专题11 全等三角形模型之角平分线模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题11 全等三角形模型之角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 2 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 25 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 37 61 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 例1．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和38，则的面积为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质．过点D作于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明，，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于H，如图， ∵是的角平分线，，∴， 在和中，，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵和的面积分别为60和38， ∴，∴．故答案为：11． 例2．（23-24七年级下·山东·期末）如图，在中，和的角平分线，相交于点，于点 ，连接． 下列结论： 平分 ；；若，则 ；若 的周长为， ， 则 其中正确的是 ．（请填写序号） 【答案】 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于，于，根据角平分线的判定与性质可以判断；由角平分线的定义和三角形的内角和可以判断；在上截取，连接，证明和，根据全等三角形的性质和线段和差可以判断；由角平分线性质和面积即可求解，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键. 【详解】解：过点作于，于，如图所示： ∵和的角平分线，相交于点，， ∴，，∴，∴点在的平分线上，∴平分，故结论正确； ∵在中, ，∴， ∵和的角平分线，相交于点，∴，， ∴， 在中，， ∴，故结论不正确； 在上截取，连接，如图所示： ∵，∴，∴ ∵和的角平分线，相交于点，∴，， 在和中，，∴，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，故结论正确； 如图所示：由（）可知：，∵， ，， ∴， ∵的周长为，，∴， ∴，故结论不正确；综上所述：正确的结论是，故答案为：． 例3．（2023·福建南平·八年级统考期中）如图所示，，是的中点，平分． （1）求证：是的平分线；（2）若，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）8cm. 【分析】（1）过点E分别作于F，由角平分线的性质就可以得出EF=EC，根据HL得，即可得出结论；（2）根据角平分线和平行线的性质求出 ，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解. 【详解】（1）证明：过点E分别作于F，∴∠DFE=∠AFE=90°． ∵∠B=∠C=90°，∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．∴CB⊥AB，CB⊥CD． ∵DE平分∠ADC．∴∠EDC=∠EDF，CE=EF． ∵E是BC的中点，∴CE=BE，∴BE=EF． 在Rt△AEB和Rt△AEF中， ，∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL）， ∴∠EAB=∠EAF，∴AE是∠DAB的平分线； （2）解：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵∠BAD=60°，平分，AE是∠DAB的平分线， ， ，， ∵∠C=90° ∴  ， ， . 故答案为（1）详见解析；（2）8cm. 【点睛】本题考查角平分线的性质，线段中点的定义，全等三角形的判定与性质的运用，含30°角的直角三角形，证明三角形全等是解（1）题的关键，掌握含30°角的直角三角形的性质是解（2）题的关键． 例4．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）【教材呈现】下图是教材第125页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如下图所示，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合，由此即有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如下图所示，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)请根据教材内容，结合上图，写出定理的证明过程． (2)【应用】如图1，在中，，平分，于点E，点F在上，，若，则的长为______． (3)【拓展】如图2，在中，平分交于点D，于点E．若，，，，则的面积为______． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）利用，证明，即可得证；（2）利用角平分线的性质定理证明即可． （3）过点作，得到，根据三角形内角和定理，推出，进而得到：，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，∴， ∵，，∴， 又∵，∴，∴； （2）解：∵，∴ ∵平分，，，∴； （3）解：过点作，交于点， ∵平分交于点D，，∴，， ∵，，∴， ∴，∴， ∴，∴； 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。 但同学们也需要注意，在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！） 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 例1．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．延长交于E，根据已知条件证得，根据全等三角形性质得到，得出，推出． 【详解】解：延长交于E， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴，故选B． 例2．（2024·湖北黄冈·八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线， ；若的最大值为，则长为 ． 【答案】 【分析】延长和相交于点，构造出，从而求出的值；根据当时， 有最大值求解即可； 【详解】解：延长和相交于点，如图： ∵ 是 的角平分线∴ ∵ ∴ ， 当时， 有最大值；此时，即： 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；通过角平分线构造全等三角形是解题关键． 例3．（2024·广东·九年级期中）如图，在中，，， （1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点． （i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：．（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由． （3） 如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程） 【答案】（1）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析；（2）BD＝2CE，理由见解析；（3）CE＝FD． 【分析】（1）（ⅰ）由等腰三角形的性质即可证得结论； （ⅱ）过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图1，先根据AAS证明△ABE≌△CAM，可得AE＝CM，然后根据角平分线的定义、平行线的性质和等量代换可得∠FCM＝∠EAD，进而可根据ASA证明△AED≌△CMF，于是可得结论；（2）延长BA、CE相交于点F，如图2，先利用ASA证明△BCE和△BFE全等，可得CE＝EF，根据余角的性质可得∠ABD＝∠ACF，然后利用ASA可证明△ABD和△ACF全等，进而可得BD＝CF，进一步即得结论；（3）过点F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延长线于点G，如图3，先利用ASA证明△CEF≌△GEF，可得CE＝GE，然后根据平行线的性质、等腰三角形的性质和ASA证明△CGH≌△FDH，于是可得CG＝DF，从而可得结论． 【详解】（1）（ⅰ）证明：∵AB＝BF，BD平分∠ABC， ∴BE⊥AF，AE＝EF，即BD垂直平分AF； （ⅱ）证明：过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图1， ∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠CAM+∠BAE=90°，∴∠CAM＝∠ABE， 在△ABE和△CAM中，，∴△ABE≌△CAM（AAS），∴AE＝CM， ∵AF⊥BD，AF⊥CM，∴BD∥CM，∴∠FCM＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠FCM＝∠ABD，∴∠FCM＝∠EAD， 在△AED和△CMF中，，∴△AED≌△CMF（ASA），∴AD＝CF； （2）解：BD＝2CE．理由如下：如图2，延长BA、CE相交于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD， 在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF， ∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF， 在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF， ∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE． （3）解：CE＝FD．过点F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延长线于点G，如图3， ∵FG∥AB，∠EFC＝∠B，∴∠EFC＝∠GFE，又∵CE⊥FE，∴∠CEF＝∠GEF＝90°， 在△CEF和△GEF中，，∴△CEF≌△GEF（ASA），∴CE＝GE，即CE＝CG， ∵FG∥AB，∠A＝90°，AB＝AC，∴∠CHG＝∠DHF＝90°，CH＝FH． 又∵∠GCH＝∠DFH，∴△CGH≌△FDH（ASA），∴CG＝DF．∴CE＝FD． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 例1．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】证明得出，证明得出，进而即求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接 平分，平分，， ，，， ，， 在和中，，， ，，， 在和中，，， ，， 周长为，，， ，．故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角分线的定义，构造全等三角形是解题的关键． 例2．（23-24八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)，证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．（1）在上取点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证；（2）延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出是等边三角形，，由此即可得； （3）延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，在上取点，使得，连接， ∵对角线平分，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴． （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴是等边三角形， ∴，∴． （3）解：，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， 由（2）已证：，∴， ∵对角线平分，，∴， ∴是等边三角形，∴，又∵，，∴． 例3．（2023·山东烟台·九年级期末）已知在中，满足， (1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，求证：．(2)【问题拓展】如图2，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由． (3)【猜想证明】如图3，当为的外角平分线时，在的延长线上取一点使得，连接，线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3)猜想，证明见解析 【分析】（1）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量代换即可得证； （2）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量代换即可得证； （3）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量代换即可得证． （1）证明：∵为的角平分线，∴， 在与中，，∴， ∴，， 又∵，，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴． （2）解：（1）中的结论还成立，证明如下： ∵为的角平分线时，∴， 在与中，，∴， ∴，，∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴． （3）解：猜想，证明如下： ∵平分，∴， 在与中,，∴， ∴，， 如图，∴，即， ∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 例4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接． ∵平分，∴， 在和中， ∴（）∴，． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线．（2） ；（3）证明：． （4）如图④，在中，，延长的边到点，平分交延长线于点，若，，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形的外角的性质；（1）根据题意再证明得出，进而即可得证；（2）根据角平分线的定义可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解；（3）在上截取，证明，，根据全等三角形的性质，即可得证；（4）在上截取，证明，结合已知可得，进而根据等边对等角可得，进而根据角平分线的定义，全等三角形的性质，三角形的外角的性质即可求解． 【详解】（1）补充证明如下：∵，∴， 又∵∴，∴ ∵点是边的中点，∴，又∵∴， 在中，∴∴， 又，∴，即； （2）∵，∴， ∵为的角平分线，∴ ∴，故答案为：． （3）证明：如图所示，在上截取， ∵，∴，∵是的角平分线，∴， 在中，∴，∴，， ∵，∴， 又∵∴∵是的角平分线，∴， 在中，∴∴∴； （4）解：如图所示，在上截取， ∵平分∴， 在中，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴∴， ∴， ∴ 故答案为：． 1．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，的外角的平分线与内角的平分线交与点P，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：延长，作，，，设， 平分，，， 平分，，，， ，， ，， 在和中，，，．故选：C．    【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出是解决问题的关键． 2．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在中，，是的平分线，若，，则的长是（　　）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】如图，过D作于E，利用三角形的面积公式求出，再据角平分线的性质得出答案． 【详解】解：如图，过D作于E，    ∵，，∴，∴， ∵，即，是的角平分线，∴，故选：A． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 3．（2023·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，已知、的角平分线、相交于点，，，垂足分别为、．现有四个结论： ①平分； ②；③；④． 其中结论正确的是（填写结论的编号）（   ） A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】作于点，根据角平分线的判定定理和性质定理，即可判断①结论；根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可判断②结论；先根据四边形内角和，得出，再证明，，得到，，即可判断③结论；根据全等三角形面积相等，即可判断④结论． 【详解】解：①作于点， 平分，，， 平分，，，， 点在的角平分线上，平分，①结论正确； ②平分，平分，，， ，，， ，，，②结论正确； ③，，，， ， ，在和中，，， 同理可证，，，， ，故③结论正确； ④，，， ，故④结论不正确； 综上所述，正确的结论是①②③，故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，三角形外角的定义，四边形内角和，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 4．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在等腰直角△ABC中，＝90°，AB＝AC，BD平分交AC于点D，DE⊥BC于点E，下面结论：①AB＝EB；②AD＝DC；③；④AD＝EC，正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质得到AD=ED，证明Rt△ABD≌Rt△EBD得到AB=EB，即可判断①；根据直角三角形中斜边大于直角边即可判断②；只需要证明△DEC的周长= AC+CE，再由AB=AC=BE即可判断③；证明△DEC是等腰直角三角形即可判断④； 【详解】解：∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，∴AD=ED， 又∵BD=BD，∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），∴AB=EB，故①正确； 在Rt△DEC中，CD＞DE，∴CD＞AD=DE，故②错误； ∵AB=AC，∴△DEC的周长=DE+CD+EC=AD+CD+CE=AC+CE=AB+CE=BE+CE=BC，故③正确； ∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，∴∠C=45°，∴∠EDC=∠C=45°，∴DE=CE=AD，故④正确； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明Rt△ABD≌Rt△EBD是解题的关键． 5．（2023·浙江宁波·八年级校考期中）如图，△ABC的面积为16，∠PBC与∠PAB互余，AP⊥BP，则△PBC的面积 ． 【答案】8 【分析】延长AP交BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得AP=PD，再根据等底等高的三角形的面积相等可得=，=，然后求出ΔPBC的面积的面积等于，再进行计算即可得解． 【详解】解：如图，延长AP交BC于D， ∵AP⊥BP，∴∠ABP+∠PAB=90°， 又∵∠PBC与∠PAB互余，∴∠ABP=∠PBC，即BP为∠ABC的角平分线， 又∵AP⊥BP，∴AP=DP，∴=，=， ∴故答案为：8 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键． 6．（2023·广东清远·八年级统考期末）如图，在中，，，是的平分线，过点作，交的延长线于点若，则的长为 .    【答案】 【分析】延长、交于点，首先利用三角形内角和计算出，进而得到，再根据等腰三角形的性质可得，然后证明，可得，进而得到． 【详解】解：延长、交于点，如图，∵，∴．    ∵平分，∴，∴，∴， ∵，∴， ∵中，，，∴， ∴÷，，∴， ∵在和中，，∴（）， ∴，∴，故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，关键是证得． 7．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在直角中，，与的角平分线相交于点，连接，则 ；若的面积为12，的面积记为，的面积记为，用含的代数式表示 ． 【答案】 45 / 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定义以及外角的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．根据三角性外角的性质和角平分线的定义，可求出的度数；作点关于的对称点，点关于的对称点，由轴对称的性质可知，，，，，，过点作于点，过点作，证明，得到，进而得出，推出，即可得到答案． 【详解】解：，， 与的角平分线相交于点，，， 是的外角，； 如图，作点关于的对称点，点关于的对称点， ，，点、在上，， 由轴对称的性质可知，，，，，， ，， 过点作于点，过点作， 在和中，，，， ，，， ，， ，，故答案为：， 8．（2023·山东·七年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小． 【答案】28° 【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数． 【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F， ∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF， 又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC， 又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°， ∴∠BEC=90°-∠AED=62°，∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，∴∠ABE=28°． 【点睛】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线． 9．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，如图，过点分别作于，作交的延长线于点，先证明得出，推出，再在直角三角形中利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】证明：如图，过点分别作于，作交的延长线于点， 平分，，，， 在与中，，， ，， ， 在中，平分，，，， ，． 10．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，在直角中，，点D、F分别在边和上，，垂足为E，且，．    (1)求证：平分；(2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据证明，得出，即可求证； （2）根据直角三角形两锐角互余得出∴，则，由（1）可得，则． 【详解】（1）解：∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴平分； （2）解：∵，，∴， ∴，由（1）可得，∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，到角两边距离相等的点在角平分线上，直角三角形两锐角互余． 11．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）在中，、分别是、的平分线，、相交于点F． (1)①如图（1），当，，则 ；②如图（2），如果不是直角，时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)如图（3），在②的条件下，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)①；②成立，理由见解析；(2)，证明见解析． 【分析】（1）①根据角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；②根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出，再利用三角形内角和定理列式计算即可得解；（2）过点F作于G，作于H，作于M，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【详解】（1）解：①∵，，∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴；故答案为：； ②成立，理由如下：∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∵，∴； （2）如图，过点F作于G，作于H，作于M， ∵分别是的平分线，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴． 【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，是角平分线，E，F分别为上的点，且．与有何数量关系？请说明理由． 【答案】，理由见详解 【分析】过点D分别作于点M，于点N，根据，，可得，再证明，从而问题解决． 【详解】，理由如下：过点D分别作于点M，于点N，如图， ∴，∵是角平分线，∴， ∵，，∴ 在和中，∵∴，∴ 13．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长． 【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3． 【分析】（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可； （3）在BD上截取BH＝BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F， ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF， ∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF， 在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS）∴BC＝DC； （2）解：AD﹣AB＝2BE， 理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F， ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，AE＝AF， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE， 在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS），∴DF＝BE， ∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，∴AD﹣AB＝2BE； （3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH， ∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB 在△OBH和△OBG中，， ∴△OBH≌△OBG（SAS）∴∠OHB＝∠OGB， ∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线， ∴点O到AD，AB，BD的距离相等，∴∠ODH＝∠ODF， ∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB， ∴∠DOH＝∠DAB＝60°，∴∠GOH＝120°， ∴∠BOG＝∠BOH＝60°，∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF， 在△ODH和△ODF中，，∴△ODH≌△ODF（ASA）， ∴DH＝DF，∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线． 14．（2023·河北·九年级专题练习）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G． （1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系； （2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析 【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）结论：CF=CG； 证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB， ∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）； （2）CF=CG．理由如下：如图， 过点C作CM⊥OA，CN⊥OB， ∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°， ∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∴∠AOC=∠BOC=60°（角平分线的性质）， ∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60°， ∴∠MCO=90°-60° =30°，∠NCO=90°-60° =30°， ∴∠MCN=30°+30°=60°，∴∠MCN=∠DCE， ∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG， 在△MCF和△NCG中，∴△MCF≌△NCG（ASA）， ∴CF=CG（全等三角形对应边相等）． 【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等． 15．（23-24八年级上·黑龙江黑河·期末）已知点为平分线上一点，于，于，点，分别是射线，上的点，且． (1)如图①，当点在线段上，点在线段上时，易证得；（要证明） (2)如图②，当点在线段上，点在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？如果成立，请你证明，如果不成立，请说明理由；(3)在（2）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系______；(4)如图③，当点在线段的延长线上，点在线段上时，若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析(2)仍成立，见解析(3)(4)四边形的面积为32 【分析】（1）根据DB=PC，，利用直角三角形的判定方法证明，即可得到；（2）为平分线上一点，又于，于，得到，再证明即可；（3）先由已知条件得到AD平分，再根据，得到AB=AC，再由BM=CN，得到即可；（4），且，即可得到AC的长，又由，即可求得四边形ANDM的面积． 【详解】（1）如图1：由为平分线上一点，于，于， ， 在中，，，； （2）（2）仍成立点为平分线上一点， 又于，于，， 又 （3）（3）；, 又 点为平分线上一点， 即AP平分， ，， ， （4）（4）四边形的面积为32 点为平分线上一点， 又于，于， 又（已证） 又 ，且 【点睛】本题考查四边形的综合题，主要考查角平分线的的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积问题，运用全等三角形的性质与转化思想将四边形ANDM转化为四边形ABDC的面积是关键． 16．（2023·安徽黄山·九年级期中）如图，在中，，，是边上一动点，于．（1）如图（1），若平分时，①求的度数； ②延长交的延长线于点，补全图形，探究与的数量关系，并证明你的结论； （2）如图（2），过点作于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）①，②BD=2EC，理由见详解；（2）BE=CE+2AF，理由见详解． 【分析】（1）①由题意易得∠ABC=∠ACB=45°，则有∠CBD=∠ABD=22.5°，进而可求∠ECD=∠DBA，则问题得解；②由题意易得CE=EF，则可证△ABD≌△ACF，进而可得BD=CF，最后根据线段的数量关系可求解； （2）在BE上截取BH=CE，连接AH，则易证△BHA≌△CEA，则有AE=AH，∠BAH=∠CAE，进而可得∠HAE=90°，然后根据线段的数量关系可求解． 【详解】解：（1）∵，，∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=22.5°， ①∵∠ABD+∠BDA=∠CDE+∠ECD=90°，∠CDE=∠BDA，∴∠ABD=∠ECD=22.5°； ②BD=2EC，理由如下：如图所示： ∵，∴∠CEB=∠FEB=90°， ∵BE=BE，∴△CEB≌△FEB（ASA），∴CE=FE， ∵∠DBA+∠F=90°，∠FCA+∠F=90°，∴∠DBA=∠FCA， ∵∠BAD=∠CAF=90°，AB=AC，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，∴BD=2CE； （2）BE=CE+2AF，理由如下：在BE上截取BH=CE，连接AH，如图，由（1）易得∠HBA=∠ECA， ∵AB=AC，∴△BHA≌△CEA（SAS），∴AH=AE，∠BAH=∠CAE， ∵∠BAH+∠HAC=90°，∴∠EAC+∠HAC=90°，即∠HAE=90°， ∵AF⊥BE，∴AF=HF=FE， ∵BE=BH+HF+FE，∴BE=CE+2AF． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形斜边中线定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 17．（2023·河南信阳·八年级统考期末）情景观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F． ①写出图1中所有的全等三角形　 　；②线段AF与线段CE的数量关系是　 　，并写出证明过程． 问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E． 求证：AE=2CD． 【答案】①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②AF=2CE，详见解析. 【分析】情景观察：①由AB＝AC，AE⊥BC，AE是公共边，根据“HL”即可判断△ABE≌△ACE；根据等腰三角形“三线合一”和∠A＝45°，可求得∠DAF＝22.5°，利用等边对等角和三角形内角和定理求得∠B＝67.5°，在Rt△BDC中即可求得∠DCB＝22.5°，在Rt△ADC中由∠DAC＝45°可得AD＝CD，由“ASA”即可得出△ADF≌△CDB；②由①中△ADF≌△CDB得出AF＝BC，再由“三线合一”得出BC＝2CE，等量代换即可得出结论；问题探究：延长AB、CD交于点G，由ASA证明△ADC≌△ADG，得出对应边相等CD＝GD，即CG＝2CD，证出∠BAE＝∠BCG，由ASA证明△ABE≌△CBG，得出AE＝CG＝2CD即可． 【详解】解：①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB； 故答案为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB； ②线段AF与线段CE的数量关系是：AF＝2CE；故答案为AF＝2CE． 证明：∵△BCD≌△FAD，∴AF＝BC，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BC＝2CE，∴AF＝2CE； 问题探究：证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示： ∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADG＝90°， 在△ADC和△ADG中，， ∴△ADC≌△ADG（ASA），∴CD＝GD，即CG＝2CD， ∵∠BAC＝45°，AB＝BC，∴∠ABC＝90°，∴∠CBG＝90°，∴∠G＋∠BCG＝90°， ∵∠G＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠BCG， 在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（ASA），∴AE＝CG＝2CD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 18．（2024·辽宁辽阳·模拟预测）【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题：如图1，平分，为上一点，为上一点，连接线段，，若．求证：． ①如图2，小文同学从已知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在上截取，连接，易证，将线段与的数量关系转化为与的数量关系． ②如图3，小雅同学也是从已知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过点向的两边分别作垂线，垂足分别为点，，易证，得到，接下来只需证，可得． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视角，姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答．如图4，在中，，平分交与点，在线段上有一点，连接交于点，若．求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，，垂足为点，在的延长线上取一点，使，在线段上截取，点在线段上，连接，使，若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）①小文，由“”可证，可得，，由补角的性质可得，可证，即可求解； ②小雅：由“”可证，可得，由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，由三角形内角和定理可求，可得； （3）由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质和勾股定理可求的长，的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解（1）：①小文：证明：如图2，在上截取，连接， 平分，， 又，，，， ，， ，，，； ②小雅：证明：如图3，过点向的两边分别作垂线，垂足分别为点，， 平分，， 又，，，， ，， ，， 又，，； （2）证明：延长至点使，连接， 又，，， ，，为的平分线，， 又，，，； （3）解：在上截取，连接， 又，，，， ，， ，， ∵，，， ，，，， ，．即的面积为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【知识再现】如图1， 已知等腰中， ，平分，D点在上．则与的位置关系是 ， 　　　　，当，时， ． 【知识应用】如图2， 在中，，平分交于E，，且 求的周长． 【知识拓展】如图3， 中，，，是的角平分线，求 的值． 【答案】[知识再现] ，1，；[知识应用]12；[知识拓展] ． 【分析】根据等腰三角形的性质得，，即可求得面积比，结合勾股定理可求得； 延长，交于点F，由题意得，可证明，则，结合题意得，利用勾股定理求得，列出，可得，即可知，可求得的周长； 作于点E，于点F，有题意知，则即可． 【详解】解：[知识再现]∵，平分，∴，，∴， ∵，，∴， 在中，；故答案为：，1，； [知识应用]延长，交于点F，如图， ∵平分交于E，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵∴，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵∴，则的周长， [知识拓展]作于点E，于点F，如图，∵是的角平分线，∴， ∵，， ，，∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平方差公式的应用以及勾股定理，解题的关键是利用全等三角形的性质证明边之间的关系，巧妙利用平方差公式求边长． 20．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的珺琟点． (1)如图1，在中，，为的珺琟点，求的角度； (2)如图2，为的珺琟点，延长交于点，已知，，求的值； (3)如图3，为的珺琟点，连接、，为边上一点，连接并延长交于点，若，求证：． 【答案】(1)(2)(3)见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义及三角形内角和即可求解； （2）过点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，利用面积关系即可求解； （3）过点P作，分别交于点E，F，连接；由平行线的性质及角平分线定义得; 证明，再证明，则可得；由，再进行等量代换、线段和差即可完成． 【详解】（1）解：∵，∴； ∵为的珺琟点，∴， ∴，∴； （2）解：过点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，如图； ∵为的珺琟点，∴平分，∴； ∵，，∴； （3）证明：如图，过点P作，分别交于点E，F，连接；∴； ∵为的珺琟点，∴，，∴， ∴；同理：，∴; ∵，，∴； ∵，∴，∴； ∵，∴，∴； ∵，∴； ∵，，∴，∴； ∵，∴，∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质定理，平行线的性质，等角对等边，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，构造适当辅助线证明三角形全等是解决（3）小题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 全等三角形模型之角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 2 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 25 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 37 61 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 例1．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和38，则的面积为 ． 例2．（23-24七年级下·山东·期末）如图，在中，和的角平分线，相交于点，于点 ，连接． 下列结论： 平分 ；；若，则 ；若 的周长为， ， 则 其中正确的是 ．（请填写序号） 例3．（2023·福建南平·八年级统考期中）如图所示，，是的中点，平分． （1）求证：是的平分线；（2）若，求的长． 例4．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）【教材呈现】下图是教材第125页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如下图所示，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合，由此即有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如下图所示，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)请根据教材内容，结合上图，写出定理的证明过程． (2)【应用】如图1，在中，，平分，于点E，点F在上，，若，则的长为______． (3)【拓展】如图2，在中，平分交于点D，于点E．若，，，，则的面积为______． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。 但同学们也需要注意，在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！） 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 例1．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．18 例2．（2024·湖北黄冈·八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线， ；若的最大值为，则长为 ． 例3．（2024·广东·九年级期中）如图，在中，，， （1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点． （i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：．（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由． （3） 如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程） 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 例1．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 例2．（23-24八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 例3．（2023·山东烟台·九年级期末）已知在中，满足， (1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，求证：．(2)【问题拓展】如图2，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由． (3)【猜想证明】如图3，当为的外角平分线时，在的延长线上取一点使得，连接，线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 例4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接． ∵平分，∴， 在和中， ∴（）∴，． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线．（2） ；（3）证明：． （4）如图④，在中，，延长的边到点，平分交延长线于点，若，，则 ． 1．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，的外角的平分线与内角的平分线交与点P，若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在中，，是的平分线，若，，则的长是（　　）    A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2023·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，已知、的角平分线、相交于点，，，垂足分别为、．现有四个结论： ①平分； ②；③；④． 其中结论正确的是（填写结论的编号）（   ） A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 4．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在等腰直角△ABC中，＝90°，AB＝AC，BD平分交AC于点D，DE⊥BC于点E，下面结论：①AB＝EB；②AD＝DC；③；④AD＝EC，正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2023·浙江宁波·八年级校考期中）如图，△ABC的面积为16，∠PBC与∠PAB互余，AP⊥BP，则△PBC的面积 ． 6．（2023·广东清远·八年级统考期末）如图，在中，，，是的平分线，过点作，交的延长线于点若，则的长为 .    7．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在直角中，，与的角平分线相交于点，连接，则 ；若的面积为12，的面积记为，的面积记为，用含的代数式表示 ． 8．（2023·山东·七年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小． 9．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，平分，，求证：． 10．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，在直角中，，点D、F分别在边和上，，垂足为E，且，． (1)求证：平分；(2)当时，求的度数．    11．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）在中，、分别是、的平分线，、相交于点F． (1)①如图（1），当，，则 ；②如图（2），如果不是直角，时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)如图（3），在②的条件下，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，是角平分线，E，F分别为上的点，且．与有何数量关系？请说明理由． 13．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长． 14．（2023·河北·九年级专题练习）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G． （1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系； （2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 15．（23-24八年级上·黑龙江黑河·期末）已知点为平分线上一点，于，于，点，分别是射线，上的点，且． (1)如图①，当点在线段上，点在线段上时，易证得；（要证明） (2)如图②，当点在线段上，点在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？如果成立，请你证明，如果不成立，请说明理由；(3)在（2）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系______；(4)如图③，当点在线段的延长线上，点在线段上时，若，且，求四边形的面积． 16．（2023·安徽黄山·九年级期中）如图，在中，，，是边上一动点，于．（1）如图（1），若平分时，①求的度数； ②延长交的延长线于点，补全图形，探究与的数量关系，并证明你的结论； （2）如图（2），过点作于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 17．（2023·河南信阳·八年级统考期末）情景观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F． ①写出图1中所有的全等三角形　 　；②线段AF与线段CE的数量关系是　 　，并写出证明过程． 问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E． 求证：AE=2CD． 18．（2024·辽宁辽阳·模拟预测）【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题：如图1，平分，为上一点，为上一点，连接线段，，若．求证：． ①如图2，小文同学从已知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在上截取，连接，易证，将线段与的数量关系转化为与的数量关系． ②如图3，小雅同学也是从已知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过点向的两边分别作垂线，垂足分别为点，，易证，得到，接下来只需证，可得． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视角，姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答．如图4，在中，，平分交与点，在线段上有一点，连接交于点，若．求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，，垂足为点，在的延长线上取一点，使，在线段上截取，点在线段上，连接，使，若，，，求的面积． 19．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【知识再现】如图1， 已知等腰中， ，平分，D点在上．则与的位置关系是 ， 　　　　，当，时， ． 【知识应用】如图2， 在中，，平分交于E，，且 求的周长． 【知识拓展】如图3， 中，，，是的角平分线，求 的值． 20．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的珺琟点． (1)如图1，在中，，为的珺琟点，求的角度； (2)如图2，为的珺琟点，延长交于点，已知，，求的值； (3)如图3，为的珺琟点，连接、，为边上一点，连接并延长交于点，若，求证：． 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