期中复习（易错题58题26个考点）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

期中复习（易错题58题26个考点） 一．平方根（共1小题） 1．的平方根是（　　） A．±3 B．3 C．±9 D．9 二．算术平方根（共1小题） 2．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15． （1）求这个正数是多少？ （2）的平方根又是多少？ 三．立方根（共1小题） 3．若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 　 　． 四．估算无理数的大小（共2小题） 4．若a＜＜b，且a、b是两个连续整数，则a+b的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．若的整数部分是a，小数部分是b，则2a﹣b＝　 　． 五．二次根式的定义（共1小题） 6．若是二次根式，则下列说法正确的是（　　） A．x≥0，y≥0 B．x≥0且y＞0 C．x，y同号 D．≥0 六．二次根式有意义的条件（共1小题） 7．已知实数a满足，那么a﹣20242的值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C．2024 D．﹣2024 七．二次根式的性质与化简（共4小题） 8．把x根号外的因数移到根号内，结果是（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 9．若2＜a＜3，则等于（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1 10．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（　　） A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a 11．先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有：． 根据上述方法化简： （1）． （2）． 八．二次根式的乘除法（共1小题） 12．如果，那么x的取值范围是（　　） A．1≤x≤2 B．1＜x≤2 C．x≥2 D．x＞2 九．二次根式的化简求值（共1小题） 13．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的： ∵a＝． ∴a﹣2＝﹣． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：＝　 　； （2）计算：+…+； （3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值． 一十．点的坐标（共2小题） 14．已知点P（a+1，2a﹣3）在第一象限，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣1 B．a＞ C．﹣＜a＜1 D．﹣1＜a＜ 15．已知平面内有一点A的横坐标为﹣6，且到原点的距离等于10，则A点的坐标为 　 　． 一十一．坐标与图形性质（共4小题） 16．已知点M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M′到y轴的距离等于4，那么点M′的坐标是（　　） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2） 17．已知点A（m，2m）和点B（3，m2﹣3），直线AB平行于x轴，则m等于（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣1或3 D．3 18．在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（m，3）之间的距离是3，则m的值是 　 　． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2≤0 （1）求a、b、c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 一十二．函数关系式（共1小题） 20．以等腰三角形底角的度数x（单位：度）为自变量，顶角的度数y为因变量的函数关系式为（　　） A．y＝180﹣2x（0＜x＜90） B．y＝180﹣2x（0＜x≤90） C．y＝180﹣2x（0≤x＜90） D．y＝180﹣2x（0≤x≤90） 一十三．函数自变量的取值范围（共1小题） 21．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2 一十四．函数的图象（共4小题） 22．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　） A． B． C． D． 23．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 24．如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象．下面几个结论： ①比赛开始24分钟时，两人第一次相遇． ②这次比赛全程是10千米． ③比赛开始38分钟时，两人第二次相遇． 正确的结论为　 　． 25．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A城的距高y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题： （1）甲车的速度是 　 　； （2）乙车用了 　 　小时到达B城； （3）求乙车出发后多少时间追上甲车？ （4）求乙车出发多少时间，两车相距50千米？ 一十五．一次函数的图象（共1小题） 26．在同一坐标系中，函数y＝﹣ax与y＝ 的图象大致是（　　） A．B． C．D． 一十六．一次函数图象与系数的关系（共1小题） 27．若直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（2，﹣3），且与y轴的交点在x轴上方，则k的取值范围是（　　） A．k＞ B．k＞﹣ C．k＜﹣ D．k＜ 一十七．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 28．已知直线y＝2x+b与坐标轴围成的三角形的面积是4，则b的值是（　　） A．4 B．2 C．±4 D．±2 29．如图，一次函数y＝﹣x+8的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．P是x轴上一个动点，若沿BP将△OBP翻折，点O恰好落在直线AB上的点C处，则点P的坐标是　 　． 一十八．一次函数图象与几何变换（共1小题） 30．把函数y＝3x﹣3的图象沿x轴正方向水平向右平移2个单位后的解析式是（　　） A．y＝3x﹣9 B．y＝3x﹣6 C．y＝3x﹣5 D．y＝3x﹣1 一十九．一次函数的应用（共3小题） 31．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3） 实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 32．某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬16元，加工1件B型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时．（工人月工资＝底薪+计件工资） （1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？ （2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？ 33．南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的A，B两种矿石，A矿石大约565吨，B矿石大约500吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂，需要不同型号的甲、乙两种货船共30艘，甲货船每艘运费1000元，乙货船每艘运费1200元． （1）设运送这些矿石的总费用为y元，若使用甲货船x艘，请写出y和x之间的函数关系式； （2）如果甲货船最多可装A矿石20吨和B矿石15吨，乙货船最多可装A矿石15吨和B矿石25吨，装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． 二十．一次函数综合题（共8小题） 34．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 35．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣2x+1与y轴交于点A，直线l2与y轴交于点B（0，﹣2），交直线l1于点C，点C纵坐标为﹣1，点D是直线l2上任意一点，过点D作x轴的垂线，交直线l1于点E， （1）求直线l2的解析式； （2）当DE＝2AB时，求D点坐标； （3）点F是y轴上任意一点，当△DEF是等腰直角三角形时，请直接写出D点坐标． 36．如图，将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3），动点F从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点E从点A出发以相同的速度沿AO向终点O运动，当点E、F其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点E的运动时间为t：（秒） （I）OE＝　 　，OF＝　 　（用含t的代数式表示） （II）当t＝1时，将△OEF沿EF翻折，点O恰好落在CB边上的点D处 ①求点D的坐标及直线DE的解析式； ②点M是射线DB上的任意一点，过点M作直线DE的平行线，与x轴交于N点，设直线MN的解析式为y＝kx+b，当点M与点B不重合时，S为△MBN的面积，当点M与点B重合时，S＝0．求S与b之间的函数关系式，并求出自变量b的取值范围． 37．如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A（﹣2，6）的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB＝OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为27． （1）求直线AB的表达式和点D的坐标； （2）横坐标为m的点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y（y≠0），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 38．已知：如图，一次函数y＝x﹣3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA＝3OC． （1）直线CD的函数表达式为 　 　；点D的坐标 　 　；（直接写出结果） （2）点P为线段DE上的一个动点，连接BP． ①若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，试求点P的坐标； ②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 39．如图1，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线BC的函数表达式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q，连接BM． ①若∠MBC＝90°，请直接写出点P的坐标　 　 　； ②若△PQB的面积为，求出点M的坐标； ③若点K为线段OB的中点，连接CK，如图2，若在线段OC上有一点F，满足∠CKF＝45°，求出点F的坐标 40．如图，平面直角坐标系中，直线AB：与坐标轴分别交于A、B两点，P是直线y＝1上一动点． （1）直接写出A、B的坐标：A　 　，B　 　． （2）是否存在点P使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 41．如图，直线AB：y＝kx+b（k≠0）过点A（2，2），B（1，4）． （1）求直线AB的解析式； （2）如图2，点M，点N分别为x轴，y轴上一动点，求AM+MN+NB的最小值及此时点M的坐标； （3）如图3，在（2）问的条件下，过点B作l1垂直于y轴，点P为直线AB上一动点，点Q为直线l1上一动点，若△MPQ是以MQ为腰的等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点Q坐标． 二十一．勾股定理（共11小题） 42．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（　　） A．18cm2 B．36cm2 C．72cm2 D．108cm2 43．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 44．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 45．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 46．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 　 　． 47．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2018＝　 　，OPn＝　 　（n为自然数，且n＞0） 48．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是　 　． 49．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要　 　米的地毯． 50．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝5，BC＝12，则AB2+CD2＝　 　． 51．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高． （1）求AB的长； （2）求△ABC的面积； （3）求CD的长． 52．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12． （1）直接写出AB的长度 　 　． （2）设点P在AB上，若∠PAC＝∠PCA．求AP的长； （3）设点M在AC上，若△MBC为等腰三角形，直接写出AM的长． 二十二．勾股定理的证明（共1小题） 53．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（　　） A．﹣9 B．﹣36 C．﹣27 D．﹣34 二十三．勾股数（共1小题） 54．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 二十四．勾股定理的应用（共2小题） 55．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 56．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树 　 　米之外才是安全的． 二十五．平面展开-最短路径问题（共1小题） 57．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是　 　cm． 二十六．坐标与图形变化-平移（共1小题） 58．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（易错题58题26个考点） 一．平方根（共1小题） 1．的平方根是（　　） A．±3 B．3 C．±9 D．9 【答案】A 【解答】解：∵， 9的平方根是±3， 故选：A． 二．算术平方根（共1小题） 2．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15． （1）求这个正数是多少？ （2）的平方根又是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数． 即：（m+3）+（2m﹣15）＝0 解得m＝4． 则这个正数是（m+3）2＝49． （2）＝3，则它的平方根是±． 三．立方根（共1小题） 3．若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 　2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项， ∴， 解方程得：． ∴m﹣3n＝2﹣3×（﹣2）＝8． 8的立方根是2． 故答案为：2． 四．估算无理数的大小（共2小题） 4．若a＜＜b，且a、b是两个连续整数，则a+b的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解答】解：∵4＜5＜9， ∴2＜＜3， 由a＜＜b，且a、b是两个连续的整数，得到a＝2，b＝3， 则a+b＝5， 故选：D． 5．若的整数部分是a，小数部分是b，则2a﹣b＝　　． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为﹣2， 即a＝2，b＝﹣2， ∴， 故答案为：． 五．二次根式的定义（共1小题） 6．若是二次根式，则下列说法正确的是（　　） A．x≥0，y≥0 B．x≥0且y＞0 C．x，y同号 D．≥0 【答案】D 【解答】解：依题意有≥0，即≥0． 故选：D． 六．二次根式有意义的条件（共1小题） 7．已知实数a满足，那么a﹣20242的值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C．2024 D．﹣2024 【答案】B 【解答】解：∵， ∴a﹣2024≥0， ∴a≥2024， 则， ∴， ∴a﹣2024＝20232， ∴a﹣20242 ＝20232﹣20242+2024 ＝（2023+2024）×（2023﹣2024）+2024 ＝﹣4047+2024 ＝﹣2023， 故选：B． 七．二次根式的性质与化简（共4小题） 8．把x根号外的因数移到根号内，结果是（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【答案】C 【解答】解：由x可知x＜0， 所以x＝﹣＝﹣， 故选：C． 9．若2＜a＜3，则等于（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1 【答案】C 【解答】解：∵2＜a＜3， ∴ ＝a﹣2﹣（3﹣a） ＝a﹣2﹣3+a ＝2a﹣5． 故选：C． 10．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（　　） A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a 【答案】B 【解答】解：∵a、b、c为三角形的三边， ∴a+c＞b，a+b＞c， 即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0； ∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c． 故选：B． 11．先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有：． 根据上述方法化简： （1）． （2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）＝＝； （2）＝＝2+． 八．二次根式的乘除法（共1小题） 12．如果，那么x的取值范围是（　　） A．1≤x≤2 B．1＜x≤2 C．x≥2 D．x＞2 【答案】D 【解答】解：由题意可得，x﹣1≥0且x﹣2＞0， 解得x＞2． 故选：D． 九．二次根式的化简求值（共1小题） 13．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的： ∵a＝． ∴a﹣2＝﹣． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：＝　﹣1　； （2）计算：+…+； （3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）＝＝﹣1， 故答案为：； （2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣ ＝﹣1 ＝； （3）∵a＝+2， ∴a﹣2＝． ∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5． ∴a2﹣4a＝1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（1）+1＝3． 答：2a2﹣8a+1的值为3． 一十．点的坐标（共2小题） 14．已知点P（a+1，2a﹣3）在第一象限，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣1 B．a＞ C．﹣＜a＜1 D．﹣1＜a＜ 【答案】B 【解答】解：∵点P（a+1，2a﹣3）在第一象限， ∴， 解得：a， 故选：B． 15．已知平面内有一点A的横坐标为﹣6，且到原点的距离等于10，则A点的坐标为 　（﹣6，8）或（﹣6，﹣8）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵点A的横坐标为﹣6，到原点的距离是10， ∴点A到x轴的距离为＝8， ∴点A的纵坐标为8或﹣8， ∴点A的坐标为（﹣6，8）或（﹣6，﹣8）． 故答案为：（﹣6，8）或（﹣6，﹣8）． 一十一．坐标与图形性质（共4小题） 16．已知点M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M′到y轴的距离等于4，那么点M′的坐标是（　　） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2） 【答案】B 【解答】解：∵M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上， ∴M′的纵坐标y＝﹣2， ∵“M′到y轴的距离等于4”， ∴M′的横坐标为4或﹣4． 所以点M′的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2），故选：B． 17．已知点A（m，2m）和点B（3，m2﹣3），直线AB平行于x轴，则m等于（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣1或3 D．3 【答案】A 【解答】解：∵直线AB平行于x轴， ∴点A的纵坐标与B的纵坐标相等， ∴2m＝m2﹣3，即m2﹣2m﹣3＝0， ∴（m﹣3）（m+1）＝0， ∴m﹣3＝0或m+1＝0， ∴m＝3或m＝﹣1． ∵A、B是两个点，才能连线平行X轴， ∴m≠3， ∴m＝﹣1 故选：A． 18．在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（m，3）之间的距离是3，则m的值是 　4或﹣2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵点M（1，3）与点N（m，3） ∴MN∥x轴 ∵MN＝3 ∴1+3＝4，1﹣3＝﹣2 ∴N（4，3）或（﹣2，3） ∴m的值为4或﹣2 故答案为：4或﹣2 19．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2≤0 （1）求a、b、c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由已知|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2≤0及（c﹣4）2≥0 可得：a＝2，b＝3，c＝4； （2）∵×2×3＝3，×2×（﹣m）＝﹣m， ∴S四边形ABOP＝S△ABO+S△APO＝3+（﹣m）＝3﹣m （3）因为×4×3＝6， ∵S四边形ABOP＝S△ABC ∴3﹣m＝6， 则 m＝﹣3， 所以存在点P（﹣3，）使S四边形ABOP＝S△ABC． 一十二．函数关系式（共1小题） 20．以等腰三角形底角的度数x（单位：度）为自变量，顶角的度数y为因变量的函数关系式为（　　） A．y＝180﹣2x（0＜x＜90） B．y＝180﹣2x（0＜x≤90） C．y＝180﹣2x（0≤x＜90） D．y＝180﹣2x（0≤x≤90） 【答案】A 【解答】解：y＝180﹣2x， ∵， ∵x为底角度数 ∴0＜x＜90． 故选：A． 一十三．函数自变量的取值范围（共1小题） 21．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2 【答案】C 【解答】解：依题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0， 解得x≥1且x≠2． 故选：C． 一十四．函数的图象（共4小题） 22．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意； B．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意； C．此函数图象中，乌龟和兔子同时到达终点，符合题意； D．此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意． 故选：C． 23．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：从图中可以看出，OE上升最快，EF上升较慢，FG上升较快， 所以容器的底部容积最小，中间容积最大，上面容积较大， 故选：B． 24．如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象．下面几个结论： ①比赛开始24分钟时，两人第一次相遇． ②这次比赛全程是10千米． ③比赛开始38分钟时，两人第二次相遇． 正确的结论为　①③　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①15到33分钟的速度为km/min， ∴再行1千米用的时间为9分钟， ∴第一次相遇的时间为15+9＝24min，正确； ②第一次相遇时的路程为6km，时间为24min， 所以乙的速度为6÷24＝0.25km/min， 所以全长为48×0.25＝12km，故错误； ③甲第三段速度为5÷10＝0.5km/min，7+0.5×（t﹣33）＝0.25t， 解得t＝38，正确， 故答案为：①③． 25．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A城的距高y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题： （1）甲车的速度是 　60km/h　； （2）乙车用了 　3　小时到达B城； （3）求乙车出发后多少时间追上甲车？ （4）求乙车出发多少时间，两车相距50千米？ 【答案】（1）60km/h；（2）3；（3）1.5小时；（4）0.25小时或2.75小时或小时． 【解答】解：（1）由题意得，甲车的速度是：300÷5＝60（km/h）． 故答案为：60km/h； （2）由题意可知，乙车用了3小时到达B城； 故答案为：3； （3）乙车的速度为：300÷3＝100（km/h）， 设乙车出发后x小时追上甲车，根据题意得： 100x＝60（x+1）， 解得x＝1.5， 答：乙车出发后1.5小时追上甲车； （4）设甲车出发y小时，两车相距50千米，根据题意得： 60y＝50或60y﹣100（y﹣1）＝50或100（y﹣1）﹣60y＝50或60y＝300﹣50， 解得y＝或1.25或3.75或． ∵乙车比甲车晚出发1小时， ∴此时乙车出发的时间为0.25小时或2.75小时或小时． 答：乙车出发0.25小时或2.75小时或小时时，甲、乙两车相距50千米． 一十五．一次函数的图象（共1小题） 26．在同一坐标系中，函数y＝﹣ax与y＝ 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：若正比例函数y＝﹣ax的图象从左往右下降，则﹣a＜0， 此时，一次函数y＝ 的图象与y轴交于负半轴，故A选项正确，B选项错误； 若正比例函数y＝﹣ax的图象从左往右上升，则﹣a＞0， 此时，一次函数y＝ 的图象与y轴交于正半轴，且从左往右上升，故C选项错误；而D选项不合题意． 故选：A． 一十六．一次函数图象与系数的关系（共1小题） 27．若直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（2，﹣3），且与y轴的交点在x轴上方，则k的取值范围是（　　） A．k＞ B．k＞﹣ C．k＜﹣ D．k＜ 【答案】C 【解答】解：直线y＝kx+b（k≠0）中，令x＝0，则y＝b， ∴直线y＝kx+b（k≠0）与y轴交于点（0，b）， 又∵直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（2，﹣3）， ∴﹣3＝2k+b， ∴b＝﹣3﹣2k， 又∵直线y＝kx+b（k≠0）与y轴的交点在x轴上方， ∴b＞0，即﹣3﹣2k＞0， 解得k＜， 故选：C． 一十七．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 28．已知直线y＝2x+b与坐标轴围成的三角形的面积是4，则b的值是（　　） A．4 B．2 C．±4 D．±2 【答案】C 【解答】解：直线y＝2x+b中， 当x＝0时，y＝b； 当y＝0时，x＝﹣； ∴直线与坐标轴交于（0，b），（﹣，0）两点， ∵直线y＝2x+b与坐标轴围成的三角形的面积是4， ∴×|b|×|﹣|＝4， 即b2＝4， 解得b＝±4． 故选：C． 29．如图，一次函数y＝﹣x+8的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．P是x轴上一个动点，若沿BP将△OBP翻折，点O恰好落在直线AB上的点C处，则点P的坐标是　（，0）或（﹣24，0）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由一次函数 y＝﹣x+8的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，可得 AO＝6，BO＝8，AB＝10， 分两种情况： ①当点P在OA上时，由O与C关于PB对称，可得OP＝CP，BC＝OB＝8， 设OP＝CP＝a，则AP＝6﹣a，AC＝10﹣8＝2， 在Rt△ACP中，由勾股定理可得 a2+22＝（6﹣a）2， 解得a＝， ∴P（，0）； ②当点P在AO延长线上时，由O与C关于PB对称，可得OP＝CP，BC＝OB＝8， 设OP＝CP＝b，则AP＝6+b，AC＝10+8＝18， 在Rt△ACP中，由勾股定理可得 b2+182＝（6+b）2， 解得b＝24， ∴P（﹣24，0）； 故答案为：（，0）或（﹣24，0）． 一十八．一次函数图象与几何变换（共1小题） 30．把函数y＝3x﹣3的图象沿x轴正方向水平向右平移2个单位后的解析式是（　　） A．y＝3x﹣9 B．y＝3x﹣6 C．y＝3x﹣5 D．y＝3x﹣1 【答案】A 【解答】解：根据题意，直线向右平移2个单位，即对应点的纵坐标不变，横坐标减2， 所以得到的解析式是y＝3（x﹣2）﹣3＝3x﹣9． 故选：A． 一十九．一次函数的应用（共3小题） 31．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得 解得 答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元． （2）①据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000， ②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33， ∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66， 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大． （3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000， 33≤x≤70 ①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小， ∴当x＝34时，y取最大值， 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大． ②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000， 即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70的整数时，均获得最大利润； ③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大， ∴当x＝70时，y取得最大值． 即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大． 32．某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬16元，加工1件B型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时．（工人月工资＝底薪+计件工资） （1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？ （2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时． 由题意得：， 解得： 答：熟练工加工1件A型服装需要2小时，加工1件B型服装需要1小时． （2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件． ∴W＝16a+12（25×8﹣2a）+800， ∴W＝﹣8a+3200， 又∵a≥， 解得：a≥50， ∵﹣8＜0， ∴W随着a的增大则减小， ∴当a＝50时，W有最大值2800． ∵2800＜3000， ∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺． 33．南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的A，B两种矿石，A矿石大约565吨，B矿石大约500吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂，需要不同型号的甲、乙两种货船共30艘，甲货船每艘运费1000元，乙货船每艘运费1200元． （1）设运送这些矿石的总费用为y元，若使用甲货船x艘，请写出y和x之间的函数关系式； （2）如果甲货船最多可装A矿石20吨和B矿石15吨，乙货船最多可装A矿石15吨和B矿石25吨，装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得：y＝1000x+1200（30﹣x）＝36000﹣200x． （2）设安排甲货船x艘，则安排乙货船30﹣x艘， 根据题意得：， 化简得：， ∴23≤x≤25， ∵x为整数， ∴x＝23，24，25， 方案一：甲货船23艘，则安排乙货船7艘， 运费y＝36000﹣200×23＝31400元； 方案二：甲货船24艘，则安排乙货船6艘， 运费y＝36000﹣200×24＝31200元； 方案三：甲货船25艘，则安排乙货船5艘， 运费y＝36000﹣200×25＝31000元； 经分析得方案三运费最低，为31000元． 二十．一次函数综合题（共8小题） 34．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解答】解：①以A为直角顶点，可过A作直线垂直于AB，与y轴交于一点，这一点符合点P的要求； ②以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与y轴交于一点，这一点也符合P点的要求； ③以P为直角顶点，与y轴共有2个交点． 所以满足条件的点P共有4个． 故选：B． 35．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣2x+1与y轴交于点A，直线l2与y轴交于点B（0，﹣2），交直线l1于点C，点C纵坐标为﹣1，点D是直线l2上任意一点，过点D作x轴的垂线，交直线l1于点E， （1）求直线l2的解析式； （2）当DE＝2AB时，求D点坐标； （3）点F是y轴上任意一点，当△DEF是等腰直角三角形时，请直接写出D点坐标． 【答案】（1）l2的表达式为y＝x﹣2； （2）点D的坐标为（3，1）或（﹣1，﹣3）； （3）点D的坐标为（，﹣）或（，﹣）或（3，1）或（，﹣）． 【解答】解：（1）将点C的纵坐标代入y＝﹣2x+1，即﹣1＝﹣2x+1，解得x＝1，则点C（1，﹣1）， 设直线l2的表达式为y＝kx+b，则，解得， 故直线l2的表达式为y＝x﹣2； （2）∵直线l1：y＝﹣2x+1与y轴交于点A，则点A（0，1），则AB＝1+2＝3， 设点D（m，m﹣2），则点E（m，﹣2m+1）， ∵DE＝2AB，故|m﹣2+2m﹣1|＝6，解得m＝﹣1或3， 故点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（3，1）； （3）①当∠DEF（或∠EDF）为直角时， 则DE＝EF，即|m|＝|m﹣2+2m﹣1|，解得m＝或， 故点D的坐标为（，﹣）或（，﹣）； ②当∠DFE为直角时， ∵△DEF是等腰直角三角形， ∴点F到DE的距离等于DE，即|m|＝|m﹣2+2m﹣1|， 解得m＝3或， 故点D的坐标为（3，1）或（，﹣）， 综上，点D的坐标为（，﹣）或（，﹣）或（3，1）或（，﹣）． 36．如图，将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3），动点F从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点E从点A出发以相同的速度沿AO向终点O运动，当点E、F其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点E的运动时间为t：（秒） （I）OE＝　6﹣t　，OF＝　t+　（用含t的代数式表示） （II）当t＝1时，将△OEF沿EF翻折，点O恰好落在CB边上的点D处 ①求点D的坐标及直线DE的解析式； ②点M是射线DB上的任意一点，过点M作直线DE的平行线，与x轴交于N点，设直线MN的解析式为y＝kx+b，当点M与点B不重合时，S为△MBN的面积，当点M与点B重合时，S＝0．求S与b之间的函数关系式，并求出自变量b的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（I）∵O（0，0），A（6，0），C（0，3）， ∴OA＝6，OC＝3， ∵四边形OABC是矩形， ∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝6， ∴B（6，3）， ∵动点F从O点以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点E从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动． ∴当点E的运动时间为t（秒）时， AE＝t，OF＝+t， 则OE＝OA﹣AE＝6﹣t； 故答案为：6﹣t，+t； （II）①当t＝1时，OF＝1+＝，OE＝6﹣1＝5，则CF＝OC﹣OF＝3﹣＝， 由折叠可知：△OEF≌△DEF， ∴OF＝DF＝， 由勾股定理，得：CD＝1， ∴D（1，3）； ∵E（5，0）， ∴设直线DE的解析式为：y＝mx+n（k≠0）， 把D（1，3）和E（5，0）代入得：，解得：， ∴直线DE的解析式为：y＝﹣x+； ②∵MN∥DE， ∴MN的解析式为：y＝﹣x+b， 当y＝3时，﹣x+b＝3，x＝（b﹣3）＝b﹣4， ∴CM＝b﹣4， 分三种情况： i）当M在边CB上时，如图2， ∴BM＝6﹣CM＝6﹣（b﹣4）＝10﹣b， DM＝CM﹣1＝b﹣5， ∵0≤DM＜5，即0≤b﹣5＜5， ∴≤b＜， ∴S＝＝＝15﹣2b＝﹣2b+15（≤b＜）； ii）当M与点B重合时，b＝，S＝0； iii）当M在DB的延长线上时，如图3， ∴BM＝CM﹣6＝b﹣10， DM＝CM﹣1＝b﹣5， ∵DM＞5，即b﹣5＞5， ∴b＞， ∴S＝＝＝2b﹣15（b＞）； 综上，S＝． 37．如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A（﹣2，6）的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB＝OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为27． （1）求直线AB的表达式和点D的坐标； （2）横坐标为m的点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y（y≠0），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线AD的解析式为y＝2x+10； （2）y＝m+3，（﹣2＜m＜4）； （3）在x轴上存在点F使△PEF为等腰直角三角形，点F的坐标为（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）． 【解答】解：（1）∵OB＝OC， ∴设直线AB的解析式为y＝﹣x+n， ∵直线AB经过A（﹣2，6）， ∴2+n＝6， ∴n＝4， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4， ∴B（4，0）， ∴OB＝4， ∵△ABD的面积为27，A（﹣2，6）， ∴S△ABD＝×BD×6＝27， ∴BD＝9， ∴OD＝5， ∴D（﹣5，0）， 设直线AD的解析式为y＝ax+b， ∴， 解得． ∴直线AD的解析式为y＝2x+10； （2）∵点P在AB上，且横坐标为m， ∴P（m，﹣m+4）， ∵PE∥x轴， ∴E的纵坐标为﹣m+4， 代入y＝2x+10得，﹣m+4＝2x+10， 解得x＝， ∴E（，﹣m+4）， ∴PE的长y＝m﹣＝m+3； 即y＝m+3，（﹣2＜m＜4）； （3）在x轴上存在点F，使△PEF为等腰直角三角形， ①当∠FPE＝90°时，如图①， 有PF＝PE，PF＝﹣m+4，PE＝m+3， ∴﹣m+4＝m+3， 解得m＝，此时F（，0）； ②当∠PEF＝90°时，如图②，有EP＝EF，EF的长等于点E的纵坐标， ∴EF＝﹣m+4， ∴﹣m+4＝m+3， 解得：m＝， ∴点E的横坐标为x＝＝﹣， ∴F（﹣，0）； ③当∠PFE＝90°时，如图③，有 FP＝FE， ∴∠FPE＝∠FEP． ∵∠FPE+∠EFP+∠FEP＝180°， ∴∠FPE＝∠FEP＝45°． 作FR⊥PE，点R为垂足， ∴∠PFR＝180°﹣∠FPE﹣∠PRF＝45°， ∴∠PFR＝∠RPF， ∴FR＝PR． 同理FR＝ER， ∴FR＝PE． ∵点R与点E的纵坐标相同， ∴FR＝﹣m+4， ∴﹣m+4＝（m+3）， 解得：m＝， ∴PR＝FR＝﹣m+4＝﹣+4＝， ∴点F的横坐标为﹣＝﹣， ∴F（﹣，0）． 综上，在x轴上存在点F使△PEF为等腰直角三角形，点F的坐标为（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）． 38．已知：如图，一次函数y＝x﹣3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA＝3OC． （1）直线CD的函数表达式为 　y＝x+3　；点D的坐标 　（﹣4，﹣6）　；（直接写出结果） （2）点P为线段DE上的一个动点，连接BP． ①若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，试求点P的坐标； ②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵一次函数y＝x﹣3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B， ∴A（4，0），B（0，﹣3）， ∴OA＝4， ∵E与B关于x轴对称，OA＝3OC． ∴E（0，3），OC＝， ∴C（﹣，0）． 把点C和点E的坐标代入一次函数y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线CD的解析式为：y＝x+3； 令x+3＝x﹣3，解得x＝﹣4， ∴y＝×（﹣4）﹣3＝﹣6， ∴点D的坐标为（﹣4，﹣6）． 故答案为：y＝x+3；（﹣4，﹣6）； （2）①如图1，过点D作DF⊥x轴于点F，连接BC， ∴DF＝6， ∵OA＝4，OC＝， ∴AC＝， ∴S△ACD＝•AC•DF＝××6＝16． ∵A（4，0），B（0，﹣3），D（﹣4，﹣6）， ∴点B是线段AD的中点， ∴S△DBC＝S△ACB． 当点P在线段CD上时，则有S△BDP＝S△ACD， ∵S△BDP＝（xP﹣xD）•BE， ∴（xP+4）•6＝×16，解得xP＝﹣， ∴P（﹣，﹣）． 当点P在线段CE上时，设直线BP与x轴交于点Q，如图2，此时有S△ABQ＝S△ACD， ∵S△ABQ＝•AQ•BO， ∴AQ•3＝7，解得AQ＝， ∴OQ＝﹣4＝， ∴Q（﹣，0）． ∴直线BQ的解析式为：y＝﹣x﹣3， 令x+3＝﹣x﹣3，解得x＝﹣， ∴P（﹣，1）． 综上所述，若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，点P的坐标为（﹣，﹣）或（﹣，1）． ②存在，理由如下： 将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上时，需要分三种情况： 当点D落在x轴负半轴上D1处，如图3， 由折叠可知，∠DBP＝∠D1BP，BD＝BD1， 由题意可知，OB＝3，OA＝4，则AB＝5， ∴BD＝AB＝5， ∴BD1＝5， ∴OD1＝4， ∴△ABO≌△D1BO（SSS）， ∴∠OAB＝∠OD1B， ∵∠DBD1＝∠OAB+∠OD1B， ∴∠OD1B＝∠D1BP， ∴BP∥x轴， ∴点P的纵坐标为﹣3， ∴P（﹣，﹣3）． 当点D落在y轴上D2处，如图4，过点P作PG⊥AD于点G，作PH⊥y轴于点H，过点D作DM⊥y轴于点M， 由折叠可知，BP平分∠DBD2， ∴PG＝PH， ∵S△BDE＝S△BPD+S△BPE， ∴•BE•DM＝•BD•PG+•BE•PH，即×6×4＝×5•PG+×6•PH， 解得PG＝PH＝； ∴P（﹣，﹣）． 当点D落在x轴正半轴上D3处，如图5，此时点A和点D3重合，不符合题意，舍去． 综上所述，存在点P，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上，此时点P的坐标为：（﹣，﹣3）或（﹣，﹣）． 39．如图1，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线BC的函数表达式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q，连接BM． ①若∠MBC＝90°，请直接写出点P的坐标　 　，　； ②若△PQB的面积为，求出点M的坐标； ③若点K为线段OB的中点，连接CK，如图2，若在线段OC上有一点F，满足∠CKF＝45°，求出点F的坐标 【答案】（1）直线BC的解析式为， （2）①，； ②，0）或，0）； ③点F的坐标为，0）． 【解答】解：（1）对于，令x＝0，y＝3， ∴B（0，3）， 令y＝0， ∴， ∴x＝﹣6， ∴A（﹣6，0）， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴C（6，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为， （2）①设点M（m，0）， ∴， ∵B（0，3），C（6，0）， ∴BC2＝45，BM2＝OM2+OB2＝m2+9，MC2＝（6﹣m）2， ∵∠MBC＝90°， ∴△BMC是直角三角形， ∴BM2+BC2＝MC2， ∴m2+9+45＝（6﹣m）2， ∴， ∴，， 故答案为：，． ②设点M（n，0）， ∵点P在直线上， ∴， ∵点Q在直线上， ∴， ∴， ∵△PQB的面积为， ∴， ∴， ∴，0）或，0）， ③过点F作FH⊥FK交CK于H，过点H作HE⊥x轴于E， ∵∠CKF＝45°， ∴△KFH是等腰直角三角形， ∴KF＝FH，∠KFO+∠HFE＝90°， ∵∠KFO+∠FKO＝90°， ∴∠HFE＝∠FKO， ∵∠KOF＝∠FEH＝90°， ∴△KOF≌△FEH（AAS）， ∴EH＝OF，EF＝OK， ∵点K为线段OB的中点，OB＝3， ∴，， 设F（x，0），则，EH＝OF＝x，则，x）， ∵C（6，0），， 设直线CK的解析式为y＝kx+b， ∴，解得：， ∴直线CK的解析式为， ∵点H在CK上，，x）， ∴，解得：， ∴点F的坐标为，0）． 40．如图，平面直角坐标系中，直线AB：与坐标轴分别交于A、B两点，P是直线y＝1上一动点． （1）直接写出A、B的坐标：A　（3，0）　，B　（0，4）　． （2）是否存在点P使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）直线AB：与坐标轴分别交于A、B两点， 令x＝0，y＝4，令y＝0，x＝3， ∴A（3，0），B（0，4）． 故答案为：（3，0），（0，4）． （2）存在． ∵P是直线y＝1上一动点，A（3，0），B（0，4）， ∴设点P（x，1）， 则：AB＝5，AP＝，BP＝， 当AB＝AP时， 5＝， 整理得：x2﹣6x﹣15＝0 解得：x＝3±2 ∴P1（3+2，1），P2（3﹣2，1）． 当AB＝BP时， 5＝， 整理得：x2＝16 解得：x＝±4， ∴P3（4，1），P4（﹣4，1）． 当AP＝BP时， ＝， 解得：x＝， ∴P5（，1）． 综上所述：∴P1（3+2，1），P2（3﹣2，1），P3（4，1），P4（﹣4，1），P5（，1）． 41．如图，直线AB：y＝kx+b（k≠0）过点A（2，2），B（1，4）． （1）求直线AB的解析式； （2）如图2，点M，点N分别为x轴，y轴上一动点，求AM+MN+NB的最小值及此时点M的坐标； （3）如图3，在（2）问的条件下，过点B作l1垂直于y轴，点P为直线AB上一动点，点Q为直线l1上一动点，若△MPQ是以MQ为腰的等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点Q坐标． 【答案】（1）直线AB解析式为y＝﹣2x+6； （2）（1，0）； （3）点Q坐标为（13，4）或（5，4）或（﹣7，4）或（，4）． 【解答】解：（1）将A（2，2），B（1，4）代入直线AB解析式得： ， 解得：， ∴直线AB解析式为y＝﹣2x+6； （2）作A点关于x轴的对称点A′（2，﹣2），作B关于y轴的对称点B′（﹣1，4），连接MA′，NB'， ∴AM+MN+NB＝A′M+MN+NB′≥A′B′， 当且仅当A′，M，N，B′四点共线时取最小值， 最小值， ∵A′（2，﹣2），B′（﹣1，4）， ∴直线A′B′解析式为y＝﹣2x+2，令y＝0，解得x＝1， ∴M（1，0）， ∴AM+MN+NB的最小值为，此时M点坐标为（1，0）； （3）根据题意可知，需要分以下三种情况： ①当MQ＝PM时，点P在x轴上方时，过点P作PC⊥x轴于点C，作QD⊥x轴于点D，如图， 在△PCM和△MDQ中， ， ∴△PCM≌△MDQ（AAS）， ∴点P的横坐标为﹣3，代入直线AB的解析式，y＝﹣2×（﹣3）+6＝12， ∴点P（﹣3，12），PC＝MD＝12， ∴Q（13，4）； ②当MQ′＝P′M时，点P在x轴下方时，过点P′作P′C′⊥x轴于点C′，作Q′D′⊥x轴于点D′．如图， 同理可证，△P′C′M≌△Q′D′M（AAS）， ∴MC′＝Q′D′＝4，P′C′＝MD′， ∴点P的模坐标为5，代入直线AB的解析式，y＝﹣2×5+6＝﹣4，P′C′＝MD′＝4， ∴点Q′（5，4）； ③当MQ′′＝P′′Q′′且点Q′′在AB的左侧时，过点P′′作P′′E⊥l1于点E，过点Q′′作Q′′F⊥l1于点F，如图， 同理可证，△P′′Q′′E≌△MFQ′′（AAS）， ∴P′′E＝Q′′F，Q′′E＝MF＝4， 设点Q′′的坐标为（t，4），则点P′′的横坐标为t+4， Q′′F＝1﹣t，点P′′的纵坐标为5﹣t， 将点P′′的横坐标代入直线AB的解析式，5﹣t＝﹣2（t+4）+6，解得t＝﹣7， ∴Q′′（﹣7，4）； ④当MQ′′′＝P′′′Q′′′且点Q′′′在AB的右侧时，过点P′′′作P′′E⊥l1于点E，过点Q′′′作Q′′′F⊥l1于点F，如图， 同理可证，△P′′′Q′′′E≌△Q′′′MF（AAS）， ∴P′′′E＝Q′′′F，Q′′′E＝MF＝4， 设点Q′′的坐标为（m，4），则点P′′′的横坐标为m﹣4， ∴Q′′′F＝m﹣1，点P′′′的纵坐标为m+3， 将点P′′′的横坐标代入直线AB的解析式，m+3＝﹣2（m﹣4）+6，解得t＝， ∴Q′′′（，4）； 综上所述，点Q坐标为（13，4）或（5，4）或（﹣7，4）或（，4）． 二十一．勾股定理（共11小题） 42．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（　　） A．18cm2 B．36cm2 C．72cm2 D．108cm2 【答案】D 【解答】解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积． 即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积． ∵G的面积是62＝36cm2， ∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3＝108cm2． 故选：D． 43．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 【答案】C 【解答】解：（1） △ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．BD＝＝9，CD＝＝5 ∴△ABC的面积为×（9+5）×12＝84； （2） △ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD＝9，CD＝5 ∴△ABC的面积为×（9﹣5）×12＝24． 故选：C． 44．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a， ∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形， ∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6， ∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6， ∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6， ∵c2＝a2+b2， ∴S1+S3＝S2+S4， 故选：C． 45．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解答】解：由折叠可得，A'C＝AC＝3， ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC＝＝4， ∵A'B+A'C≥BC， ∴A'B≥BC﹣A'C＝4﹣3＝1， ∴A'B的最小值为1， 故选：B． 46．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 　12　． 【答案】12． 【解答】解：如图，延长BE交AD于点F， ∵点E是DC的中点， ∴DE＝CE， ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠D＝∠BCE， ∵∠FED＝∠BEC， ∴△BCE≌△FDE（ASA）， ∴DF＝BC＝5，BE＝EF， ∴BF＝2BE＝13， 在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12． 故答案为：12． 47．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2018＝　　，OPn＝　　（n为自然数，且n＞0） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意得，OP1＝； OP2＝； OP3＝， … 则OP2018＝，OPn＝， 故答案为：；． 48．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是　5或　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设第三边为x （1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得 32+42＝x2，所以x＝5； （2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得 32+x2＝42，所以x＝； 所以第三边的长为5或． 49．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要　7　米的地毯． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据勾股定理，另一直角边＝＝3， ∴3+4＝7， 故应填7． 50．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝5，BC＝12，则AB2+CD2＝　169　． 【答案】169． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°， 在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得， BO2+CO2＝CB2，OD2+OA2＝AD2， ∴BO2+CO2+OD2+OA2＝25+144， ∵AB2＝BO2+AO2，CD2＝OC2+OD2， ∴AB2+CD2＝169； 故答案为：169． 51．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高． （1）求AB的长； （2）求△ABC的面积； （3）求CD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由勾股定理得，AB＝＝25； （2）△ABC的面积＝×BC×AC＝150； （3）由三角形的面积公式可得，×AB×CD＝150 则CD＝＝12． 52．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12． （1）直接写出AB的长度 　16　． （2）设点P在AB上，若∠PAC＝∠PCA．求AP的长； （3）设点M在AC上，若△MBC为等腰三角形，直接写出AM的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12， ∴AB＝＝＝16， 故答案为：16； （2）∵∠PAC＝∠PCA， ∴AP＝PC， 设AP＝PC＝x， ∴PB＝16﹣x， ∵∠B＝90°， ∴BP2+BC2＝CP2， ∴（16﹣x）2+122＝x2， 解得：x＝， ∴AP＝； （3）AM的长为8或10或． 如图（1），当CB＝CM＝12时，AM＝AC﹣CM＝20﹣12＝8； 如图（2），当BM＝CM时，AM＝BM＝CM＝AC＝10； 如图（3），当BC＝BM时，过B作BH⊥AC于点H， 则BH＝＝， ∴CH＝＝＝， ∴CM＝2CH＝， ∴AM＝AC﹣CM＝20﹣＝， 综上所述，AM的长为8或10或． 二十二．勾股定理的证明（共1小题） 53．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（　　） A．﹣9 B．﹣36 C．﹣27 D．﹣34 【答案】B 【解答】解：根据题意得： 小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9，大正方形的面积＝32+62＝45， 9﹣45＝﹣36． 故选：B． 二十三．勾股数（共1小题） 54．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 【答案】C 【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，…… ∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1， ∴当c＝n2+1＝65时，n＝8， ∴x＝63，y＝16， ∴x+y＝79， 故选：C． 二十四．勾股定理的应用（共2小题） 55．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝10（m）， ∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m）， 故选：D． 56．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树 　4　米之外才是安全的． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图， BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m，则BC＝4﹣1＝3m，AB＝9﹣4＝5m， 在Rt△ABC中，AC＝＝＝4． 二十五．平面展开-最短路径问题（共1小题） 57．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是　　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示， 路径一：AB＝＝13； 路径二：AB＝＝； 路径三：AB＝＝； ∵＞13＞， ∴cm为最短路径． 二十六．坐标与图形变化-平移（共1小题） 58．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．8 【答案】C 【解答】解：如图所示． ∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB＝3． ∵∠CAB＝90°，BC＝5， ∴AC＝4． ∴A′C′＝4． ∵点C′在直线y＝2x﹣6上， ∴2x﹣6＝4，解得 x＝5． 即OA′＝5． ∴CC′＝5﹣1＝4． ∴S▱BCC′B′＝4×4＝16 （面积单位）． 即线段BC扫过的面积为16面积单位． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$