山东省胶州市第三中学2024-2025学年高一上学期期中备考自测数学测试卷

数学·必修一期中备考自测测试卷 ——山东省胶州市第三中学高一数学 一、单选题 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 5．平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中的一个重要参数，其值在（0，1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面积与整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该新电脑“屏占比”和升级前比（    ） A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．“屏占比”变化不确定 6．函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则的值可能是（    ） A．0 B． C．1 D．2 11．已知x，y均为正实数，则（    ） A．的最大值为 B．若，则的最大值为8 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 三、填空题 12．已知幂函数是奇函数，则实数m的值为 . 13．设为常数，是定义在上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为 ． 14．已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； ． 四、解答题 15．已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合. (1)求集合； (2)设全集为R，集合，若是成立的必要条件，求实数的取值范围. 16．已知，，且，证明： (1)； (2)． 17．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2． (1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式； (2)该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 18．已知函数． (1)已知，若，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 19．已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集； (3)若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学·必修一期中备考自测测试卷 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A C B D A D ABD AB 题号 11 答案 ACD 12． 2 13． 14． 15．(1)则和是方程的两根， 所以，解得， 所以不等式为不等式， 解得，即集合. （2）因为是成立的必要条件，所以. 当时，，解得； 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是. 16．（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 17．（1）由题意可设，， 由图知，函数和的图象分别过点和， 代入解析式可得，， 所以， . （2）设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元， 年收益为万元， 则，， 有， 则当，即万元时，的最大值为， 所以当投资稳健型产品的资金为6万元， 风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元． 18．（1）因为，， 所以，所以，解得． （2）由，得函数的对称轴为， 当，即时，在区间上单调递增，， 当即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 当即时，在区间上单调递减，， 综上，； （3）由（2）知，当时，， 当时，， 当时，， 综上，的最大值为3． 19．（1）解：对于集合 因为， 所以是封闭集； 对于集合，因为，， 所以集合不是封闭集； （2）解：对命题：令， 则集合是封闭集，但不是封闭集，故错误； 对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集， 所以， 同理可得， 所以， 所以是封闭集，故正确； （3）证明：假设结论成立，设， 若，矛盾，所以，所以有， 设且，否则， 所以有，矛盾，故假设不成立，原结论成立，证毕. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$