专题11 全等三角形模型之角平分线模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题11 全等三角形模型之角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 2 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 4 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 6 9 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 例1．（2023·山东济南·二模）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以小于的长为半径作弧，分别交于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P； ③连接，交于点．若，，则的长为 ． 例2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3）；（4）若，则，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）已知，和分别平分和，点E，F分别在和上．(1)如图1，过点P，且与垂直，求证：； (2)如图2，为过点P的任意一条线段，试猜想还成立吗？请说明理由．       例4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1，是的平分线，点是上的任何一点，，，垂足分别为点和点．求证：．请写出完整的证明过程：… (1)请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)【应用】如图3，在中，，平分于点，点在上，，若，则的长为______． (3)【拓展】如图4，在中，平分交于点于点，若，，，则的面积为____． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。 但同学们也需要注意，在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！） 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 例1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 例2．（2023·江苏·八年级期末）如图，中， ， ，平分，则的最大值为 ． 例3．（2024·广东·九年级期中）如图，在中，，， （1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点． （i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：．（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由． （3） 如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程） 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数． 例2．（2024·广西·八年级专题练习）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上． 求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD． 例3．（2023·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE） （2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 例4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接． ∵平分，∴， 在和中， ∴（）∴，． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线．（2） ；（3）证明：． （4）如图④，在中，，延长的边到点，平分交延长线于点，若，，则 ． 1．（2023春·广东惠州·八年级校考开学考试）如图，在中，平分，，，则与之间的大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 2．（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，平分，，，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 3．（2024·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作直线交于点，交于点，过点作于，有下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）如图，，和分别平分和，过点P且与垂直，若，，则的面积为（   ）    A．15 B．20 C．30 D．80 5．（2024·福建·校考一模）如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点B，交CD于点F，H是BC边的中点，连接DH交BE于点G，现给出以下结论：①△ACD≌△FBD；②AE=CE；③△DGF为等腰三角形；④S四边形ADGE=S四边形GHCE．其中正确的有_________（写出所有正确结论序号）． 6．（2023·重庆市八年级月考）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为______cm2． 7．（2023·江苏八年级月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝________． 8．（2023·重庆·八年级专题练习）阅读与思考 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．    该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，    平分，． ，． 在和中，， （依据1） （依据2），， ，．…… 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．    9．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，点E为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：． 10.（2023.成都嘉祥八年级月考）如图，在中，，AD、CE分别平分、，AD、CE交于O．（1）求的度数；（2）求证：． 11．（2023·四川·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF． （2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系． 12．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°． (1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示与之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明． 13．（2022·重庆·二模）已知：如图1，四边形ABCD中，，连接AC、BD，交于点E，． (1)求证：；(2)如图2，过点B作，交DC于点F，交AC于点G，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，若，求线段GF的长． 14．（2023·安徽·九年级期末）如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 15．（2022·自贡市九年级月考）根据图片回答下列问题． (1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC． (2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC． 16．（2023·山东·九年级专题练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容． 已知：如图13.5.4，是的平分线，P是上任意一点，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得 【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明的过程． 【类比探究】（1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点分别在和上，连接和，若，求证： ；（2）如图③，的周长是12，分别平分和于点D，若 ，则的面积为 ． 17．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）在中，、分别平分和，和相交于点．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，若，求证：． 18．（2023·广西钦州·八年级校考阶段练习） (1)感知：如图，平分，，易知：（不需证明） (2)探究：如图，平分，，求证：． (3)应用：如图，四边形中，，，，，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 全等三角形模型之角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 2 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 25 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 37 61 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 例1．（2023·山东济南·二模）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以小于的长为半径作弧，分别交于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P； ③连接，交于点．若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】过点D作于点E，由作图知平分，根据角平分线的性质得到，根据勾股定理得到，证明得，设，根据勾股定理得到，解方程即可得到结论． 【详解】如解图，过点D作于点E，由作图步骤知，平分， ， ，， 设，由，得，解得，即．故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图和性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 例2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3）；（4）若，则，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】过点P作PG⊥AB，由角平分线的性质定理，得到，可判断（1）（2）；由，可得，，，，得到，可判断（3）；根据，,可判断（4），进而可得到答案． 【详解】解：过点P作PG⊥AB，连接,如图： ∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，，，PG⊥AB， ∴；故（1）正确；∴点在的平分线上；故（2）正确； ，， ，， ，， 又，∴；故（3）错误； ,， ，， ， ， ∴正确的选项有3个；故选C． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题． 例3．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）已知，和分别平分和，点E，F分别在和上．(1)如图1，过点P，且与垂直，求证：； (2)如图2，为过点P的任意一条线段，试猜想还成立吗？请说明理由．       【答案】(1)证明见详解(2)成立，理由见详解 【分析】（1）过点P作于点M，由角平分线的性质定理即可得出结论； （2）过点P作于点G，交于点H，证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点P作于点M，    ∵，，． 和分别是和的平分线， 且，，， ，．． （2）成立．理由如下： 如图，过点P作于点G，交于点H，    ，，，， 由（1）得，在和中， ，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 例4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1，是的平分线，点是上的任何一点，，，垂足分别为点和点．求证：．请写出完整的证明过程：… (1)请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)【应用】如图3，在中，，平分于点，点在上，，若，则的长为______． (3)【拓展】如图4，在中，平分交于点于点，若，，，则的面积为____． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）由角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，由此证明，即可证明；（2）同（1）法可得：，得到，，再证明，得到，根据线段之间的关系推出，代入求解即可；（3）过点作，交于点，由角平分线的定义和性质得到，，再证明，得到，据此利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：是的平分线，， ，，， 又，，； （2）解：，，平分，， 同（1）法可得：，，， ，，又，，，， ，，， ∵，∴，；故答案为：； （3）解：过点作，交于点，如图， 平分交于点，，，， ，，， ，， ∵，，；故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和角平分线的性质，等角对等边，三角形内角和定理，通过（1）中证明角平分线的性质定理是解题的关键． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。 但同学们也需要注意，在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！） 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 例1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．延长交于点，证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，即可获得答案． 【详解】解：如下图，延长交于点， ∵，，，∴， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴．故答案为：3． 例2．（2023·江苏·八年级期末）如图，中， ， ，平分，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点E，可证，再根据，可得的长度，当最大即可求得最大值． 【详解】解：如图所示延长交于点E， ∵平分，，∴ ，， 在与中，∵ ， ，， ∴∴ ， ， ∵∴ ，∵，∴ ， ∴当，最大，即最大， ∴答案为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质及全等三角形性质，解题关键是根据中线将小三角形面积转换成大三角形面积取垂直时最大． 例3．（2024·广东·九年级期中）如图，在中，，， （1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点． （i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：．（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由． （3） 如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程） 【答案】（1）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析；（2）BD＝2CE，理由见解析；（3）CE＝FD． 【分析】（1）（ⅰ）由等腰三角形的性质即可证得结论； （ⅱ）过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图1，先根据AAS证明△ABE≌△CAM，可得AE＝CM，然后根据角平分线的定义、平行线的性质和等量代换可得∠FCM＝∠EAD，进而可根据ASA证明△AED≌△CMF，于是可得结论；（2）延长BA、CE相交于点F，如图2，先利用ASA证明△BCE和△BFE全等，可得CE＝EF，根据余角的性质可得∠ABD＝∠ACF，然后利用ASA可证明△ABD和△ACF全等，进而可得BD＝CF，进一步即得结论；（3）过点F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延长线于点G，如图3，先利用ASA证明△CEF≌△GEF，可得CE＝GE，然后根据平行线的性质、等腰三角形的性质和ASA证明△CGH≌△FDH，于是可得CG＝DF，从而可得结论． 【详解】（1）（ⅰ）证明：∵AB＝BF，BD平分∠ABC， ∴BE⊥AF，AE＝EF，即BD垂直平分AF； （ⅱ）证明：过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图1， ∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠CAM+∠BAE=90°，∴∠CAM＝∠ABE， 在△ABE和△CAM中，，∴△ABE≌△CAM（AAS），∴AE＝CM， ∵AF⊥BD，AF⊥CM，∴BD∥CM，∴∠FCM＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠FCM＝∠ABD，∴∠FCM＝∠EAD， 在△AED和△CMF中，，∴△AED≌△CMF（ASA），∴AD＝CF； （2）解：BD＝2CE．理由如下：如图2，延长BA、CE相交于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD， 在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF， ∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF， 在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF， ∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE． （3）解：CE＝FD．过点F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延长线于点G，如图3， ∵FG∥AB，∠EFC＝∠B，∴∠EFC＝∠GFE，又∵CE⊥FE，∴∠CEF＝∠GEF＝90°， 在△CEF和△GEF中，，∴△CEF≌△GEF（ASA），∴CE＝GE，即CE＝CG， ∵FG∥AB，∠A＝90°，AB＝AC，∴∠CHG＝∠DHF＝90°，CH＝FH． 又∵∠GCH＝∠DFH，∴△CGH≌△FDH（ASA），∴CG＝DF．∴CE＝FD． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数． 【答案】40° 【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，再通过证明，即可求得 【详解】解：如图，在上截取，连接， 是的平分线，， 在和中， ，，， ∴DE=DF，，又，， ，， 在和中，，故． 【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 例2．（2024·广西·八年级专题练习）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上． 求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）先根据同旁内角互补得到∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，再利用角平分线性质即可解答, （2）在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF,证明△ABE≌△FBE（SAS），△CDE≌△CFE（AAS）即可解题. 【详解】证明：如图所示： （1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， 又∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE． （2）在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF． 在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A＝∠5． ∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∴∠5+∠D＝180，∵∠5+∠6＝180°，∴∠6＝∠D， 在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（AAS），∴CF＝CD． ∵BC＝BF+CF，∴BC＝AB+CD， 【点睛】本题考查了平行线的性质,全等三角形的判定和性质,（1）中利用平行线的性质是解题关键,（2）中作辅助线证明三角形全等是解题关键. 例3．（2023·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE） （2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC 【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到∠1=∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到∠AED=∠C=90，CD=ED，根据已知条件得到∠B=45°．求得∠EDB=∠B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论；（2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，BD=DE，又因为∠B=2∠C，所以∠AED=2∠C，因为∠AED是△EDC的外角，所以∠EDC=∠C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC ∵AD为∠BAC的平分线∴∠BAD=∠CAD．     在△ACD和△AED中 ∴△ACD≌△AED（SAS）．∴∠AED=∠C=90°，CD=ED， 又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，∴∠B=45°．   ∴∠EDB=∠B=45°．∴DE=BE，     ∴CD=BE． ∵AB=AE＋BE，            ∴AB=AC＋CD． （2）证明：在AB取一点E使AC=AE， 在△ACD和△AED中，,∴△ACD≌△AED，∴∠C=∠AED，CD=DE， 又∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B， ∵∠AED是△EDC的外角，∴∠EDB=∠B，∴ED=EB，∴CD=EB，∴AB=AC+CD； （3）猜想：AB=CD﹣AC   证明：在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE， 在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴∠ACD=∠AED，CD=DE，∴∠ACB=∠FED， 又∵∠ACB=2∠B         ∴∠FED=2∠B， 又∵∠FED=∠B＋∠EDB，     ∴∠EDB=∠B，∴DE=BE，        ∴BE=CD， ∵AB=BE-AE      ∴AB=CD﹣AC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法. 例4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接． ∵平分，∴， 在和中， ∴（）∴，． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线．（2） ；（3）证明：． （4）如图④，在中，，延长的边到点，平分交延长线于点，若，，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形的外角的性质；（1）根据题意再证明得出，进而即可得证；（2）根据角平分线的定义可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解；（3）在上截取，证明，，根据全等三角形的性质，即可得证；（4）在上截取，证明，结合已知可得，进而根据等边对等角可得，进而根据角平分线的定义，全等三角形的性质，三角形的外角的性质即可求解． 【详解】（1）补充证明如下：∵，∴， 又∵∴，∴ ∵点是边的中点，∴，又∵∴， 在中，∴∴， 又，∴，即； （2）∵，∴， ∵为的角平分线，∴ ∴，故答案为：． （3）证明：如图所示，在上截取， ∵，∴，∵是的角平分线，∴， 在中，∴，∴，， ∵，∴， 又∵∴∵是的角平分线，∴， 在中，∴∴∴； （4）解：如图所示，在上截取， ∵平分∴， 在中，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴∴， ∴， ∴ 故答案为：． 1．（2023春·广东惠州·八年级校考开学考试）如图，在中，平分，，，则与之间的大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】作，垂足为D，交延长线于点E，再根据角平分线的性质得出，证明，得出即可． 【详解】解：作，垂足为D，交延长线于点E，则，    ∵平分，，，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，故选：A． 【点睛】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是添加辅助线来证明三角形全等． 2．（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，平分，，，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，交的延长线于点，由可证明和，从而得到和，利用即可得到答案． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，    平分，于点，于点， ，， 在和中，，，， 在和中，，，， ，，，．故选：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质和角平分线的性质解答． 3．（2024·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作直线交于点，交于点，过点作于，有下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和与角平分线的性质可得，可判断①和②；过点作于点，过点作于点，连接，根据角平分线的性质可知，可判断③；将的面积转化成的面积与的面积之和，可判断④． 【详解】解：在中，，∵，∴， ∵和的平分线相交于点，∴，， ∴， ∴，∴结论①不正确，结论②正确； 过点作于点，过点作于点，连接， ∵平分，OC平分，∴， 又∵，∴，∴，∴结论③正确， ∵，，∴， 设，，∴，∴结论④正确，∴正确的结论有：②③④，故选：C．    【点睛】本题考查角平分线的性质和三角形的内角和，熟练掌握角平分线的性质并且灵活运用是解题关键． 4．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）如图，，和分别平分和，过点P且与垂直，若，，则的面积为（   ）    A．15 B．20 C．30 D．80 【答案】A 【分析】过点P作于点E，根据平行线的性质证，再根据角平分线的性质得出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点P作于点E， ∵，∴， ∵，∴，∴，即， ∵，和分别平分和，∴，，∴， ∵，∴， ∵，∴，故选：A．    【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 5．（2024·福建·校考一模）如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点B，交CD于点F，H是BC边的中点，连接DH交BE于点G，现给出以下结论：①△ACD≌△FBD；②AE=CE；③△DGF为等腰三角形；④S四边形ADGE=S四边形GHCE．其中正确的有_________（写出所有正确结论序号）． 【答案】①②③ 【分析】证明△ACD≌△FBD（AAS），由全等三角形的性质得出AC＝BF．则①正确；证明△ABE≌△CBE（ASA），由全等三角形的性质得出AE＝CE，则可得出②正确；证出∠DGF＝∠DFG，由等腰三角形的判定可得出③正确．过G作GM⊥BD于点M，由直角三角形的性质及全等三角形的性质得出S四边形ADGE＜S四边形GHCE，故④错误． 【详解】解：①∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDF＝90°，∠DBF＋∠DFB＝180°−∠BDF＝90°， 又∵BE⊥AC，∴∠BEA＝90°，∴∠DBF＋∠DAC＝180°−∠BEA＝90°，∴∠DAC＝∠DFB， 又∵∠ABC＝45°，∴∠DCB＝180°−∠ABC−∠BDF＝45°，△BCD是等腰直角三角形， ∴BD＝CD，∴在△ACD和△FBD中， ，∴△ACD≌△FBD（AAS），故①正确； ②∵BE平分∠ABC，BE⊥AC， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴在△ABE和△CBE中， ，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，故②正确； ③∵∠HBG＋∠BGH＝180°−∠GHB＝90°，∠DBF＋∠DFG＝180°−∠BDF＝90°，∠HBG＝∠DBF， ∴∠BGH＝∠DFG，∵∠BGH＝∠DGF，∴∠DGF＝∠DFG， ∴△DGF为等腰三角形．故③正确； ④如图所示，过G作GM⊥BD于点M， ∵H为等腰直角△BCD斜边BC的中点，∴DH⊥BC，即∠GHB＝90°， 又∵BE平分∠ABC，GM⊥BD，∴GM＝GH， 又∵BD＞BH，∴S△BDG＞S△BGH，又∵△ABE≌△CBE，∴S△ABE＝S△CBE， ∴S四边形ADGE＝S△ABE−S△BDG，S四边形GHCE＝S△CBE−S△BGH， ∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE，故④错误；综上所述：正确的有①②③．故答案为：①②③． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，证明△ABE≌△CBE是解题的关键． 6．（2023·重庆市八年级月考）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为______cm2． 【答案】4.5 【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出，代入求出即可． 【详解】解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠EBP， ∵AP⊥BP，∴∠APB=∠EPB=90°， 在△ABP和△EBP中， ，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP=PE， ∴∴ cm2，故答案为4.5． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 7．（2023·江苏八年级月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝________． 【答案】2 【分析】根据题意延长BA、CE相交于点F，利用“角边角”证明△BCE和△BFE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=EF，根据等角的余角相等求出∠ABD=∠ACF，然后利用“角边角”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，然后求解即可． 【详解】解：如图，延长BA、CE相交于点F， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD， 在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF， ∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF， 在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF， ∵CF=CE+EF=2CE，∴BD=2CE=4，∴CE=2．故答案为：2． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质和等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形并得到与BD相等的线段CF． 8．（2023·重庆·八年级专题练习）阅读与思考 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．    该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，    平分，． ，． 在和中，， （依据1） （依据2），， ，． …… 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．    【答案】任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；任务二：见解析；应用：12 【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案； 任务二：先推出，得出，，进而可得，即可得到答案； 应用：延长、交于点，先推出，得到，进而可得，再推出，即可得出结论． 【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等； 任务二：…… ，，； 应用：延长、交于点，    平分，， ，， 在和中， ，，， ，，， 在和中，，． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，点E为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）过点E作于F，根据角平分线的性质得出，再根据，得出，进而根据角平分线的判定定理可得出结论；（2）根据角平分线的性质得出，，再证明，，根据全等三角形的性质得出，，进而得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于F，    ∵，平分，∴， ∵E是的中点，∴，∴， 又∵，，∴是的平分线． （2）∵平分，平分，，， ∴，，∴，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质．掌握角平分线的判定与性质，是解题的关键． 10.（2023.成都嘉祥八年级月考）如图，在中，，AD、CE分别平分、，AD、CE交于O．（1）求的度数；（2）求证：． （1）； （2）在AC上截取AT，使，连接OT， 在和中， ∴，∴，∴ 在和中， ∴，∴，∴． 11．（2023·四川·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF． （2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）BD=2CE，理由见解析；（3）FM=2CE． 【分析】(1) 由BD平分∠ABC，可得∠ABE=∠FBE，可证△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°即可；（2）延长CE，交BA的延长线于G，由CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可证△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，可证△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可． 【详解】证明(1) ∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE， ∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS）， ∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=× 180°=90°，∴BD垂直平分AF． （2）BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G， ∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE， ∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA， 又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE， （3）FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H， ∴FN=MN，MH=FH=FM，∴∠NMH=∠NBH， ∵∠EFC=∠ABC=22.5°，∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC， ∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN， ∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE， 又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE． 【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线，三角形外角性质，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线是解题关键． 12．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°． (1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示与之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)AD⊥CB′；；(2)①∠BAC=2∠DAE，理由见解析；②BE=CD+DE，理由见解析 【分析】（1）先证明∠ADC=90°，再过点A作AF⊥BC于点F，根据角平分线的性质，证明△ADC≌△AFC(HL)，即可求解；（2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形内角和定理得到α=90°-∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，推出∠ACD=90°-∠DAE=α，进一步计算即可求解； ②在BC上截取BG=CD，先后证明△ABG≌△ACD(SAS)，△GAE≌△DAE (SAS)，即可求解． （1）解：∵点E与点C重合，且∠DAE+∠ACD=90°， ∴∠ADC=90°，∴AD⊥CB′； 过点A作AF⊥BC于点F，　 ∵AB=AC，∴CF=BF=BC=， ∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，∴AF= AD，∴△ADC≌△AFC(HL)， ∴CD=CF=，故答案为：AD⊥CB′；； （2）解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下： 设∠ACB′=∠ACB=α=∠B，∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°-∠BAC， ∵∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ACD=90°-∠DAE=α， ∴90°-∠BAC=90°-∠DAE，∴∠BAC=2∠DAE； ②BE=CD+DE，理由如下：在BC上截取BG=CD，　 在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD(SAS)，∴AG=AD，∠BAG=∠CAD， ∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，∴∠BAC=∠GAD， ∵∠BAC=2∠DAE，∴∠GAD=2∠DAE，∴∠GAE=∠DAE， 在△GAE和△DAE中，，∴△GAE≌△DAE (SAS)， ∴GE=DE，∴BE=BG+GC=CD+DE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 13．（2022·重庆·二模）已知：如图1，四边形ABCD中，，连接AC、BD，交于点E，． (1)求证：；(2)如图2，过点B作，交DC于点F，交AC于点G，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，若，求线段GF的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）过点A作AP⊥BD于点P，AF⊥BC，交CB的延长线于点F，可证四边形APBF是正方形，可得AP＝AF，根据“HL”可证，可得∠DAP＝∠FAC，即可得∠DAC＝90°； （2）过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥BD于点N，过点C作CP⊥BF于点P，在BD上截取DH＝BC，连接AH，根据角平分线的性质可得FN＝FM，根据S△DBF＝2S△CBF，可得BD＝2BC，即BH＝DH＝BC，通过全等三角形的判定和性质可得AG＝GC； （3）由全等三角形的性质可得BG＝PG＝，根据勾股定理可求GC，DC，PF的长，即可求GF的长． (1)解：如图，过点A作AP⊥BD于点P，AF⊥BC，交CB的延长线于点F， ∵AP⊥BD，AF⊥BC，BD⊥BC∴四边形APBF是矩形 ∵∠ABC＝135°，∠DBC＝90°，∴∠ABP＝45°，且∠APB＝90°， ∴AP＝PB，∴四边形APBF是正方形∴AP＝AF，且AD＝AC， ∴，∴∠DAP＝∠FAC， ∵∠FAC+∠PAC＝90°∴∠DAP+∠PAC＝90°∴∠DAC＝90° (2)如图，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥BD于点N，过点C作CP⊥BF于点P，在BD上截取DH＝BC，连接AH， ∵∠ABC＝135°，∠ABF＝90°，∴∠CBF＝45°，且∠DBC＝90°， ∴∠DBF＝∠CBF，且FN⊥BD，FM⊥BC，∴FN＝FM， ∵S△DBF＝2S△CBF，∴×2， ∴BD＝2BC，∴BH＝BD﹣DH＝BD﹣BC＝BC， ∵∠AED＝∠BEC，∠DAC＝∠DBC＝90°， ∴∠ADH＝∠ACB，且AD＝AC，DH＝BC，∴△ADH≌△ACB（SAS）， ∴∠AHD＝∠ABC＝135°，AH＝AB，∴∠AHB＝∠ABD＝45°，∴∠HAB＝90°， ∵BC＝BH，∠HAB＝∠BPC，∠AHB＝∠FBC＝45°，∴△AHB≌△PBC（AAS），∴AB＝PC， ∵AB＝PC，且∠ABP＝∠BPC，∠AGB＝∠CGP，∴△AGB≌△CGP（AAS），∴AG＝GC (3)解：如图， ∵AB＝3＝PC，∠PBC＝45°，PC⊥BF，∴BP＝PC=3， ∵△AGB≌△CGP，∴BG＝PG＝， 在中，CG＝＝，∴AG＝GC＝ ∴AC＝AD＝2AG＝3 在中，CD＝＝， ∵S△DBF＝2S△CBF，∴DF＝2FC∵DF+FC＝DC∴FC＝ 在中，PF＝＝1∴FG＝PG+PF＝1+ ＝． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是添加恰当的辅助线构造全等三角形． 14．（2023·安徽·九年级期末）如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 【答案】（1）见详解；（2）108°；（3）见详解 【分析】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，由 CA＝CB，，得是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根据全等三角形的性质得到AC＝AM，于是得到结论； （2）如图2，设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠KAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠AKD＝α，根据三角形的内角和即可得到结论；（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根据等腰三角形的性质得到DH＝BH，于是得到结论． 【详解】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，∴在中，， ∴∠ABC＝45°， ∵∠ACB＝90°，AD是角平分线，∴CD＝MD， ∴∠BDM＝∠ABC＝45°，∴BM＝DM，∴BM＝CD， 在RT△ADC和RT△ADM中，，∴RT△ADC≌RT△ADM（HL）， ∴AC＝AM，∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD，即AB＝AC＋CD； （2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，如图2， ∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK∴BK＝BD，∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠KAD， 在△CAD和△KAD中， ∴△CAD≌△KAD（SAS）， ∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180°−α，∵BK＝BD，∴∠BDK＝180°−α， ∴在△BDK中，180°−α＋180°−α＋90°−α＝180°，∴α＝108°，∴∠ACB＝108°； （3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°， ∵AD是角平分线，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°， 在AB上截取AK＝AC，连接DK，由（1）得，△CAD≌△KAD， ∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD， ∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝∠DHK -∠CBA =40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD， ∵AB＝AH＋BH，∴AB＝AD＋CD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．（2022·自贡市九年级月考）根据图片回答下列问题． (1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC． (2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC． 【答案】（1）=；（2）见解析； 【分析】（1）利用HL判断出△ADC≌△ADC，即可得出结论； （2）先构造出△ACD≌△AED，得出DC=DE，∠AED=∠C，在判断出DE=DB，即可得出结论； 【详解】解：证明：（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，∴∠C=90°， ∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAD，∵AD=AD，∴△ACD≌△ABD（AAS），∴BD=CD； （2）如图②，在AB边上取点E，使AC=AE， ∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD， ∵AD=AD，AC=AE，∴△ACD≌△AED（SAS），∴DC=DE，∠AED=∠C， ∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°，∴∠DEB=∠B，∴DE=DB，∴DB=DC； 【点睛】本题是四边形综合题，考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型． 16．（2023·山东·九年级专题练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容． 已知：如图13.5.4，是的平分线，P是上任意一点，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得 【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明的过程． 【类比探究】（1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点分别在和上，连接和，若，求证： ；（2）如图③，的周长是12，分别平分和于点D，若 ，则的面积为 ． 【答案】【问题解决】见解析；【类比探究】（1）见解析；（2）18 【分析】[问题解决]利用角角边定理证明，根据全等三角形的性质证明结论； [类比探究]（1）过点P作于于F，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过O作与于F，利用角平分线的性质可得，然后再利用面积的计算方法可得答案． 【详解】[问题解决]证明：∵∴ 在和中，,∴(AAS)，∴； [类比探究]（1）证明：如图②，过点P作于E，于F， ∵是的平分线，，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴； （2）过O作与E，于F， ∵分别平分和，∴， ∵，∴，∵的周长是，∴ ， ∴的面积：，故答案为：18． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 17．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）在中，、分别平分和，和相交于点．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，若，求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ABD=∠ABC，∠BAD=∠BAC，利用三角形的内角和定理可求解∠ABD+∠BAD=70°，即可求得∠ABC+∠BAC=140°，结合三角形的内角和定理可求解．（2）过点作于，于，于，由角平分线的性质定理得，从而可得结论；（3）延长至，使，连接，据AAS证明，得，进一步可得出结论． 【详解】（1）解：∵AF、BE分别平分∠BAC和∠ABC，且相交于点D， ∴∠ABD=∠ABC，∠BAD=∠BAC， ∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，∠ADB=110°，∴∠ABD+∠BAD=70°，∴∠ABC+∠BAC=140°， ∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=40°， （2）解：如图，过点作于，于，于， ∵、分别平分和，， ，，，，∴， 又∵，，∴平分； （3）解：如图，延长至，使，连接， ∵、分别平分和，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，，，∴， ∴，∴，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 18．（2023·广西钦州·八年级校考阶段练习） (1)感知：如图，平分，，易知：（不需证明） (2)探究：如图，平分，，求证：． (3)应用：如图，四边形中，，，，，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【分析】（1）由证明，即可得出结论； （2）作于，于，由证明，即可得出结论；（3）连接，作于点，首先由证明≌，再由证明即可解决问题． 【详解】（1），，， 平分，， 在和中，≌，； （2）作于，于，如图所示： 平分，，，， ，，， 在和中，，≌，； （3）连接，作于点，如图所示： ，，，， 在和中， ≌，，， 在和中，，≌，， ，． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$