期中复习（易错题60题28个考点）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

期中复习（易错题60题28个考点） 一．一元二次方程的定义（共1小题） 1．如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对 二．一元二次方程的一般形式（共2小题） 2．把一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（　　） A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3x D．﹣2，﹣3x 3．把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　） A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10 三．一元二次方程的解（共2小题） 4．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．22 D．30 5．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣c＝0的解，则﹣4b+2c＝（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 四．解一元二次方程-配方法（共1小题） 6．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝5 五．解一元二次方程-因式分解法（共1小题） 7．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　） A．11 B．12 C．11或12 D．15 六．根的判别式（共3小题） 8．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥﹣ B．k＞﹣ C．k≥﹣且k≠0 D．k＜﹣ 9．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　） A．34 B．30 C．30或34 D．30或36 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 七．根与系数的关系（共3小题） 11．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，且+＝4，则﹣x1x2+的值是　 　． 12．方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且，则m＝　 　． 13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0 （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若该方程只有一个小于4的根，求m的取值范围； （3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12+x22﹣4，判断动点P（m，n）所形成的数图象是否经过点A（﹣5，9），并说明理由． 八．由实际问题抽象出一元二次方程（共3小题） 14．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 15．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10 16．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x各队参赛，可列出的方程为　 　． 九．一元二次方程的应用（共5小题） 17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，动点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿边AC向点C运动，同时动点Q从点C开始，以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A的折线在CB、BA边上向点A运动，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ．在运动过程中（Q点在C、B、A三点除外），线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形，若四边形的面积为三角形面积的2倍，则运动的时间为　 　秒． 18．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有 　 　人患有流感． 19．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降1元，每月能售出 　 　个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出 　 　个台灯． （2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价． （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 20．甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 21．某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米．已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为a米． （1）求与墙平行的一边长为多少米？（用含a的代数式表示） （2）当a＝10时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 一十．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 22．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝+b与图象G交于点B，与y轴交于点C． （1）求k的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W． ①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数； ②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围． 一十一．反比例函数综合题（共1小题） 23．【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，‘数’说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考查测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考查测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4m，则AB＝　 　m； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当CD＜2AB时（如图1），线段CD能通过直角弯道； ②当CD＝2AB时，必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况，线段CD恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，∠ADC的度数是 　 　； ③当CD＞2AB时，线段CD不能通过直角弯道． （3）如图3，创新小组用矩形PQMN模拟汽车通过宽均为4m的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形PQMN恰好不能通过该弯道．若PQ＝a m，PN＝2m，且矩形PQMN能通过该直角弯道，求a的最大整数值． 任务三：成果迁移 （4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y＝（x＞0）的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线OA上，两边分别与x轴，y轴平行，OA＝2m，AB＝4m．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为b m，宽为2m的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为 　 　．（参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2，≈2.6） 一十二．直角三角形斜边上的中线（共1小题） 24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为　 　． 一十三．菱形的性质（共1小题） 25．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　） A．逐渐增加 B．逐渐减小 C．保持不变且与EF的长度相等 D．保持不变且与AB的长度相等 一十四．菱形的判定与性质（共1小题） 26．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长． 一十五．矩形的性质（共4小题） 27．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 28．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3） 29．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（　　） A．2﹣2 B．2+2 C．2﹣2 D． 30．如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（　　） A． B．3 C． D． 一十六．矩形的判定（共1小题） 31．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． （1）求证：AF与DE互相平分； （2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． 一十七．正方形的性质（共8小题） 32．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　） A．75° B．60° C．54° D．67.5° 33．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A． cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2 34．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（　　） A．1 B． C． D．2 35．如图，已知CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，得出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 36．如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为（　　） A． B． C． D． 37．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　． 38．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线一点，对角线BD与AC交于点O，以线段AG为边作一个正方形AEFG，连接EB、GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若AB＝5，AG＝2，求EB的长． 39．如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF； （2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 一十八．轴对称-最短路线问题（共1小题） 40．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连 接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 一十九．平行线分线段成比例（共3小题） 41．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 42．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则EF的长是（　　） A． B． C．6 D．10 43．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　 　． 二十．相似三角形的判定（共3小题） 44．如图，△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动的时间为t（s），当t＝　 　s时△APR∽△PRQ． 45．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE； （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长； （3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由． 46．△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝6，AC＝8，点D是AC上的一点，点E是BD上一点． （1）如图（1），若点D在AB的垂直平分线上，求CD的长． （2）如图（2），连接AE，若AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，求点E到AC的距离． （3）若点E到三角形两边的距离均为1.5，求CD的长．（直接写出答案）． 二十一．相似三角形的判定与性质（共7小题） 47．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 48．如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE＝3，则DF的长为（　　） A．2 B． C． D． 49．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH＝DC．若AB＝15，BC＝16，则图中阴影部分面积是（　　） A．40 B．60 C．80 D．70 50．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　） A．16 B．17 C．24 D．25 51．如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝10cm2，S△BQC＝15cm2，则阴影部分的面积为　 　cm2． 52．如图1，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB＝∠ACB+90°． （1）求证：∠CAD+∠CBD＝90°； （2）如图2，过点B作BE⊥BD，BE＝BD，连接EC，若AC•BD＝AD•BC， ①求证：△ACD∽△BCE； ②求的值． 53．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF， （1）若AD2＝BD•DC， ①求证：∠BAC＝90°． ②AB＝4，DC＝6，求EF． （2）如图2，若AD＝4，BD＝2，DC＝4，求EF． 二十二．相似三角形的应用（共1小题） 54．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（　　） A．2 B．3 C． D． 二十三．位似变换（共1小题） 55．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（2，） B．（1，2） C．（4，8）或（﹣4，﹣8） D．（1，2）或（﹣1，﹣2） 二十四．简单组合体的三视图（共1小题） 56．如图是某兴趣社制作的模型，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 二十五．由三视图判断几何体（共1小题） 57．一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有　 　种． 二十六．平行投影（共1小题） 58．三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（　　） A．B． C．D． 二十七．列表法与树状图法（共1小题） 59．如图，有A、B、C三类长方形（或正方形）卡片（a＞b），其中甲同学持有A、B类卡片各一张，乙同学持有B、C类卡片各一张，丙同学持有A、C类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是　 　． 二十八．利用频率估计概率（共1小题） 60．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果 下面有三个推断： ①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①② D．①③ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（易错题60题28个考点） 一．一元二次方程的定义（共1小题） 1．如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对 【答案】C 【解答】解：由一元二次方程的定义可知， 解得m＝﹣3． 故选：C． 二．一元二次方程的一般形式（共2小题） 2．把一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（　　） A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3x D．﹣2，﹣3x 【答案】C 【解答】解：一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4， 去括号得：2x2﹣2x＝x﹣3+4， 移项，合并同类项得：2x2﹣3x﹣1＝0， 其二次项系数与一次项分别是2，﹣3x． 故选：C． 3．把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　） A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10 【答案】D 【解答】解：x2+2x＝5（x﹣2）， x2+2x＝5x﹣10， x2+2x﹣5x+10＝0， x2﹣3x+10＝0， 则a＝1，b＝﹣3，c＝10， 故选：D． 三．一元二次方程的解（共2小题） 4．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．22 D．30 【答案】D 【解答】解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根， ∴α+β＝2，α2﹣2α﹣4＝0， ∴α2＝2α+4 ∴α3+8β+6＝α•α2+8β+6 ＝α•（2α+4）+8β+6 ＝2α2+4α+8β+6 ＝2（2α+4）+4α+8β+6 ＝8α+8β+14 ＝8（α+β）+14＝30， 故选：D． 5．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣c＝0的解，则﹣4b+2c＝（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 【答案】A 【解答】解：由题意得： 把x＝2代入方程x2+bx﹣c＝0中， 22+2b﹣c＝0， ∴2b﹣c＝﹣4， ∴﹣4b+2c＝﹣2（2b﹣c） ＝﹣2×（﹣4） ＝8， 故选：A． 四．解一元二次方程-配方法（共1小题） 6．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝5 【答案】A 【解答】解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4， 配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13， 故选：A． 五．解一元二次方程-因式分解法（共1小题） 7．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　） A．11 B．12 C．11或12 D．15 【答案】C 【解答】解：x2﹣5x+6＝0， （x﹣2）（x﹣3）＝0， x﹣2＝0，x﹣3＝0， x1＝2，x2＝3， 根据三角形的三边关系定理，第三边是2或3都行， ①当第三边是2时，三角形的周长为2+4+5＝11； ②当第三边是3时，三角形的周长为3+4+5＝12； 故选：C． 六．根的判别式（共3小题） 8．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥﹣ B．k＞﹣ C．k≥﹣且k≠0 D．k＜﹣ 【答案】A 【解答】解：（1）当k＝0时，x﹣1＝0，解得：x＝1； （2）当k≠0时，此方程是一元二次方程， ∵关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实根， ∴Δ＝（2k+1）2﹣4k×（k﹣1）≥0， 解得k≥﹣， 由（1）和（2）得，k的取值范围是k≥﹣． 故选：A． 9．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　） A．34 B．30 C．30或34 D．30或36 【答案】A 【解答】解：当a＝4时，b＜8， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴4+b＝12， ∴b＝8不符合； 当b＝4时，a＜8， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴4+a＝12， ∴a＝8不符合； 当a＝b时， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴12＝2a＝2b， ∴a＝b＝6， ∴m+2＝36， ∴m＝34； 故选：A． 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2） ＝4+12m2＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∵αβ＝﹣3m2， ∴﹣3m2＝﹣3， ∴m＝±1， ∴m的值为±1． 七．根与系数的关系（共3小题） 11．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，且+＝4，则﹣x1x2+的值是　4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2， ∴x1+x2＝2k，x1•x2＝k2﹣k， ∵+＝4， ∴＝4， （2k）2﹣2（k2﹣k）＝4， 2k2+2k﹣4＝0， k2+k﹣2＝0， k＝﹣2或1， ∵Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0， k≥0， ∴k＝1， ∴x1•x2＝k2﹣k＝0， ∴﹣x1x2+＝4﹣0＝4． 故答案为：4． 12．方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且，则m＝　﹣3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2， ∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）≥0， m2+4＞0， 由题意得：x1•x2＝﹣1；x1+x2＝﹣m， ∵， ∴＝﹣3， ＝﹣3，m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0 （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若该方程只有一个小于4的根，求m的取值范围； （3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12+x22﹣4，判断动点P（m，n）所形成的数图象是否经过点A（﹣5，9），并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+4）]2﹣4（2m+4）＝m2≥0， ∴该一元二次方程总有两个实数根； （2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0 ∴a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m+4 ∴由一元二次方程的求根公式得：x＝＝ ∴x1＝m+2，x2＝2 ∵该方程只有一个小于4的根 ∴m+2≥4 ∴m≥2； （3）由韦达定理得：x1+x2＝m+4，x1x2＝2m+4 ∴n＝x12+x22﹣4 ＝﹣2x1x2﹣4 ＝（m+4）2﹣2（2m+4）﹣4 ＝m2+4m+4 ∴动点P（m，n）可表示为（m，m2+4m+4） ∴当m＝﹣5时，m2+4m+4＝25﹣20+4＝9 ∴动点P（m，n）所形成的数图象经过点A（﹣5，9）． 八．由实际问题抽象出一元二次方程（共3小题） 14．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 【答案】B 【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2， ∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182． 故选：B． 15．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10 【答案】B 【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）； 依题意，可列方程为：＝10； 故选：B． 16．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x各队参赛，可列出的方程为　x（x﹣1）＝28　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：x（x﹣1）＝28． 故答案为：x（x﹣1）＝28． 九．一元二次方程的应用（共5小题） 17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，动点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿边AC向点C运动，同时动点Q从点C开始，以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A的折线在CB、BA边上向点A运动，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ．在运动过程中（Q点在C、B、A三点除外），线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形，若四边形的面积为三角形面积的2倍，则运动的时间为　4﹣或4+2　秒． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC＝10 设运动的时间为t，则AP＝t，点Q所走的路程为2t， 1）当点Q在BC线段上运动时，0＜t＜5， 如图所示，过点Q作QG⊥AC，交AC于点G， 则sinC＝＝ ∴QG＝×2t＝ ∵S△ABC＝6×8÷2＝24 若四边形的面积为三角形面积的2倍，则S△PQC＝24×＝8 ∴（8﹣t）×÷2＝8 化简得3t2﹣24t+40＝0 解得t1＝4﹣，t2＝4+（舍） 2）当点Q在BA线段上运动时，5＜t＜8， 如图所示， S△APQ＝AP•AQ＝t（10+6﹣2t）＝8 化简得：t2﹣8t+8＝0 解得t3＝4﹣2（舍），t4＝4+2． 故答案为：4﹣或4+2． 18．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有 　512　人患有流感． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人， 1+x+x（x+1）＝64 x＝7或x＝﹣9（舍去）． 64+64×7＝512（人）． 经过第三轮后，共有512人患有流感． 故答案为：512． 19．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降1元，每月能售出 　800　个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出 　（600+200x）　个台灯． （2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价． （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）若售价下降1元，每月能售出：600+200＝800（个）， 若售价下降x元（x＞0），每月能售出（600+200x）个． 故答案为800，（600+200x） （2）（40﹣30﹣x）（600+200x）＝8400 整理，得 x2﹣7x+12＝0 解得x1＝3，x2＝4， 因为库存1210个，降价3元或4元获利恰好为8400元， 但是实际销量要够卖，需小于等于1210个， 当x＝4时，1400＞1210（舍去） 当x＝3时，1200＜1210，可取， 所以售价为37元 答：每个台灯的售价为37元． （3）月获利不能达到9600元，理由如下： （40﹣30﹣x）（600+200x）＝9600 整理，得 x2﹣7x+18＝0 ∵Δ＝49﹣72＝﹣23＜0 方程无实数根． 答：月获利不能达到9600元． 20．甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得 x（x+1）+x+1＝81， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（舍去）， 81+81×8 ＝81+648 ＝729（人）． 故每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感． 21．某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米．已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为a米． （1）求与墙平行的一边长为多少米？（用含a的代数式表示） （2）当a＝10时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）车棚与墙平行的一边长（28﹣2a）米； （2）小路的宽为1米． 【解答】（1）解：由题意得：（26+2）﹣2a＝（28﹣2a）米， ∴车棚与墙平行的一边长（28﹣2a）米； （2）解：当a＝10时，28﹣2a＝28﹣2×10＝28﹣20＝8（米）， 设小路的宽为x米， 由题意得：（10﹣x）（8﹣2x）＝54， 整理得：x2﹣14x+13＝0， 解得：x1＝13＞10（舍去），x2＝1， 答：小路的宽为1米． 一十．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 22．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝+b与图象G交于点B，与y轴交于点C． （1）求k的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W． ①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数； ②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把A（4，1）代入y＝得k＝4×1＝4； （2）①当b＝﹣1时，直线解析式为y＝x﹣1， 解方程＝x﹣1得x1＝2﹣2（舍去），x2＝2+2，则B（2+2，）， 而C（0，﹣1）， 如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个； ②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y＝+b过（1，﹣1）时，b＝﹣， 且经过（5，0）， ∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1． 如图3，直线l在OA的上方时， ∵点（2，2）在函数y＝（x＞0）的图象G， 当直线l：y＝+b过（1，2）时，b＝， 当直线l：y＝+b过（1，3）时，b＝， ∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤． 综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤． 一十一．反比例函数综合题（共1小题） 23．【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，‘数’说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考查测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考查测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4m，则AB＝　4　m； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当CD＜2AB时（如图1），线段CD能通过直角弯道； ②当CD＝2AB时，必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况，线段CD恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，∠ADC的度数是 　45°　； ③当CD＞2AB时，线段CD不能通过直角弯道． （3）如图3，创新小组用矩形PQMN模拟汽车通过宽均为4m的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形PQMN恰好不能通过该弯道．若PQ＝a m，PN＝2m，且矩形PQMN能通过该直角弯道，求a的最大整数值． 任务三：成果迁移 （4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y＝（x＞0）的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线OA上，两边分别与x轴，y轴平行，OA＝2m，AB＝4m．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为b m，宽为2m的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为 　10　．（参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2，≈2.6） 【答案】（1）4； （2）45°； （3）7； （4）10． 【解答】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点B′，则BB′⊥AB′， ∴AB′＝BB′＝4， ∴AB＝＝4， 故答案为：4； （2）由图形可知△ACD是等腰直角三角形，则∠ADC＝45°， 故答案为：45°； （3）解法一、如图3（1），设AB与MN相交于点G，根据题意得：∠ANM＝∠NAG＝45°， ∴∠AGN＝∠AGM＝90°， 又∵AG＝AG，∠MAG＝∠NAG＝45°， ∴△AGM≌△AGN（ASA）， ∴GM＝GN， ∴MN＝2AG， 又∵AB＝4，NP＝BG＝2， ∴MN＝2AG＝2（AB﹣BG）＝8﹣4 ∵≈1.4， ∴8﹣4＝7.2， ∴根据实际情况可得：a的最大整数值为7． 解法二：如图3（2），设直线PQ分别与直线AM，AN相交于点I，H， 根据题意得： ∵NPQM为矩形， ∴PQ∥MN， ∴∠IHA＝∠MNA＝45°， 又∵∠MAN＝90°， ∴IH＝2AB＝8，IQ＝MQ＝2，PH＝PN＝2， ∴PQ＝HI﹣IQ﹣PH＝8﹣4， ∵≈1.4， ∴8﹣4＝7.2， ∴根据实际情况可得：a的最大整数值为7m． （4）如图4，过点A作AA′⊥x轴于点A′， 由勾股定理可得OA′＝AA′＝， ∴A（，）， ∴反比例函数的解析式为y＝； 设直线AB与MN的交点为P，则BP＝2， 过点P作PP′⊥x轴于点P′，则OP＝OA+AP＝BP+AP＝AB＝4， ∴PP′＝OP′＝4， ∴P（4，4）， ∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+8； 令＝﹣x+8， 解得x＝4±， ∴M（4﹣，4+），N（4+，4﹣， ∴MN＝＝， ∵10＜＜11， ∴b＝MN的最大整数值为10． 故答案为：10． 一十二．直角三角形斜边上的中线（共1小题） 24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为　　． 【答案】． 【解答】解：如图，连接DM，DN， 由图可以得到M的轨迹是一条线段（AD的垂直平分线的一部分）， M在AN上的时候最大（此时AM最大，MN最小）， 当M在AN上时，如图， 设AM＝x，则MN＝3﹣x，DM＝AM＝x， ∵D、N分别是BC、AC的中点， ∴DN＝AB＝， 在直角三角形DMN中，根据勾股定理，得 DM2＝DN2+MN2， ∴x2＝（3﹣x）2+2.52， 解得x＝， ∴3﹣x＝， 此时AM﹣MN＝﹣＝． ∴AM﹣MN的最大值为． 故答案为：． 一十三．菱形的性质（共1小题） 25．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　） A．逐渐增加 B．逐渐减小 C．保持不变且与EF的长度相等 D．保持不变且与AB的长度相等 【答案】D 【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD， ∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝BD，∠ABD＝60°， ∵DC∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD＝60°， ∴∠A＝∠CDB， ∵∠EBF＝60°， ∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF， ∴∠ABE＝∠DBF， 在△ABE和△DBF中， ， ∴△ABE≌△DBF（ASA）， ∴AE＝DF， ∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB， 故选：D． 一十四．菱形的判定与性质（共1小题） 26．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）AC的长为10． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴△FAE≌△CDE（AAS）， ∴AF＝CD， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴AF＝BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝BD＝BC， ∴四边形ADBF是菱形； （2）解：∵四边形ADBF是菱形， ∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积， ∵点D是BC的中点， ∴△ABC的面积＝2△ABD的面积， ∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40， ∴AB•AC＝40， ∴×8•AC＝40， ∴AC＝10， ∴AC的长为10． 一十五．矩形的性质（共4小题） 27．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵AB＝6，BC＝8， ∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10， ∴AO＝DO＝AC＝5， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF， ∴12＝×5×EO+×5×EF， ∴5（EO+EF）＝24， ∴EO+EF＝， 故选：C． 28．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3） 【答案】D 【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°， ∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a； ①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得： CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9， 在Rt△MPA中，由勾股定理得： MP2＝MA2+AP2＝1+a2， 在Rt△MPC中，由勾股定理得： CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26， 又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20， ∴2a2﹣8a+26＝20， ∴（a﹣3）（a﹣1）＝0， 解得：a＝3或a＝1， ∴P（3，3）或（3，1）； ②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得： CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9， 在Rt△MPA中，由勾股定理得： MP2＝MA2+AP2＝1+a2， ∵CM2＝OM2+OC2＝20， 在Rt△MCP中，由勾股定理得： CM2+MP2＝CP2， ∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9， 解得：a＝． ∴P（3，）． 综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）． 故选：D． 29．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（　　） A．2﹣2 B．2+2 C．2﹣2 D． 【答案】B 【解答】解：取AB中点E，连接OE、DE、OD， ∵∠MON＝90°， ∴OE＝AB＝2． 在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE＝2． 在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD， ∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE＝2+2． 故选：B． 30．如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意，连接BM，记BD与MN交于点O． ∵线段MN垂直平分BD， ∴BO＝DO，BM＝DM． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC． ∴∠MDO＝∠NBO． 又∠DOM＝∠BON， ∴△DMO≌△BNO（ASA）． ∴DM＝BN＝BM＝2． 在Rt△BAM中， ∴AB＝＝． ∴在Rt△BAD中可得，BD＝＝2． 故选：A． 一十六．矩形的判定（共1小题） 31．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． （1）求证：AF与DE互相平分； （2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵点D是AB的中点， ∴AD＝AB， ∵点E是AC的中点，点F是BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，EF＝AB， ∴EF＝AD， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴AF与DE互相平分； （2）解：当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形， 理由：∵线段DE为△ABC的中位线， ∴DE＝BC， ∵AF＝BC， ∴AF＝DE， 由（1）得：四边形ADFE是平行四边形， ∴四边形ADFE为矩形． 一十七．正方形的性质（共8小题） 32．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　） A．75° B．60° C．54° D．67.5° 【答案】B 【解答】解：如图，连接BD， ∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，BC＝EC， ∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝15° ∵∠BCM＝∠BCD＝45°， ∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°， ∴∠AMB＝180°﹣∠BMC＝60° ∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上， ∴∠AMD＝∠AMB＝60° 故选：B． 33．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A． cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2 【答案】B 【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是， 5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4， n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝． 故选：B． 34．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠FBC＝∠DCE＝90°，CD＝BC＝3， Rt△DCE中，∠CDE＝30°， ∴CE＝DE， 设CE＝x，则DE＝2x， 根据勾股定理得：DC2+CE2＝DE2， 即32+x2＝（2x）2， 解得：x＝±（负值舍去）， ∴CE＝， ∵DE⊥CF， ∴∠DOC＝90°， ∴∠DCO＝60°， ∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°＝∠CDE， ∵∠DCE＝∠CBF，CD＝BC， ∴△DCE≌△CBF（ASA）， ∴BF＝CE＝． 故选：C． 35．如图，已知CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，得出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：∵四边形ADEF为正方形， ∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF， ∴∠CAD+∠FAG＝90°， ∵FG⊥CA， ∴∠GAF+∠AFG＝90°， ∴∠CAD＝∠AFG， 在△FGA和△ACD中， ， ∴△FGA≌△ACD（AAS）， ∴AC＝FG，故①正确； ∵BC＝AC， ∴FG＝BC， ∵∠ACB＝90°，FG⊥CA， ∴FG∥BC， ∴四边形CBFG是矩形， ∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FB•FG＝S四边形CBFG，故②正确； ∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°， ∴∠ABC＝∠ABF＝45°，故③正确； ∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°， ∴△ACD∽△FEQ， ∴AC：AD＝FE：FQ， ∴AD•FE＝AD2＝FQ•AC，故④正确； 故选：D． 36．如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图所示，过D作DN⊥CF于点N，作DP⊥HM于点P，过点F作FQ⊥HM，交HM的延长线于点Q， ∵∠ACB＝120°，∠ACF＝∠BCD＝90°， ∴∠DCN＝60°，∠CDN＝30°， 又∵BC＝DC＝2，AC＝FC＝3， ∴CN＝CD＝1，FN＝CF﹣CN＝3﹣1＝2，DN＝＝， Rt△DFN中，DF＝＝＝． ∵四边形BCDE是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， 又∵CH⊥AB， ∴∠DCP+∠BCH＝∠CBH+∠BCH＝90°， ∴∠DCP＝∠CBH， 又∵∠DPC＝∠BHC＝90°， ∴△DCP≌△CBH（AAS）， ∴DP＝CH， 同理可得△ACH≌△CFQ， ∴FQ＝CH， ∴FQ＝DP， 又∵∠Q＝∠DPM＝90°，∠FMQ＝∠DMP， ∴△FQM≌△DPM（AAS）， ∴FM＝DM，即M是FD的中点， ∴DM＝DF＝． 故选：A． 37．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　+3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为×9＝6， ∴空白部分的面积为9﹣6＝3， 由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝， ∠CBE＝∠DCF， ∵∠DCF+∠BCG＝90°， ∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°， 设BG＝a，CG＝b，则ab＝， 又∵a2+b2＝32， ∴a2+2ab+b2＝9+6＝15， 即（a+b）2＝15， ∴a+b＝，即BG+CG＝， ∴△BCG的周长＝+3， 故答案为：+3． 38．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线一点，对角线BD与AC交于点O，以线段AG为边作一个正方形AEFG，连接EB、GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若AB＝5，AG＝2，求EB的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD， ∴∠GAD＝∠EAB， 在△GAD和△EAB中， ， ∴△GAD≌△EAB， ∴EB＝GD； （2）∵四边形ABCD是正方形，AB＝5， ∴BD⊥AC，AC＝BD＝5， ∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝， ∵AG＝2， ∴OG＝OA+AG＝， 由勾股定理得，GD＝＝， ∴EB＝． 39．如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF； （2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示 ∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF； ∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90° ∴∠1＝∠2， ∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°， ∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE， 在△AHE和△ECF中， ， ∴△AHE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF； （2）解：AE＝EF成立， 理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE， ∵∠AEF＝90°， ∴∠FEG+∠AEB＝90°． ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠FEG， ∴∠MAE＝∠CEF． ∵AB＝BC， ∴AB+AM＝BC+CE， 即BM＝BE． ∴∠M＝45°， ∴∠M＝∠FCE． 在△AME与△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF． （3）存在， 理由如下：如图3，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EF，连接ME、DF， 在△ADM与△BAE中， ， ∴△ADM≌△BAE（ASA）， ∴DM＝AE， 由（2）AE＝EF， ∴DM＝EF， ∴四边形DMEF为平行四边形． 一十八．轴对称-最短路线问题（共1小题） 40．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连 接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【解答】解：如图，连接BP， 在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC， ∵AP＝CQ， ∴AD﹣AP＝BC﹣CQ， ∴DP＝QB，DP∥BQ， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴PB∥DQ，PB＝DQ， 则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值， 在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB＝PE， ∴PC+PB＝PC+PE， 连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE， ∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5， ∴CE＝＝13． ∴PC+PB的最小值为13． 故选：D． 一十九．平行线分线段成比例（共3小题） 41．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵AG＝2，GB＝1， ∴AB＝AG+BG＝3， ∵直线l1∥l2∥l3， ∴＝， 故选：D． 42．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则EF的长是（　　） A． B． C．6 D．10 【答案】C 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， 即， 解得：EF＝6． 故选：C． 43．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　2：1　． 【答案】2：1． 【解答】解：∵点O是线段AG的中点， ∴OA＝OG＝AG， ∵DE∥BC，AD：DB＝3：1， ∴＝＝＝，＝＝， ∴OH＝OG﹣HG＝AG﹣AG＝AG， ∴AO：OH＝（AG）：（AG）＝2：1， 故答案为：2：1． 二十．相似三角形的判定（共3小题） 44．如图，△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动的时间为t（s），当t＝　1.2　s时△APR∽△PRQ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△ABC是边长为6cm等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60° ∵QR∥BA ∴∠CRQ＝∠A＝60°，∠CQR＝∠B＝60° ∴△CRQ为等边三角形 ∵点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s ∴AP＝t，PB＝6﹣t，BQ＝2t，CQ＝CR＝RQ＝6﹣2t，AR＝2t ∵QR∥BA ∴∠QRP＝∠APR 若要△APR∽△PRQ，则需满足∠RPQ＝60° ∴∠BPQ+∠APR＝120°，∠ARP+∠APR＝120° ∴∠BPQ＝∠ARP 又∵∠A＝∠B ∴△APR∽△BQP ∴＝ ∴＝ 解得t＝1.2 故答案为1.2． 45．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE； （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长； （3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°， ∵AE⊥DE， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠DEC＝∠BAE， ∴△ABE∽△ECD； （2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5， ∴BE＝3， ∵BC＝5， ∴EC＝5﹣3＝2， 由（1）得：△ABE∽△ECD， ∴， ∴， ∴CD＝； （3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD＝AB+CD； 理由是：过E作EF⊥AD于F， ∵△AED∽△ECD， ∴∠EAD＝∠DEC， ∵∠AED＝∠C， ∴∠ADE＝∠EDC， ∵DC⊥BC， ∴EF＝EC， ∵DE＝DE， ∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）， ∴DF＝DC， 同理可得：△ABE≌△AFE， ∴AF＝AB， ∴AD＝AF+DF＝AB+CD． 46．△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝6，AC＝8，点D是AC上的一点，点E是BD上一点． （1）如图（1），若点D在AB的垂直平分线上，求CD的长． （2）如图（2），连接AE，若AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，求点E到AC的距离． （3）若点E到三角形两边的距离均为1.5，求CD的长．（直接写出答案）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∠ACB＝90°，CB＝6，AC＝8， ∴AB＝＝10． （1）如图1所示， ∵点D在AB的垂直平分线上， 设AB的垂直平分线为DF，垂足为F， ∴AD＝BD，AF＝BF＝AB＝5， 设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x， 在Rt△BCD中，根据勾股定理，得 62+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝， ∴点D在AB的垂直平分线上时，CD的长为； （2）如图2所示，过点E作EF⊥AC于点F，EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，连接CE， ∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，EM⊥AB， ∴EF＝EM， ∵BE平分∠ABC，EN⊥BC，EM⊥AB， ∴EN＝EM， ∴EF＝EM＝EN， 设EF＝EM＝EN＝x，则： S△ABC＝S△AEC+S△AEB+S△BEC， 即AC•BC＝AC•EF+AB•EM+BC•EN， ∴6×8＝8x+10x+6x， 解得x＝2， ∴点E到AC的距离为2； （3）根据题意可分三种情况： ①如图3所示，当点E到AB和BC的距离为1.5时，此时点E在∠CBA的角平分线上， 即BD平分∠ABC，过点D作DF⊥AB于点F， 则CD＝DF， ∵∠C＝∠BFD＝90°，BD＝BD， ∴Rt△BCD≌Rt△BFD（HL）， ∴BF＝BC＝6， ∴AF＝4， 设CD＝x，则DF＝x，AD＝8﹣x， 在Rt△AFD中，根据勾股定理，得 42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴当点E到AB和BC的距离为1.5时，CD＝3； ②方法一： 如图4所示，当点E到AC和BC的距离为1.5时，此时点E在∠BCA的角平分线上， 即CE平分∠BCA，过点E作EM⊥AC于点M，EN⊥BC于点N， 此时EM＝EN＝1.5，EM∥BC， ∵∠NCM＝90°，EM⊥AC，EN⊥BC， ∴四边形ENCM是矩形， ∵EM＝EN， ∴矩形ENCM是正方形， ∴CM＝1.5， 设CD＝x，则DM＝x﹣1.5， ∵EM∥BC， ∴△DEM∽△DBC， ∴＝， 即＝， 解得x＝2， 方法二： ∵S△BCD＝S△BEC+S△CED， ∴BC•CD＝1.5BC+1.5CD， 即6x＝9+1.5x， 解得x＝2， ∴CD＝2． ∴当点E到AC和BC的距离为1.5时，CD＝2； ③方法一： 如图5所示，当点E到AC和AB的距离为1.5时，此时点E在∠BAC的角平分线上， 即AE平分∠BAC，过点E作EM⊥A于B点M，EN⊥AC于点N， 此时EM＝EN＝1.5，作EF⊥BC于点F， 得矩形EFCN， ∵S△ABC＝S△AEC+S△AEB+S△BEC， 即AC•BC＝AC•EN+AB•EM+BC•EF， ∴6×8＝8×1.5+10×1.5+6EF， 解得EF＝， ∴CN＝EF＝， 设CD＝x，则DN＝x﹣， ∵EN∥BC， ∴△DEN∽△DBC， ∴＝， 即＝， 解得x＝， 方法二： 设CD＝x，则AD＝8﹣x，EM＝EN＝1.5，AB＝10，BC＝6， ∵S△BEA+S△DEA＝S△BDA， ∴AB•EM+AD•EN＝AD•BC， 即10×1.5+1.5（8﹣x）＝6（8﹣x）， 解得x＝． ∴当点E到AC和AB的距离为1.5时，CD＝． 综上所述，点E到三角形两边的距离均为1.5，CD的长为3或2或． 二十一．相似三角形的判定与性质（共7小题） 47．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x， ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AD是△ABC的高， ∴∠HDN＝90°， ∴四边形EHDN是矩形， ∴DN＝EH＝x， ∵△AEF∽△ABC， ∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵BC＝120，AD＝60， ∴AN＝60﹣x， ∴＝， 解得：x＝40， ∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20． 故选：B． 48．如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE＝3，则DF的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：过点E作EH⊥AD，交DA延长线于H， ∴∠H＝90°， 在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴∠2+∠3＝90°，∠H＝∠BCD， ∵DE⊥DG， ∴∠EDG＝90°， ∴∠2+∠1＝90°， ∴∠1＝∠3， ∴△DEH∽△DGC， ∴＝， ∵， ∴设GC＝x，则BG＝2x，DC＝BC＝3x， ∴＝， ∴DH＝3EH， ∵AC是正方形ABCD对角线， ∴∠DAC＝45°， ∵∠EAH＝∠DAC＝45°， ∴∠HEA＝45°， ∴EH＝HA， ∴EH2+HA2＝9， ∴EH＝HA＝， ∴DH＝， ∴AD＝3， ∴GC＝， ∴DG＝＝2， ∵在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴＝＝， ∴DF＝3GF， ∴DF＝； 故选：D． 49．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH＝DC．若AB＝15，BC＝16，则图中阴影部分面积是（　　） A．40 B．60 C．80 D．70 【答案】D 【解答】解： 连接EF，过O作MN⊥DC于N，交EF于M， ∵矩形ABCD，E、F分别是AD和BC的中点， ∴DE＝AD，CF＝BC，AD＝BC，AD∥BC，∠D＝90°， ∴DE∥CF，DE＝CF＝8， ∴四边形DEFC是矩形， ∴EF∥CD，EF＝CD＝15， ∴MN⊥EF，△EOF∽△GOH， ∴＝＝＝3， ∴OM＝3ON， ∴ON＝×8＝2，OM＝8﹣2＝6， ∴阴影部分的面积是： S矩形DEFC﹣S△EFO﹣S△HOG ＝EF×DE﹣EF×OM﹣×GH×ON ＝15×8﹣×15×6﹣××15×2 ＝70． 故选：D． 50．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　） A．16 B．17 C．24 D．25 【答案】A 【解答】解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E， ∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF， ∴∠BAF＝∠F， ∴∠DAF＝∠F， ∴DF＝AD＝15， 同理BE＝AB＝10， ∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5； ∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8， 在Rt△ABG中，AG＝＝＝6， ∴AE＝2AG＝12， ∴△ABE的周长等于10+10+12＝32， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CF， ∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2， ∴△CEF的周长为16． 故选：A． 51．如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝10cm2，S△BQC＝15cm2，则阴影部分的面积为　25　cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC＝S△BCF， ∴S△EFQ＝S△BCQ， 同理：S△EFD＝S△ADF， ∴S△EFP＝S△ADP， ∵S△APD＝10cm2，S△BQC＝15cm2， ∴S四边形EPFQ＝25cm2， 故答案为：25． 52．如图1，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB＝∠ACB+90°． （1）求证：∠CAD+∠CBD＝90°； （2）如图2，过点B作BE⊥BD，BE＝BD，连接EC，若AC•BD＝AD•BC， ①求证：△ACD∽△BCE； ②求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）如图1，延长CD交AB于E， ∵∠ADE＝∠CAD+∠ACD， ∠BDE＝∠CBD+∠BCD， ∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝∠CAD+∠CBD+∠ACB， ∵∠ADB＝∠ACB+90°． ∴∠CAD+∠CBD＝90°； （2）①如图2，∵∠CAD+∠CBD＝90°，∠CBD+∠CBE＝90°， ∴∠CAD＝∠CBE， ∵AC•BD＝AD•BC，BD＝BE， ∴， ∴△ACD∽△BCE； ②如图2，连接DE， ∵BE⊥BD，BE＝BD， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴＝， ∵△ACD∽△BCE， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴∠ACB＝∠DCE， ∵， ∴△ACB∽△DCE， ∴， ∴＝＝＝＝． 53．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF， （1）若AD2＝BD•DC， ①求证：∠BAC＝90°． ②AB＝4，DC＝6，求EF． （2）如图2，若AD＝4，BD＝2，DC＝4，求EF． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠CDA＝90°， 又∵AD2＝BD•DC， ∴＝， ∴△ABD∽△CAD， ∴∠BAD＝∠C， 又∵∠B+∠BAD＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∴∠BAC＝90°； ②∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠BAC＝90°， ∴∠EAF＝∠AED＝∠AFD＝90°， ∴四边形AEDF是矩形， ∴EF＝AD， ∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴AB2＝BD×BC，即42＝BD×（BD+6）， 解得BD＝2， ∴Rt△ABD中，AD＝＝2， ∴EF＝2； （2）∵AD＝4，DC＝4，DF⊥AC，BD＝2， ∴AC＝4，AB＝2， ∴AF＝AC＝2， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥BC， ∴AD2＝AE×AB，AD2＝AF×AC， ∴AE×AB＝AF×AC，即， 又∵∠EAF＝∠CAB， ∴△AEF∽△ACB， ∴＝， ∴＝， 解得EF＝． 二十二．相似三角形的应用（共1小题） 54．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵MN＝MP， ∴∠MNP＝∠MPN， ∴∠CPN＝∠ONM， 由折叠可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6， ∴∠CPN＝∠CNM， 又∵∠C＝∠C， ∴△CPN∽△CNM， ＝，即CN2＝CP×CM， ∴62＝CP×（CP+5）， 解得CP＝4， 又∵＝， ∴＝， ∴PN＝， 故选：D． 二十三．位似变换（共1小题） 55．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（2，） B．（1，2） C．（4，8）或（﹣4，﹣8） D．（1，2）或（﹣1，﹣2） 【答案】D 【解答】解：以O为位似中心，把△OAB缩小为原来的， 则点A的对应点A′的坐标为（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]， 即（1，2）或（﹣1，﹣2）， 故选：D． 二十四．简单组合体的三视图（共1小题） 56．如图是某兴趣社制作的模型，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：该几何体的俯视图是：由两个长方形组成的矩形，且矩形的之间有纵向的线段隔开． 故选：B． 二十五．由三视图判断几何体（共1小题） 57．一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有　10　种． 【答案】10． 【解答】解：由题意可知俯视图由9个正方形组成，并设这9个位置分别如图所示： 由主视图和左视图知：①第1个位置一定是4，第6个位置一定是3； ②一定有2个2，其余有5个1； 解法一：③最后一行至少有一个2，当中一列至少有一个2； 根据2的排列不同，这个几何体的搭法共有10种：如图所示： 解法二：③（i）若第8个位置是2时，有以下6种搭法： （ii）若第8个位置是1时，有以下4种搭法： 故答案为：10． 二十六．平行投影（共1小题） 58．三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误； B．在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误； C．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确； D．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误． 故选：C． 二十七．列表法与树状图法（共1小题） 59．如图，有A、B、C三类长方形（或正方形）卡片（a＞b），其中甲同学持有A、B类卡片各一张，乙同学持有B、C类卡片各一张，丙同学持有A、C类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题可得，随机选取两位同学，可能的结果如下： 甲乙、甲丙、乙丙， ∵a2+2ab+b2＝（a+b）2， ∴选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个边长为（a+b）的正方形， ∴能拼成一个正方形的概率为， 故答案为：． 二十八．利用频率估计概率（共1小题） 60．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果 下面有三个推断： ①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①② D．①③ 【答案】B 【解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误． 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$