专题03 圆锥曲线的方程（9种题型）（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年高二数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019选择性必修）

专题3 圆锥曲线的方程（9种题型） 【题型1】椭圆的定义 【题型2】 椭圆的标准方程（定义法和标准方程） 【题型3】椭圆的几何性质 【题型4】 双曲线的定义 【题型5】 双曲线的标准方程（定义法和标准方程） 【题型6】 双曲线的几何性质 【题型7】抛物线的定义 【题型8】抛物线的标准方程（定义法和标准方程） 【题型9】抛物线的几何性质 知识点1 椭圆的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 知识点2椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 ※ 椭圆中的几个常用结论 （1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． （2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. （3）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)． （4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 知识点3双曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点． （2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 知识点4 双曲线的标准方程 知识点5双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) ※ 双曲线中的几个常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. （3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. （4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. （5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2. （6）等轴双曲线 ①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． ②性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线 ①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． ②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1. 知识点6抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点7抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 注意：在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。 知识点8抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径 (其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ ※ 抛物线中的几何常用结论 （1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦． ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切． ③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． （2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点. 【题型1】椭圆的定义 1．已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 故选:D. 2．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【分析】利用基本不等式求出的范围，根据椭圆的定义可得答案. 【详解】因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆． 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D. 3．椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（    ） A． B．4 C．8 D．6 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】因为椭圆方程为，则，即， 所以椭圆上的一点到两个焦点的距离之和. 故选：D. 4．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为 . 【答案】4 【分析】 根据给定条件，利用椭圆的定义求解即得. 【详解】椭圆的长半轴长，所以到该椭圆的两个焦点的距离之和为. 故答案为：4 5．已知P是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点．若，则 ． 【答案】14 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】因为所以又则 故答案为：14. 【题型2】 椭圆的标准方程（定义法和标准方程） 6．平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义和标准方程即可求解. 【详解】平面内一点M到两定点，的距离之和为， 所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆， 且，，则， 椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的方程为． 故选：. 7．已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且， 所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆， 设椭圆方程为，焦距为， 则，解得，故动点P的轨迹方程为. 故选：B 8．已知平面内两定点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)若直线与曲线C交于不同的两点A、B，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的定义即可得解. （2）联立直线与椭圆方程结合韦达定理、弦长公式即可得解. 【详解】（1）由椭圆的定义知，P点的轨迹为椭圆， 其中， 所以所求动点P的轨迹C的方程为． （2）设, 联立直线与椭圆的方程,消y整理得：， 所以，，， ∴. 9．已知的周长为． (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2)7 【分析】 （1）结合椭圆定义可得的轨迹方程. （2）利用及椭圆定义可列出方程，求解，即可算出的面积． 【详解】（1）的周长为14且， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，以8为长轴长的椭圆， 即，故顶点的轨迹方程为， 又为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为． （2）①． 点在椭圆上，且为焦点， ， 故②． 由①②可得，， 故． 的面积为7． 10．已知，是椭圆的两个焦点，，为C上一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：由题意可求得，，由椭圆的定义可得，进而得，即可得解； 解法二：由题意可得，由为椭圆上一点及关系建立方程组，即可求解； （2）由条件结合余弦定理得及椭圆的定义可求得，然后利用三角形面积公式即可得出答案. 【详解】（1）解法一：设椭圆C的焦距为， 因为，可得，所以，， 则，， 由椭圆的定义可得， 所以， 故椭圆C的标准方程为. 解法二：设椭圆C的焦距为，因为，可得， 因为为椭圆上一点， 所以，解得，. 故椭圆C的标准方程为. （2）在中，，， 由余弦定理得， 即， 又由椭圆的定义，可得， 两边平方得， 即，解得， 所以的面积. 11．根据下列条件求椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为，过点； (2)经过两点． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由条件求出左焦点坐标，结合椭圆的定义求，再由关系求即可； (2)设椭圆方程为，由条件求即可. 【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为， 因为焦点的坐标为，所以另一个焦点为，且， 又椭圆过点，所以， 所以， 所以，故，所以椭圆的标准方程为； （2）设椭圆方程为，因为椭圆经过两点，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 12．已知椭圆C：的短轴长为2，且点在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设、为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆C与A、B两点，若的面积是，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】(1)根据短轴长求出b，根据M在C上求出a； (2)根据题意设直线l为，与椭圆方程联立得根与系数关系，根据 ＝即可求出m的值. 【详解】（1）∵短轴长为2，∴，∴， 又∵点在C上，∴，∴， ∴椭圆C的标准方程为； （2）由(1)知， ∵当直线l斜率为0时，不符合题意， ∴设直线l的方程为：， 联立，消x得：， ∵， ∴设，，则， ∵，∴，∴， 即，解得， ∴直线l的方程为：或. 13．已知点是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过． (1)求椭圆的标准方程； (2)若动直线过与椭圆交于两点，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的焦距定义，结合代入法进行求解即可； （2）利用椭圆定义进行求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的焦距为6，所以， 又因为该椭圆过，所以， 由解得 ； （2）由（1）可知， 的周长为：    14．已知是椭圆的两个焦点，，为上一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若为上一点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据条件先求解出的值，然后根据椭圆定义求解出的值，结合求解出的值，则方程可求； （2）根据先求解出点坐标，然后由三角形面积公式求解出结果. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为，可得，所以， 则，， 由椭圆的定义可得，所以， 故椭圆的标准方程为； （2）因为， 所以，所以， 所以.    15．如图所示，已知是椭圆的两个焦点．    (1)求椭圆的焦点坐标； (2)过作直线与椭圆交于两点，试求的周长． 【答案】(1)． (2)40 【分析】 （1）根据椭圆的标准方程计算即可； （2）由椭圆的定义计算即可. 【详解】（1）设焦距为，由得， 所以椭圆的焦点坐标为． （2）设椭圆长轴长，则易得， 又的周长为, 由椭圆的定义可知，故. 16．已知椭圆的左､右焦点分别为和，长轴长为8，直线被椭圆截得的弦长等于2. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求△OAB的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列方程求出，可得椭圆方程； （2）直线与椭圆联立方程组，求出两点坐标，得到，原点到直线的距离为△OAB的高，可求面积. 【详解】（1）由，令得，解得， 所以，结合，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由，解得或， 即， 所以，原点到直线的距离为， 所以. 17．如图所示，已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且 (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在第二象限，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，求出，结合焦点坐标求出，从而可求，即可得出椭圆方程； （2）直线方程与椭圆方程联立，可得的坐标，利用三角形的面积公式，可求△的面积． 【详解】（1）解：依题意得， 又， ，， ，． 所求椭圆的方程为． （2）解：设点坐标为， ， 所在直线的方程为，即． 解方程组，并注意到，，可得 ． 【题型3】椭圆的几何性质 18．椭圆：的左右焦点分别是，，P在椭圆上，且，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】求出椭圆的长轴长，根据椭圆的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知椭圆：的长轴长为， 又P在椭圆上，，故， 故选：D 19．若椭圆的离心率为，则（    ） A．3或 B． C．3或 D．或 【答案】C 【分析】根据焦点位置分类讨论，利用离心率计算求解即可. 【详解】若椭圆焦点在上，则， 所以，故， 解得， 若椭圆焦点在上，则， 所以，故， 解得，综上，或. 故选：C 20．已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．12 C．8 D．16 【答案】D 【分析】利用标准方程可求得，再根据长轴定义即可求出结果. 【详解】根据椭圆标准方程可知，解得； 所以该椭圆的长轴长为. 故选：D 21．若椭圆的焦点为，点为椭圆上一点，且，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】利用椭圆定义解决焦点三角形问题简单快捷. 【详解】设，，则由且， 可得，且， 可得，所以． 故选：A. 22．已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点A，B的坐标，利用“点差法”求解作答. 【详解】设点，依题意，， 相减得，因直线AB的倾斜角为，即直线AB的斜率为， 又为线段的中点，则，，因此有，即， 所以椭圆的离心率. 故选：A 23．多选题已知，分别是椭圆E：的左、右焦点，P是椭圆E上一点，且，，则下列结论正确的有（    ） A．椭圆E的离心率为 B．椭圆E的离心率为 C． D．若内切圆的半径为2，则椭圆E的焦距为10 【答案】ACD 【分析】根据题意，由椭圆的定义结合余弦定理代入计算，即可得到，从而判断AB，由即可判断C，结合内切圆的半径为2即可得到，从而判断D. 【详解】由，，解得，，则 ，整理得， 即，则（舍去）或，故椭圆E的离心率为．A正确，B不正确； 由，得，则，故．C正确． 由，内切圆的半径为2，得．因为，所以，即椭圆E的焦距为10．D正确． 故选：ACD 24．多选题已知，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．点到左焦点距离的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】由已知求出的值，然后根据椭圆的定义即可得出A，B项；根据椭圆的性质，可判断C、D项. 【详解】对于A项，由已知可得，，根据椭圆的定义可得，故A正确； 对于B项，由已知可得，，椭圆的焦距为，故B正确； 对于C项，由已知可得，点到左焦点距离的最大值为右顶点到左焦点的距离，即，故C项错误； 对于D项，    如图，当点P为短轴顶点时，为最大值，此时，， 则，所以的最大值为，故D项正确. 故选：ABD. 25．已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设，代入椭圆方程相减，利用中点坐标求得关系，从而可得离心率． 【详解】解：设，， 是线段的中点， ，两式相减可得， 整理得，即， ∵弦的斜率为 ，即 ． 故答案为：． 26．已知椭圆的右焦点为，左、右顶点为A、，，．则直线被椭圆截得的弦长为 ． 【答案】． 【分析】由题可得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值. 【详解】设椭圆的半焦距为，由，， 可得，，解得，， 则， 即有椭圆的方程为， 联立直线和椭圆， 可得， 设被椭圆截得的弦的端点的横坐标分别为，， 则，， 可得弦长为. 故答案为：. 【题型4】 双曲线的定义 27．已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义即可求解. 【详解】解：由题意，因为， 所以由双曲线的定义知，当时，动点的轨迹为双曲线， 故选：C. 28．设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在 【答案】B 【分析】由判断出正确答案. 【详解】依题意，、是两个定点，P是一个动点， 且满足，所以动点P的轨迹是双曲线的一支. 故选：B 29．设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若， 则等于（    ） A． B．11 C．15 D．5 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义即可得. 【详解】由知，， 由双曲线定义知：， 故或，，故舍去. 故选：B. 【题型5】 双曲线的标准方程（定义法和标准方程） 30．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 由于双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线的标准方程是. 故选：D 31．已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合双曲线的定义可得，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，即可求解. 【详解】因为，，所以，动点满足条件，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 点，，动点满足条件， ， ， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 32．动圆过定点，且与已知圆 相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合圆相切时满足的条件以及双曲线的定义即可求出结果. 【详解】设动圆的半径为，由题意知，圆的圆心坐标为，半径为． 动圆与圆相切有两种情况，即内切或外切， 当两圆相内切时，定圆在动圆的内部，此时， 当两圆相外切时，此时， 所以，即动点到两定点、的距离之差的绝对值为常数，且， 所以点在以，为焦点的双曲线上，所以，，所以， 所以动圆的轨迹方程是． 故选：C. 33．已知某双曲线的一个焦点为，且，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】 由题意可以依次先求出的值，然后注意焦点在轴上，由此即可得解. 【详解】由题意双曲线的一个焦点为在轴上，故， 又，所以， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 34．以椭圆的焦点为顶点、椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆方程求出双曲线的顶点、焦点坐标即可得解. 【详解】由椭圆知，双曲线顶点坐标为，， 焦点坐标为， 故所求双曲线方程可设为， 又，所以， 故所求的双曲线方程为：. 故答案为： 35．已知双曲线与曲线有公共的渐近线，且经过点，则的方程为 . 【答案】 【分析】设，其中，代入点坐标即可得到答案. 【详解】设,其中， 将代入得. 双曲线方程是，即. 故答案为：. 36．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点，且； (2)经过点、． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为，代入运算求解即可； （2）设双曲线的标准方程为，代入点、运算求解即可. 【详解】（1）因为，可知双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为， 代入，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）设双曲线的标准方程为， 代入点、可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 37．已知双曲线离心率为，且过点，过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为左焦点. (1)写出直线的方程； (2)求双曲线的标准方程； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用已知条件求出双曲线的右焦点，然后利用点斜式求解即可； （2）由（1）条件求出即可； （3）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理计算即可. 【详解】（1）由题意设双曲线方程为， 由题意可得， 所以，又直线斜率， ∴直线的方程为： （2）由（1）知， 所以， 故双曲线方程为：； （3）由题意联立， 消元整理得：， 由， 设，， ∴， . 38．求下列各曲线的标准方程 (1)长轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆； (2)一个焦点为，实轴长为6的双曲线． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件求出，，根据椭圆的焦点位置写出椭圆的标准方程； （2）由条件求出，，根据双曲线的焦点位置写出双曲线的标准方程. 【详解】（1）由题意，，，又，即，，，又焦点在轴上， 椭圆的标准方程为. （2）由题意，，双曲线焦点在轴上，，即， ， 双曲线的标准方程为. 39．已知双曲线：与椭圆有相同的焦点，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于、两点，且，为坐标原点，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由椭圆方程求出双曲线的焦点，再根据给定点求出即可. （2）联立直线与双曲线方程，利用向量垂直的坐标表示求解即得. 【详解】（1）令双曲线：的半焦距为c， 由双曲线与椭圆有相同的焦点，得，即， 由双曲线过点，得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）得，消去y得：， ，解得，设， 则，， 由，得，即， 于是，解得， 所以的值为. 40．若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线C的方程； (2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义和条件求解； （2）先求出 和 ，再根据余弦定理求出与夹角，运用三角形面积公式计算. 【详解】（1）令分别是左右焦点，则，得， 双曲线的方程为 ，将点 代入上式，得： ， 双曲线的标准方程为 ； （2）不妨设点P在第一象限，由双曲线的几何性质知： ， ，解得 ， 在△中，， 设与的夹角为 ，由余弦定理得：， ； 综上，双曲线的标准方程为，△的面积为 . 41．已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长； (3)在（2）的基础上，求的周长． 【答案】(1) (2)25 (3)54 【分析】（1）双曲线的焦点在轴上，设出双曲线方程，把已知条件代入解方程组即可； （2）写出直线AB的方程，与双曲线方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式求得； （3）由双曲线的定义及弦长AB得出的周长． 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为， 由题意得，解得，所以双曲线方程为. （2）依题意得直线AB的方程为，设，. 联立，得， ，且， 所以. （3）由（2）知A，B两点都在双曲线左支上，且， 由双曲线定义，， 从而， 的周长为． 42．求满足下列条件的曲线的方程: (1)离心率为,长轴长为8且焦点在x轴的椭圆的标准方程; (2)与椭圆有相同焦点,且经过点的双曲线的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据椭圆的离心率及长轴长,求出,根据焦点在x轴上,写出椭圆的方程即可; (2)先求出椭圆的焦点坐标即双曲线的焦点坐标,设出双曲线的标准方程,将代入得到之间的方程,根据焦点再得到一个之间的方程,联立两个方程即可得双曲线的方程. 【详解】（1）解:由题知长轴长为8, 故, , 故, , 椭圆焦点在轴上, 椭圆的标准方程为: ; （2）由题椭圆为, 所以椭圆焦点坐标为:, 即为双曲线的焦点坐标. 设双曲线的实半轴长,虚半轴长,半焦距分别为, 则双曲线的标准方程为 , ①, 将代入双曲线方程有: ②, 联立①②可得: , 故双曲线方程为: . 43．已知双曲线：经过点，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求的长度． 【答案】(1); (2). 【分析】(1)由焦点到渐近线的距离为，可得，再代入点，即可求得双曲线方程; (2)由的中点为，可求得直线的方程为，联立直线与双曲线的方程可得，再由弦长公式计算即可. 【详解】（1）解：若焦点，其到渐近线的距离， 又因为双曲线：经过点， 所以，解得，                 所以双曲线的方程为； （2）解：设点，， 因为是弦的中点， 则． 由于， 则， 所以， 从而直线的方程为， 即．                 联立， 得， 所以，             从而． 44．已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4． (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)23 【分析】（1）利用点到直线的距离公式列方程得到，根据焦距得到，然后根据得到即可得到双曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【详解】（1）的一条渐近线的方程为，即， 点到的距离， 又因为，所以， 所以，所以双曲线的方程为． （2） 记双曲线的左焦点为，则， ， 当三点共线时，最小，且最小值为． 故的最小值为． 【题型6】 双曲线的几何性质 45．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 46．若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用焦点到渐近线的距离求出，从而求出，即可求出离心率． 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 双曲线的渐近线方程为， 不妨取， 又点到双曲线的一条渐近线的距离为， 可得， 所以， 所以双曲线的离心率． 故选：C． 47．已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出双曲线方程，在根据离心率公式，即可求出。 【详解】由题意知，双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为 ， 因为双曲线C经过点，所以， 因为，所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C 48．已知双曲线一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先求得渐近线的方程，利用两条直线垂直斜率相乘等于列方程，结合，求得双曲线离心率. 【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为， 直线的斜率为， 则，即，又， 所以. 故选：C 49．双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出焦点和渐近线，利用点到线的距离求解. 【详解】双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为， 则该双曲线的焦点到渐近线的距离． 故选：B． 50．多选题已知直线与双曲线交于两点，为双曲线的右焦点，且，若的面积为，则下列结论正确的有（   ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D． 【答案】BCD 【分析】先根据对称性及得到；进而得到以为直径的圆过点，列方程组求出的关系；对于A、B，求出离心率即可判断；对于C，求出渐近线方程即可判断；对于D，由对称性及题意求出的坐标，进而解出斜率即可判断. 【详解】 由题意知：，不妨取，由， 即，所以， 所以，所以以为直径的圆过点， 所以圆的直径，所以圆的方程为：， 设，连接，则四边形为矩形，则， 则的面积为：，且， 联立，解得， 再由， 所以离心率，故A错误，B正确； 对于C，双曲线的渐近线方程为：，故选项C正确； 对于D，不妨设点在第一象限，由对称性可知， ，代入中，得， 所以，由对称性知：当，， 所以，故选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：由图象对称性可知：点为双曲线另一个焦点；由定义知，由题意解出关系，不妨设点在第一象限，且，进而求解出直线斜率即可判断答案. 51．多选题已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．是双曲线的一条渐近线 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】利用双曲线定义，离心率，渐近线求法判断ABC,利用点点距判断D. 【详解】由双曲线的定义可得，故A错误； 设双曲线的焦距为，实轴长为,则，的离心率为，故B正确； 双曲线的渐近线方程为，故C错误； 设， 易得的对称轴为，且开口向上， 故时，的最小值为， 故的最小值为，故D正确． 故选：BD． 52．若双曲线上一点与它的一个焦点的距离为，则点与另一个焦点的距离为 ． 【答案】或 【分析】化双曲线方程为标准方程，利用双曲线定义求解. 【详解】因为，所以，，， 设点与另一个焦点的距离为， 则由双曲线的定义得，，解得或. 故答案为：或 53．已知双曲线，，是其两个焦点，点在双曲线上，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到为直角三角形，得到，再由双曲线的定义，得到，联立方程组，求得，结合面积公式，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 所以双曲线的焦距为，因为，为直角三角形， 可得，又因为， 可得，即， 解得，所以的面积为． 故答案为：．    54．双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，则 . 【答案】20 【分析】 先由双曲线方程求出，然后根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由，得，得， 因为，， 所以或， 解得（舍去），或， 故答案为：20 55．已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】直接由定义判断出M的轨迹是双曲线，再由待定系数法求方程即可. 【详解】由题意知：，，故M的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线， 设双曲线方程为，由可得，故点M的轨迹方程是. 故答案为：. 56．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：＝1的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面．若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm，瓶高等于双曲线的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为 cm．    【答案】 【分析】 根据题意求出，设出，代入双曲线方程，求出，进而得到直径. 【详解】 若该花瓶横截面圆的最小直径为，所以， 不妨设为双曲线与瓶口截面的一个交点，且该花瓶的瓶口半径为， 此时，因为点在双曲线上，所以， 解得， 则该花瓶的瓶口直径． 故答案为： ． 【题型7】抛物线的定义 57．已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求解． 【详解】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6， 所以点M到y轴的距离为. 故选：C． 58．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线方程求出，再根据抛物线的定义求出，然后代入抛物线方程解出即可； 【详解】因为抛物线，所以， 由抛物线的定义得：，解得， 则，所以点坐标为， 故选：D. 59．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的2倍．则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点到焦点的距离，根据题意得到关于的方程，求解即可． 【详解】已知拋物线的方程为，可得． 所以焦点为，准线为：． 抛物线上一点到焦点F的距离等于到准线的距离， 即， 又∵A到x轴的距离为， 由已知得，解得． 故选：D． 60．抛物线上一点与焦点间的距离是10，则到轴的距离是（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】借助抛物线定义计算即可得. 【详解】抛物线的准线为， 由抛物线定义可得，故， 则，即到轴的距离为. 故选：B. 61．已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求得，然后在直角三角形中利用可求得，从而可得答案． 【详解】如图，连接，设准线与轴交点为    抛物线的焦点为，准线： 又抛物线的定义可得，又，所以为等边三角形， 所以， 所以在中，，则，所以抛物线的方程为. 故选：C. 62．已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且，则到轴的距离为 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义直接求出结果. 【详解】依题意，抛物线上点到拋物线的准线的距离为， 所以到轴的距离为. 故答案为：2 【题型8】抛物线的标准方程（定义法和标准方程） 63．以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义求解． 【详解】根据题意，可设抛物线的方程为， 由抛物线的定义知，即， 所以抛物线方程为． 故选：C． 64．过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可. 【详解】设抛物线的标准方程为， 将点点代入，得，解得， 所以抛物线的标准方程是. 故选：B 65．已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得抛物线的方程，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】由抛物线C：过点，可得，解得， 即抛物线的方程为，可得抛物线的准线方程为. 故选：B. 66．已知抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q（－3，m）到焦点的距离是5，则抛物线的方程为 ． 【答案】x2＝±2y或x2＝±18y 【详解】设抛物线方程为x2＝ay（a≠0），则准线方程为y＝－.因为Q（－3，m）在抛物线上，所以9＝am.因为点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离，所以|m－（－）|＝5.将m＝代入，得|＋|＝5，解得a＝±2或a＝±18，所以抛物线的方程为x2＝±2y或x2＝±18y. 67．已知抛物线的焦点为是上的点，且. (1)求的方程； (2)已知直线交于两点，且的中点为，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线定义列方程求的值即可. （2）涉及到中点弦，用点差法求中点弦的斜率，再由点斜式即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 故抛物线的方程为. （2）易知直线的斜率存在，设的斜率为， 则 两式相减得，整理得. 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，即. 联立与，得，显然， 综上满足题意的的方程为. 68．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，求抛物线的方程 【答案】 【详解】利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程. 【分析】点在抛物线上，    由抛物线定义得，解得， 故抛物线的标准方程为． 69．已知拋物线的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点P到焦点的距离转化为到准线的距离，求出p，得抛物线方程； （2）利用点差法，求出直线AB的方程，与抛物线联立，求出三角形的面积. 【详解】（1）由定义知，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设，， 因为是线段的中点，所以， ，则， 所以直线AB的斜率， 所以直线的方程为，设直线与轴交于点，则， 联立，得，所以，， 所以，. 70．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点F关于准线的对称点为； (2)关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可知抛物线焦点在y轴上，设其方程为，根据焦点和准线求得，即可得方程； （2）设抛物线方程为，根据弦长列式求解即可. 【详解】（1）显然抛物线焦点在y轴上， 设其方程为，焦点，准线， 依题意，，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）设抛物线方程为，由，得， 于是，解得，即， 所以所求抛物线的标准方程为. 71．求下列各曲线的标准方程 (1)抛物线的焦点是双曲线的左顶点，求抛物线标准方程． (2)已知椭圆与圆，双曲线与椭圆有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的性质求出抛物线的焦点坐标，可得抛物线的标准方程. （2）利用椭圆和双曲线的几何性质，得到双曲线的焦点，然后，列出的相关方程进行求解即可. 【详解】（1）对双曲线： ，其左顶点为. 对抛物线，焦点为，所以抛物线的标准方程为：. （2）椭圆：的焦点坐标为：，. 如图： 直线与圆：相切， 设直线的倾斜角为，则. 所以对双曲线焦点在轴上，且 . 所以双曲线的标准方程为：. 72．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程 (1)离心率，经过点的双曲线方程； (2)顶点在原点，准线是的抛物线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求双曲线标准方程. （2）根据抛物线的准线求抛物线的标准方程. 【详解】（1）由 ，又，所以. 设双曲线方程为：，把点带入，得： . 所求双曲线的标准方程为：. （2）因为抛物线的顶点在原点，准线是：， 所以抛物线开口向左，且 . 所以抛物线的标准方程为：. 73．已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4. (1)求C的方程； (2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程的定义即可由焦半径求解， （2）联立直线与抛物线方程，利用焦半径公式即可求解. 【详解】（1）C上一点到点F的距离为4, 由抛物线定义可得，，抛物线的方程为． （2）设直线，，设,,,， 将方程代入方程整理得，需满足， ， 故，解得， 当时，满足，故符合题意， 故直线方程为 【题型9】抛物线的几何性质 74．过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】D 【分析】求出直线，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理及弦长公式即可求解. 【详解】由题得直线，设，联立得， 令，则，所以， 由， 则，解得．故D正确. 故选：D. 75．设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的直线，再与抛物线方程联立后化简得，再结合韦达定理可求得，从而可得，即可求解. 【详解】易知过点的直线为：，设，， 由得，则， 因为， 则．故D正确. 故选：D. 76．设抛物线的焦点为，准线为，点上一点到的距离等于，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的几何性质，求点的坐标，即可求三角形的面积. 【详解】如图：由题意得，到的距离为，， 即点在线段的垂直平分线上， 所以点的横坐标为2，不妨设点在轴上方，代入得，， 所以面积为. 故选：B 77．若抛物线与直线交于，两点，则等于（    ） A． B．12 C． D．13 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程，利用弦长公式计算即得. 【详解】由消去y并整理得，， 设，，则，， . 故选：C 78．多选题点到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据抛物线定义可知点满足，再根据两点间距离列方程，结合方程只有一解，分情况讨论. 【详解】因为点到点的距离等于它到直线的距离， 则所在曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，则设点， 所以，即， 可知方程只有一解， 当时，方程为，解得，符合题意； 当时，，解得， 综上所述， 故选：CD. 79．多选题已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】AC 【分析】利用抛物线的定义来求焦半径，即可得到答案. 【详解】由点在抛物线上，可得点横坐标， 因为，由抛物线定义得，解得或， 故选：. 80．多选题设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程是 B．焦点到准线的距离为4 C．若，则的最小值为3 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【分析】选项A，选项B，由抛物线概念即可判断，选项C： P为动点，根据几何关系，当P、A、F三点共线时取最小值；选项D：求出圆的半径与圆心，比较圆心横坐标和半径即可知是否与y轴相切﹒ 【详解】A：抛物线的准线为，故A正确； B：焦点到准线距离为，故B错误； C：当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为，此点位于点的上面，故A在抛物线内部， 当直线垂直准线时 取最小值，即为，故C正确； D：根据题意，可得抛物线的焦点为， 设的中点为，可得， 由抛物线的定义，得，则，即点到轴的距离等于以为直径的圆的半径， 因此，以为直径的圆与轴相切，故D正确﹒ 故选：ACD 81．抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意可将向右平移个单位，再向下平移个单位而得到，从而可求解. 【详解】因为， 所以抛物线可由抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位而得到， 又抛物线的焦点坐标为，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为：. 82．已知抛物线，过点的直线与抛物线有两个交点，则直线斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知直线的斜率一定存在且不为，联立直线和抛物线可得方程，根据直线与抛物线有两个交点，可知，解之可得. 【详解】由题可知直线斜率存在且不为0，设直线方程为，且， 联立则，令， 解得或，即且， 故直线斜率的取值范围是． 故答案为：. 83．抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．    (1)求抛物线的标准方程； (2)当时，求弦的长； (3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由曲线图象经过点，可得，则得抛物线的标准方程； （2）写出的方程,和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，则； （3）设直线的方程为，，，，，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，．直线的方程为，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，同理可得，由，可得，则直线的方程为，由对称性知，定点在轴上，令，可得，则的直线过定点． 【详解】（1）曲线图象经过点，所以，所以， 所以抛物线的标准方程为． （2）由（1）知，当时，,所以的方程为， 联立，得，则， 由，所以弦． （3）由（1）知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， ，，，， 联立得，， 因此，． 设直线的方程为，联立得， 则，因此，，得， 同理可得， 所以． 因此直线的方程为， 由对称性知，定点在轴上， 令得， ， 所以，直线过定点． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： (1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； (2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； (3)求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 84．已知平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设点是圆上的动点，曲线上有四个点，其中是的中点，是的中点，记的中点为. ①求直线的斜率： ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设动圆圆心，根据题意结合距离公式运算求解； （2）①设，根据中点利用同构可得为方程的两根，利用韦达定理分析证明；②根据题意可得，结合圆的方程可得，进而可得最值. 【详解】（1）设动圆圆心， 当时，由已知得，即； 当时，点的轨迹为点，满足. 综上可知，点的轨迹方程为. （2）①设. 由题意得，的中点在抛物线上，即. 又，将代入得， 同理可得， 可知为方程的两根，所以. 所以直线的斜率为0； ②由得， 所以， 又因为， 所以. 又因为点在圆上，则，且. 设的面积为S，则， 当时，S有最大值48. 所以面积的最大值为48. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 圆锥曲线的方程（9种题型） 【题型1】椭圆的定义 【题型2】 椭圆的标准方程（定义法和标准方程） 【题型3】椭圆的几何性质 【题型4】 双曲线的定义 【题型5】 双曲线的标准方程（定义法和标准方程） 【题型6】 双曲线的几何性质 【题型7】抛物线的定义 【题型8】抛物线的标准方程（定义法和标准方程） 【题型9】抛物线的几何性质 知识点1 椭圆的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 知识点2椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 ※ 椭圆中的几个常用结论 （1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． （2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. （3）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)． （4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 知识点3双曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点． （2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 知识点4 双曲线的标准方程 知识点5双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) ※ 双曲线中的几个常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. （3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. （4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. （5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2. （6）等轴双曲线 ①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． ②性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线 ①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． ②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1. 知识点6抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点7抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 注意：在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。 知识点8抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径 (其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ ※ 抛物线中的几何常用结论 （1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦． ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切． ③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． （2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点. 【题型1】椭圆的定义 1．已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 2．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 3．椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（    ） A． B．4 C．8 D．6 4．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为 . 5．已知P是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点．若，则 ． 【题型2】 椭圆的标准方程（定义法和标准方程） 6．平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 7．已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知平面内两定点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)若直线与曲线C交于不同的两点A、B，求． 9．已知的周长为． (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的面积． 10．已知，是椭圆的两个焦点，，为C上一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积. 11．根据下列条件求椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为，过点； (2)经过两点． 12．已知椭圆C：的短轴长为2，且点在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设、为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆C与A、B两点，若的面积是，求直线l的方程． 13．已知点是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过． (1)求椭圆的标准方程； (2)若动直线过与椭圆交于两点，求的周长． 14．已知是椭圆的两个焦点，，为上一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若为上一点，且，求的面积. 15．如图所示，已知是椭圆的两个焦点．    (1)求椭圆的焦点坐标； (2)过作直线与椭圆交于两点，试求的周长． 16．已知椭圆的左､右焦点分别为和，长轴长为8，直线被椭圆截得的弦长等于2. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求△OAB的面积. 17．如图所示，已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且 (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在第二象限，，求的面积． 【题型3】椭圆的几何性质 18．椭圆：的左右焦点分别是，，P在椭圆上，且，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 19．若椭圆的离心率为，则（    ） A．3或 B． C．3或 D．或 20．已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．12 C．8 D．16 21．若椭圆的焦点为，点为椭圆上一点，且，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 22．已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 23．多选题已知，分别是椭圆E：的左、右焦点，P是椭圆E上一点，且，，则下列结论正确的有（    ） A．椭圆E的离心率为 B．椭圆E的离心率为 C． D．若内切圆的半径为2，则椭圆E的焦距为10 24．多选题已知，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．点到左焦点距离的最大值为 D．的最大值为 25．已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为 . 26．已知椭圆的右焦点为，左、右顶点为A、，，．则直线被椭圆截得的弦长为 ． 【题型4】 双曲线的定义 27．已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（    ） A． B． C． D． 28．设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在 29．设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若， 则等于（    ） A． B．11 C．15 D．5 【题型5】 双曲线的标准方程（定义法和标准方程） 30．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 31．已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 32．动圆过定点，且与已知圆 相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 33．已知某双曲线的一个焦点为，且，则双曲线的标准方程为 ． 34．以椭圆的焦点为顶点、椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程是 ． 35．已知双曲线与曲线有公共的渐近线，且经过点，则的方程为 . 36．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点，且； (2)经过点、． 37．已知双曲线离心率为，且过点，过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为左焦点. (1)写出直线的方程； (2)求双曲线的标准方程； (3)求的面积. 38．求下列各曲线的标准方程 (1)长轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆； (2)一个焦点为，实轴长为6的双曲线． 39．已知双曲线：与椭圆有相同的焦点，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于、两点，且，为坐标原点，求的值. 40．若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线C的方程； (2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积. 41．已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长； (3)在（2）的基础上，求的周长． 42．求满足下列条件的曲线的方程: (1)离心率为,长轴长为8且焦点在x轴的椭圆的标准方程; (2)与椭圆有相同焦点,且经过点的双曲线的标准方程． 43．已知双曲线：经过点，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求的长度． 44．已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4． (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值． 【题型6】 双曲线的几何性质 45．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 46．若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 47．已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 48．已知双曲线一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D．2 49．双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 50．多选题已知直线与双曲线交于两点，为双曲线的右焦点，且，若的面积为，则下列结论正确的有（   ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D． 51．多选题已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．是双曲线的一条渐近线 D．的最小值为 52．若双曲线上一点与它的一个焦点的距离为，则点与另一个焦点的距离为 ． 53．已知双曲线，，是其两个焦点，点在双曲线上，若，则的面积为 ． 54．双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，则 . 55．已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是 . 56．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：＝1的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面．若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm，瓶高等于双曲线的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为 cm．    【题型7】抛物线的定义 57．已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 58．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 59．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的2倍．则（    ） A． B．1 C． D．2 60．抛物线上一点与焦点间的距离是10，则到轴的距离是（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 61．已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 62．已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且，则到轴的距离为 . 【题型8】抛物线的标准方程（定义法和标准方程） 63．以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 64．过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 65．已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 66．已知抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q（－3，m）到焦点的距离是5，则抛物线的方程为 ． 67．已知抛物线的焦点为是上的点，且. (1)求的方程； (2)已知直线交于两点，且的中点为，求的方程. 68．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，求抛物线的方程 69．已知拋物线的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，求的面积. 70．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点F关于准线的对称点为； (2)关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12． 71．求下列各曲线的标准方程 (1)抛物线的焦点是双曲线的左顶点，求抛物线标准方程． (2)已知椭圆与圆，双曲线与椭圆有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的标准方程． 72．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程 (1)离心率，经过点的双曲线方程； (2)顶点在原点，准线是的抛物线方程. 73．已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4. (1)求C的方程； (2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程. 【题型9】抛物线的几何性质 74．过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 75．设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 76．设抛物线的焦点为，准线为，点上一点到的距离等于，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D． 77．若抛物线与直线交于，两点，则等于（    ） A． B．12 C． D．13 78．多选题点到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 79．多选题已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 80．多选题设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程是 B．焦点到准线的距离为4 C．若，则的最小值为3 D．以线段为直径的圆与轴相切 81．抛物线的焦点坐标为 ． 82．已知抛物线，过点的直线与抛物线有两个交点，则直线斜率的取值范围是 ． 83．抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．    (1)求抛物线的标准方程； (2)当时，求弦的长； (3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点． 84．已知平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设点是圆上的动点，曲线上有四个点，其中是的中点，是的中点，记的中点为. ①求直线的斜率： ②求面积的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$