期中复习（压轴题60题）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

期中复习（压轴题60题） 一、单选题 1．如图，D，E分别是的边，上的点，，，，且，则的长（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得出，证明，得出，代入计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．我县开展老旧小区改造，2022年投入此项工程的专项资金为1000万元，2023、2024年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据2022年投入此项工程的专项资金及该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率，可得出2023、2024年投入此项工程的专项资金，结合2023、2024年投入资金一共为3440万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：年投入此项工程的专项资金为1000万元，且该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为， 年投入此项工程的专项资金为万元，2024年投入此项工程的专项资金为万元． 根据题意得：． 故选：D． 3．已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是（   ） A．3 B．－1 C．3或1 D．－3或1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵，，， ∴， ∴解并检验得：或， ∵， ∴， 故选：A． 4．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若， ，则菱形的面积为（    ）    A．12 B．18 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解题的关键．根据菱形的性质可得，，再根据直角三角形的性质可得，最后根据菱形的面积公式计算，即得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 菱形的面积为． 故选：A． 5．如图，在正方形中，是边上一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的选项是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．证明，得到，结合可判断①；设，利用勾股定理求得，不是等边三角形，可判断②；证明，即可判断③；证明，求出的面积即可判断④． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， 由翻折可知：，，，， ，，， ∴， ，， ，故正确， 设， 在中， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 显然不是等边三角形，则，故错误， ， ， ， ，， ， ，故正确， ，， ∴， ，故正确， 故选：C． 6．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则长（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，如图，根据勾股定理求出的长；进而求出的长度；由题意得；利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可解决问题，；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 【详解】解：四边形为矩形， ；； 由题意得：，，； 由勾股定理得：， ， ； 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． 故选：B． 7．如图，正方形中，点E、F、G分别为边，，的中点，连接，交于点M，连接，，与交于点N，下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先由正方形的性质得到，，再由线段中点的定义推出，，据此可证明四边形是平行四边形，即可判断②；证明，得到，进而证明，即，即可判断①；根据直角三角形的性质可得，据此可判断⑤；根据，即可判断③；证明垂直平分，得到，进而证明，得到，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点，，分别为边，，上的中点， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故①正确； ∵点G为的中点， ∴，故⑤正确； ∵， ∴，故③错误； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④⑤，共4个， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质与判定,直角三角形的性质．熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．本题的综合性较强，是中考常考题型． 8．如图，已知四边形为正方形．，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④平分．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，故③正确；由此推出平分，故④正确；进而求得，故②错误；故选． 【详解】解：过作，过作于，如图所示，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故①正确； ∴， ∵四边形是正方形 ∴， ， ∴， 在和中 ∴ ∴，，故③正确， ∵， ∴， ∴平分，故④正确； ∵， ∴ ∴，故②错误； 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键． 9．如图，在正方形外取一点E，连接、、．过点A作的垂线交于点P．若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④；⑤，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过作，交的延长线于，利用③中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；⑤在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积；④连接，求出的面积，然后减去的面积即可． 【详解】解：①，， ， 又，， （故①正确）； ③， ， 又，， ， （故③正确）； ②过作，交的延长线于， ，， ， 又③中，， ， 又， （故②不正确）； ④如图，连接，在中， ， ， 又， ， ， ， ．（故④不正确）． ⑤，， 在中，， （故⑤正确）； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 10．如图，是的高，分别以为一边， 向外作正方形和（正方形各边相等，各角相等），连接和，与的延长线交于点，下列结论正确的个数是（　　） ①； ②；③；④是的中线． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和“”可证明，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设相交于点，相交于点，根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的内角和定理可得，即可判断②；过点作的延长线于，过点作于，根据余角的性质即可判断③；利用“”即可证明，可得，同理可证，从而得到，再证明，可得，从而可判断④． 【详解】解：∵四边形和均为正方形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 设相交于点，相交于点，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 过点作的延长线于，过点作于，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∴，同理可得， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中线，故④正确． 综上所述，结论正确的是①②③④，共计4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 二、填空题 11．若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程求出的值，再将所求式子变形，然后将的值代入计算即可． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 化简，得：， ， 故答案为：． 12．如图，正方形中，点分别在上，与相交于点，若，边长，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】过D作交于Q，连接；过D作交延长线于P；由平行线性质得，从而；由正方形性质证明，则有；再证明，则；由已知易得四边形是平行四边形，则有，从而求得；设，则，在中由勾股定理建立方程可求得x的值，再由勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，过D作交于Q，连接；过D作交延长线于P； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，； ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴； 设，则； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识．作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 13．把长为，宽为的长方形硬纸板，剪掉个小正方形和个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），把剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，记剪掉的小的正方形边长为，（纸板的厚度忽略不计）若折成的长方体盒子表面积为，求此时长方体盒子的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程与几何体面积、体积的运用，根据题意，长方体盒子的表面积等于长方形硬纸板减去阴影部分的面积，由此列式可得的值，再根据体积的计算方法即可求解． 【详解】解：长方形硬纸板，剪掉个小正方形和个小长方形（阴影部分即剪掉的部分）， ∴余下部分的长为，宽为，折成长方体盒子的高为， ∵长方体盒子表面积为， ∴，整理得，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴长方体盒子的体积为：， 故答案为： ． 14．如图，在四边形中，对角线，要使四边形各边中点连线构成的四边形是正方形，只需添加一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的判定方法是平行四边形是解题的关键．添加．由三角形中位线定理和可证，从而四边形是菱形，再由可证边形是正方形． 【详解】解：添加． ∵E，F，G，H分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， 同理可证：，，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形 故答案为：． 15．设和是一元二次方程的两个根，则 ； 【答案】2018 【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根及根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，，然后代入进行求解即可． 【详解】解：设和是一元二次方程的两个根，由题意得：，， ∴； 故答案为2018． 16．如图，中，，，点P在内，且，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质和勾股定理及逆定理等知识点，首先作，使得：，，即可得，即可得与相似比为2，继而可得与是直角三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理，即可求得的面积，解题的关键是辅助线的构造，还要注意勾股定理与勾股定理的逆定理的应用． 【详解】如图，作，使得：，， ∴， ∵， ∴与相似比为2， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 作于M， 由， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，中，，点为内一点，，若，则PC的最小值为 ． 【答案】 【分析】把绕点逆时针旋转得到，作于，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和配方法计算可得出答案． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到，作于， 则 ， ， ，， 由勾股定理得 ， ， 在中， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及配方法的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 18．如图，在中，，，，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点作，交的延长线于点，比例关系，求出的长，勾股定理求出的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长，证明，进而求出的长，利用，求出的长即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 19．如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，连接交于点G，则的长为 ．    【答案】 【分析】如图，取为的中点，由菱形的性质得，再由三角形中位线定理得，然后证，得，进而由勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，取为的中点，    ∵菱形的边长为， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 20．如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中正确的有 ． ①；②；③；④ 【答案】②③④ 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，过作于点，过作于点，然后根据正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质逐项判断即可，正确的作出辅助线及熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过作于点，过作于点，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又， 在和中， ∴， ， ∴， ∴矩形为正方形， ∴，，，故正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故正确； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故错误， 综上可知：正确， 故答案为：． 三、解答题 21．如图，中，点D，E，F分别在，，边上． (1)求证：； (2)设． ①若．求线段的长； ②若的面积是20，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)① ②20 【分析】（1）根据，得即可得证； （2）① 根据，得，继而得到，结合．求线段即可； ②根据，得，结合的面积是20，得到， 根据题意，得，继而得到求得，于是四边形的面积为． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． （2）解：① ∵， ∴， ∴， ∵． ∴． ②解：∵， ∴， ∵的面积是20， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴四边形的面积为． 22．已知关于的一元二次方程． (1)试证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若原方程的两根，满足，求值． 【答案】(1)证明过程见解答 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解本题的关键． （1）方程整理为一般形式，表示出一元二次方程根的判别式，利用非负数的性质判断，即可得证； （2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，已知等式变形后代入计算即可求出的值． 【详解】（1）证明：方程整理得：， ， ， 所以该方程总有两个实数根； （2）解：由根与系数的关系得：， 已知等式整理得：， 代入得：， 解得：． 23．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)______，______，（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． (4)P，Q同时出发，直接写出为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形． 【答案】(1)； (2)5 (3)t为或 (4)或2或或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是根据题意正确的列方程； （1）当运动时间为时，根据点和点的运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （3）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． （4）分，，三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， 故答案为：；． （2）依题意得：，解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，如图所示． 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ，即， 解得， 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． （4）解：当时，过P作， 四边形是矩形， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当时，过Q作于E， 同理可证：四边形是矩形， ，， ， 在中，， ，即， 解得：或， 当时， 在中，， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，或2或或． 24．如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接． 【问题引入】 （1）请你在图1或图2中证明；（选择一种情况即可） 【探索发现】 （2）在（1）中你选择的图形上继续探索：延长交直线于点．将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，，延长AE至点，使，连接．直接写出的周长最小值． 【答案】（1）证明见解析（2）猜想；理由见解析；（3） 【分析】（1）选择图1，根据正方形性质可得：，，进而证得，结合旋转的性质即可证得结论；选择图2，同理可证得结论； （2）猜想，选择图1，过点作交于点，则，利用正方形的性质即可证得，再利用等腰三角形性质即可得出答案；选择图2，同理可证得结论； （3）取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得，由的周长，可得当的周长最小时，最小，此时，、、三点共线，根据勾股定理求出，即可求得答案． 【详解】（1）证明：选择图1， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 由旋转得：， ． 选择图2， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 由旋转得：， ． （2）解：猜想．理由如下： 选择图1，过点作交于点， 则， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 若选择图2，过点作交的延长线于点， 则， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图3，取的中点，连接， ， 点是的中点， ， 的周长， 当的周长最小时，最小，此时，、、三点共线，如图3， ， 的周长． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，旋转变换的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等是解题关键． 25．【问题背景】 在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，________度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】[特例感知]（1）①证明过程见详解；②； [深入研究]（2）的长为 [拓展提示]（3）的长为或或 【分析】[特例感知]（1）①根据正方形的性质可证，得，结合对顶角相等即可求证；②如图所示，连接，根据正方形的性质可得，根据①中三角形全等，时中点，可得是的垂直平分线，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； [深入研究]（2）如图所示，过点作，交于点，且当为中点，可证，得是中位线，再正，根据相似三角形的性质即可求解； [拓展提升]（3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，当，是直角三角形，设，则，运用勾股定理可得的值，再证，根据相似三角形的性质列式求解；第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点，可得是等腰直角三角形，可得，再证，根据，可求出的值，由此可得的值，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ①证明：∵，延长至点， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵，，， ∴，则，即， ∵点是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形， ∴平分，即， 在中，， 故答案为：； （2）∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，过点作，交于点，且当为中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是中点，则， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴的长为； （3）∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， 第一种情况，如图所示，当，是直角三角形， 设，则， 在中，， ∵， ∴，则， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母有意义， ∴或； 第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题主要考查正方形，菱形，矩形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握特殊四边形的性质，相似三角形的判定和性质，图形结合分类讨论思想是解题的关键． 26．如图，已知在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，设运动时间为．    (1)几秒后， 的面积等于 (2)几秒后，的长度能取得最小值，其最小值为多少？ 【答案】(1)2秒或6秒 (2)4秒后，取得最小值，最小值为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，配方法的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设运动时间为x秒，则，，根据三角形面积公式列出方程即可； （2）设运动时间为t秒，则，，根据勾股定理列出的式子，根据配方法即可求得最小值． 【详解】（1）解：设运动时间为x秒，则，，根据题意得： ， 解得：， 答：2秒或6秒后，的面积等于； （2）解：设运动时间为t秒，则，， ∵， ∴在中， ， ， ∴当时，取得最小值为：． 即4秒后，取得最小值，最小值为． 27．关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的根． (2)求证：方程总有两个不相等的实数根； (3)若方程有一个根是3，求它的另一个根和的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3)，另一个根为1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义、一元二次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握判别式的意义是解题关键． （1）将代入原方程，进而根据公式法解方程，即可求解． （2）先求出根的判别式大于0，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根； （3）将代入求出k，得到原方程，再解方程即可． 【详解】（1）当时，原方程为 ∵，， ∴， 解得：； （2）证明：由已知， ， ， ， ∴无论取何值方程总有两个不相等的实数根． （3）解：依题意得，， 解得， 则原方程为， 解得， ∴另一根为． 28．【阅读材料】请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，．当时，，，此方程无实数根． 原方程的根为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请用上述方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次的方法和步骤． （1）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出值，进而即可求解； （2）设，将原方程变形为，求出值，进而利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为，即， 解此方程得， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为． （2）解：设，则原方程化为，即， 解此方程得， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为． 29．阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1） ∵ ∴ ∴代数式的最小值为； （2） ∵ ∴ ∴代数式的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为______； （2）已知；，请比较与的大小，并说明理由； 【拓展提高】 （3）薛城区某学校打算把长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、偶次方、完全平方公式的几何背景等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由，又对于任意的都有，故．，进而可以判断得解； （2）依据题意，作差，又对于任意的都有，进而可以判断得解； （3）依据题意，设 ，长方形的面积为，从而，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，， 又对于任意的都有， ． 代数式的最小值为． 故答案为：． （2），理由如下： ， 又对于任意的都有， ． ． （3）由题意，设 ，长方形的面积为， ． 当时，即时围可使小兔的活动范围较大，最大面积为． 答：当长方形的长和宽均为时，长方形的面积最大为． 30．【问题背景】 如图，在 中， ，，，点 P从点A 开始沿边向点 B 以 的速度运动，点Q 同时从点B 开始沿边向点C 以的速度运动，设运动时间为． 【构建联系】 （1）点Q，P出发几秒后， 的面积等于? （2）的面积能否等于 ?请说明理由． 【深入探究】 （3）当t为何值时， ? 【答案】（1）或；（2）不能，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意得，，根据三角形面积公式列方程求解即可； （2）根据（1）的方法列出方程，再判断出方程是否有解即可； （3）根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：依题意，得 ，，则 整理，得 解得   即或后，的面积等于； （2）不能，理由如下： 由（1）得   整理，得 ， ， ∴该方程无实数根，即的面积不能等于； （3）在中，∵， ∴， 由勾股定理，得 整理，得， 解得或（舍去）. 即当t为时，． 31．为解方程，我们可以将看成一个整体，然后设，则原方程可化为①， 解得，．当时，．，， 当时，，，， 原方程的根为，，， (1)在由原方程得到方程①的解题过程中，利用______法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想． (2)请利用以上方法解方程： ①； ②． 【答案】(1)换元 (2)①，；②，，， 【分析】本题考查了解高次方程，解题关键在于利用换元法解题． （1）根据题意可知利用了换元的方法解题； （2）①设，则原方程可化为，求出的值，即可求解；②设，则原方程可化为：，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的解题过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想， 故答案为：换元； （2）①， 设，则原方程可化为， 解得：，， 当时，， ， 当时，（无意义，舍去）； 原方程的解为，； ②， 设， 则原方程可化为：， 解得：，， 当时，， ， ； 当时，， ， ； 原方程的根为，，，． 32．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为； (2)该品牌头盔的实际售价应定为50元． 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元， 由题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元． 33．已知如图，点D是外一点，，． (1)如图（1），若，，求证：； (2)如图（2），若，，，，求证：； (3)如图（3），若，，，，则__________． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）延长交于，连接，通过证明，即可求证； （3）过在的上方作，，连接，，利用前面的结论以及勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2）证明：延长交于，连接，如下图： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：过在的上方作，，连接，，如下图： 则， 设，交于点，，交于点， 由（1）可得，则，， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理可得：，， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，正确作出辅助线是解题的关键． 34．某商店以40元千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)根据图象求与的函数关系式（不用写的取值范围）； (2)商店想使这批茶叶的销售利润为元，销售单价应定为多少． 【答案】(1) (2)销售单价应该定为元或100元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用； （1）设出函数解析式，把点，代入，即可求出函数解析式． （2）根据每千克的利润销售量列出一元二次方程，解方程得出，即可求解． 【详解】（1）设与函数关系式，把点，代入得 解得 ∴与函数关系式为． （2）根据题意列方程，得． 即， 解得，． 答：销售单价应该定为元或100元． 35．某网商平台国庆期间从某公司以元一盆的价格采购了一批盆栽，以每盆元的价格售出，第一天销售了盆．该商品十分畅销，在售价不变的基础上，第三天销售量就达到了盆． (1)求第二、三两天每天销售量的平均增长率． (2)国庆假期临近结束时，盆栽还有较多剩余，为了尽快减少库存，网商平台打算降价销售．经调查发现，每降价元，在第三天销售量的基础上每天可以多售出盆，降价多少元时，每天可获得的利润为元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查一元二次方程的应用， （1）设第二、三两天每天销售量的平均增长率为，利用第三天的销售量＝第一天的销售量×（1＋第二、三两天每天销售量的平均增长率）2，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设每盆降价元，则每盆的销售利润为元，第三天的销售量为件，利用总利润＝每件的销售利润×每天销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设第二、三两天每天销售量的平均增长率为， 根据题意，得：， 解得：，（舍去）， 答：第二、三两天每天销售量的平均增长率为； （2）设每盆降价元， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：，， ∵为了尽快减少库存， ∴降价越多，则库存减少的速度最快， ∴降价元可以尽快减少库存且每天可获得的利润为元． 36．如图1，为等腰直角三角形，是边上的一个动点（点F与A、C不重合），以为一边在等腰直角三角形外作正方形，连接． (1)①猜想图1中线段的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②将图1中的正方形，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形．图2中交于点H，交于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断． (2)将原题中的等腰直角三角形改为直角三角形，正方形改为矩形，如图4，且，交于点H，交于点O，连接，求的值． 【答案】(1)①，；，仍然成立，证明见解析 (2) 【分析】（1）①结论：，；只要证明，推出，，即可得出结论； ②证推出，即可得出结论； （2）证得，推出，由勾股定理得，在和中，求得，，即可求解． 【详解】（1）①解：，； 理由：如图1中，延长交于H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴； ②，仍然成立， 证明：如图2中， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形． 37．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)若E 、F是中点 求四边形的面积； (2)如果把它加工成矩形零件，且，求该矩形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练利用相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据中位线的性质得到，再证明，可得三角形，利用面积之差，即可解答； （2）设，同（1）中原理表示出，再列方程，即可求得的值，即可解答． 【详解】（1）解：E 、F是中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 四边形为矩形， ， ， ， 是三角形的高， ，即 ， ， 可得方程， 解得， ， 矩形的面积为． 38．【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，，，，将直角三角形ABE绕A点逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、． 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了AC上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长BE交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接CE，求CE的长； (3)在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】(1) (2)①四边形是正方形，见解析；② (3) 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键． （1）由勾股定理得的长度，再由正方形的性质得的长度，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；②过点作于点，证，得，，再由勾股定理求解即可； （3）当点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上，即可得出答案． 【详解】（1）解：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； （2）解：①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ②过点作于点，如图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ， （3）∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转度（）， 点B、E的对应点分别为点、， ∴当时，与E重合，最短； 当落在CA的延长线上时，，最长， ∴线段长度的取值范围是． 39．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点，以点A为旋转中心，把顺时针旋转，得． (1)如图①，当旋转后满足轴时，则点C的坐标______，点D的坐标______． (2)如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标。 (3)在（2）的条件下，边OB上的一点P旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可） 【答案】(1)， (2)（） (3) 【分析】（1）作轴于H．只要证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题； （2）作轴于M．在中，求出即可解决问题； （3）连接，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，由题意，推出，根据两点之间线段最短，可知当点P与点重合时，的值最小．只要求出直线的解析式即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，过点C作轴于H， ∵，， ∴，， 由旋转的性质，可得， ∴，，， 又∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴点C的坐标为，点D的坐标； 故答案为：，； （2）如图2，过点D作轴于M， 由面积知， 在中，由勾股定理得 AB ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点D的坐标为（）； （3）如图3，连接，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接， 当点在点位置时，、、在同一条直线上，取得最小值， 由题意可得， 根据轴对称的性质可得， ∴， ∵，D的坐标为（）， ∴设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、勾股定理解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是会利用两点之间线段最短解决最短路径问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 40．如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可解决问题； （2）①作于，于，得到，然后证，则，即可证明； ②证明，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：①如图，作于，于， 正方形中，， 四边形是矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②正方形和正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，． ， ， 如图，连接， ， 是等腰直角三角形， ． 正方形的边长为． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，解本题的关键是根据题中所给条件正确作出辅助线构造全等三角形． 41．阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为________； (2)问接应用： 已知实数，满足：，且，求的值； (3)拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 【答案】(1)，，， (2)或 (3)15 【分析】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． （1）利用换元法降次解决问题； （2）分和两种情况，模仿例题解决问题即可； （3）令，，则原方程可以转化为，，再模仿例题解决问题． 【详解】（1）解：令，则有， ∴， ∴，， ∴或， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵， ∴或 ①当时，令，， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； ②当时，， 此时； 综上：或 （3）解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 42．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为______； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明与相等； 【问题解决】 （3）如图（3），在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为12，，求正方形的边长．    【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，由得到，则，即可证明结论； （3）连接，证明，得到，求出，设，则，在中，，则，求出，即可得到答案． 【详解】解：（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：． （2）在等腰中，， ． 在等腰中，， ． ， ． ． ． ， ． ． ． （3）如图③，连接， 四边形是正方形， ． 点是正方形的对称中心， ． ． ． ， ． ． ， ． 设，则， 在中，，即， 解得． ， ． 正方形的边长为． 此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 43．综合与运用 如图，在矩形中，点M从A点出发沿以的速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，? (2)当t为何值时，的面积是面积的一半? (3)当t为何值时，是以为斜边的直角三角形? 【答案】(1)1或 (2) (3)3或 【分析】本题主要考查了矩形与动点．熟练掌握矩形性质，勾股定理，三角形面积公式，是解题的关键． （1）根据矩形性质和，得到，根据勾股定理得到，得到，解得； （2）根据，，可得，，根据，得到，解得，取； （3）根据勾股定理得到，当是以为斜边的直角三角形时， ，结合，得到，解得（方法不唯一）． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故当t值为1或时，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 化简得， 解得， ∵， ∴， ∴当t值为时，的面积是面积的一半； （3）解：∵， 当是以为斜边的直角三角形时， ， ∴， 化简得， 解得， 故当t值为3或时，是以为斜边的直角三角形． 44．如图， (1)如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：； (2)如图2，在四边形中，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由； (3)如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且=，则 的值为　　　． 【答案】(1)见解析 (2)是定值， (3)3 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可证明； （2）过点作交延长线于点，首先证明四边形为矩形，易得，，再证明，由相似三角形的性质可得，然好由勾股定理解得，即可证明，即可获得答案； （3）过点作于点，交于点，作于点，证明，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，设，则，由勾股定理可得，然后由角平分线的性质定理可得，结合，可求得，证明，列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）是定值， 如下图，过点作交延长线于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值； （3）如下图，过点作于点，交于点，作于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形判定与性质、相似三角的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，综合性较强，属于压轴题，解题关键是正确作出辅助线，综合运用相似三角形的性质解决问题． 45．如图，中，，，，为中点，直角三角板的直角顶点恰在边的中点处．边分别与边相交于点两点． (1)如图1，当四边形为矩形时，求对角线的长； (2)如图2，连接，当平分时，求证：； (3)当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先证明，再由斜边中线可得，最后由矩形性质可得； （2）过作交于，交于，由角平分线的性质可得，再证明即可； （3）延长至，使，连接，，，设，则，由倍长中线模型即可得到，得到，，再由勾股定理可得，，根据，可得，，最后再根据是等腰三角形分类讨论求的值即可． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵为中点， ∴， 连接，， ∵四边形为矩形 ∴； （2）证明：过作交于，交于， ∵直角三角板， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：延长至，使，连接，，，设，则， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 在中，， 在中，， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 整理得， ∴，， ∵是等腰三角形 ∴当时，，，则； 当时，与重合，此时由可得在边之外，不符合题意； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴，，则； 综上所述，当是等腰三角形时，或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质，直角三角形斜边中线，考查的知识点比较多，难度比较大，难点在第三问，先根据倍长中线模型和勾股定理得到，． 46．如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为上一点，以为斜边向下作等腰． (1)如图，连接，交于，若垂直平分，设，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图，连接，以为顶点，在右侧作，交于点，求证：； (3)如图，连接，设与交于点，若，，点从点运动到点的过程中，当的长度取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）由垂直平分，则，，根据等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质即可求解； （）过作交延长线于点，连接，证明，，然后根据性质即可求证； （）取中点，连接，连接，过作，，分别交于点，通过全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过作交延长线于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，取中点，连接，连接，过作，，分别交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角度和差，勾股定理，三角形的外角性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 47．问题背景：如图，在正方形中，边长为4，点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． (1)探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； (2)探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； (3)拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，且，见解析； (2)； (3)． 【分析】（）由四边形是正方形，得，，证明，根据全等三角形的性质即可求证； （）连接并延长交于，连接，先证明，得，，则有，根据勾股定理求出即可； （）过点作于点，由勾股定理求出，根据等面积，得出，最后由勾股定理和线段和差即可求解． 【详解】（1）解：，且， 理由：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段和的关系为：，且； （2）解：连接并延长交于，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵正方形的边长为，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作于点， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等角对等边等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 48．【知识技能】 （1）如图1，矩形在坐标系中，，为上一动点（异于，两点），当在什么位置时，为直角三角形； 【数学理解】 （2）如图2，为上一动点（异于，两点），当满足什么条件时，使为直角三角形的点有且只有一个? 【拓展探究】 （3）如图3，点，点，为上一动点（异于A，B两点），矩形沿折叠，得点．经过点再次折叠，使点落在直线上，得点和折痕，当点恰好落在边上时，求点的坐标． 【答案】（1）当点的坐标为或时，为直角三角形；（2）；（3）点的坐标为或． 【分析】（1）设，则，证明，得到，解方程即可求解； （2）同（1）证明，得到，再根据根的判别式，列式即可求解； （3）设，则，证明，得到，过点作于，由勾股定理得出，即可求得的值． 【详解】解：（1）∵矩形，， ∴，，， 设，则， 由题意可知：当是直角三角形时，， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得，， 当点的坐标为或时，为直角三角形； （2）∵矩形，， ∴，，， 设，则， 由题意可知：当是直角三角形时，， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 当时，点有且只有一个， ， 又， ∴； （3）∵矩形，点，点， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质得， ∴， 设，则，， 过点作于点，则四边形是矩形， ，， ． 在中，由勾股定理得， ， 解得，， ∴点的坐标为或． 【点睛】此题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用． 49．【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的艾坤发现，通过证明____________，可以得到结论．请直接写出线段、、之间的数量关系_____________； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，的两边分别与菱形的边和所在直线交于点E、F（点F与点C，D不重合），当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，请直接写出的长度． 【答案】（1），，；（2）结论变为，理由见解析；（3）或 【分析】（1）由正方形，可得，，证明，则，进而可得； （2）如图2，取的中点T，连接，由四边形为的菱形，可得，，证明是等边三角形，是等边三角形，证明，则，； （3）由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解；①当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G．由（2）可知，是等边三角形，证明是等边 三角形，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，则，由（2）可知，，则，根据，求解作答；②当点P靠近点D时，同理①，求解作答即可． 【详解】（1）解：，， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：，理由如下； 如图2，取的中点T，连接， ∵四边形为的菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解； ①当点P靠近点B，与线段交于点F时，如图，过点A作于H，连接，作交于G． 由（2）可知，是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形，则， ∴，即， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴； 当点P靠近点B，与延长线交于点F时， 同理：； ②当点P靠近点D时，与线段交于点F时，如图， 同理①，可得，， ∵， ∴； 当点P靠近点D，与延长线交于点F时， 同理：； 综上所述，满足条件的的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 50．定义：如图1对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 问题解决： 如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，． （1）连接，，问，的数量关系和位置关系是什么?请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，理由见解析；（2）是；（3）； 理由见解析 【分析】（1）连接交于， 连接交于，先证明，再证明得到，再证明，得到，即可得到； （2）如图，取四边形各边中点分别为并顺次连接成四边形，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得 ，推出是菱形， 再由可得菱形是正方形，即可证得结论； （3）如图， 记的中点分别为，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论； 【详解】解：（1），理由如下； 如图所示，连接交于， 连接交于， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，； （2） 如图， 设四边形的边的中点分别为， ∵四边形各边中点分别为， ∴分别是 的中位线， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴， 又∵， ∴. ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”， 故答案为：是； （3）； 理由如下： 如图3， 记的中点分别为， 连接， ∵四边形是“中方四边形”， 分别是的中点， ∴四边形是正方形， ， ， ∵分别是的中点， ， ； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键. 51．正方形和正方形的边长分别为6和2，将正方形绕点A逆时针旋转． (1)当旋转至图1位置时，连接，，线段和有何关系？请说明理由； (2)如图2、在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，请求出线段的长． (3)在图1中，连接，，，请直接写出在旋转过程中的面积最大值； 【答案】(1)，，理由见解析 (2)或 (3)30 【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识． （1）如图1中，证明，可得结论； （2）分两种情形：如图中，当，，共线时，连接交于．如图中，当，，共线时，连接交于，利用勾股定理求出，可得结论； （3）连接，，，，，交于点，连接，过作交于，则，由可得当，最大，最后根据求解即可． 【详解】（1）结论：，，理由如下： 如图1中，设交于点，交于点， 四边形，四边形都是正方形， ，，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ； （2）解：如图中，当，，共线时，连接交于． 四边形是正方形， ， ， ， ， 如图中，当，，共线时，连接交于． 同法可得，可得， 综上所述，满足条件的的长为或； （3）解：如图1中，连接，，，，，交于点，连接，过作交于，则， 四边形，四边形都是正方形， ，，，， ，， ， ，当，，三点共线时最大， 此时由，即，此时与重合，最大， ∵ ∴当时最大，最大值为． 52．【问题初探】在四边形中，点在上，点，在，边上，连接，交于点，且． （1）如图，四边形是菱形，，求证：； 【问题再探】 （2）如图，四边形是平行四边形，，求证：； 【学以致用】 （3）如图，在四边形中，，点在上，于点，若，，，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查菱形，平行四边形，相似三角形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的运用，即可． （1）过点作交于点，沿翻折，根据菱形的性质，等边三角形的性质，则是等边三角形，得到，即沿翻折，点与点重合，根据相似三角形的判定和性质，则，，根据平行线的性质，则，作沿平移，使得点与点重合，得到线段，根据全等三角形的判定和性质，即可； （2）过点作交于点，沿翻折，点是点的对应点，连接，作沿平移，使得点与点重合，得到线段，根据平行四边形的性质，等腰三角形的性质，则，根据相似三角形的判定和性质，则，，根据等量代换，则，根据平行线的性质，则，根据相似三角形的判定和性质，则，根据线段之间的等量关系，即可； （3）过点作的平行线，延长与交于点，过点作交于点，平移使得点于点重合，得到线段，根据矩形的判定，则四边形是矩形，根据相似三角形的判定和性质，则，；设，，根据勾股定理的运用，则在直角三角形中，，在直角三角形中，，解出，，即可． 【详解】（1）证明：过点作交于点，沿翻折， ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴，即沿翻折，点与点重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为公共角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作沿平移，使得点与点重合，得到线段， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点，沿翻折，点是点的对应点，连接，作沿平移，使得点与点重合，得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是公共角， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）过点作的平行线，延长与交于点，过点作交于点，平移使得点与点重合，得到线段， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∵，， ∴在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 由的，， ∴， 解得：（舍）或； ∴，， ∴， ∴． 53．追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，请你根据（1）题方法完成（2）题解答． (1)已知：如图1，在正方形中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且，求证：四边形是正方形； (2)①如图2，在菱形中， E，F，G，H点分别是菱形四条边上的点，若．四边形是什么特殊四边形，并说明你判断的理由； ②如图3，在等腰中，交于G点，交于D点，则________． 【答案】(1)见解析； (2)①为平行四边形，见解析；②． 【分析】（1）证明，则可得四边形的四边相等，且得，从而得四边形是正方形； （2）①分别证明，，则得，得四边形是平行四边形； ②作的平分线交于H，证明，则得，，从而得；在中，由勾股定理即可求得，从而求得结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， 即， ∴四边形是正方形； （2）解：①四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形为菱形， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②如图，作的平分线交于H， 则； ∵在等腰中，， ∴，； ∵， ∴； ∵，， ∴，， ∴，； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴， ∴； 在中，，由勾股定理得， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，涉及的知识点较多，灵活运用这些知识是解题的关键． 54．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，，则的长为__________． 【答案】（1）详见解析（2）（3） 【分析】（1）设与的交点为G，利用证明，得； （2）利用两个角相等证明，得； （3）过点C作交的延长线于点H，可得四边形为矩形，再证明，得，利用已知条件即可求出的长，然后利用勾股定理求出的长，进而即可得解． 【详解】（1）设与的交点为G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图3，过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质和勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 55．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，即可得到答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，结合，代入后配方得，即可得到答案． 【详解】（1）解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为3． 故答案为：3． （2）解： （3）解：四边形面积为： 四边形面积的最大值为． 56．【他山之石】如图，已知的两边，，是中线，求的取值范围． 一茗同学说出他的思路是“倍长中线法”，思路：先将延长至E，使得，再连接、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得，在中再利用三角形边的关系先得到：，最后转化得到：． 【学以致用】如图①，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连结，． （1）探究与的关系（写出结论，不需要证明）； （2）如图②，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的关系，写出你的猜想并加以证明； 【拓展延伸】如图③，将图②中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】（1）；（2），，理由见详解；【拓展延伸】不发生变化，理由见详解 【分析】（1）延长交于点H，由题意易知，则有，然后问题可求解； （2）延长交于点M，由题意易知，则有，然后可得，进而问题可求解； 【拓展延伸】延长到H，使得，连接，由题意易证，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 延长交于点H，如图， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）延长交于点M，如图， ∵四边形和四边形都是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 拓展延伸：在（2）中得到的结论不发生变化，理由如下： 延长到H，使得，连接，如图所示： ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，点A、B、G又在一条直线上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形、菱形的性质、全等三角形的性质与判定及含30度的直角三角形的性质，熟练掌握正方形、菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 57．已知正方形，点F是射线上一动点（不与C、D重合），连接并延长交直线于点E，交于H，连接，过点C作交直线于点G． (1)若点F在边上，如图，①证明：；②猜想：的形状并说明理由． (2)取中点M，连接．若，求的长． 【答案】(1)①见解析：②等腰三角形，理由见解析 (2)14或2 【分析】（1）①根据，，得到，即可解决问题；②根据，， ，得到，得到，即可解决问题； （2）分两种情形解决问题，①当点F在线段上时，根据，证明，得到，根据，得到，得到，，得到；②当点F在线段的延长线上时，得到． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：结论：是等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∵， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①如图当点F在线段上时，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； ②当点F在线段的延长线上时，连接， 同理， 在中，， ∴． 综上所述，的长为：14或2． 【点睛】本题主要考查了正方形和三角形综合．熟练掌握正方形性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形中位线定理，分类讨论，是解决问题的关键． 58．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿线段向点运动；同时点从点出发，以 的速度沿向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设、运动时间为秒，回答下列问题： (1)求为何值时，四边形是矩形? (2)求为何值时，？ (3)是否存在的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，的值为或或． 【分析】（1）由，，可得：四边形是矩形，只需，即，即可求解； （2）根据，有两种情况：①若四边形为平行四边形，由可得方程，即可求解；②若四边形为等腰梯形，作于，于，可得四边形和四边形都是矩形，推出，，进而得到，证明可得，得到，由列方程即可求得答案； （3）分两种情况讨论：当时，过作于；当时，过作于；根据矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图： 由题意得：，， ， ，， 要使四边形是矩形，只需，即， 解得：； （2）解：若，分两种情况： ①当四边形是平行四边形时，．如图： ，即， 解得：， 即当时，四边形是平行四边形，； ②当四边形是等腰梯形时，．如图： 根据题意得：，， ， 作于，于， 又 ，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 由得：， 解得：， 时，四边形为等腰梯形，． 综上，当或时，； （3）解：存在，理由如下： ①当时，过作于，如图： ，，， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ②当时，过作于，如图： 同理可得：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 解得：或； 综上所述，存在的值，使得是以为腰的等腰三角形，的值为：或或． 【点睛】本题主要考查动点问题，涉及平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟悉平行四边形、矩形、等腰三角形的判定定理，灵活运用勾股定理，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 59．如图，在正方形中，是边上的一动点，点在边的延长线上，且，连接、． (1)求证：； (2)连接，取中点，连接并延长交于，连接． ①依题意，补全图形； ②求证：； ③若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①补全图形见解析；②见解析；③，证明见解析 【分析】（1）证，得，再证，即可得出结论； （2）①依题意，补全图形即可； ②由直角三角形斜边上的中线性质得，，即可得出结论； ③先证是等腰直角三角形，得，再证，，，得，，，然后证，得，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， 又， ∴， ， ， ， 即， ； （2）①解：依题意，补全图形如图所示： ②证明：由（1）可知，和都是直角三角形， 是的中点， ，， ； ③解：，证明如下： 由（1）可知，，， ， 是等腰直角三角形， ， 为的中点， ，，， ，，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 60．人教版数学八年级下册教材的数学活动——折纸．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为． (1)如图1，连接，直接写出； (2)在图1基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点，将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由； (3)将图1中的矩形纸片换成正方形纸片，按图1步骤折叠，并延长交于点，连接得到图3，，求的长． 【答案】(1) (2)菱形，见解析 (3) 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．理解折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， 垂直平分， ， 又再一次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为， ， 是等边三角形， ， ． （2）解：由（1）得， 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， 由折叠得，， ， 四边形是菱形． （3）解：四边形是正方形， ，， 由折叠得，，， ，， ， ， ∵， ， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】（1）依据折叠的性质可得到是等边三角形，进而得到的度数，再根据折叠的性质即可求出的度数； （2）根据是等腰三角形，利用三线合一即可得到，再判定四边形是平行四边形即可； （3）利用直角三角形中“斜边、直角边”相等证明，得到，再根据所对的直角边等于斜边的一半得出，最后根据勾股定理即可求出． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（压轴题60题） 一、单选题 1．如图，D，E分别是的边，上的点，，，，且，则的长（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．我县开展老旧小区改造，2022年投入此项工程的专项资金为1000万元，2023、2024年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（   ）． A． B． C． D． 3．已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是（   ） A．3 B．－1 C．3或1 D．－3或1 4．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若， ，则菱形的面积为（    ）    A．12 B．18 C．6 D．2 5．如图，在正方形中，是边上一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的选项是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 6．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则长（   ） A． B． C． D． 7．如图，正方形中，点E、F、G分别为边，，的中点，连接，交于点M，连接，，与交于点N，下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，已知四边形为正方形．，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④平分．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 9．如图，在正方形外取一点E，连接、、．过点A作的垂线交于点P．若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④；⑤，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 10．如图，是的高，分别以为一边， 向外作正方形和（正方形各边相等，各角相等），连接和，与的延长线交于点，下列结论正确的个数是（　　） ①； ②；③；④是的中线． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．若是关于x的方程的解，则的值为 ． 12．如图，正方形中，点分别在上，与相交于点，若，边长，则线段的长为 ． 13．把长为，宽为的长方形硬纸板，剪掉个小正方形和个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），把剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，记剪掉的小的正方形边长为，（纸板的厚度忽略不计）若折成的长方体盒子表面积为，求此时长方体盒子的体积为 ． 14．如图，在四边形中，对角线，要使四边形各边中点连线构成的四边形是正方形，只需添加一个条件是 ． 15．设和是一元二次方程的两个根，则 ； 16．如图，中，，，点P在内，且，，，则的面积为 ． 17．如图，中，，点为内一点，，若，则PC的最小值为 ． 18．如图，在中，，，，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ． 19．如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，连接交于点G，则的长为 ．    20．如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中正确的有 ． ①；②；③；④ 三、解答题 21．如图，中，点D，E，F分别在，，边上． (1)求证：； (2)设． ①若．求线段的长； ②若的面积是20，求四边形的面积． 22．已知关于的一元二次方程． (1)试证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若原方程的两根，满足，求值． 23．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)______，______，（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． (4)P，Q同时出发，直接写出为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形． 24．如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接． 【问题引入】 （1）请你在图1或图2中证明；（选择一种情况即可） 【探索发现】 （2）在（1）中你选择的图形上继续探索：延长交直线于点．将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，，延长AE至点，使，连接．直接写出的周长最小值． 25．【问题背景】 在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，________度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长． 26．如图，已知在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，设运动时间为．    (1)几秒后， 的面积等于 (2)几秒后，的长度能取得最小值，其最小值为多少？ 27．关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的根． (2)求证：方程总有两个不相等的实数根； (3)若方程有一个根是3，求它的另一个根和的值． 28．【阅读材料】请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，．当时，，，此方程无实数根． 原方程的根为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请用上述方法解下列方程： (1) (2) 29．阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1） ∵ ∴ ∴代数式的最小值为； （2） ∵ ∴ ∴代数式的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为______； （2）已知；，请比较与的大小，并说明理由； 【拓展提高】 （3）薛城区某学校打算把长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 30．【问题背景】 如图，在 中， ，，，点 P从点A 开始沿边向点 B 以 的速度运动，点Q 同时从点B 开始沿边向点C 以的速度运动，设运动时间为． 【构建联系】 （1）点Q，P出发几秒后， 的面积等于? （2）的面积能否等于 ?请说明理由． 【深入探究】 （3）当t为何值时， ? 31．为解方程，我们可以将看成一个整体，然后设，则原方程可化为①， 解得，．当时，．，， 当时，，，， 原方程的根为，，， (1)在由原方程得到方程①的解题过程中，利用______法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想． (2)请利用以上方法解方程： ①； ②． 32．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 33．已知如图，点D是外一点，，． (1)如图（1），若，，求证：； (2)如图（2），若，，，，求证：； (3)如图（3），若，，，，则__________． 34．某商店以40元千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)根据图象求与的函数关系式（不用写的取值范围）； (2)商店想使这批茶叶的销售利润为元，销售单价应定为多少． 35．某网商平台国庆期间从某公司以元一盆的价格采购了一批盆栽，以每盆元的价格售出，第一天销售了盆．该商品十分畅销，在售价不变的基础上，第三天销售量就达到了盆． (1)求第二、三两天每天销售量的平均增长率． (2)国庆假期临近结束时，盆栽还有较多剩余，为了尽快减少库存，网商平台打算降价销售．经调查发现，每降价元，在第三天销售量的基础上每天可以多售出盆，降价多少元时，每天可获得的利润为元？ 36．如图1，为等腰直角三角形，是边上的一个动点（点F与A、C不重合），以为一边在等腰直角三角形外作正方形，连接． (1)①猜想图1中线段的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②将图1中的正方形，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形．图2中交于点H，交于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断． (2)将原题中的等腰直角三角形改为直角三角形，正方形改为矩形，如图4，且，交于点H，交于点O，连接，求的值． 37．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)若E 、F是中点 求四边形的面积； (2)如果把它加工成矩形零件，且，求该矩形面积． 38．【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，，，，将直角三角形ABE绕A点逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、． 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了AC上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长BE交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接CE，求CE的长； (3)在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 39．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点，以点A为旋转中心，把顺时针旋转，得． (1)如图①，当旋转后满足轴时，则点C的坐标______，点D的坐标______． (2)如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标。 (3)在（2）的条件下，边OB上的一点P旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可） 40．如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 41．阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为________； (2)问接应用： 已知实数，满足：，且，求的值； (3)拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 42．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为______； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明与相等； 【问题解决】 （3）如图（3），在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为12，，求正方形的边长．    43．综合与运用 如图，在矩形中，点M从A点出发沿以的速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，? (2)当t为何值时，的面积是面积的一半? (3)当t为何值时，是以为斜边的直角三角形? 44．如图， (1)如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：； (2)如图2，在四边形中，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由； (3)如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且=，则 的值为　　　． 45．如图，中，，，，为中点，直角三角板的直角顶点恰在边的中点处．边分别与边相交于点两点． (1)如图1，当四边形为矩形时，求对角线的长； (2)如图2，连接，当平分时，求证：； (3)当是等腰三角形时，求的值． 46．如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为上一点，以为斜边向下作等腰． (1)如图，连接，交于，若垂直平分，设，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图，连接，以为顶点，在右侧作，交于点，求证：； (3)如图，连接，设与交于点，若，，点从点运动到点的过程中，当的长度取得最小值时，请直接写出的面积． 47．问题背景：如图，在正方形中，边长为4，点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． (1)探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； (2)探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； (3)拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 48．【知识技能】 （1）如图1，矩形在坐标系中，，为上一动点（异于，两点），当在什么位置时，为直角三角形； 【数学理解】 （2）如图2，为上一动点（异于，两点），当满足什么条件时，使为直角三角形的点有且只有一个? 【拓展探究】 （3）如图3，点，点，为上一动点（异于A，B两点），矩形沿折叠，得点．经过点再次折叠，使点落在直线上，得点和折痕，当点恰好落在边上时，求点的坐标． 49．【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的艾坤发现，通过证明____________，可以得到结论．请直接写出线段、、之间的数量关系_____________； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，的两边分别与菱形的边和所在直线交于点E、F（点F与点C，D不重合），当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，请直接写出的长度． 50．定义：如图1对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 问题解决： 如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，． （1）连接，，问，的数量关系和位置关系是什么?请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 51．正方形和正方形的边长分别为6和2，将正方形绕点A逆时针旋转． (1)当旋转至图1位置时，连接，，线段和有何关系？请说明理由； (2)如图2、在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，请求出线段的长． (3)在图1中，连接，，，请直接写出在旋转过程中的面积最大值； 52．【问题初探】在四边形中，点在上，点，在，边上，连接，交于点，且． （1）如图，四边形是菱形，，求证：； 【问题再探】 （2）如图，四边形是平行四边形，，求证：； 【学以致用】 （3）如图，在四边形中，，点在上，于点，若，，，求的值． 53．追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，请你根据（1）题方法完成（2）题解答． (1)已知：如图1，在正方形中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且，求证：四边形是正方形； (2)①如图2，在菱形中， E，F，G，H点分别是菱形四条边上的点，若．四边形是什么特殊四边形，并说明你判断的理由； ②如图3，在等腰中，交于G点，交于D点，则________． 54．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，，则的长为__________． 55．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 56．【他山之石】如图，已知的两边，，是中线，求的取值范围． 一茗同学说出他的思路是“倍长中线法”，思路：先将延长至E，使得，再连接、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得，在中再利用三角形边的关系先得到：，最后转化得到：． 【学以致用】如图①，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连结，． （1）探究与的关系（写出结论，不需要证明）； （2）如图②，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的关系，写出你的猜想并加以证明； 【拓展延伸】如图③，将图②中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 57．已知正方形，点F是射线上一动点（不与C、D重合），连接并延长交直线于点E，交于H，连接，过点C作交直线于点G． (1)若点F在边上，如图，①证明：；②猜想：的形状并说明理由． (2)取中点M，连接．若，求的长． 58．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿线段向点运动；同时点从点出发，以 的速度沿向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设、运动时间为秒，回答下列问题： (1)求为何值时，四边形是矩形? (2)求为何值时，？ (3)是否存在的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 59．如图，在正方形中，是边上的一动点，点在边的延长线上，且，连接、． (1)求证：； (2)连接，取中点，连接并延长交于，连接． ①依题意，补全图形； ②求证：； ③若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． 60．人教版数学八年级下册教材的数学活动——折纸．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为． (1)如图1，连接，直接写出； (2)在图1基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点，将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由； (3)将图1中的矩形纸片换成正方形纸片，按图1步骤折叠，并延长交于点，连接得到图3，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$