第二十四章 圆（14大压轴考法50题专练）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（人教版）

第二十四章 圆（14大压轴考法50题专练） 目录 题型一：垂径定理 1 题型二：垂径定理的应用 4 题型三：圆心角、弧、弦的关系 7 题型四：圆周角定理 9 题型五：圆内接四边形的性质 14 题型六：点与圆的位置关系 17 题型七：三角形的外接圆与外心 21 题型八：直线与圆的位置关系 31 题型九：切线的性质 35 题型十：切线的判定 40 题型十一：切线的判定与性质 45 题型十二：三角形的内切圆与内心 52 题型十三：正多边形和圆 59 题型十四：扇形面积的计算 62 一．垂径定理 1．（2023秋•六安期中）如图，在中，已知是直径，为上一点不与、两点重合），弦过点，． （1）若，，则的长为 　　； （2）当点在上运动时（保持 不变），则　　． 2．（2023秋•萨尔图区校级期中）如图，是弦的中点，是上的一点，与交于点，已知，． （1）求线段的长； （2）当时，求的长． 3．（2023秋•湖北期中）如图，在中，直径于点，连接并延长交于点，且 （1）求证：； （2）求的度数． 二．垂径定理的应用 4．（2023秋•西平县期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米． （1）求圆弧所在的圆的半径的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 5．（2023秋•江都区期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点．已知：，． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求残片所在圆的面积． 6．（2023秋•大丰区期中）一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽为（如图），桥拱最高处离水面． （1）求桥拱半径； （2）若大雨过后，桥下面河面宽度为，问水面涨高了多少？ 三．圆心角、弧、弦的关系 7．（2023秋•海曙区期中）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径及的长． 8．（2023秋•绍兴期中）如图，在中，弦、相交于点，连接，已知． （1）求证：； （2）如果的半径为5，，，求的长． 四．圆周角定理 9．（2023秋•源汇区校级期中）如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，是上一点，，连接，点在移动的过程中，的最小值是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 10．（2023秋•大丰区期中）如图，在中，点是劣弧的中点，点在劣弧上，且，于，当，则　　． 11．（2023秋•路南区期中）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是上的一个动点，连接．过点作于，连接，则的最小值是　 　． 12．（2023秋•梁溪区校级期中）关于的方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾股方程”．请解决下列问题： （1）请写出一个“勾股方程”：　 　； （2）求证：关于的“勾股方程” 必有实数根； （3）如图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于的方程是“勾股方程”，求的度数． 五．圆内接四边形的性质 13．（2023秋•源汇区校级期中）如图，四边形内接于，为延长线上一点，连接、，若，求证：平分． 14．（2023秋•东湖区校级期中）如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上的一点，且平分，于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 15．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，、、、是上四点，． （1）判断的形状并证明你的结论； （2）当点位于什么位置时，四边形是菱形？并说明理由． （3）求证：． 六．点与圆的位置关系 16．（2023秋•宿城区期中）如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为4，则的值为　　 A． B． C． D． 17．（2023秋•东台市期中）在矩形中，，，点是平面内一动点，且满足，为的中点，点运动过程中线段长度的取值范围是 　 　． 18．（2023秋•仙居县期中）如图，在平面直角坐标系中，点是以，为圆心，1为半径的上的一个动点，已知，，连接，，则的最小值是 　 　． 七．三角形的外接圆与外心 19．（2023秋•江阴市校级期中）如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论：①是外心； ②是的外心；③；④设，则；⑤若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，．其中所有正确结论的序号是　　 A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 20．（2023秋•湖里区校级期中）如图，已知点是外接圆上的一点，于，连接，过点作直线交于，交于，若点是弧的中点，连接，， （1）求证：； （2）若，试探究与之间的数量关系，并证明． 21．（2023秋•六安期中）如图，等腰内接于，的垂直平分线交边于点，交于，垂足为，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22．（2023秋•竹山县期中）如图，等腰内接于，，点为劣弧上一点，． （1）求证：为等边三角形； （2）若，求四边形的面积． 23．（2023秋•集美区校级期中）如图1，中，，是的外接圆，过点作，交于点，垂足为，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，点在线段上，且，是的中点，连接，若，，求的半径． 八．直线与圆的位置关系 24．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为2的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当　 　时，与坐标轴相切． 25．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线的解析式为．若直线与半圆只有一个交点，则的取值范围是　 ． 26．（2023秋•新吴区期中）如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，平分． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为4，请求出图中阴影部分的面积． 九．切线的性质 27．（2023秋•西城区校级期中）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，△的周长为4，则的长为　　 A．2 B． C．4 D． 28．（2023秋•房县期中）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作的切线，交于点． （1）求证：； （2）若的半径为4，，求阴影部分的面积． 29．（2023秋•青县校级期中）已知：如图是的直径，是弦，直线是过点的的切线，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 30．（2023秋•东昌府区校级期中）如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求半径的长． 31．（2023秋•海门市校级期中）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线，交于点，的反向延长线交于点． （1）求证：； （2）若，的半径为10，求的长度． 十．切线的判定 32．（2023秋•新会区校级期中）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接． （1）判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，，求的长； （3）若是弧的中点，的半径为5，求图中阴影部分的面积． 33．（2023秋•陕州区期中）如图，为正方形对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点． （1）求证：是的切线； （2）若正方形的边长为10，求的半径． 34．（2023秋•新会区校级期中）如图，已知是外一点，交圆于点，，弦，劣弧的度数为，连接． （1）求的长； （2）求证：是的切线． 十一．切线的判定与性质 35．（2023秋•铁山区期中）如图，点在以为直径的上，平分，且于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 36．（2023秋•麒麟区校级期中）如图，，是的弦，平分．过点作的切线交的延长线于点，连接．延长交于点，交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 37．（2023秋•玉环市校级期中）如图，是的直径，点是上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 38．（2023秋•惠阳区校级期中）如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于． （1）求证：与相切； （2）若，．求的半径和的长度． 39．（2023秋•中山市期中）如图，已知是的直径，点为延长线上一点，，． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为2，求的长． 40．（2023秋•广阳区校级期中）在等腰中，，以为直径的分别与，相交于点，，过点作，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）分别延长，，相交于点，，的半径为6，求阴影部分的面积． 十二．三角形的内切圆与内心 41．（2023秋•怀仁市校级期中）如图，点是的内心，也是的外心．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 43．（2023秋•五莲县期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 43．（2023秋•东港区校级期中）在中，，，，直线经过的内心，过点作，垂足为，连接，则的最小值是 　 　． 44．（2023秋•玄武区期中）如图，在中，，，是的内切圆，与边，分别相切于点，，与的延长线交于点，则　 　． 45．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，为的直径，、为的切线，、为切点，连接、，交于点，交于，的延长线交于点，以下结论：①；②点为△的内心；③；④；⑤．其中正确的有 　 ． 十三．正多边形和圆 46．（2023秋•东台市期中）如图，在边长为的正八边形中，已知，，，分别是边，，，上的动点，且满足，则四边形面积的最大值为　　 A． B． C． D． 47．（2022秋•滨江区校级期中）如图，正方形内接于圆，，点在圆上且满足，，则点到的距离为 　 ． 十四．扇形面积的计算 48．（2023秋•大丰区期中）如图，四边形，有，，，以中点为圆心作弧及弧，动点从点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点运动到点时，线段扫过的面积为　　 A． B． C． D． 49．（2023秋•湖州期中）如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，． （1）求证：； （2）若平分，求的度数； （3）若，求图中阴影部分的面积． 50．（2023秋•冠县期中）如图，圆的直径为，两条直径，相交成角，，是的平分线． （1）求圆心角的度数； （2）求扇形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆（14大压轴考法50题专练） 目录 题型一：垂径定理 1 题型二：垂径定理的应用 4 题型三：圆心角、弧、弦的关系 7 题型四：圆周角定理 9 题型五：圆内接四边形的性质 14 题型六：点与圆的位置关系 17 题型七：三角形的外接圆与外心 21 题型八：直线与圆的位置关系 31 题型九：切线的性质 35 题型十：切线的判定 40 题型十一：切线的判定与性质 45 题型十二：三角形的内切圆与内心 52 题型十三：正多边形和圆 59 题型十四：扇形面积的计算 62 一．垂径定理 1．（2023秋•六安期中）如图，在中，已知是直径，为上一点不与、两点重合），弦过点，． （1）若，，则的长为 　　； （2）当点在上运动时（保持 不变），则　　． 【分析】（1）作于，得到，由，，得到圆的半径长，由是等腰直角三角形，得到的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长． （2）由，，得到，因此，得到，即可解决问题． 【解答】解：（1）作于， ， ，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故答案为：． （2）由（1）知，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式，关键是作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理来解决问题． 2．（2023秋•萨尔图区校级期中）如图，是弦的中点，是上的一点，与交于点，已知，． （1）求线段的长； （2）当时，求的长． 【分析】（1）连接，先根据垂径定理得出，，在中，根据勾股定理即可得出结论； （2）在中，设，则，，再根据勾股定理即可得出结论． 【解答】解：（1）连接． 过圆心，且是弦中点， ，， 在中，． ，． ； （2）在中，． 设，则，． ， 解得（舍，． 则． 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 3．（2023秋•湖北期中）如图，在中，直径于点，连接并延长交于点，且 （1）求证：； （2）求的度数． 【分析】（1）连接，由垂径定理可知是的垂直平分线，故可得出，同理可得，故，进而可得出结论； （2）由（1）知△是等边三角形，再由垂径定理可知，根据圆周角定理即可得出结论． 【解答】（1）证明：连接， ， ， ， 同理可得， ， ，即； （2）由（1）知△是等边三角形， ， 直径于点， ，， ． 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键． 二．垂径定理的应用 4．（2023秋•西平县期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米． （1）求圆弧所在的圆的半径的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【分析】（1）连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可； （2）连接，在△中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论． 【解答】解：（1）连接， 由题意得：（米，米， 在中，由勾股定理得：， 解得，（米； （2）连接， 米， 在△中，由勾股定理得：，即：， 解得：（米． （米． ， 不需要采取紧急措施． 【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 5．（2023秋•江都区期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点．已知：，． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求残片所在圆的面积． 【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点，则点是弧所在圆的圆心； （2）在中，由勾股定理可求得半径的长，由圆的面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）作弦的垂直平分线与弦的垂直平分线交于点，以为圆心长为半径作圆就是此残片所在的圆，如图． （2）连接，设，，， 则根据勾股定理列方程： ， 解得：． 即：圆的半径为． 所以圆的面积为：． 【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 6．（2023秋•大丰区期中）一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽为（如图），桥拱最高处离水面． （1）求桥拱半径； （2）若大雨过后，桥下面河面宽度为，问水面涨高了多少？ 【分析】已知到桥下水面宽为，即是已知圆的弦长，已知桥拱最高处离水面，就是已知弦心距，可以利用垂径定理转化为解直角三角形的问题． 【解答】解：（1）如图所示，设点为的圆心，点为的中点， 连接，，交于，由题意得，， 由垂径定理得，， 设半径为，则在中， ，即， 解得，所以桥拱的半径为； （2）设河水上涨到位置（如图所示）， 这时，，有（垂足为， ， 连接，则有， ， ． 【点评】上涨高度即是弦心距的差．是正确解本题的关键． 三．圆心角、弧、弦的关系 7．（2023秋•海曙区期中）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径及的长． 【分析】（1）要证明，可以证明；是的直径，则，又知，则，则，，则； （2）在直角三角形中，，又知，，所以可以求得的长，即可求得圆的半径；再利用面积法求得的长． 【解答】（1）证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 又是的中点， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 的半径为5， ， ． 【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用． 8．（2023秋•绍兴期中）如图，在中，弦、相交于点，连接，已知． （1）求证：； （2）如果的半径为5，，，求的长． 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，推出，根据全等三角形的性质得到结论； （2）过作与，于，连接，，根据垂径定理得到，，由于，于是得到，推出，根据全等三角形的性质得到，证得四边形是正方形，于是得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）， ， 在与中，， ， ； （2）过作与，于，连接，， 根据垂径定理得：，， ， ， 在与中， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， 设， 则， ， 即：， 解得：，（舍去）， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，熟练则全等三角形的判定和性质是解题的关键． 四．圆周角定理 9．（2023秋•源汇区校级期中）如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，是上一点，，连接，点在移动的过程中，的最小值是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】如图，取的中点，连接，，．由题意点在以为圆心，为半径的上，推出当、、共线时，的值最小； 【解答】解：如图，取的中点，连接，，． ， ， 点在以为圆心，为半径的上， 当、、共线时，的值最小， 是直径， ， ， ， 的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 10．（2023秋•大丰区期中）如图，在中，点是劣弧的中点，点在劣弧上，且，于，当，则　　． 【分析】在上截取，连接，，，，，可以证明，得到，由，得到，由圆周角定理得到，因此，得到，即可求解． 【解答】解：在上截取，连接，，，，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形． 11．（2023秋•路南区期中）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是上的一个动点，连接．过点作于，连接，则的最小值是　 　． 【分析】如图，连接、．在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动，当、、共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【解答】解：如图，取的中点，连接、． ， ， 在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动， 是直径， ， 在中，，， ， 在中，， ， 当、、共线时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定等的运动轨迹是以为直径的圆上运动，属于中考填空题中压轴题． 12．（2023秋•梁溪区校级期中）关于的方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾股方程”．请解决下列问题： （1）请写出一个“勾股方程”：　 　； （2）求证：关于的“勾股方程” 必有实数根； （3）如图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于的方程是“勾股方程”，求的度数． 【分析】（1）由“勾股方程”满足的条件，即可写出一个“顾神方程”； （2）由一元二次方程根的判别式，即可判断； （3）由勾股定理，垂径定理，圆周角定理，即可求解． 【解答】（1）解：写出一个“勾股方程”： （答案不唯一）， 故答案为： （答案不唯一）； （2）证明：关于的方程是“勾股方程”， 且， ①当时， △ ， 方程有两个实数根， ②当时， 方程为，， 该方程有实数根， “勾股方程”必有实数根； （3）解：作于，延长交于，连接，， ， ， ，， ， ， 是“勾股方程， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查“勾股方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，关键是明白“勾股方程”的定义． 五．圆内接四边形的性质 13．（2023秋•源汇区校级期中）如图，四边形内接于，为延长线上一点，连接、，若，求证：平分． 【分析】先根据圆内接四边形的性质得出，再根据得出，故可得出，再由圆周角定理得出，故可得出，故可得出结论． 【解答】证明：四边形内接于， ． ， ， ． 与是同弧所对的圆周角， ， ，即平分． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 14．（2023秋•东湖区校级期中）如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上的一点，且平分，于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答； （2）过点作，分别证明和，根据全等三角形的性质计算． 【解答】（1）证明：平分， ， ，， ， ， ， ； （2）解：过点作，垂足为点． 平分，，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 15．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，、、、是上四点，． （1）判断的形状并证明你的结论； （2）当点位于什么位置时，四边形是菱形？并说明理由． （3）求证：． 【分析】（1）利用圆周角定理可得，，而，所以，从而可判断的形状； （2）当点位于中点时，四边形是菱形，通过证明和均为等边三角形，知，四边形是菱形； （3）在上截取，则是等边三角形，然后证明，证明，即可证得． 【解答】解：（1）证明：（1）是等边三角形． 证明如下：在中， 与是所对的圆周角，与是所对的圆周角， ，， 又， ， 为等边三角形； （2）当点位于中点时，四边形是菱形， 连接， ，是的中点， 又， 和均为等边三角形， ， 四边形是菱形； （3）如图2，在上截取， 又， 是等边三角形， ，，即． 又， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 【点评】本题考查的是圆内接多边形的性质、菱形的性质，掌握圆内接四边形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 六．点与圆的位置关系 16．（2023秋•宿城区期中）如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为4，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】首先根据题意取的中点，根据点的运动轨迹，确定点的运动轨迹，根据，可确定当点、、三点共线时，有最大值4，此时，求出，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，则，联立即可求出半径的值，然后求出的长，利用勾股定理即可求出的长． 【解答】解：方法一、如图所示，连接、，取的中点，连接和，设的半径为， 点为的中点， ， 点是上的动点（不与重合），点为顶点， 点的运动轨迹是以点圆心，以的长为半径的圆上， 则， 当点、、三点共线时，有最大值4，此时， ， ， ， 点为的中点， ， ，解得：， ， 在△中，； 方法二、如图，延长交于，连接，， ，是直径， ， 又点是的中点， ， 当为直径时，有最大值， ， ， ， 在△中，； 故选：． 【点评】本题主要考查的是圆的动点综合题型，解题关键是确定点、、三点共线时，有最大值4． 17．（2023秋•东台市期中）在矩形中，，，点是平面内一动点，且满足，为的中点，点运动过程中线段长度的取值范围是 　 　． 【分析】连接，取的中点，连接，可知为的中位线，则可得，进而可知点在以为圆心，以1为半径的圆上运动，在矩形中，根据进而得出答案． 【解答】解：连接，取的中点，连接，， 为的中点， 为的中位线， ， 点在以为圆心，以1为半径的圆上运动， 在矩形中，， 的取值范围为， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，点和圆的位置关系等知识点，灵活运用所学知识点得出点的运动轨迹是解本题的关键． 18．（2023秋•仙居县期中）如图，在平面直角坐标系中，点是以，为圆心，1为半径的上的一个动点，已知，，连接，，则的最小值是 　 　． 【分析】设点，表示出的值，从而转化为求的最值，画出图形后可直观得出的最值，代入求解即可． 【解答】解：设， ，， ， ， ， 当点处于与圆的交点上时，取得最值， 的最小值为， 最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点坐标，将所求代数式的值转化为求解的最小值，难度较大． 七．三角形的外接圆与外心 19．（2023秋•江阴市校级期中）如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论：①是外心； ②是的外心；③；④设，则；⑤若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，．其中所有正确结论的序号是　　 A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 【分析】本题命题思路是以等边外心为背景，进而得到，，，四点共圆，从而对角互补，利用旋转，可以转化四边形为一个规则的等边三角形，最后利用轴对称性可解决周长最小值的问题． 【解答】解：连接，； 为 的外心； ； 正方形； ； ； 是的 外心；故①正确． 对于②，连接，， ， 不是 的外心；故②错误． 对于③，连接， ， ，，，三点共圆； ， ， 即；故③正确． 对于④， ， ，，，四点共圆， 如图所示，以点为旋转中心，把绕点逆时针旋转，点的对应点为点，， ， ， 即， ， ， ，，三点共线； 由旋转的性质可得，， 是等边三角形； ， 过点作的垂线，垂足为， ， ； 在中， ， ； ；， ， ； 故④正确． 对于⑤， 如图所示；作和关于和的对称线段， ，；， 当，，，四点共线时， 周长最小： 即，， 连接， ，连接， 是等腰三角形； ，； ； ， ； 三角形是以为顶角的等腰三角形； 过点作的垂线，垂足为， ， ； 在中； ； 即 故⑤错误；综上所述，①③④正确； 故选：． 【点评】本题主要考查正方形的性质，等边三角形性质及其外心的性质，圆周角定理，四点共圆及圆内接四边形的性质，旋转变换，利用轴对称解决周长最小值，等腰三角形的解法及解直角三角形，见外心连顶点，到三个顶点距离相等，判定外心只需确顶点是都到三角形三个顶点距离相等，四边形对角互补要旋转，转化定型求面积，求周长最小值利用轴对称变换是关键，转化两点间距离最短即可，最后牢记特殊三角形的边长之比非常重要，例如等腰三角形三边之比为 ． 20．（2023秋•湖里区校级期中）如图，已知点是外接圆上的一点，于，连接，过点作直线交于，交于，若点是弧的中点，连接，， （1）求证：； （2）若，试探究与之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据平行线性质及圆周角性质直接得出结论． （2）作于点，连接．先证明，再根据与的关系推出，然后可得出结论． 【解答】（1）证明：， ， ， ； （2）与之间的数量关系为：． 理由如下： 作于点，连接． ， ， 为中点， ， ， 于， ， ， ，， ，， ， ， 设，则， ，，，，，， ， ， ， ， 即． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆及其性质、圆中各种角度的相互转化、含的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，判断出以及证明是解答的关键． 21．（2023秋•六安期中）如图，等腰内接于，的垂直平分线交边于点，交于，垂足为，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据垂径定理可得，然后利用圆周角定理即可解决问题； （2）连接，根据垂直平分线的性质得，结合（1）证明，设，根据三角形内角和定理求出，进而可以解决问题． 【解答】（1）证明：是的垂直平分线， ， ； （2）解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， ， 由（1）， 设， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，线段垂直平分线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，解决本题的关键是得到． 22．（2023秋•竹山县期中）如图，等腰内接于，，点为劣弧上一点，． （1）求证：为等边三角形； （2）若，求四边形的面积． 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据，则可判断为等边三角形； （2）过点作的延长线于点，证明，根据，可得，所以，，然后根据四边形的面积的面积等边三角形的面积，即可解决问题． 【解答】（1）证明：， 又， 为等边三角形； （2）解：如图，过点作的延长线于点， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， 在中，，， 根据勾股定理得：， 等边三角形的面积， 四边形的面积的面积等边三角形的面积． 四边形的面积为． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练运用圆周角定理，垂径定理． 23．（2023秋•集美区校级期中）如图1，中，，是的外接圆，过点作，交于点，垂足为，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，点在线段上，且，是的中点，连接，若，，求的半径． 【分析】（1）作于，根据题意易求得，利用角的关系和圆周角定理可求得，即可求解； （2）连接并延长交延长线于点，连接，，，根据圆周角定理可求得垂直平分，再求证四边形为平行四边形，设半径为，则，，根据勾股定理即可求解． 【解答】（1）证明：如图1，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接并延长交延长线于点，连接，，， 是的中点， ， ，， ， ， 垂直平分， 为直径， ， ， ，， ， ， ， 在中，，即， ， ， 四边形为平行四边形， ， 设半径为，则，， 在中，， 在中，， ， ，解得， 的半径为4． 【点评】本题主要考查了圆的综合知识，圆周角定理，勾股定理等知识点，熟练掌握关于圆的相关性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 八．直线与圆的位置关系 24．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为2的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当　 　时，与坐标轴相切． 【分析】设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，，，推出是等腰直角三角形，，①当与轴相切时，②如图，与轴和轴都相切时，③当点只与轴相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论． 【解答】解：设与坐标轴的切点为， 直线与轴、轴分别交于点、，点， 时，，时，，时，， ，，， ，，， 是等腰直角三角形，， ①当与轴相切时， 点是切点，的半径是2， 轴，， 是等腰直角三角形， ，， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与轴和轴都相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ③当点只与轴相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ． 综上所述，则当或6或10秒时，与坐标轴相切， 故答案为：2或6或10． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 25．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线的解析式为．若直线与半圆只有一个交点，则的取值范围是　 ． 【分析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点或从直线过点开始到直线过点结束（不包括直线过点． 当直线和半圆相切于点时，根据直线的解析式知直线与轴所形成的锐角是，从而求得，即可求出点的坐标，进一步求得的值；当直线过点时，直接根据待定系数法求得的值． 【解答】解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点或从直线过点开始到直线过点结束（不包括直线过点． 直线与轴所形成的锐角是． 当直线和半圆相切于点时，则垂直于直线，． 又，则，即点，， 把点的坐标代入直线解析式，得 ， 当直线过点时，把点代入直线解析式，得． 当直线过点时，把点代入直线解析式，得． 即当或时，直线和圆只有一个公共点； 故答案为或． 【点评】此题综合考查了直线和圆的位置关系，及用待定系数法求解直线的解析式等方法． 26．（2023秋•新吴区期中）如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，平分． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为4，请求出图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，证明，根据切线的判定定理证明即可； （2）证明是等边三角形，得到，根据勾股定理求出、，根据梯形的面积公式、扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）与相切， 理由：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，即， ， 与相切； （2）， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ． 【点评】本题考查的是切线的判定、扇形面积的计算，掌握切线的判定定理、扇形面积公式是解题的关键． 九．切线的性质 27．（2023秋•西城区校级期中）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，△的周长为4，则的长为　　 A．2 B． C．4 D． 【分析】根据切线长定理得到，再根据切线长定理、三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， 同理，， △的周长， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键． 28．（2023秋•房县期中）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作的切线，交于点． （1）求证：； （2）若的半径为4，，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接，易得，由，易得，等量代换得，利用平行线的判定得，由切线的性质得，得出结论； （2）连接，利用（1）的结论得，易得，得出，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论． 【解答】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， 是的切线， ， ． （2）解：连接， ，， ， ， ， ， 的半径为4， ，， ． 【点评】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键． 29．（2023秋•青县校级期中）已知：如图是的直径，是弦，直线是过点的的切线，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得，则可判定，所以，加上，则； （2）利用圆周角定理得，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得的长． 【解答】（1）证明：连接，如图， 为切线， ， 而， ， ， ， ， ； （2）解：为直径， ， 在中，， ． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理． 30．（2023秋•东昌府区校级期中）如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求半径的长． 【分析】（1）连接，利用切线的性质和角之间的关系解答即可； （2）根据直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：（1）连接， 是的切线，是的半径， ， ， ，， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设的半径为， ， ， 解得：， 的半径为2． 【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答． 31．（2023秋•海门市校级期中）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线，交于点，的反向延长线交于点． （1）求证：； （2）若，的半径为10，求的长度． 【分析】（1）欲证明，只需推知即可； （2）如图，过点作于点，构建矩形，设．则由矩形的性质推知：，．在中，由勾股定理知：，通过解方程得到的长度，结合，得到． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ． 是的切线，是半径， ， ； （2）如图，过点作于点，则， 四边形是矩形， ，． 设． ，， ，． 在中，由勾股定理知：，即， 解得，（不合题意，舍去）． ． ， ， ． 【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质．解题时，利用了方程思想，属于中档题． 十．切线的判定 32．（2023秋•新会区校级期中）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接． （1）判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，，求的长； （3）若是弧的中点，的半径为5，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）由平分得，加上，则，于是可判断，由于，所以，则可根据切线的判定定理得到为的切线； （2）作与，如图，根据垂径定理得，再证明四边形为矩形，得到，，在△中利用勾股定理计算出，则，然后在△中根据勾股定理可计算出的长； （3）由是弧的中点得到，根据垂径定理得，由于，根据等腰三角形的判定得到，即，所以△为等边三角形，易得△为等边三角形，所以，，可计算出，于是可计算出，，由于，然后利用进行计算． 【解答】解：（1）与相切．理由如下： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 为的切线； （2）作与，如图，则， ，，， 四边形为矩形， ，， 在△中，，， ， ， 在△中，，， ； （3）是弧的中点， ， ， ， ， ， △为等边三角形， 同理可得△为等边三角形， ，， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算． 33．（2023秋•陕州区期中）如图，为正方形对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点． （1）求证：是的切线； （2）若正方形的边长为10，求的半径． 【分析】（1）首先连接，并过点作，由长为半径的与相切于点，可得，，然后由为正方形的对角线，根据角平分线的性质，可证得，即可判定是的切线； （2）由正方形的边长为10，可求得其对角线的长，然后由设，可得，由勾股定理求得，则可得方程，继而求得答案． 【解答】（1）证明：连接，并过点作． 切于点， ，， 又为正方形的对角线， ， ， 即：是的切线． （2）解：正方形的边长为10， ，，， ， ， ， 设，则， ， ， ， 解得：． 的半径为：． 【点评】此题考查了切线的判定、正方形的性质、角平分线的性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 34．（2023秋•新会区校级期中）如图，已知是外一点，交圆于点，，弦，劣弧的度数为，连接． （1）求的长； （2）求证：是的切线． 【分析】（1）首先连接，由弦，劣弧的度数为，易证得是等边三角形，则可求得的长； （2）由，是等边三角形，可求得，即可得，又由等边三角形的性质，，，则可证得，继而证得是的切线． 【解答】（1）解：连接， 弦，劣弧的度数为， 弧与弧的度数为：， ， ， 是等边三角形， ； （2）证明：，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 点在上， 是的切线． 补： 证明：， ， 由（1）可知：， ，， 是直角三角形， ， ， 是的切线． 【点评】此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 十一．切线的判定与性质 35．（2023秋•铁山区期中）如图，点在以为直径的上，平分，且于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【分析】（1）如图1中，连接．只要证明，由，即可推出； （2）过点作于点，得矩形，然后利用勾股定理即可求出半径的长． 【解答】（1）证明：如图中，连接． ， ， 平分， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，过点作于点， 得矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 解得． 的半径为． 【点评】此题主要考查了切线的性质与判定，解决本题的关键是掌握切线的判定． 36．（2023秋•麒麟区校级期中）如图，，是的弦，平分．过点作的切线交的延长线于点，连接．延长交于点，交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【分析】（1）欲证明是的切线，只要证明，由即可解决问题． （2）先证明，在中利用30度性质以及勾股定理即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图，连接． 为圆的切线 ． 平分， ． ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 是的切线； （2）， ， ， ， 是直径， ， ， ， 在中， ，， ， ． 【点评】本题考查切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，发现特殊角，属于中考常考题型． 37．（2023秋•玉环市校级期中）如图，是的直径，点是上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出，从而，由得，由两直线平行，同旁内角互补得出，由切线的判定定理得出答案； （2）先由相等的圆周角所对的弧相等，进而得出，然后根据勾股定理即可求出结果． 【解答】（1）证明：如图，连接，， 则． 平分， ． ． ， 为直径， ． ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：平分， ． ， ， 在中，，，根据勾股定理，得 ， ． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆的切线的判定与性质及圆中的相关计算是解题的关键． 38．（2023秋•惠阳区校级期中）如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于． （1）求证：与相切； （2）若，．求的半径和的长度． 【分析】（1）连接，要证明切线，只需证明，根据，只需得到，根据圆周角定理即可证明； （2）设的半径为，则，，，在中根据勾股定理可计算出；作于，根据垂径定理得，再利用面积法计算出，然后根据勾股定理计算出，再利用垂径定理得出． 【解答】（1）证明：连接； ， ， ； 又， ， 是的切线． （2）解：设的半径为，则，，， 在中，， ，解得， 作于，如图，， 则， ， ， 在中，， ， ． 【点评】本题考查了切线的判定定理．综合运用了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、30度的直角三角形的性质得到有关线段之间的关系，熟练运用平行线分线段成比例定理进行求解． 39．（2023秋•中山市期中）如图，已知是的直径，点为延长线上一点，，． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为2，求的长． 【分析】（1）连接，如图所示，由，利用等边对等角得到一对角相等，由的度数得出的度数，再由，利用等边对等角得到一对角相等，确定出的度数，由为的外角，利用外角的性质求出的度数，在中，利用三角形的内角和定理求出为，可得出为圆的切线，得证； （2）利用弧长公式求解． 【解答】（1）证明：连接，如图所示： ，， ， 又， ， ， 在中，，， 可得，即， 则为圆的切线； （2），， 的长度． 【点评】此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，以及弧长公式的运用，切线的判定方法有两种：有点连接，证明垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径． 40．（2023秋•广阳区校级期中）在等腰中，，以为直径的分别与，相交于点，，过点作，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）分别延长，，相交于点，，的半径为6，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质证出，得出，证出，即可得出结论； （2）证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，阴影部分的面积的面积扇形的面积，即可得出答案． 【解答】（1）证明：连接，如图所示： ，， ，， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积的面积扇形的面积． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，是一道综合题，难度中等． 十二．三角形的内切圆与内心 41．（2023秋•怀仁市校级期中）如图，点是的内心，也是的外心．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，根据点是的内心，，可得，再根据点也是的外心，和圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：如图，连接，， 点是的内心，， ，是，的平分线， ，， ， 点也是的外心， ， 则的度数为． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握内心与外心的区别． 42．（2023秋•五莲县期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【解答】解：是的内心， 平分， ，故①正确； 如图，连接，， 是的内心， ，， ， ， ，故②正确； ， ， ， 点为的中点， 一定在上， ，故③正确； 如图，连接， 平分， ， ， ， ， ，故④正确． 一定正确的①②③④，共4个． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心． 43．（2023秋•东港区校级期中）在中，，，，直线经过的内心，过点作，垂足为，连接，则的最小值是 　 　． 【分析】圆与三边的切点分别为，，，连接，，，先根据圆是的内切圆，，，，求出正方形的边长为，根据勾股定理可得，连接，过点作于点，当点运动到线段上时，取得最小值，再利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图，圆与三边的切点分别为，，，连接，，， 圆是的内切圆，，，， ，，，， 四边形是正方形， 设正方形的边长为， 则，， 根据题意，得 ， 解得， ， ， ， 点在以为直径的圆上，如图， 连接，过点作于点， 当点运动到线段上时，取得最小值， ， ，圆的半径， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，正方形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心． 44．（2023秋•玄武区期中）如图，在中，，，是的内切圆，与边，分别相切于点，，与的延长线交于点，则　 　． 【分析】根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出的度数和的度数，然后即可计算出的度数． 【解答】解：连接，，，交于点， ， ， 点为的内切圆的圆心， ， ， ，， 垂直平分， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形内切圆、切线长定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 45．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，为的直径，、为的切线，、为切点，连接、，交于点，交于，的延长线交于点，以下结论：①；②点为△的内心；③；④；⑤．其中正确的有 　 ． 【分析】如图所示，连接，，，先证明△△，得到，再由圆周角定理得到即可判断①；根据切线的性质和三角形内角和定理得到，进而推出则是的角平分线，同理可证得是的平分线，即可判断②；若，则应有，应，进而推出而的度数不一定是60度，即可判断③；由为△的内心，推出是的角平分线，证明△△，据此可判断④⑤． 【解答】解：如图，连接，，， 、是的切线， ，， ， △△， ， ， ，故①正确； 是的切线， ， ， ， ， ， ，即是的角平分线，同理可证得是的平分线， 为△的内心，故②正确； 若，则应有，应有， ， ， 而的度数不一定是60度，故③不正确； 为△的内心， 是的角平分线， 为的直径， ，即， △△， ，，故④正确； ， ， ，故⑤正确； 因此正确的结论有：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 【点评】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，内心的概念，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等，解决本题的关键是掌握切线的性质． 十三．正多边形和圆 46．（2023秋•东台市期中）如图，在边长为的正八边形中，已知，，，分别是边，，，上的动点，且满足，则四边形面积的最大值为　　 A． B． C． D． 【分析】易得四边形为正方形，得到四边形的面积为，进而得到当最大时，四边形的面积最大，即即为正八边形的对角线时，四边形的面积最大，即可得解． 【解答】解：连接Ⅰ，， 正八边形，， ，， 四边形为正方形， 四边形的面积为， 当最大时，四边形的面积最大， 即为正八边形的对角线时，四边形的面积最大， 如图，连接，交于点，连接，交于点， 则为等腰直角三角形，为正八边形的中心， ，垂直平分， ， 设， 则， ， 在 中，， 即， 解得： （负值不合题意，舍去）， ， 四边形的最大面积为， 故选：． 【点评】本题考查正多边形的性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．本题的难度较大，熟练掌握相关性质，求出正八边形的边长是解题的关键． 47．（2022秋•滨江区校级期中）如图，正方形内接于圆，，点在圆上且满足，，则点到的距离为 　 ． 【分析】分两种情况讨论，当点在上方时，设与相交于点，连接，过点作，交延长的延长线于，过点作于，由勾股定理可求，的长，由“”可证，可得，，可求，当点在上方时，同理可求的值． 【解答】解：如图，当点在上方时，设与相交于点，连接，过点作，交延长的延长线于，过点作于， 四边形是正方形， ，， 又， ， 又，， ， ，， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 当点在的下方时， 同理可求， 故答案为：或． 【点评】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 十四．扇形面积的计算 48．（2023秋•大丰区期中）如图，四边形，有，，，以中点为圆心作弧及弧，动点从点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点运动到点时，线段扫过的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】如图，连接，，，交于点．线段扫过的面积． 【解答】解：如图，连接，，，交于点． 由题意，， ，都是等边三角形， ，， ，， ， 由题意，线段扫过的面积． 故选：． 【点评】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是判断出，都是等边三角形． 49．（2023秋•湖州期中）如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，． （1）求证：； （2）若平分，求的度数； （3）若，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据圆周角定理即可得出答案； （2）由角平分线定义得到，由等腰三角形的性质，余角的性质推出，由直角三角形的性质即可求出的度数； （3）由等腰三角形的性质，直角三角形的性质求出的度数，得到，由直角三角形的性质求出，，的长，求出扇形的面积，的面积，即可求出阴影的面积． 【解答】（1）证明：， ， ； （2）解：连接，，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 扇形的面积，的面积， 阴影的面积扇形的面积的面积． 【点评】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理，直角三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，关键是等腰三角形的性质，余角的性质推出；由直角三角形的性质求出，，的长，． 50．（2023秋•冠县期中）如图，圆的直径为，两条直径，相交成角，，是的平分线． （1）求圆心角的度数； （2）求扇形的面积． 【分析】（1）由平角的定义得到，由角平分线的定义得到，于是得结论； （2）根据题意即可得到结论． 【解答】解：（1），， ， 是的平分线， ， 两条直径，相交成角， ； （2）的面积， 扇形的面积． 【点评】本题主要考查了垂直定义，圆心角的定义，扇形的面积公式，熟练掌握扇形的计算公式是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$