专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 2 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 9 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 14 21 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 例1．（23·24下·湖南·九年级期中）如图，把边长为，的矩形对折，使点和重合，求折痕的长． 例2．（23·24下·山东·九年级期中）如图，在矩形中，，，在上有一点，若，则和之间有什么数量关系？然后请证明． 例3．（2023年广东中考三模数学试题）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则______（填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；(3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长；(4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 例4．（江苏2022-2023学年九年级10月诊断性抽测数学试题）【探究证明】：（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明． 如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：；【结论应用】：（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为____________；【联系拓展】：（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=8，BC=CD=4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，则=____________． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 例1．（23-24九年级·达州·期末）如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，连接相交于点，且．(1)求证：，求的度数；(2)若，试求的值． 例2．（23·24·南通·模拟预测）如图，已知是等边内的一点，且，延长，，分别交，于点D，E．若，，则的周长等于 ．    例3．（23·24上·衢州·期末）如图，在等边ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O．（1）求证：AD＝BE；（2）若BO＝6OE，求CD的长． （3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式． 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 该模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形两类情况讨论。 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 例1．（23·24上·深圳·期中）如图，在中，，，点D为边上的中点，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ． 例2．（23·24下·鞍山·阶段练习）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD．过点 B 作 BG⊥CD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G，连结 DF，给出以下四个结论：①；②若AB，则点 D 是 AB 的中点；③若，则 S△ABC＝9S△BDF；④当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时，DF＝DB；其中正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 例3．（22-23下·武汉·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G． (1)如图（1），求证：△AGE∽△BDE；(2)如图（2），若点G恰好与顶点C重合，求证：BD＝CD； (3)如图（1），若＝，直接写出的值． 例4．（23·24下·鹰潭·一模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】(1)如图①，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，，求证．【类比探究】(2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值．【拓展延伸】(3)如图③，在中，，点在边上，连接，过点作于点，的延长线交边于点若，，，求的值． 1．（23·24下·杭州·一模）如图，在等边的AC，BC边上各取一点M，N使，AN，BM相交于点O．若，，则BO的长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2023.南充市中考模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF，下列结论正确的是（　　） A．CE= B．EF= C．cos∠CEP= D．HF2=EF•CF 3．（23·24下·东营·中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若，则 其中正确的结论序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 4．（23·24·德州·二模）如图，正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，交AB于点F．将△AMF沿AB翻折得到△ANF．延长DM，AN交于点P． 给出以下结论①；②；③；④若，则；．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④ 5．（江苏2022-2023学年九年级月考数学试题）如图，在中，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·浙江湖州·模拟预测）如图，点、分别是等边三角形的两边、上两点， 、相交于点，连结．若 ，则下列结论错误的是(   ) A． B． C． D． 7．（23·24下·江门·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连接AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，点D是BC的中点，连接DE．则= ； 8．（23·24下·山西·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC边上的中线，过点B作AE的垂线BD，垂足为H，交AC于点D，则AD的长为 ． 9．（23·24上·深圳·期中）如图，在边长为7的等边中，D、E分别在边上，，，连接交于点P，则的长为 ． 10．（23·24下·成都市·九年级期中）已知四边形中，、分别是、边上的点，与交于点．（1）如图①，若四边形是矩形，且，求证：； （2）如图②，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，成立？并证明你的结论；（3）如图③，若，，，，请直接写出的值．        11．（23·24下·芜湖·一模）如图，在等边的边上各取一点E，D，使相交于点O．(1)求证：；(2)若，求的长．(3)在（2）的条件下，动点P在从点C向终点E匀速运动，点Q在上，连结，满足，记为x，的长为y，求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． 12．（2023年成都市中考三模数学试题）已知正方形的边长为6，动点分别在边上运动，连接．      (1)如图1，过作交边于点，交于点．i）若为的中点，为的中点，求的长；ⅱ）探索线段之间的数量关系，写出你的结论并证明．(2)如图2，将四边形沿翻折得到四边形与相交于点，调整点和点的位置使得线段始终经过顶点． i）若点到的距离，求的长；ⅱ）点到的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大距离；若不存在，请说明理由． 13．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）【实践探究】 （1）如图1，矩形中，交于点E，则的值是______； 【变式探究】（2）如图2，中，为边上一点，连接，交于点E，若，求的长； 【灵活应用】（3）如图3，在矩形中，，点E，F分别在上，以为折痕，将四边形翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作交于点N，若，设的面积为的面积为的面积为，若，则的值为_______．    14．（23-24八年级下·广东深圳·期末）已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】（1）如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】（2）如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】（3）老师上课时提出这样的问题：如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：； 小圳同学冥思苦想不得其解，提问到：在做题过程中，我先将转化成：，发现与显然不相似，所以没办法直接得出，怎么办呢？ 老师提示说：你是不是可以考虑引入一个桥梁或者考虑下添加辅助线来帮助解题呢？ 同学们，请你帮助小圳同学解决此题，写出完整证明过程； （4）如图4，若，，，于G，请直接写出的值．      15．（2024九年级下·广东专题练习）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．（1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】（2）如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值． 【灵活运用】（3）如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则 ．      16．（2023年广东省深圳市中考模拟数学试题）【问题解决】 如图1，已知正方形中，，分别是，边上的点，与交于点．当时，求证：； 【类比迁移】如图2，在菱形中，，分别是，边上的点，与交于点．若，求证：． 【拓展延伸】如图3，在四边形中，，分别是，边上的点，与交于点．，，，，若，请求出的值． 17．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 18．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）【数学模型】（1）如图1，在矩形中，，，点、分别在边、上，，垂足为点，则　　　． 【模型探究】（2）如图2，在平行四边形中，点、分别在边、上，与交于点，且，请证明：； 【拓展应用】（3）如图3，白云小区有一块四边形绿地，为了居民出行方便计划在四边形中修两条小路，在边上取一点，连接与交于点，、即为规划的两条小路，其中，，，且，求两条小路长度的比，即求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 2 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 27 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 39 84 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 例1．（23·24下·湖南·九年级期中）如图，把边长为，的矩形对折，使点和重合，求折痕的长． 【答案】 【分析】先用勾股定理求的BD，再判断出△MNE∽△DBA，，代值计算即可； 【详解】解：如图，过点作，垂足为，连接， 在中，，， ∴，由折叠得，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； 【点睛】此题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是判断出△MNE∽△DBA． 例2．（23·24下·山东·九年级期中）如图，在矩形中，，，在上有一点，若，则和之间有什么数量关系？然后请证明． 【答案】，见解析 【分析】由同角的余角相等，得到，然后证明，由相似三角形的性质，即可得到答案． 【详解】解：. 证明如下：∵四边形为正方形，，， ∴，，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，以及同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确得到． 例3．（2023年广东中考三模数学试题）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则______（填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；(3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长；(4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离．    【答案】(1)(2)证明见解析(3)(4) 【分析】（1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值；（2）如图②，过作交于，过作交于，由矩形，可得，，则四边形、均为平行四边形，，，同（1）可得，证明，则，； （3）由矩形的性质可得，由勾股定理得，由（2）可知，，即，计算求解即可；（4）如图④，延长到，过作于，由（2）可知，，即，解得，由勾股定理得，由折叠的性质可得，，，，设，则，在中，结合勾股定理即可解得，即，再证明，则，计算求解的值，进而可得点到直线的距离． 【详解】（1）解：由题意知，， 又∵，∴，∴， ∵在和中，，∴， ∴，∴，故答案为：． （2）证明：如图②，过作交于，过作交于，    ∵四边形是矩形，∴，，∴四边形、均为平行四边形， ∴，，同（1）可得， 又∵，∴，∴，∴． （3）解：由矩形的性质可得，由勾股定理得， 由（2）可知，，即，解得，∴的长． （4）解：如图④，延长到，过作于，    由（2）可知，，即，解得， ∴在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，，，， 设：，则，∴在中，由勾股定理得， ∴，解得，∴，， ∵，∴， 又∵，∴，∴，即，解得， ∴点到直线的距离为． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 例4．（江苏2022-2023学年九年级10月诊断性抽测数学试题）【探究证明】：（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明． 如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：；【结论应用】：（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为____________；【联系拓展】：（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=8，BC=CD=4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，则=____________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，得出AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；（2）只需运用（1）中的结论，就可得到 （3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，得出四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得设SC=x，DS=y，则AR=BS=4+x，RD=8-y，在Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2=16①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得（4+x）2+（8-y）2=64②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决． 【详解】解：（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1， ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC． ∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP=EF，GH=BQ． 又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT=90°． ∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，∴∠DAP+∠DPA=90°， ∴∠AQT=∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴∴ （2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN， ∴由（1）中的结论可得，∴ ∵∴ （3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3， 则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABSR是矩形， ∴∠R=∠S=90°，RS=AB=8，AR=BS．∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得 设SC=x，DS=y，则AR=BS=4+x，RD=8-y，∴在Rt△CSD中，x2+y2=16①， 在Rt△ARD中，（4+x）2+（8-y）2=64②， 解由②、①组成的方程组得：，（舍去）∴AR=4+x= ，∴ 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 例1．（23-24九年级·达州·期末）如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，连接相交于点，且．(1)求证：，求的度数；(2)若，试求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）依据等边三角形的性质得到，，然后由，依据全等三角形的性质可得到，最后，再依据三角形的外角的性质求解即可； （2）先证明，依据相似三角形的性质得到，从而可得到问题的答案， 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，                 ∴， 在和中，，    ∴，∴. 又∵，∴， （2）解：∵，∴， ∴，即，∴． 例2．（23·24·南通·模拟预测）如图，已知是等边内的一点，且，延长，，分别交，于点D，E．若，，则的周长等于 ．    【答案】 【分析】作于点F，在等边中，，，可求，，根据勾股定理可求，再利用相似三角形的判定定理可得，根据相似三角形的性质得，即，求得，，，即可求的周长． 【详解】解：如图，作于点F，    ∵在等边中，，∴， 由勾股定理得，，∵，∴，在中，， ∵P是等边内的一点，且，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，即，解得，，∴， ∴的周长．故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，作出辅助线，求出的长是解题的关键． 例3．（23·24上·衢州·期末）如图，在等边ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O．（1）求证：AD＝BE；（2）若BO＝6OE，求CD的长． （3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式． 【答案】（1）见解析；（2）2；（3） 【分析】（1）只需要证明△BAE≌△ACD即可得到 答案 ； （2）证明△CAD∽△OAE得到，然后求出OE和AD的长即可； （3）过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G，先求出∴，，，从而得到三角形ABC的边长为6，再证明△OGE∽△BAE，得到，，，，最后证明△PQC∽△OPG，，由此求解即可． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°， 又∵AE=CD，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴AD=BE； （2）由（1）得△BAE≌△ACD，∴∠ABO=∠CAD，AD=BE ∴∠BAO+∠ABO=∠AOE=∠EAO+∠BAO=∠BAC=∠C=60°， 又∵∠CAD=∠OAE，∴△CAD∽△OAE，∴， ∵，∴，∴， ∵CD=AE，∴，∴CD=2； （3）如图所示，过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G， ∵∠FAG=60°，∠AEF=30°，∴，∴， ∴，∴， ∵OG∥AB，∴△OGE∽△BAE，∠OGE=∠BAC=60° ∴，∴，，∴， ∵∠AOE=60°，∴∠OEP=∠AOE+∠OAE=60°+∠OAE， ∵∠EPQ=∠C+∠PQC=∠OPQ+∠OPE，∠C=∠OPQ=60°，∴∠OPE=∠CQP，∴△PQC∽△OPG，∴，∵， ∴，∴，∵，∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 该模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形两类情况讨论。 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 例1．（23·24上·深圳·期中）如图，在中，，，点D为边上的中点，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ． 【答案】 【分析】以为邻边作正方形，延长交为，先求出，再证明出，得出即为的中点，再证明，利用相似比及勾股定理即可求解． 【详解】解：以为邻边作正方形，延长交为，如下图： ，，， 在和中，，， ，，，即为的中点， ，， ，， ，，故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质、三角形全等、正方形的性质、勾股定理，解题的关键是利用相似三角形的相似比来求解． 例2．（23·24下·鞍山·阶段练习）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD．过点 B 作 BG⊥CD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G，连结 DF，给出以下四个结论：①；②若AB，则点 D 是 AB 的中点；③若，则 S△ABC＝9S△BDF；④当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时，DF＝DB；其中正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由可得：,所以,利用相似三角形的性质可以得到①正确；由以及已知条件可以得到，进而由①所得结论确定为的三等分点，可确定结论②正确；根据可以得到，，则，由线段的比例关系即可求得面积的比例关系；当四点在同一个圆上时，利用圆内接四边形的对角互补可以得到，则是所在圆的直径，由垂径定理可得； 【详解】由题意可得： 故结论①正确； , ,是等腰直角三角形 在和中：   是等腰直角三角形，   由结论①可得： 点是的中点故结论②正确； ，，, , ,即 故结论③错误； 当四点在同一个圆上时， , 是所在圆的直径 故结论④正确；故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角形的综合，包括全等三角形的性质判定以及相似三角形的性质判定，以及三角形的面积关系，题目综合性比较强，熟练掌握相关的性质定理是求解本题的关键. 例3．（22-23下·武汉·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G． (1)如图（1），求证：△AGE∽△BDE；(2)如图（2），若点G恰好与顶点C重合，求证：BD＝CD； (3)如图（1），若＝，直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）由题意易得出，从而得出．再根据等腰直角三角形的性质可知，即可证明；（2）过点B作交CE延长线于点M．由相似三角形的性质可知，．再根据平行线的性质和对顶角的性质可间接证明，．再由，即可证明，得出，．又易证，结合AC=CB，可证明，即可证明，从而证明；（3）过点E作于点T．设CD=a，即得出，．设DT=x，则．又易证，得出，从而可求出．由所作辅助线可知为等腰直角三角形，得出，，进而可求出．由，可求出．再根据相似三角形的性质得出，代入数据，即可求出，从而即可求出． 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，EF⊥AD， ∴，，∴． ∵，∴． ∵AC＝BC，∴，∴； （2）如图，过点B作交CE延长线于点M． ∵，∴，． ∵，∴，∴． ∵，∴． 又∵，∴，∴，． ∵，∴，∴． 又∵AC=CB，∴，∴，∴； （3）如图，过点E作于点T．设CD=a． ∵，∴，．设DT=x，则． ∵，，∴，∴，即，∴． ∵，∴为等腰直角三角形，∴，， ∴，∴．∵，∴． ∵，∴，即，∴，∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理．正确的作出辅助线是解题的关键． 例4．（23·24下·鹰潭·一模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】(1)如图①，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，，求证．【类比探究】(2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值．【拓展延伸】(3)如图③，在中，，点在边上，连接，过点作于点，的延长线交边于点若，，，求的值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）根据同角的余角相等，利用证明即可； （2）根据同角的余角的相等，得，证明∽，则； （3）过点作，延长交于点，首先根据，可得，则，再由同理得，得，进而解决问题． 【详解】（1）证明：如图，设与的交点为，    四边形是正方形，，， ，，，， ，在和中，，； （2）解：如图，设与交于点，四边形是矩形，， ，，，，， ，，； （3）解：如图3，过点作，延长交于点， 在中，，，，， ，，，，， ，，，， 又，，，，． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形中十字架模型是解题的关键． 1．（23·24下·杭州·一模）如图，在等边的AC，BC边上各取一点M，N使，AN，BM相交于点O．若，，则BO的长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】证明△ABM≌△ACN （SAS），得出∠ABM=∠CAN，证明△AMO∽△BMA，得出，可求出BM，即可得解． 【详解】∵△ABC是等边三角形∴∠BAM=∠ACN=∠ABN，AB=AC=BC ∵在△ABM和△ACN中，∴△ABM≌△ACN （SAS），∴∠ABM=∠CAN，， ∵∠AMO=∠BMA，∴△AMO∽△BMA，∴， ∵，，∴，解得，∴BO=BM-OM=8-2=6，故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2023.南充市中考模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF，下列结论正确的是（　　） A．CE= B．EF= C．cos∠CEP= D．HF2=EF•CF 【答案】D 【分析】首先证明AH=HB，推出BG=EG，推出CB=CE，再证明△CBH≌△CEH，Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断． 【详解】连接． 四边形ABCD是正方形，∴CD=AB=BC=AD=2，CD∥AB， ∵BE⊥AP，CG⊥BE，∴CH∥PA，∴四边形是平行四边形，∴CP = AH， ∵CP=PD=1，∴AH=PC=1，∴AH=BH，在Rt△ABE中，∵AH=HB， ∴EH=HB，∵HC⊥BE，∴BG=EG，∴CB=CE=2，故选项A错误， ∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，∴△CBH≌△CEH，∴∠CBH=∠CEH=90°， ∵HF=HF，HE=HA，    ∴Rt△HFE≌Rt△HFA，∴AF=EF，设EF=AF=x， 在Rt△CDF中，有22+(2-x)2=(2+x)2，∴x= ，∴EF=∴，故B错误， ∵PA∥CH，∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，∴cos∠CEP=cos∠BCH==  ，故C错误． ∵HF= ，EF= ，FC= ∴HF2=EF·FC，故D正确，故选D． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 3．（23·24下·东营·中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若，则 其中正确的结论序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【详解】试题分析：∵∠ABC=90°，∠GAB=90°，AB=BC， ∴AG//BC，∴△AFG∽△CFB，∴，故①正确； 又∵∠BCD+∠EBC=∠EBC+∠ABG=90°，∴∠BCD=∠ABG， ∵AB=BC，∴△CBD≌△BAG，∴AG＝BD， ∵BD＝AB，∴AG：BC＝1：2，∴AF：FC＝1：2，∴AF：AC＝1：3， ∵AC＝AB，∴AF＝AB，故②正确； 当B、C、F、D四点在同一个圆上时，∵∠DBC＝９０°，∴CD是直径，∴∠CFD＝90°， ∵BF⊥CD，∴BE＝EF，∴BD＝DF，故③正确； 若，则有BD：BC＝1：3，∵∠BEC＝∠DEB＝９０°，∠BCD=∠ABG， ∴△BDE∽△CBE，∴DE：BE＝BE：CE＝BD：BC＝1：3， ∴DE：CE＝１：9，∴S△BDF：S△BFC＝1：9，即S△ＢＣＦ＝9S△BDF，故④错误；故选C. 考点：1.相似三角形的判定和性质；2.圆周角定理；3.三角形全等的判定与性质. 4．（23·24·德州·二模）如图，正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，交AB于点F．将△AMF沿AB翻折得到△ANF．延长DM，AN交于点P． 给出以下结论①；②；③；④若，则；．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④ 【答案】A 【分析】根据正方形的性质和余角的性质证明∠BAE=∠ADM，从而得到△ABE≌△DAF，可判断①；再由翻折的性质证明∠FAN=∠FAM=∠ADM，从而可得，得到，可判断③；再由得到相似比，可得面积之比，可判断④. 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAE=90°， ∵DM⊥AE，∴∠DMA=90°，即∠ADM+∠DAM=90°， ∴∠BAE=∠ADM，∴△ABE≌△DAF（AAS），故①正确； ∵△ANF由△AMF翻折得到，∴∠FAN=∠FAM=∠ADM， ∵∠P=∠P，∴，故②正确； ∴，∴，故③正确； ∵，∴AF：AD=2:3,则△APF和△DPA的相似比为2:3， ∴，∴，故④正确.故选A. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是读懂题意，根据已知条件证明. 5．（江苏2022-2023学年九年级月考数学试题）如图，在中，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连结DE，根据勾股定理求出，然后证出DE是△ABC的中位线，得到DE∥AC，则△DEF∽△CAF，即可解决问题． 【详解】解：连结DE，如图所示， 在Rt△ABC中，，，∴，∴， ∵，为的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，∴△DEF∽△CAF， ∴，∴EF=AF，∵EF+AF=AE，∴EF==．故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中心性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识．熟练掌握中位线定理，证明三角形相似是解题的关键． 6．（2023·浙江湖州·模拟预测）如图，点、分别是等边三角形的两边、上两点， 、相交于点，连结．若 ，则下列结论错误的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形出的性质与判定，等边三角形的性质，相似三角形的判定；先证明，根据全等三角形的性质，以及三角形的外角的性质即可得出的度数是，进而根据，证明，即可求解． 【详解】如图，在等边中，，， 在与中，，；故B选项正确 ，， 即的度数是，故C选项正确， ，，故D选项正确， 无法判断，故A选项错误 故选：A． 7．（23·24下·江门·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连接AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，点D是BC的中点，连接DE．则= ； 【答案】 【分析】先证，得到，再通过证明 ， 为等腰直角三角形得出，即可求解． 【详解】 CG⊥AD ∠ACB=90° 又 ， 为等腰直角三角形 ， 点D是BC的中点 故答案为： ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并能灵活运用是解题的关键． 8．（23·24下·山西·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC边上的中线，过点B作AE的垂线BD，垂足为H，交AC于点D，则AD的长为 ． 【答案】 【分析】过点C作FC⊥BC于C，延长BD交CF于F，证明△ABE≌△BCF（ASA），得BE＝CF，再证明△ABD∽△CFD，列比例式可得结论． 【详解】过点C作FC⊥BC于C，延长BD交CF于F， ∵∠ABC＝∠BCF＝90°，∴∠ABC+∠BCF＝180°，∴AB∥CF， ∵AE⊥BD，∴∠AHB＝∠BAH+∠ABH＝90°，∵∠ABH+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠BAH， 在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF， ∵AE是BC边上的中线，∴BE＝BC＝1，∴CF＝1， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝2， ∵AB∥CF，∴∠BAD＝∠DCF，∠ABD＝∠DFC，∴△ABD∽△CFD， ∴，即，解得：AD＝．故答案为： 【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质．熟练运用相似三角形的判定和性质是关键． 9．（23·24上·深圳·期中）如图，在边长为7的等边中，D、E分别在边上，，，连接交于点P，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，取中点F，连接．由等边三角形的性质结合题意和所作辅助线易证为等边三角形，即得出，从而又易证，再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，．易证，得出，从而可求出．即又易证，得出，进而证明，得出，代入数据，即可求出的长． 【详解】如图，连接，取中点F，连接． ∵为等边三角形，∴，． ∵，，∴． ∵，∴，∴为等边三角形， ∴，∴，∴， ∴． ∵在和中，，∴， ∴，∴，∴． 又∵，∴，∴， ∴，∴，∴，即， 解得：．故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，综合性强，较难．正确作出辅助线是解题关键． 10．（23·24下·成都市·九年级期中）已知四边形中，、分别是、边上的点，与交于点．（1）如图①，若四边形是矩形，且，求证：； （2）如图②，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，成立？并证明你的结论；（3）如图③，若，，，，请直接写出的值．        【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）由矩形的性质得出，由角的互余关系得出，即可得出； （2）在的延长线上取点，使，由等腰三角形的性质得出．由平行四边形的性质得出，，证出，得出，因此．证明，得出对应边成比例，即可得出结论； （3）连接、，交于点，作于，由勾股定理求出，由证明，得出，由等腰三角形的性质得出，，证明，得出对应边成比例求出，由勾股定理求出，由的面积求出，证明，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴， 又∵，，∴，∴； （2）解：当时，成立，理由如下： 如图所示，在的延长线上取点，使，则．         ∵四边形是平行四边形，∴，，∴，， ∵，∴， 又∵，∴， ∴． ∴，∴，∴； （3）解：如图所示，连接、，交于点，作于， ∵，，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，，∴， 又∵，∴，∴， ∴，即，∴， ∴，∴， ∵，∴，解得， ∵，∴，∴， 又∵，∴， ∵，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线，构造相似三角形是解答本题的关键． 11．（23·24下·芜湖·一模）如图，在等边的边上各取一点E，D，使相交于点O．(1)求证：；(2)若，求的长．(3)在（2）的条件下，动点P在从点C向终点E匀速运动，点Q在上，连结，满足，记为x，的长为y，求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． 【答案】(1)见解析(2)2(3). 【分析】（1）只需要证明△BAE≌△ACD即可得到 答案 ； （2）证明△CAD∽△OAE得到，然后求出OE和AD的长即可； （3）过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G，先求出∴，，，从而得到三角形ABC的边长为6，再证明 △OGE∽△BAE，得到，，，，最后证明△PQC∽△OPG，，由此求解即可． 【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°， 又∵AE=CD，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴AD=BE； （2）解：由（1）得△BAE≌△ACD，∴∠ABO=∠CAD，AD=BE ∴∠BAO+∠ABO=∠AOE=∠EAO+∠BAO=∠BAC=∠C=60°， 又∵∠CAD=∠OAE，∴△CAD∽△OAE，∴， ∵，∴，∴， ∵CD=AE，∴，∴CD=2； （3）解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G，有（2）得， ∵∠FAG=60°，∠AFE=30°，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵OG∥AB，∴△OGE∽△BAE，∠OGF=∠BAC=60° ∴，∴，，∴， ∵∠AOE=60°，∴∠OEP=∠AOE+∠OAE=60°+∠OAE， ∵∠EPQ=∠C+∠PQC=∠OPQ+∠OPE，∠C=∠OPQ=60°， ∴∠OPE=∠CQP，∴△PQC∽△OPG，∴， ∵， ∴，∴，∵，∴． ∵动点P在CE从点C向终点E匀速运动，且满足，∴. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 12．（2023年成都市中考三模数学试题）已知正方形的边长为6，动点分别在边上运动，连接．      (1)如图1，过作交边于点，交于点．i）若为的中点，为的中点，求的长；ⅱ）探索线段之间的数量关系，写出你的结论并证明．(2)如图2，将四边形沿翻折得到四边形与相交于点，调整点和点的位置使得线段始终经过顶点． i）若点到的距离，求的长；ⅱ）点到的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)i）；ⅱ），理由见解析(2)i）5；ⅱ）点到的距离的最大值为 【分析】（1）i）根据正方形的性质证明，结合勾股定理即可求解； ⅱ）过点作于点，证明，可知，由，，可证得结论；（2）i）连接，延长交于点，由轴对称得性质可知点与点关于对称，也垂直平分，进而可得，证明，，结合勾股定理即可求解； ⅱ）由i）可知点与点关于对称，连接，由轴对称可知：，，证得，进而可知，，在同一直线上，可得，求得，作，交于，延长交于，则，由直角三角形斜边与直角边的关系可得，当与重合时取等号，即可求得点到的距离的最大值． 【详解】（1）解：i）∵四边形是正方形，且边长为6，∴，， ∵为的中点，∴，由勾股定理可得：， ∵为的中点，∴，∵，∴， 又∵，∴， ∴，即：，解得：，∴； ⅱ），理由如下：过点作于点，则             ∵四边形是正方形，∴，，则 ∵，可知四边形为矩形，∴，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴， 则，∴． （2）i）连接，延长交于点， ∵，关于对称，则：，，∴垂直平分， ∵，为延长线与的交点∴，且点与点关于对称∴也垂直平分， ∵，∴，∵，，∴， ∴，即：，得：，则， 在中，，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，即：，得：； ⅱ）由i）可知点与点关于对称，连接，由轴对称可知：，， ∵，，∴， ∴，∴ 则，，在同一直线上，∴，即：，∴， 作，交于，延长交于，则， ∴点到的距离为，点到的距离为， 由直角三角形斜边与直角边的关系可得：，当与重合时取等号； 综上：点到的距离的最大值为． 【点睛】本题属于几何综合，考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的性质，轴对称的性质，添加辅助线构造全等三角形及相似三角形是解决问题的关键． 13．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）【实践探究】 （1）如图1，矩形中，交于点E，则的值是______； 【变式探究】（2）如图2，中，为边上一点，连接，交于点E，若，求的长； 【灵活应用】（3）如图3，在矩形中，，点E，F分别在上，以为折痕，将四边形翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作交于点N，若，设的面积为的面积为的面积为，若，则的值为_______．    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由同角的余角相等可得，再由矩形性质和垂直定义可得，可证得，即可求得答经；（2）过点作于点，先证得，可求得，再证得，即可求得答案； （3）设与交于点，过点作交于点，由，可求得，再证得，可得，则，再证得，可得，再运用三角形面积公式可求得：，代入，解方程求得，由，可得，再利用平行四边形性质可得，即可求得答案． 【详解】解：（1）如图1，∵四边形是矩形，， ，，，       ，， ，，，故答答为：； （2）如图2，过点作于点， 则，在中，， ，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，即，∴，∴； （3）如图3，设与交于点，过点作交于点， 由对称性可知，   ，， ，， ，即，，， ，，，， ，，即， 设，则，， ，，， ，即，，， ，， ，，解得：， ，，，，， ，，， ，，， ，是平行四边形，， ，∴四边形是平行四边形，故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 14．（23-24八年级下·广东深圳·期末）已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】（1）如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】（2）如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】（3）老师上课时提出这样的问题：如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：； 小圳同学冥思苦想不得其解，提问到：在做题过程中，我先将转化成：，发现与显然不相似，所以没办法直接得出，怎么办呢？ 老师提示说：你是不是可以考虑引入一个桥梁或者考虑下添加辅助线来帮助解题呢？ 同学们，请你帮助小圳同学解决此题，写出完整证明过程； （4）如图4，若，，，于G，请直接写出的值．      【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析；（4） 【分析】（1）由四边形为正方形，利用正方形的性质得到，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）由四边形为矩形，得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到，利用相似三角形对应边成比例即可得证； （3）如图，在的延长线上取点，使，利用平行线的性质，以及同角的补角相等得到，利用相似三角形对应边成比例即可得证．（4）过点C作于点M，作于点N，连接，设，利用三角形全等，相似和勾股定理，解得即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴；∴； （2）∵四边形是矩形，，，∴，,， ∵，∴， ∴，∴，∴； （3）∵四边形为平行四边形，∴，，如图，在的延长线上取点，使，         则，∵，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴，∴， ∴，∴，即． （4）过点C作于点M，作于点N，设， ，四边形为矩形，， 为公共边，， ，，， ，即，，在中，， 即，解得（舍），或，， ，，， ，，． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握和运用各图形的性质和定理进行推理是解决本题的关键． 15．（2024九年级下·广东专题练习）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．（1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】（2）如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值． 【灵活运用】（3）如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则 ．      【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形是四个角都是直角的平行四边形，相似三角形对应边成比例，以及正确作出辅助线，构造题中所给几何模型，进行解答． （1）证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解； （2）构造矩形，延长交于点G，由（1）中结论可得：，，设，，则，，，，再证明，则，即可求出，即可求解；（3）连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，证明，，根据，得出，设，则，，得出，即可求出，由（1）中结论可得：，最后证明四边形为平行四边形，则． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵四边形为矩形，∴，，， ∴，∴，∴，∴； （2）解：构造如图所示矩形，延长交于点G，       由（1）中结论可得：，∵，∴设，， ∵点为的中点，∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∵，∴，则，，解得：，， ∵四边形为矩形，∴，∴，∴， ∴，即，解得：，∴； （3）解：连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P， ∵，，，∴，∴，∴， ∵四边形为矩形，∴，∴， ∵，∴，∵，∴设，， ∴，设，则，， ∴，整理得：，∴， 由（1）中结论可得：． ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴，∴．故答案为：． 16．（2023年广东省深圳市中考模拟数学试题）【问题解决】 如图1，已知正方形中，，分别是，边上的点，与交于点．当时，求证：； 【类比迁移】如图2，在菱形中，，分别是，边上的点，与交于点．若，求证：． 【拓展延伸】如图3，在四边形中，，分别是，边上的点，与交于点．，，，，若，请求出的值． 【答案】问题解决：见解析；类比迁移：见解析；拓展延伸： 【分析】问题解决：根据正方形的性质、，利用证，即可得出； 类比迁移：延长至，使，连接，根据菱形的性质、，利用证，得出，再证明是等边三角形，得出，即可证明； 拓展延伸：连接，过点作的垂线，交于，交于，交于，根据“，，，”、勾股定理计算出、，根据，计算，推理出、，证明，得出，代入计算即可． 【详解】问题解决：∵四边形为正方形，∴，， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴； 类比迁移：如下图，延长至，使，连接， ∵四边形是菱形，∴，，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴是等边三角形，∴，∴； 拓展延伸：如下图，连接，过点作的垂线，交于，交于，交于， ∵，，，，∴， ，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，，， ∵，，∴， ∴，，∴， 又∵，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了正方形和菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形等，综合性较强，熟练掌握知识点，作出辅助线推理证明是解题的关键． 17．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)，(2)，理由见解析(3)①见解析；②或． 【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得；（2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案； （3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线；在延长线上取点F，使，连接； ②根据①中的三种情况讨论：第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得； 第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得； 第三种情况无交点，不符合题意． 【详解】（1）解：，为的中点，，，， ，，，即，解得， ，；故答案为：1；； （2）解：，理由如下：根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点， ，；又，， ；设，则，，， ，，， ，，； （3）解：①第一种情况：作的平行线，使，连接， 则四边形为平行四边形；延长交于点， ，，， ，，，即，为的中点； 故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第二种情况：作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接，故为的中点； 同理可证明：，则，则四边形是平行四边形； 故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第三种情况：作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线； 在延长线上取点F，使，连接，则为的中点， 同理可证明，从而，故四边形是平行四边形； 故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： ②若按照图1作图， 由题意可知，， 四边形是平行四边形，，，是等腰三角形； 过P作于H，则，，，，， ，； ,，，，即   ∴ 若按照图2作图， 延长、交于点，同理可得：是等腰三角形， 连接，，，， ，；同理，， ，，，，即，   ， 若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意） 故答案为：或． 【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键． 18．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）【数学模型】（1）如图1，在矩形中，，，点、分别在边、上，，垂足为点，则　　　． 【模型探究】（2）如图2，在平行四边形中，点、分别在边、上，与交于点，且，请证明：； 【拓展应用】（3）如图3，白云小区有一块四边形绿地，为了居民出行方便计划在四边形中修两条小路，在边上取一点，连接与交于点，、即为规划的两条小路，其中，，，且，求两条小路长度的比，即求的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解； （2）当时，可证明得到，再证明，得到，由此可得，即； （3）如图所示，过点C作交延长线于N，过点D作交延长线于M，则四边形是平行四边形，证明，则，再证，得，则，在上取一点P，使，连接，证是等边三角形，得，，然后证，得，设，则，，进而由，得出方程，求出，即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，， ，，，故答案为：； （2）∵，，∴， 又∵，∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴， 又∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，∴； （3）如图所示，过点C作交延长线于N，过点D作交延长线于M，则四边形是平行四边形，∴，，， 同（2）可得，在上取一点P使得，连接， ∵，∴，∴是等边三角形， ∴，∴； ∵，∴， ∴，∴，∴， 设，则，，∴， ∵，∴，解得， ∴，∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$