6S△BDF；其中正确的结论的序号是（　　） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 例3．（22-23下·深圳·一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：；(2)如图②，若，，求的值． 例4．（23·24上·长春·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】(1)如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接，，，则的值为___________．【类比探究】(2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值．【拓展延伸】(3)如图③，在中，，点在边上，连结，过点作于点，的延长线交边于点．若，，，则___________． 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，中，，点D是AB的中点，连接CD，过点B作，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，下列结论正确地是（） A． B． C．AB D． 2．（23·24下·重庆·阶段练习）如图，在正方形中，﹐E，F分别为，的中点，连接、，交于点G，将沿翻折得到，延长交延长线于点Q，连接，则的面积是（    ） A． B．25 C．20 D．15 3．（23·24下·贵港·一模）如图，在等边的，边上各任取一点，，且，，相交于点，下列三个结论：①若PC=2AP，则BO=6PO；②若，，则，③，其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（2024·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，，点、分别为、上一点，连接、，过点作于点，过点作于点，若，，则线段的长为（） A． B． C． D．5 5．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，下面结论：①若是边上的中线，则；②若平分，则；③若，则；④当时，．正确的有（填序号） ．    6．（23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，则线段EF的长为 ． 7．（23·24上·无锡·期末）如图，在边长为3的等边中，D、E分别为边上的点，与相交于点P， ．若，则 ． 8．（2024九年级上·广东·专题练习）如图，中，，，点是上一点，连接，过作，交于，交于． (1)求证：；(2)当为边的中点时，求的值． 9．（23·24下·合肥·开学考试）如图，点D、E分别在等边的边、上，且，连接、，过点作交于点． (1)求证：的度数；(2)求证：；(3)求证：的值．    10．（23·24下·重庆·九年级期中）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点，重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．    11．（23·24下·阜阳·一模）如图，在中，，，是线段上的一点，连接，过点作，分别交，于点，，与过点A且垂直于的直线相交于点，连接。(1)求证：(2)若是的中点，求的值．(3)若，求的值． 12．（2024·安徽合肥·一模）如图，中，，点分别在边上，连接，恰好，过点作的垂线，垂足为点，且交边于点． (1)设，用含的代数式表示为______；(2)求证：；(3)求的值． 13．（22-23九年级上·山西长治·阶段练习）综合与探究 (1)如图1，在正方形中，点分别在边上，且，请直接写出线段与的数量关系 ．【类比探究】(2)如图2，在矩形中，，，点分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论． 【拓展延伸】(3)如图3，在中，，为中点，连接，过点作于点，交于点，若，，求的长． 14．（广东2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：    图1     图2          图3             图4 【观察与猜想】（1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为_________；（2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为_________. 【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：. 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，，求的值. 15．（吉林23-24学年九年级上学期期末数学试题）感知：如图①，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，过点作，交于点，则与的数量关系是___________． 探究：如图②，在正方形中，，分别为边，上的点（点，不与正方形的顶点重合），连接，作的垂线分别交边，于点，，垂足为．若为中点，，，求的长． 应用：如图③，在矩形中，，，点、分别在边、上，点为线段上一动点，过点作的垂线分别交边、于点、点．若线段恰好平分矩形的面积，且，求___________． 16．（23·24下·上饶·一模）课本再现 如图1，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系是______，与构成的锐角夹角的度数是______． 深入探究(2)将图1中的延长至点，使，连接，，如图2所示．求证：平分．（第一问的结论，本问可直接使用） 迁移应用(3)如图3，在等腰中，，，分别是边，上的点，与相交于点．若，且，求的值． 17．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 18．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）【数学模型】（1）如图1，在矩形中，，，点、分别在边、上，，垂足为点，则　　　． 【模型探究】（2）如图2，在平行四边形中，点、分别在边、上，与交于点，且，请证明：； 【拓展应用】（3）如图3，白云小区有一块四边形绿地，为了居民出行方便计划在四边形中修两条小路，在边上取一点，连接与交于点，、即为规划的两条小路，其中，，，且，求两条小路长度的比，即求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 2 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 9 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 14 21 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 例1．（2024·山西大同·模拟预测）矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，则线段的长为 ． 【答案】/3.5 【分析】过E作于M，根据矩形性质和折叠性质，结合勾股定理求得，可求得，证明，求得和，设，证明四边形是矩形，得到，，在中，，，由勾股定理求解即可． 【详解】解：过E作于M，如图，则， ∵四边形是矩形，，∴，， ∵沿翻折到处， ，∴，，， 设，则，在中，由勾股定理得， ∴，则，∴，， ∵，，∴， ∴，即，∴，，   设，∵∴四边形是矩形，∴，， 在中，，，由勾股定理得， 则，解得，∴．∴故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、翻折性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用相关知识求解是解答的关键． 例2．（23·24下·山东·九年级期中）如图，在矩形中，，，在上有一点，若，则和之间有什么数量关系？然后请证明． 【答案】，见解析 【分析】由同角的余角相等，得到，然后证明，由相似三角形的性质，即可得到答案． 【详解】解：. 证明如下：∵四边形为正方形，，， ∴，，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，以及同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确得到． 例3．（22-23下·衢州·二模）在矩形中，E是边的中点，连接，过点B作于点F，射线与直线交于点P，设． (1)如图①，若，求证：；(2)如图②，当点P恰好与点D重合时，试确定m的值； (3)作点B关于直线的对称点，当以点P，D，为顶点的三角形是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析(2)(3)或2或 【分析】(1)根据正方形的性质，证明△ABE≌△BCP即可． (2) 设BE=EC=x，则BC=AD=2x，证明△ADF∽△BDA，△ADF∽△EBF即可． (3)根据等腰三角形的性质，分三种情况求解． 【详解】（1）如图，∵ =1，四边形ABCD是矩形， ∴AD=AB，∴四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCP=90°， ∵ ，∴∠BAE=∠CBP，∴△ABE≌△BCP，∴AE=BP． （2）∵ 矩形中，E是边的中点，∴设BE=EC=x，则BC=AD=2x，∠BAD=90°． ∵ ，∠ADF=∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴， ∵ 四边形是矩形，∴AD∥BC，∴△ADF∽△EBF， ∴，∴， 解得，（舍去），∴BD=DF+EF=3EF=， ∴，∴． （3）当时，∵ 四边形是矩形， ∴AB=DC，AD=BC，∠ADC=∠ABC=∠BCP=90°， ∵ E是边的中点， ，∴ AD=BC=2BE，∠PFE=90°， ∵P，D，为顶点的三角形是等腰三角形， ∴，∴，∴， ∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE，∴sin∠BAE=，∴∠BAE=30°， 根据（1）证明，得∠BAE=∠CBP=30°， ∴tan∠BAE=tan30°=，tan∠CBP=tan30°=， ∴，，∴=． 如图，当点P在CD的延长线上时，此时落在AD上， 根据题意，得∠BAF=∠AF=45°，∴∠PD=∠PD=45°，∴， ∵∠BAF=45°，∴∠BEA=45°，∴四边形ABE是正方形，故是AD的中点， ∴=CD，∴=．如图，∵ ，设AB=x，则AD=mx，BE=， ∵∠ABG=90°-∠FBE，∠AEB=90°-∠FBE，∴∠ABG=∠AEB，∴tan∠ABG= tan∠AEB， ∴，∴，解得AG=，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴， ∴，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数，熟练掌握矩形的性质，三角形的相似和特殊角的三角函数是解题的关键． 例4．（23-24江苏九年级期中）某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他们解决：（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形对折，使得点B、点D重叠，折痕为EF，过点F作AB的垂线交AB于点G，求EF的长；（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点E，F分别在AB，DC上，点G，H分别在AD，BC上且EF⊥GH，求的值；（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】(1)由矩形对折知，EF⊥BD，证明∠FEG=∠BDA，则△EFG∽△DBA，即可求解； (2)证明∠EFN=∠GHC，则△EFN∽△GHM，即可求解； (3)证明△ACD≌△ACB（SSS）和△ADE∽△DCF，再利用DC2=CF2+DF2，即可求解． 【详解】解：(1) ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD , AD=BC=6, ∴∠ADB+∠ABD=90°, BD＝, ∵FG⊥AB于G，∴∠FGE=90°，FG=BC=6， ∴∠FGA＝∠A ∵翻折，∴EF⊥BD，∴∠ADB+∠AEF=180°， 又∵∠FEG+∠AEF=180°，∴∠FEG＝∠BDA，又∵∠FGE =∠A, ∴△EFG∽△DBA，∴ ，代入数据： ,解得,故答案为：； (2)如图，过点G作GM⊥CB于M，过点E作EN⊥CD于点N ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB∥CD，AD∥BC， ∵GM⊥BC，EN⊥CD，∴GM＝CD＝AB=a，EN＝AD＝BC=b， ∵EF⊥GH，∠BCD＝90°，∴∠EFC+∠GHC＝180°，∵∠DFE+∠EFC＝180°， ∴∠EFN＝∠GHC，又∵∠ENF＝∠GMH＝90°，∴△EFN∽△GHM， ∴，故答案为：； (3)如图，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于F，过点A作AE⊥EF，连接AC， ∵∠ABC＝90°，AE⊥EF，EF⊥BC，∴四边形ABFE是矩形， ∴∠E＝∠F＝90°，AE＝BF，EF＝AB＝8， ∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，∴△ACD≌△ACB（SSS），∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠ADE+∠CDF＝90°，且∠ADE+∠EAD＝90°， ∴∠EAD＝∠CDF，且∠E＝∠F＝90°，∴△ADE∽△DCF， ∴，∴AE＝2DF，DE＝2CF， ∵DC2＝CF2+DF2，∴16＝CF2+(8﹣2CF)2 ∴CF＝4(不合题意舍去)，CF＝，  ∴BF＝BC+CF＝＝AE， 由(1)可知：，故答案为：=． 【点睛】本题为四边形综合题，涉及到三角形全等和相似、勾股定理的运用、矩形的基本性质等，综合性强，难度适中，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 例1．（23·24上·莆田·阶段练习）如图，等边的边长是6，点E，F分别在边上，，连接，相交于点P． (1)求的度数；(2)若，求的值． 【答案】(1)(2)12 【分析】（1）证明，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理即可得解； （2）证明，利用对应边对应成比例列式计算即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵，∴，∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，∴ ∴，∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质和已知条件证明三角形全等是解题的关键． 例2．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，从而求出BF，利用勾股定理求出BE的长，证明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再证明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，从而求出AP，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F， ∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，∵CE=BD=2，AB=AC=6，∴AE=4， ∴，∴BF=4，∴， 又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，AD=BE， 又∵∠BDP=∠ADB，∴△BDP∽△ADB，∴，∴， ∴，∴， ∴△ABP的周长，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 例3．（23·24下·六安·一模）如图1，等边中，点D、E分别在上，且，连接交于点(1)求证：；(2)如图2，连接，若，判断与的位置关系并说明理由；(3)如图3，在的条件下，点G在上，的延长线交于H，当时，请直接写出线段FH的长．    【答案】(1)详见解析(2)，详见解析(3) 【分析】（1）因为为等边三角形，所以，，又，即可判定≌，根据全等三角形的性质得出，利用三角形外角性质解答即可； （2）延长BE至M，使，连接，取的中点N，连接，可证得是等边三角形，得出，，再证得≌，推出，，证得∽，推出，结合点N是的中点，得出，是等边三角形，进而可得，，推出，即；（3）延长BE至M，使，连接，取的中点K，连接，可得∽，，推出，再由是的中位线，可得，，，再由∽，可得，进而可得，再证得，得出 【详解】（1）为等边三角形，，， 在和中，，≌，， ，； （2），理由如下： 如图，延长BE至M，使，连接，取的中点N，连接，    由得：，是等边三角形，，， ，，即， 在和中，，，， ≌，， ，， ∴∽，， ，，，，即， ，即，， 点N是的中点，，， 又，是等边三角形，，， ，，， ，； （3）如图，延长至M，使，连接，取的中点K，连接，    由知：，≌，，， ∽，，，，， ，，，， ，，点G是的中点，， 点K是的中点，是的中位线，，， ，， ，∽，，， ，， ， 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，直角三角形性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，解题关键是添加恰当辅助线构造全等三角形和相似三角形． 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 该模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形两类情况讨论。 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 例1．（23·24·广东·期中）如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长． 【答案】 【分析】将补成矩形，延长交于点，可得，结合已知可求、，再由即可求出CE． 【详解】解：如解图，补成矩形，延长交于点， ∵，，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴，，∴设，则， 又∵在矩形中，，∴， ∴，即，解得．∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性质，证明是本题的关键． 例2．（23·24·内江·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下三个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB； ③若，则S△ABC=6S△BDF；其中正确的结论的序号是（　　） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】C 【分析】①先证明△AFG∽△CFB，然后根据相似三角形的性质得； ②由点D是AB的中点，易证得，再根据AC=AB即可求解； ③先判断出AF=AC，进而得出S△BDF=S△ABC，即S△ABC=12S△BDF． 【详解】∵∠ABC=90°，∠GAD=90°，∴AG//BC，∴△AFG∽△CFB，∴， ∵AB=BC，∴，故①正确．∵∠BCD+∠EBC=∠EBC+∠ABG=90°，∴∠BCD=∠ABG， ∵AB=BC，∠CBD=∠BAG=90°，∴△CBD≌△BAG，∴AG=BD， ∵BD=AB，∴，∴，∴，∵AC=AB，∴AF=AB，故②正确； ∵AG=BD，， ∴，∴， ∵，∴，∴AF=AC，∴S△ABF=S△ABC； ∵S△BDF=S△ABF，∴S△BDF=S△ABC，即S△ABC=12S△BDF，故③错误；故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，比例的基本性质，同底的两三角形的面积比是高的比，解本题的关键是用比例的基本性质推导线段的比，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 例3．（22-23下·深圳·一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：；(2)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)答案见详解(2) 【分析】（1）要证，过点B作，交的延长线于H，证得，得出与的数量关系，再证得，得出根据线段间关系，即可求证；（2）要求的值，根据角度间的转化，得出，即可求出的值，据，推出，即可得到最后结果． 【详解】（1）证明：如图，过点B作，交的延长线于H， ，，，，，， ，，，， ,，，，． （2）解：，，，， 由（1）可知，， ，，，， ，，， ，，，， 设，则，，,， 解得（舍去），，， 又，． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求证三角形相似和全等，正确做出辅助线，利用直角三角形特殊三角函数求角，是解本题的关键． 例4．（23·24上·长春·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】(1)如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接，，，则的值为___________．【类比探究】(2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值．【拓展延伸】(3)如图③，在中，，点在边上，连结，过点作于点，的延长线交边于点．若，，，则___________． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）设与的交点为，根据正方形的性质可证明，得，即可得出答案；（2）利用△DEC∽△ABD，则；（3）过点作，延长交于点，证明，进而求得的长，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：设与的交点为， 四边形是正方形，，， ，，，， ，在与中，， ，，，故答案为：； （2）解：如图，设与交于点， 四边形是矩形，，，， ，，， ，，，故答案为：； （3）解：如图，过点作，延长交于点， 在中，，， ，，，， ，，，， 又，， ．故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握基本几何模型是解题的关键． 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，中，，点D是AB的中点，连接CD，过点B作，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，下列结论正确地是（） A． B． C．AB D． 【答案】B 【分析】A选项：由△AFG≌△AFD可得FG=FD＞FE，可确定结论A错误； B选项：由△ABG≌△BCD，△AFG≌△AFD，可确定结论B正确；C选项：由△AFG≌△AFD可得AG=AB=BC，进而由△AFG∽△BFC确定点F为AC的三等分点，可确定结论C错误；D选项：因为F为AC的三等分点，所以S△ABF=S△ABC，又S△BDF=S△ABF，所以S△ABC=6S△BDF，由此确定结论D错误． 【详解】如图： ∵BG⊥CD∴∠1+∠3=90。，在Rt△ABC，∠1+∠4=90。∴∠3=∠4， 在△ABG与△BCD中，∵∠3=∠4，AB=BC，∠BAG=∠CBD，∴△ABG≌△BCD(ASA)， ∵点D是AB的中点，∴AD=BD∴ 在△AFG与△AFD中∵AG=AD，∠FAG=∠FAD=45。，AF=AF， ∴故结论B正确∴ 在中，∴，故结论A错误． 设，则．∵AG∥BC∴ ∴CF=2AF，故结论C错误，∵AF=AC，∴S△ABF=S△ABC， 又点D是AB的中点∴S△ABF=S△ABC∴，∴S△ABC=6S△BDF故结论D错误．故答案为：B 【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度.对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用. 2．（23·24下·重庆·阶段练习）如图，在正方形中，﹐E，F分别为，的中点，连接、，交于点G，将沿翻折得到，延长交延长线于点Q，连接，则的面积是（    ） A． B．25 C．20 D．15 【答案】D 【分析】由已知可求QF=QB，在Rt△BPQ中，由勾股定理求得，可求出S△BQF=25，再证明△ABE≌△BCF（SAS），△BGE∽△BCF，由此得BF，GE，BG，过点G作GN⊥AB交AB于N，可证明△ANG∽△ABE，再由GA=AE-GE，可求得GN，根据S△QGF=S△BQF-S△BQG即可求解． 【详解】解：将沿翻折得到，PF=FC，∠PFB=∠CFB， 四边形是正方形∠FPB=90°，CD∥AB， ∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB， ∵PF=FC=，PB =AB=2， 在Rt△BPQ中，，∴， ∴QB=，∴S△BQF=， ∵AB=BC，BE=CF，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠AEB=∠BFC， 又∵∠EBG=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，， ∵CF=，BC=2，∴BF=5，∴GE=，BG=2， 过点G作GN⊥AB交AB于N， ∵∠GAN=∠EAB，∠ANG=∠ABE=90°，∴△ANG∽△ABE，∴ ∵GA=AE-GE =∴GN=∴S△BQG=×QB×GN==10， ∴S△QGF=S△BQF-S△BQG=25-10=15，故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质是解题关键． 3．（23·24下·贵港·一模）如图，在等边的，边上各任取一点，，且，，相交于点，下列三个结论：①若PC=2AP，则BO=6PO；②若，，则，③，其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质得到，根据线段的和差得到，过作交于，根据相似三角形的性质得到正确；过作于，解直角三角形得到正确；在根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到正确． 【详解】解：是等边三角形，， ，，，， 过作交于， ∽，∽，，， ，，；故①正确； 过作于，则， ，，，，故正确； 在等边中，，， 在与中，，≌，，， ，∽，，，   故正确；故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（2024·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，，点、分别为、上一点，连接、，过点作于点，过点作于点，若，，则线段的长为（） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】连接，由四边形是正方形，，可得，，而，可证，得，再证，得，，有，即可得，有，设，根据勾股定理得，可解得． 【详解】解：连接，如图∶∵四边形是正方形，， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴ ∵∴∴， ∴，∴， ∵，，，∴， ∴，，∴， ∵，，∴，∴， 设，则，∴， ∵，∴，解得，∴；故选∶D． 【点睛】本题考查正方形性质，涉及三角形全等，相似的判定与性质，勾股定理及应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 5．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，下面结论：①若是边上的中线，则；②若平分，则；③若，则；④当时，．正确的有（填序号） ．    【答案】①②③④ 【分析】根据勾股定理，再利用三角形面积公式求得，即可判断①；过点C作交的延长线于点M，根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据直角三角形的性质和平行线的性质推出，再由相似三角形的性质即可判断②；过点B作交的延长线于点N，当时，设，则，，证明，可得，再根据平行线的判定可得，从而证得，再由相似三角形的性质即可判断③；过点D作交于点M，根据三角形中位线定理可得，再根据直角三角形的性质和平行线的性质推得，，，再由相似三角形的性质即可判断④． 【详解】解：∵是边上的中线，∴， ∵，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，故①正确，符合题意； 如图，过点C作交的延长线于点M，       ∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∵平分，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，故②正确，符合题意； 当时，设，则，∴， 过点B作交的延长线于点N，∴，∴， ∵，∴，∴， 又，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，故③正确，符合题意； 如图，过点D作交于点M，       当时，∴是的中位线，∴， ∵，，∴， ∴，，∴， ∴，∴，∵，， ∴，∴，∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故④符合题意； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理及平行线的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 6．（23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，则线段EF的长为 ． 【答案】 【分析】根据D为BC的中点和BC＝6，可以得到BD的长，然后根据∠ABC＝90°，AB＝4，利用勾股定理可以得到AD的长，再根据等积法可以求得BE的长，从而可以得到AE的长，根据DG∥BF，再利用三角形相似，即可求得EF的长． 【详解】解：过点D作DG∥BF交AC于点G，如图所示， ∵D为BC边的中点，BC＝6，∴BD＝3， 在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4，∴AD＝＝5， ∵BE⊥AD于点E，交AC于F，∴BE＝， ∵AB＝4，BE＝，∠AEB＝90°，∴AE＝， 设DG＝x，则BF＝2x，EF＝2x﹣，∵EF∥DG，∴△AEF∽△ADG， ∴，即，解得，x＝， ∴EF＝2x﹣＝2×﹣＝，故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理等，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线进行解答． 7．（23·24上·无锡·期末）如图，在边长为3的等边中，D、E分别为边上的点，与相交于点P， ．若，则 ． 【答案】 /度 【分析】如图所示，过点E作于F，证明得到，利用三角形外角的性质即可推出，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，从而求出BF，利用勾股定理求出的长，再证明，得到，即可求出，从而求出，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于F， ∵是等边三角形，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴，∴，故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 8．（2024九年级上·广东·专题练习）如图，中，，，点是上一点，连接，过作，交于，交于． (1)求证：；(2)当为边的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质：（1）证明即可；（2）过作交延长线于点，证明，得，，再证明即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ，， （2）解：如图，过作交延长线于点， ，， ，， ，， ， ∵为边的中点，， ， ，，． 9．（23·24下·合肥·开学考试）如图，点D、E分别在等边的边、上，且，连接、，过点作交于点．    (1)求证：的度数；(2)求证：；(3)求证：的值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）通过证明，出，则； （2）根据，，得出，则，易得，，推出，则，即可求证； （3）根据，得出，通过证明，得出，根据，推出，则，进而得出，则． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，， 在和中，∴，∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴，则， 又∵，∴； （3）解：∵，∴， ∵，∴，∴，则， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，即，∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等；相似三角形对应边成比例． 10．（23·24下·重庆·九年级期中）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点，重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．    (1)求证：；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）利用平行线内错角相等和翻折前后对应角相等，等量代换即可证明； （2）利用相似列出关系式，利用边的关系代入到关系式可求出． 【详解】（1）证明：点、关于线段对称，由翻折的性质可知：， 是正方形，，，（等量代换）． （2）解：设，则，设，则． 在中，，，．即． ，， 又，，，． ，，整理得：，．． 【点睛】本题考查了翻折的性质以及相似三角的判定，勾股定理的应用，解题的关键是掌握一线三垂直的相似是本题突破口． 11．（23·24下·阜阳·一模）如图，在中，，，是线段上的一点，连接，过点作，分别交，于点，，与过点A且垂直于的直线相交于点，连接。(1)求证：(2)若是的中点，求的值．(3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)的值为12 【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质进行证明． （2）先证明，求出，再利用相似三角形的性质即可求解． （3）利用全等和相似进行线段之间的关系转化，先求出，再求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，∴，∴，∵，∴， （2）∵，∴， ∵，∴，∴， ∵是的中点，∴，∴，∴， ∵∴，∴． （3）∵，∴， ∵，∴，∴， 若，∴，即 ∵∴，∴∴；∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是发现全等三角形和相似三角形，能利用它们的性质进行线段之间的关系转化． 12．（2024·安徽合肥·一模）如图，中，，点分别在边上，连接，恰好，过点作的垂线，垂足为点，且交边于点． (1)设，用含的代数式表示为______；(2)求证：；(3)求的值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据直角三角形的两锐角互余，即可求解； （2）根据，可得，再由，即可求证； （3）过点C作，过点B作交于点M，延长交于点P，连接，过点P作于点N，则，可得四边形是正方形，证明，可得，再由四边形是矩形，可证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵，即，∴， 中，∵，∴， ∴；故答案为： （2）证明：∵，∴， ∵，∴，∵，∴； （3）解：如图，过点C作，过点B作交于点M，延长交于点P，连接，过点P作于点N，则， ∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形， ∴，，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴四边形是矩形， ∴，，∵， ∴，∴，∴，∴． 13．（22-23九年级上·山西长治·阶段练习）综合与探究 (1)如图1，在正方形中，点分别在边上，且，请直接写出线段与的数量关系 ．【类比探究】(2)如图2，在矩形中，，，点分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论． 【拓展延伸】(3)如图3，在中，，为中点，连接，过点作于点，交于点，若，，求的长． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）通过证明△ABE∽△BCF，利用相似三角形的性质，即可求解； （3）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点，勾股定理求得，根据（2）知，求得，证明，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）设与相交于点，如图，∵正方形，∴，， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴；故答案为：； （2）．证明：∵，∴． 在矩形ABCD中，，∴，∴， ∴，∴，∴． （3）如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点． ∴四边形是矩形．∵为中点，∴． ∵，∴．由（2）知，∴． 在中，，∵∴， ∴，即，解得． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 14．（广东2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：    图1     图2          图3             图4 【观察与猜想】（1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为_________；（2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为_________. 【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：. 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】（1）利用证明即可；（2）证明即可；（3）过点作交的延长线于点，可证四边形为矩形，即可推出；证即可； （4）作，连接交于点，连接交于点，由可得，设，可求出；由可求，即可求解． 【详解】（1）解：设与的交点为点，如图：            故答案为： （2）解：设与的交点为点，如图： 故答案为： （3）证明：过点作交的延长线于点，如图 ： ∴四边形为矩形 即： （4）作，连接交于点，连接交于点，如图： 在中，设 解得：（舍去） 【点睛】本题考查了全等三角形和相似三角形的判定于性质、三角函数等知识点．需要学生具备扎实的几何基础． 15．（吉林23-24学年九年级上学期期末数学试题）感知：如图①，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，过点作，交于点，则与的数量关系是___________． 探究：如图②，在正方形中，，分别为边，上的点（点，不与正方形的顶点重合），连接，作的垂线分别交边，于点，，垂足为．若为中点，，，求的长． 应用：如图③，在矩形中，，，点、分别在边、上，点为线段上一动点，过点作的垂线分别交边、于点、点．若线段恰好平分矩形的面积，且，求___________． 【答案】感知：；探究：；应用： 【分析】感知：先证明，可得； 探究：如图②，过作交于，过作，交于，而，则，证明四边形，四边形是平行四边形，可得，，，，，再利用勾股定理求解，结合全等三角形的性质可得答案； 应用：如图③，过作交于，过作，交于，而，则，同理可得：四边形，四边形是平行四边形，可得，，由平分矩形的面积，连接交于，可得，，，证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】感知：，理由如下： 在正方形中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 探究：如图②，过作交于，过作，交于，而，则， 由正方形可得，，，， ∴四边形，四边形是平行四边形，∴，， ∵为的中点，，∴，，∴， ∴，由（1）可得：，∴，∴． 应用：如图③，过作交于，过作，交于，而，则， 同理可得：四边形，四边形是平行四边形，∴，， ∵平分矩形的面积，连接交于，∴， 由，则，而，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形与相似三角形是解本题的关键． 16．（23·24下·上饶·一模）课本再现 如图1，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系是______，与构成的锐角夹角的度数是______． 深入探究(2)将图1中的延长至点，使，连接，，如图2所示．求证：平分．（第一问的结论，本问可直接使用） 迁移应用(3)如图3，在等腰中，，，分别是边，上的点，与相交于点．若，且，求的值． 【答案】(1)；60°(2)证明见解析(3)3 【分析】（1）证明，即可得出结论；（2）先证明是等边三角形，再证明，推出，即可得证；（3）延长至，使得，连接，，过点作，交于点，分别证明，，，推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴， ∵，∴，∴， ∴；故答案为：； （2）证明：∵，，∴是等边三角形， ∴，． ∵在等边中，，，∴，∴， ∴， ∴， ∴，∴平分． （3）如图，延长至，使得，连接，，过点作，交于点． 设．∵，，∴， ∴，∴，∴．∵，即， ∴， ∴，， ∴，．∵，∴， ∴，，∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 17．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)，(2)，理由见解析(3)①见解析；②或． 【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得；（2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案； （3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线；在延长线上取点F，使，连接； ②根据①中的三种情况讨论：第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得； 第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得； 第三种情况无交点，不符合题意． 【详解】（1）解：，为的中点，，，， ，，，即，解得， ，；故答案为：1；； （2）解：，理由如下：根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点， ，；又，， ；设，则，，， ，，， ，，； （3）解：①第一种情况：作的平行线，使，连接， 则四边形为平行四边形；延长交于点， ，，， ，，，即，为的中点； 故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第二种情况：作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接，故为的中点； 同理可证明：，则，则四边形是平行四边形； 故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第三种情况：作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线； 在延长线上取点F，使，连接，则为的中点， 同理可证明，从而，故四边形是平行四边形； 故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： ②若按照图1作图， 由题意可知，， 四边形是平行四边形，，，是等腰三角形； 过P作于H，则，，，，， ，； ,，，，即   ∴ 若按照图2作图， 延长、交于点，同理可得：是等腰三角形， 连接，，，， ，；同理，， ，，，，即，   ， 若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意） 故答案为：或． 【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键． 18．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）【数学模型】（1）如图1，在矩形中，，，点、分别在边、上，，垂足为点，则　　　． 【模型探究】（2）如图2，在平行四边形中，点、分别在边、上，与交于点，且，请证明：； 【拓展应用】（3）如图3，白云小区有一块四边形绿地，为了居民出行方便计划在四边形中修两条小路，在边上取一点，连接与交于点，、即为规划的两条小路，其中，，，且，求两条小路长度的比，即求的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解； （2）当时，可证明得到，再证明，得到，由此可得，即； （3）如图所示，过点C作交延长线于N，过点D作交延长线于M，则四边形是平行四边形，证明，则，再证，得，则，在上取一点P，使，连接，证是等边三角形，得，，然后证，得，设，则，，进而由，得出方程，求出，即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，， ，，，故答案为：； （2）∵，，∴， 又∵，∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴， 又∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，∴； （3）如图所示，过点C作交延长线于N，过点D作交延长线于M，则四边形是平行四边形，∴，，， 同（2）可得，在上取一点P使得，连接， ∵，∴，∴是等边三角形， ∴，∴； ∵，∴， ∴，∴，∴， 设，则，，∴， ∵，∴，解得， ∴，∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$