4.1数列的概念（第1课时）（教学课件）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第四章 数列 4.1数列的概念 (第1课时) ·选择性必修第二册· 学习目标 （一）课程标准要求 本节内容的学习，可以帮助学生通过对日常生活中实际问题的分析，了解数列的概念；具体的为：通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊函数。 1 学习目标 能通过对具体实例的共同特征的归纳，抽象出数列的一般概念，能用函数的观点解释数列，发展数学抽象素养. 能类比函数的表示得到数列的表示方式，通过对数列与函数在表示方法上的异同点的比较，进一步体会函数与数列的联系，加深对数列本质的认识． 能认识到通项公式是数列最基本最重要的表示方法；能根据数列的通项公式，写出数列的任意项，或根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，体会特殊与一般的数学思想. 2 3 引入新知 像以上这些按照确定的顺序排列的一列数称为数列.  传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数. 如图，当小石子的数目是1,3,6,10等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫作三角形数； 当小石子的数目是1,4,9,16等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫作正方形数； 当小石子的数目是1,5,12,22等数时，小石子都能摆成正五边形，等等. 章节预览 像以上这些按照确定的顺序排列的一列数称为数列.  本章知识框架 数列的概念与表示方法 下面我们先探究数列的概念.   等差数列 等必数列 数学归纳法 函数 证明与正整数有关的 数学命题的特殊方法 新课探究 追问：这些数能交换位置吗?如何表示这些数才能准确反映它 们各自的位置和大小?  情境1 王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高.将这些身高数 据(单位：)依次排成一列数：75，87，96，103，110， 116，120，128，138，145，153，158，160，162，163， 165，168. ① 此例中的第1个数和第6个数分别是什么?它们的实际意义是什么?153和165分别是第几个数?它们的实际意义是什么? 问题1 新课探究 记王芳第岁时的身高为，那么，，…，. 我们发现，中的反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数，……，是排在第17位的数，它们之间不能交换位置. 所以，①是具有确定顺序的一列数. 新课探究 情境2 在两河流域发掘的一块泥版(编号，约产生于公元前7世纪)上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：5，10，20，40，80，112，128，144，160，176，192，208，224，240. ② 记第天月亮可见部分的数为，那么，，…，. 这里，中的反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置， 即是排在第1位的数，是排在第2位的数……是排在第15位的数，它们之间不能交换位置.所以，②是具有确定顺序的一列数. 新课探究 情境3 问题2 你能仿照上面①②的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？ 新课探究 新课探究 问题3 上面三个例子的共同特征是什么? 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168. 5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240. ① ② ③ 一列数 确定顺序 ①是按年龄从小到大的顺序排列的 ②是按每月的日期从小到大的顺序排列的 ③是按幂指数从小到大的顺序排列的 ④它们都是从第1项开始的. 新课探究 数列的概念 数列：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 具有确定顺序的一列数 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，也称首项， 常用符号a1表示， 第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示…… 第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示. 项数：组成数列的数的个数称为数列的项数. 项数有限的数列叫做有穷数列， 项数无限的数列叫做无穷数列. 新课探究 概念辨析 数列中的数可以重复 1.由无穷多个3所组成的一列数是数列吗？ 2.以下两个数列是同一数列吗？ 54, 60, 55, 58, 64, 55, 58, 60, 57, 54. 54, 60, 55, 58, 55, 64, 58, 60, 57, 54. 3.由2，3，a，5，b，6，这几个元素能构成数列吗？ 是 若数列中被排列的数相同，但次序不同，则不是同一数列 数列的项是一个确定的数值 新课探究 问题4 新课探究 正整数集 （或它的有限子集 ） 实数集 新课探究 概念辨析 {an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ； an表示数列{an}中的第n项. 数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即 ； 而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值 对应的自变量的值，即n. 思考1：{an} 与an的意思一样吗？ 思考2：数列的项与项数有什么不同？ 新课探究 问题5 函数有表格，图像，解析式三种表示方法，数列作为一种特殊的函数，也应当有这三种表示方法，你能利用不同的方法表示数列①吗？ 数列的表示方法——列表法 王芳从1岁到17岁每年生日那天测量身高的列表法：如表4.1-1： 新课探究 数列的表示方法——图象法 王芳从1岁到17岁每年生日那天测量身高的图象法：如图4.1-1： 数列的图象是由离散的点构成 新课探究 数列的表示方法——解析式法（数列的通项公式） 新课探究 注意：①通项公式的主要作用是“知序号可求项”如：数列{n2}的第11项是121. ② 利用通项公式可求该数列的各项; 判断某个数是否是该数列中的项; 判断该数列的增减性; 求该数列的最大项和最小项等. ③一些数列的通项公式不是唯一的；如：数列1，-1，1，-1，… ④不是每一个数列都能写出它的通项公式. 如：1，24，8，3，19 新课探究 问题6 与函数类似，我们可以定义数列的单调性． 从表4.1-1和图4.1-1中的项随序号的变化呈现出的特点吗？数列是一种特殊的函数，那么你能类比函数的单调性给出数列单调性的概念吗？ 新课探究 数列的分类 1. 以项数来分类： (1) 有穷数列： (2) 无穷数列： 2. 以各项的大小关系来分类： (1) 递增数列： (2) 递减数列： (3) 常 数 列： (4) 摆动数列： 各项都相等的数列； 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 项数有限的数列； 项数无限的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0). 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0). 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列. 应用新知 应用新知 应用新知 规律方法 (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征； (5)化异为同； (6)对于符号交替出现的情况，可用或处理. 此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解.具体注意以下几方面： 应用新知 变式训练： 应用新知 变式训练： 应用新知 变式训练： 应用新知 分析 应用新知 规律方法 判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程. 若方程解为正整数，则是数列的一项； 若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 应用新知 变式训练： 能力提升 题型一 数列的单调性的判断 例题1 【解析】 能力提升 题型一 数列的单调性的判断 例题1 【解析】 应用新知 方法总结 数列单调性的判断方法 能力提升 题型一 数列的单调性的判断 变式训练 【解析】 能力提升 题型二 根据数列单调性求参数问题 例题2 【解析】 能力提升 题型二 根据数列单调性求参数问题 例题2 【解析】 能力提升 题型二 根据数列单调性求参数问题 能力提升 题型二 根据数列单调性求参数问题 变式训练 【解析】 能力提升 题型二 根据数列单调性求参数问题 变式训练 【解析】 课堂小结 数列的 概念 作业布置 巩固作业：教科书第5页练习第1、2题； 拓展作业：教科书第9页习题第7题.  作业答案（教科书第5页练习第1题） 作业答案（教科书第5页练习第1题） 详解 作业答案（教科书第5页练习第2题） 详解 作业答案（教科书第9页练习第7题） 详解 作业答案（教科书第9页练习第7题） 详解 ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： ③ 记的第次幂为,那么. 这里,中的反映了的次幂按指数从小到大的顺序排列时的 确定位置,即是排在第1位的数,是排在第2位的数, 是排在第3位的数它们之间不能交换位置. 所以,③是具有确定顺序的一列数列. 数列的一般形式是，，…，，…，简记为． 我们已经归纳出了数列的概念,请结合数列序号与项数的对应关系， 你能从函数视角谈谈你的认识吗？ 由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系： 所以数列是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的 函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项，记为． 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的 一列函数值，，…，，…，就是数列．另一方面，对 于函数，如果有意义，那么，，…，， 构成了一个数列． 解析式法： 如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以 用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．例如， 数列③的通项公式为．显然，通项公式就是数列的函数 解析式，根据通项公式可以写出数列的各项． 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列，即； 特别地，各项都相等的数列叫做常数列，记． 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列，即． 例1：根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． （1）；（2）． 解：（1）当通项公式中的时，数列 的前5项依次为 图象如图4.1-2(1)所示． （2） 当通项公式中的时，数列的 前项依次为． 图象如图4.1-2(2)所示． 例2：根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）； （2）． （2） 这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项 公式为: ． 解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正， 偶数项为负，所以它的一个通项公式为: ① ①或常常用来表示正负相间的变化规律． 1.写出下列数列{an}的一个通项公式： (1)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8，eq \f(25,2)，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； 解：(1)先将各项都统一成分数再观察：eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，eq \f(25,2)，…，所以它的一个通项公式为an＝eq \f(n2,2). 解：(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，其通项公式为An＝2n－1.考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列{an}的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)． (3)9,99,999,9 999，…；(4)eq \f(22－1,1)，eq \f(32－2,3)，eq \f(42－3,5)，eq \f(52－4,7)，…； 解：(3)各项加1后，分别变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项公式为An＝10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1. 解：(4)数列中每一项均由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其 通项公式为An＝2n－1；分子的前一部分是从2开始的自然数 的平方，其通项公式为Bn＝(n＋1)2，分子的后一部分是减去一 个自然数，其通项公式为:Cn＝n， 综合得原数列的一个通项公式为an＝eq \f(n＋12－n,2n－1). (5)－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)，…；(6)4,0,4,0,4,0，…. 解：(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数， 且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是： an＝(－1)n·eq \f(1,nn＋1). 解：(6)由于该数列中，奇数项全部都是4，偶数项全部都是0， 因此可用分段函数的形式表示通项公式，即an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4，n为奇数，,0，n为偶数.)) 该数列也可改写为2＋2,2－2,2＋2,2－2,2＋2,2－2，…， 因此其通项公式又可表示为an＝2＋2×(－1)n＋1. 例3: 如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数 列的项？如果是，是第几项？ 解：令，解这个关于的方程，得（舍去）， 或．所以，120是数列的项，是第10项． 要判断120是不是数列中的项，就是要回答是否存在正整数， 使得．也就是判断上述关于的方程是否有正整数解． 2.在数列中，，通项公式是的一次函数. (1)求的通项公式；(2)判断88是不是数列中的项？ 解：(1)设，则，解得 ∴ (2)令，即，解得， ∴88不是数列中的项. 1.已知函数，设数列的通项公式为，其中； (1)求证：；(2)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由. （1）由题意可知， 又因为，所以，因此，即. 1.已知函数，设数列的通项公式为，其中； (1)求证：；(2)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由. （2）因为， 又因为，，所以，从而， 即，因此是递增数列. (1)利用数列所对应的函数的单调性确定数列的单调性（注意数列中只能取整数）. (2)结合数列单调性定义，从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系， 作差或作商（作商需满足().）判断. 若满足，则是递增数列； 若满足，则是递减数列； 若满足，则是常数列. 已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性. ， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以在时单调递增，在时单调递减； 已知数列满足，记，若数列为递增数列， 求的取值范围. 由题可得：， 则， 若数列为递增数列，则对 任意恒成立，可得， 已知数列满足，记，若数列为递增数列， 求的取值范围. 令，则 对任意恒成立，可知数列为递增数列，则， 所以，即的取值范围为. 反思感悟：利用数列单调性求参数的求解方法 （1）将对应数列转化为对一个函数，利用相应函数的单调性判断求解，需要注意 函数的自变量为； （2）根据数列单调性的定义，利用（）将问题转化为对任 意恒成立问题，进而结合恒成立问题求解. 已知数列的通项公式是，试求的取值范围， 使得数列为递增数列. 数列为递增数列，则有，即， 解得，由，则. 所以的取值范围为. 已知实数，通项为的数列是 单调递增数列，求的取值范围． 依题意，可得，即，解得． 1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： （1）所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列； （2）所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列； （3）当自变量依次取时，函数的值构成的数列； （4）数列的通项公式为； (1)前10项为：4，16，36，64，100，144，196，256，324，400；图象如图(1)； (2)前10项为：；图象如图(2)； (3)前10项为：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21；图象如图(3)； (4)前10项为：2，3，2，5，2，7，2，9，2，11；图象如图(4)． n 1 2 ... 5 ... ... ... n an ... ... 153 ... 273 ... 3(3+4n) 2．根据数列的通项公式填表： 当时，；当时，； 当时，；当时，，解得； 当时，，解得．所以列表如下： n 1 2 ... 5 ... 12 ... 22 ... n an 21 33 ... 69 ... 153 ... 273 ... 3(3+4n) 7.已知函数，设数列的通项公式为. （1）求证. （2）是递增数列还是递减数列？为什么？ （1） 由题意得，因为为正整数， 所以，所以； 7.已知函数，设数列的通项公式为. （1）求证. （2）是递增数列还是递减数列？为什么？ （2）是递增数列， 证明：因为，所以， 所以，所以是递增数列. $$