八年级上学期期中16大压轴考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

浙教版八年级上学期期中常考压轴题专题 目录 类型一、三角形三边关系的应用 1 类型二、三角形内角和问题 4 类型三、三角形中线求面积 10 类型四、三角形中线求线段长度 13 类型五、三角形高有关计算 15 类型六、折叠问题 19 类型七、全等三角形综合问题 25 类型八、轴对称的性质 40 类型九、将军饮马最短路径问题 43 类型十、等腰三角形的性质与判定 47 类型十一、等边三角形的性质与判定 51 类型十二、用勾股定理解直角三角形 64 类型十三、最短路径问题（勾股定理的应用） 75 类型十四、解特殊的不等式 77 类型十五、根据不等式的解集求参数 82 类型十六、不等式的应用 88 类型一、三角形三边关系的应用 1．如图，是边长为的正三角形内的一点，到三边的距离分别是，， ，若以，，为边可以组成三角形，则应该满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，求出正三角形的高，连接、、 ，根据，得出，，的关系即可，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系． 【详解】∵正三角形的边长为， ∴正三角形的高， 如图， 连接、、 ， 设，，， ∵， ∴ ， ∵为正三角形， ∴， ∴， ∵以，，为边可以组成三角形，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（1）如图，在中，，，，为边上一点，且与的周长相等，求的长． （2）如图，在中，，，，为边上一点，且与的周长相等；为边上一点，且与的周长相等，求（用含，的式子表示）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据与的周长相等可得出，再由，联立求解方程组即可解出的长； （2）设，则，根据与的周长相等得出，从而设，可得出的表达式，设，可得出的表达式，进而求出的值． 【详解】解：（1）∵与的周长相等， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）设，则， ∵与的周长相等， ∴， 设， ∴ ， ∴， 设，同理可得， ∴， ∵即， ∴． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，完全平方公式及多项式的乘法以及线段的和差关系，解答本题的关键是仔细审题，细化解题思路，难度较大． 3．如图，在中，已知，和的平分线相交于点． (1)求的度数； (2)试比较与的大小，写出推理过程． 【答案】(1)125°； (2)DA+DB+DC> (AB+BC+AC) ，理由见解析． 【分析】（1）先由三角形内角和定理求出∠ABC+ ∠ACB=110°，再由角平分线的定义求出 ∠CBD+ ∠BCD=55°，然后由三角形内角和定理即可得出答案； （2）由三角形的三边关系得： DA+DB> AB，DB+DC> BC，DA+DC> AC，则2 (DA+DB+DC) > AB+BC+AC，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵∠BAC=70°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°， ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D， ∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，∠ACD=∠BCD=∠ACB ， ∴∠CBD+∠BCD= (∠ABC+∠ACB) = =55°， ∴∠BDC=180°- (∠CBD+ ∠BCD)=180°- 55°=125°； （2）解：DA+DB+DC> (AB+BC+AC) ，理由如下： 在△ABD中，由三角形的三边关系得： DA+DB>AB①， 同理∶ DB+DC> BC②，DA+DC> AC③， +②+③得∶ 2 (DA+DB+DC) >AB+BC+AC， ∴DA+DB+DC> (AB+BC+AC) ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形的三边关系以及角平分线的定义等知识；熟练掌握三角形的三边关系和三角形内角和定理是解题的关键． 类型二、三角形内角和问题 4．如图，的中线、相交于点F，，垂足为H．若，，则长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，连接，由三角形的中线与面积的关系可得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵、是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴． 5．在中，，点D是下方一点，连接，，过点D作，连接，分别过点B、D作直线、，使得，平分，平分，则 ． 【答案】 【分析】过点作，根据角平分线的定义，设，则，，再根据平行线的性质及三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：过点作，    平分，平分， 设，则， ， ， ，，，， ，， 在中，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质及三角形的内角和定理，作出正确的辅助线是本题的关键． 6．在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)或； 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． （1）①如图1中，过点作交于点，利用平行线的性质求解即可； ②过点作交于点，利用平行线的性质求解即可； （2）作出图形，利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）①证明：如图1中，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ②证明： 如图2， 过点作交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设交于，如图3， ∵， ∴， ∵，， ∴， 当点在的延长线上时，同法可证，如图4： 7．已知，如图，为延长线上一点，点是线段上一点．      (1)如图，，作平分交于，平分交于，且比大，求的度数． (2)如图，连接，若的平分线与的平分线相交于点，交于点． ①设，，，试用，，表示； ②求证：． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）设，则，根据三角形内角和定理可得，根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，进而得出，然后根据角平分线的定义即可求解； （2）①平分，平分，可得，，根据三角形的外角的性质得出，在，中，根据三角形内角和定理求得即可求解．②分别是与的外角，进而得出，，即可得证． 【详解】（1）解：设，则， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ． （2）解：①平分，平分， ，， 是的外角， ， 在中，， ， 在中，， ． ②分别是与的外角， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理与外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 类型三、三角形中线求面积 8．如图，在中，，，分别为，，的中点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，以及三角形中线的性质，解题的关键在于掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形。根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形用表示出、、，的面积，然后表示出的面积，再表示出的面积，即可解题． 【详解】解： ，，分别为，，的中点，且， ， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，在中，已知为的中线，过点作分别交于点，连接，若，，，则 ． 【答案】21 【分析】本题考查三角形中线的性质，根据题中的边长之比得出对应的三角形的面积之比是解题的关键．由中线的性质可得出，．再根据，可得出，．设，则，再分别用x表示求出和，最后列等式求解即可． 【详解】解：∵为的中线，， ∴，． ∵， ∴，． 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴ ． 故答案为：21． 10．【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答： 在图中过A作于点． 是的中线， ． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图，点在的边上，点在上． ①若是的中点，求证：； ②若，则 ． 【拓展延伸】 （2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系． 【答案】（1）①见解析，②2 （2） 【分析】本题考查利用三角形的中线求三角形面积及其应用．熟练掌握等高（或同高）的两三角形面积比等于底边之比是解题的关键． （1）①根据是的中点，则，，从而得，即可得出结论； ②根据，则，，即，得出，即可求    解． （2）连接，根据，得，，根据，则，，设，，则，，，，根据，则，从而求得，再根据则求得，则有，所以，即可得出． 【详解】解：（1）①∵是的中点， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）连接， ∵， ∴，， ∵， ∴，， 设，，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型四、三角形中线求线段长度 11．如图，点是的重心，连接并延长交于点，，的周长比的周长大，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心和中线性质，三角形的周长，由点是的重心，可得是得中线，即得，进而由周长可得，据此即可求解，掌握三角形的重心的定义是解题的关键． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是得中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 【答案】的周长为． 【分析】本题考查了三角形中线的定义，根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 【详解】解：∵为边上的中线， ， 的周长为， ， ， 的周长． 13．如图，在中，是中线，，的周长比的周长大4． (1)求，的长； (2)求周长的取值范围． 【答案】(1)， (2)周长 【分析】（1）由是的中线得，则和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可； （2）根据三角形的三边关系先求出的范围，进而可求出周长的取值范围． 本题主要考查了三角形中线的定义和性质以及三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长， 即， 又， 得， 解得， 得，， 解得， 和的长分别为：，． （2）解：，， ， 即， ， ， 周长． 类型五、三角形高有关计算 14．如图，都是的高，过点A作交的延长线于点F，，，若，，则 ．    【答案】 【分析】连接，根据面积法求得的长，即可通过三角形面积公式求得的长，再根据，可得，再利用，即可解答． 【详解】解：如图，连接，   ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了与三角形的高有关的计算问题，熟练运用面积法得到是解题的关键． 15．如图，中，点，分别在，上，与交于点，若，，，则的面积 ． 【答案】7.5． 【分析】观察三角形之间的关系，利用等高或同高的两个三角形的面积之比等于底之比，利用已知比例关系进行转化求解． 【详解】如下图所示，连接， ∵，，， ∴ , ∴, , ∴, , 设，， ∴ ， ， 由，可得， ， 解得 ， ∴，， ． 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查的是等高同高三角形，应用等高或同高的两个三角形的面积之比等于底之比进行求解是本题的关键． 16．在中，，，于D． （1）如图①，已知于E，求证： （2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证： （3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）画图见解析，． 【分析】(1)分别以AB、BC边为底边，利用△ABC的面积的两种不同表示列式整理即可得证； (2)连接PB，根据△ABC的面积等于△ABP和△BCP的面积的和，然后列式整理即可得证； (3)作出图形，连接PB，然后根据△ABP的面积等于△ABC的面积和△PBC的面积的和，列式整理即可得解． 【详解】解：（1）证明： （2）如图②，连接PB， ， （3）如图③，即为图像， 连接PB，作交BC的延长线于E点， ， 【点睛】本题综合考查了三角形的知识，把同一个三角形的面积采用不同方法列式表示出来，然后再把已知数据代入进行计算求解，所以（2）（3）两小题作出辅助线把三角形分割成两个三角形是解题的关键，面积法也是解三角形问题常用的方法之一，需熟练掌握． 类型六、折叠问题 17．如图，中，沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1 折叠，点B n 与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称是好三角形．如果一个三角形的最小角是，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角，则此三角形另两个角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了折叠问题，找规律，三角形的内角和定理，根据经过三次折叠是的好角，所以第三次折叠的，由，，又，，，由此即可求得结果，从折叠有限次数中找到规律是解本题的关键，也是难点． 【详解】解：在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿的平分线折叠，点与点重合，则是的好角． 理由如下：根据折叠的性质知，，，， 根据三角形的外角定理知，； 根据四边形的外角定理知，， 根据三角形的内角和定理知，， ； 当时，是的好角； 当时，是的好角； 当时，是的好角； 故若经过次折叠是的好角，则与（不妨设之间的等量关系为， 最小角是是的好角， 根据好角定义，则可设另两角分别为， （其中、都是正整数）． 由题意，得，所以． 因为、都是正整数，所以与是11的整数因子， 因此有：， ； 所以，； 所以， ； 所以该三角形的另外两个角的度数分别为：； 故选：B． 18．如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 【答案】54 【分析】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的思想方法，使分析思路更清晰． 设，则，设，由翻折可知，，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：设，则，设， 由翻折可知，，， ，， 由，得， 在中，， ， 解得：， 在中，， 解得： 由得， 在中，， ． 故答案为：54． 19．综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：结论：， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ． （2）， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点， 则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 20．综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图1，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，向内折叠并压平，点，分别落在点和点处． 小明同学的操作如图2，点在线段上； 小红同学的操作如图3，点在上，点在上． (1)在图1中，若，求的度数； (2)直接写出图2和图3中的度数； (3)若折叠后， 求的度数(用含的代数式表示)． 【答案】(1) (2)图2中，；图3中， (3)或 【分析】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，即可求解． （2）图2根据折叠的性质得，，从而可得，即可求解；图3根据折叠的性质可得，再由 ，即可求解； （3）分两种情况：先表示出的度数，再根据和进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 由折叠的性质得：， ， ； （2）解：图2中，由折叠的性质得：，， ， ， ， 即， ； 图3中，由折叠的性质得：，， ， ， ， 即； （3）解：分两种情况进行讨论： ①当与不重叠时，如图1所示： 由折叠的性质得：，， ， ， 即， ， ； ②当与重叠时，如图4所示： 由折叠的性质得：，， ， 又， ， 即， ． 综上所述：的度数为或． 类型七、全等三角形综合问题 21．中，，．    (1)如图，过点作直线，当直线与不相交时，过点作于点，过点作于点，请直接写出线段，，之间的数量关系为 ； (2)如图，当直线与相交时，过点作于点，过点作于点，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，点为斜边上一点且不与、重合，现将沿翻折得到，直线与直线相交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或或 【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得，，即可求解； （2）由“”可证，可得，，即可求解； （3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解． 【详解】（1），， ， ， ， 又， ， ，， ， 故答案为：； （2），理由如下： ，， ， ， ， 又， ， ，， ； （3）如图，当点在线段上时，   ，， ， 将沿翻折得到， ， 又， ， 当时，则， ， 当时，则， ， 当时，则， 不合题意舍去； 当点在的延长线上时，   ， ， ， ， 综上所述：的度数为或或． 22．已知：如图1，中，D为边上一点，连接，，点E为边上一点，连接与交于点F，且． (1)求证：点F为的中点． (2)若，点E为中点，点P是延长线上一点，且，连接并延长交于点Q，在图2中补全图形，①若，求的长，②________．（直接写出答案即可） 【答案】(1)见解析 (2)补全图形见解析；①；② 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，掌握相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键． （1）过点C作，交的延长线于点M，利用邻补角及平行线的性质分析求得，再结合得出，证明，，再证明，从而结合全等三角形的性质使问题得证； （2）①如图，过点B作，交于点N，由（1）已证，，得出，，从而得出，根据平行线的性质得出，证明，得出，再证出，即可求解； ②取中点H，连接，证明为等边三角形，再证明为等边三角形，从而证出，得出，即可得出，即可求出． 【详解】（1）解：如图，过点C作，交的延长线于点M， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点F为的中点； （2）解：①补图如图，过点B作，交于点N， 由（1）已证，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴； ②取中点H，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∵点E、H分别为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边 、上的点，若．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】（1）延长至M，使得，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．可得出，，那么． 【详解】证明：（1）延长至M，使得，连接， ，， 在与中 ， ， ，， ， 在与中 ， ， ， ， 即； （2）线段、、之间的数量关系是， 在上截取，连接， ，，， ， 在与中 ， ， ， ， 又∵， ， 在与中 ， ， ， ∵， ∴． 【点睛】此题考查三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形． 24．【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作的垂线段，分别交于点，证明即可解答； （2）过点作的垂线段，交的延长线于点，可得，证明，可得，即可解答； （3）过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点，同（2）中原理可得平分，可得即可解答。 【详解】（1）证明：如图，过点作的垂线段，分别交于点， ，是的角平分线， ， 点在的角平分线上（到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）； （2），理由如下： 如图，过点作的垂线段，交的延长线于点， 是的角平分线，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点， 根据（2）中原理可得， 是的平分线， ， ， 平分，，， ． 25．如图1，在中，，点D在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)如图2，若点F为的中点，的延长线交于点G，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)80 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据，可得，然后根据 ，可证明，继而可得出 ； （2）延长至，使，连接，证，可得出，证 ，从而证得，通过，得到； （3）求出，由（2）可求出，则的面积可求出． 【详解】（1）证明：∵， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：延长至，使，连接， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 即； （3）解：如图，∵， ， ， ， ， ， ． 26．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样，一个问题： 如图1：在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题初探】： 第一小组经过合作交流，得到如下解决方法：如图2延长至E．使得，连接．利用三角形全等将线段转移到线段，这样就把线段，，集中到中．利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围， 第二小组经过合作交流，得到另一种解决方法：如图3过点B作的平行线交的延长线于点F，利用三角形全等将线段转移到，同样就把线段，，集中到中，利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围． （1）请你选择一个小组的解题思路．写出证明过程 【方法感悟】 当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可考虑将中线延长一倍或者作一条边的平行线．构造出“平行八字型”全等三角形；这样就把分散的已知条件和所证的结论集中到一个三角形中，顺利解决问题 【类比分析】 （2）如图4：在中，，，是的中线，，且．求的长度． 【思维拓展】 （3）如图5：在中，于点F在右侧作，且，在的左侧作，且，连接，延长交于点O，证明O为中点． 【答案】（1）见解析 （2）16 （3）见解析 【分析】（1）选择第一个小组的解题思路：延长到点，使，证明，得到，再根据在中，，即，求解即可； 选择第二个小组的解题思路：过点B作的平行线交的延长线于点F，先证明，得到，，则，再根据在中，，即，求解即可； （2）延长到点F，使，连接，先证明，得到，，再证明E、C、F三点共线，得到，然后证明，得到解决问题； （3）过点E作交延长线于M，先证明，得到，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）选择第一个小组的解题思路：如图2，延长到点，使， 是的中点， ， ， ， ， 中，， ， ； 选择第二个小组的解题思路：如图3，过点B作的平行线交的延长线于点F， 是的中点， ， ， ，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ， ； （2）延长到点F，使，连接，如图4， ∵是的中点， ， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴E、C、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）证明：过点E作交延长线于M，如图4， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴O为中点． 【点睛】本题考查三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的性质，熟练掌握倍长中线，构造出“平行八字型”全等三角形是解题的关键． 类型八、轴对称的性质 27．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，根据轴对称的性质得到垂直平分，垂直平分，则利用线段垂直平分线的性质得，，然后根据线段和差即可计算，正确理解如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 【详解】∵点关于对称，点关于对称， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， 故答案为：． 28．如图，分别以的边，所在直线为称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③平分：④；③．其中正确的结论个数为 ． 【答案】3 【分析】根据轴对称的性质以及全等三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：和是的轴对称图形， ，，， ，故①正确； ， 由翻折的性质得，， 又， ，故②正确； ， ，， 边上的高与边上的高相等， 即点到两边的距离相等， 平分，故③正确； 只有当时，，才有，故④错误； 在和中，，，，， ，故⑤错误； 综上所述，结论正确的是①②③． 故答案为：3． 【点睛】本题考查轴对称的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 29．如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．    (1)如图1，射线，都在的内部． ①设，则 （用含有的式子表示）； ②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等； (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①；② (2)，证明见详解 【分析】（1）①根据，即可获得答案； ②连接，证明，即可获得答案； （2）作点关于直线的对称点，连接，设，证明，由全等三角形的性质可得，即可获得结论． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴； ②如下图，连接，    由对称的性质可得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：①；②； （2），证明如下： 作点关于直线的对称点，连接，如下图，    由对称的性质可得，，， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 类型九、将军饮马最短路径问题 30．如图，在中，，点P、Q分别是边上的动点，则的最小值等于（    ）      A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】由勾股定理可得，作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，根据对称可得：，得到当三点共线时，最小，再根据垂线段最短，得到时，最小，据此求解即可． 【详解】解：在中，， ∴ 作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，    ∵， ∴当三点共线时，最小， ∵垂线段最短， ∴时，最小， 连接， ∵关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查利用轴对称求线段和最小问题．熟练掌握通过构造轴对称解决线段和最小是解题的关键． 31．如图，，点到的距离是2，到的距离是3，，分别是，上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C．9 D． 【答案】A 【分析】作点分别关于、的对称点、，连接，分别交、于，则，，，，′，则，，此时周长最小，为，据此解答即可． 【详解】作点分别关于、的对称点、，连接，分别交、于，，则，，，，′， ∴，， ∴此时周长最小，为， 延长，交与． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即周长的最小值是． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题． 32．问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线同旁有两个定点A，B，在直线上是否存在点，使得的值最小？ 小明的解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 问题提出： (1)如图，等腰的直角边长为4，E是斜边的中点，是边上的一动点，求的最小值． 问题解决： (2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池，从蓄水池处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为千米， 千米，千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠上选择蓄水池的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用． 【答案】(1) (2)最少的铺设水管的费用是225000元 【分析】(1)作点B关于 的对称点 ，连接 交于P，此时的值最小，连接先根据勾股定理求出的长，再判断出，根据勾股定理即可得出结论； (2)根据轴对称的性质确定水厂位置，作 交的延长线于点E,根据矩形的性质分别求出、，根据勾股定理求出，得到，结合题意计算即可． 【详解】（1）解：如图，作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，连接． 因为等腰的直角边长为4，E是斜边的中点， 所以， ， 因为，所以， 所以． （2）如图，延长到点，使，连接交于点，点即为所选择的位置，过点作交的延长线于点． 在中，千米，千米， 所以（千米）， 所以最短路线（千米）， 最少的铺设水管的费用为（元）． 答：最少的铺设水管的费用是 元． 【点睛】本题考查的是三角形综合题，轴对称最短路径问题、勾股定理的应用，掌握轴对称的概念和性质、两点之间，线段最短的性质是解题的关键． 类型十、等腰三角形的性质与判定 33．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是 ． 【答案】12 【分析】延长BM至G，使MG＝BM，连接FG、DG，证明△BME≌△GMF（SAS），得出FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，证出AB＝FG，证明△DAB≌△DFG（SAS），得出DB＝DG，由等腰三角形的性质即可得DM⊥BM，由五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积，可求解． 【详解】延长BM至G，使MG＝BM＝4，连接FG、DG，如图所示： ∵M为EF中点， ∴ME＝MF， 在△BME和△GMF中， ， ∴△BME≌△GMF（SAS）， ∴FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，S△BEM＝S△GFM， ∴FG∥BE， ∴∠C＝∠GFC， ∵∠A+∠C＝180°，∠DFG+∠GFC＝180°， ∴∠A＝∠DFG， ∵AB＝BE， ∴AB＝FG， 在△DAB和△DFG中， ， ∴△DAB≌△DFG（SAS）， ∴DB＝DG，S△DAB＝S△DFG， ∵MG＝BM， ∴DM⊥BM， ∴五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积＝×BG×DM＝×8×3＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键． 34．如图，，，，，…，当，时， ．      【答案】 【分析】先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，再找出规律即可得出的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵，是的外角 ∴ 同理可得，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据特殊情况找出规律是解题关键． 35．在中，、分别是、边上的高线，. （1）如图 1，求证：； （2）如图，若平分，，求证：.           【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）根据AAS证明即可； （2）设，由题意可得，所以，在上截取，连接，所以，根据三角形内角和定理和邻补角的定义可得，所以 ，所以． 【详解】（1）证：因为，，， 所以，所以． （2）因为，设，所以，， 所以，所以，所以，，在上截取，连接，所以，所以，所以，因为， 所以，所以 ，因为， 所以． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质及三角形内角和定理，结合实际问题作出合适辅助线是解题关键. 36．已知等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，点D为△ABC内部一点，连接AD、BD、CD，点H为BD中点，连接AH，且∠BAH=∠ACD． (1)如图1，若∠ADB=90°，求证：∠DAH=45°； (2)如图2，若∠ADB＜90°，(1)问中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．      【答案】（1）证明见解析；（2）成立． 【分析】（1）用ASA证明△ABH≌△CAD，得到BH=AD，即AD=HD，得到△AHD是等腰直角三角形，即可得出结论； （2）延长AH到E，使HE=AH，连接DE．延长CD交AB于F，交AH于G．通过证明△ABH≌△EDH和△EGD≌△CGA，得到△AGD为等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）∵∠BAC=90°，∴∠CAD+∠BAD=90°． ∵∠ADB=90°，∴∠ABH+∠BAD=90°，∴∠CAD=∠ABH． 在△ABH和△CAD中，∵∠BAH=∠ACD，AB=CA，∠ABH=∠CAD，∴△ABH≌△CAD（ASA），∴BH=AD． ∵H为BD的中点，∴BH=HD，∴AD=HD，∴△AHD是等腰直角三角形，∴∠DAH=45°． （2）成立．理由如下： 如图，延长AH到E，使HE=AH，连接DE．延长CD交AB于F，交AH于G． ∵BH=DH，∠BHA=∠DHE，AH=EH，∴△ABH≌△EDH，∴AB=ED，∠1=∠E． ∵AB=AC，∴ED=AC． ∵∠1=∠2，∴∠E=∠2． ∵∠BAC=90°，∴∠1+∠GAC=90°． ∵∠1=∠2，∴∠2+∠GAC=90°，∴∠AGC=90°，∴∠EGD=∠CGA=90°． 在△EGD和△CGA中，∵∠E=∠2，∠EGD=∠CGA，ED=CA，∴△EGD≌△CGA（AAS），∴GD=GA，∴△AGD为等腰直角三角形，∴∠DAH=45°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质．正确作辅助线是解答本题的关键． 类型十一、等边三角形的性质与判定 37．如图，为等边三角形，点D与点C关于直线对称，E，F分别是边和上的点，，与交于点G，交于点H．    (1)求的度数，并证明． (2)求证． (3)连接，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形和等边三角形的判定性质及应用，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定方法是解题的关键， （1）根据题意可证得，延长至，使，根据等边三角形的判定与性质可得，再由对顶角相等可得； （2）由于，可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，进而证得，即可得到答案； （3）连接，根据全等三角形的判定方法及性质可得，最后根据等边三边形的判定可得结论． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， 又∵ 在和中 ∴， 延长至，使，连接， ∵， ∴， ∴. ∴； （2）解：由（1）得：∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点D与点C关于直线对称， ∴，， ∴， ∴也是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， 在和中 ∴， ∴， 而， ∴ （3）解：连接，    在中，， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 38．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）有；8 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明： 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 39．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】    (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论） (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②； (2) (3)有最小值，最小值为2 【分析】（1）①过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论；②过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （2）先证明，在上截取，通过证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：①过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在上截取， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：有最小值，最小值为2 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角性是解题的关键． 40．已知为等边三角形，过点的射线在的外部，为射线上的一点，为平面内的一点，满足． (1)如图1，连接，若点恰好在上，且，求的度数； (2)如图2，连接交于点，若，且恰为的中点，求证：； (3)如图3，若，连接，当线段的长度最小时，在射线上截取一点，在边上截取一点，使，连接则当的值最小时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，，可知为等边三角形，利用公共角，证得，再证，得到，，由此可得度数， ，即得解； （2）在上取点，使得，连接、、，证明，再证，最后证明为等边三角形，即得证； （3）以为边向下作等边三角形，连接，证明，得到，即得当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足，由此得到当时，线段最短．要证明两条线段的最小值，通常利用两点之间线段最短，因此需要将其中一条线段进行转化．以点B为顶点，作，且，连接，证明，得到，由此，只需求的值最小，由图可知当三点共线时，取得最小值，最后根据三角形内角和，求角即可； 【详解】（1）解：如图， ，， 为等边三角形， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故． （2）解：在上取点，使得，连接、、，如图所示， F为边的中点 ， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ，即； （3）解：以为边向下作等边三角形，连接，如图所示， 和都是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足， 当线段的长度最小时，即过点C向直线作垂线，为垂足， 即， ， ，， ， 在中，， 又 ， ， ， 以点B为顶点，作，且，连接，如图所示， ， ， ， ， 连接交射线于点，在中， ， 当三点共线时，的值最小， 此时， ， 为等腰三角形，又， ， 在中，， ， 在中，， ， 又 ， ， 在中，， 在中，， ， 故当的值最小，． 【点睛】本题是一道有关三角形的动点问题，综合考查了三角形全等判定与性质，等边三角形性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和，两点之间线段最短求最值．当看到要证明线段相等的时候，可以考虑“截长补短法”，当看到动点问题时，考虑首先证明动点的运动轨迹，当求线段的最值问题考虑利用“两点之间线段最短”的原理，其中作出恰当的辅助线，构造三角形证明全等是解决本题的关键． 类型十二、用勾股定理解直角三角形 41．如图，在中，，，，动点P在内，且使得的面积为12，点Q为上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，轴对称的性质，垂线段最短，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点P作的垂线交于点M，作点B关于的对称点E，连接，，，过点E作于点H，运用勾股定理求出，由的面积为12即可求出，由对称得，，则，当点三点共线，且点Q与点H重合时取得最小值，即为，再对运用等面积法即可求出． 【详解】解：过点P作的垂线交于点M，作点B关于的对称点E，连接，，过点E作于点H， ∵ 则， ∴， 由对称性得， 当点E，P，Q三点共线，且点Q与点H重合时取得最小值，即为，如下图． 的最小值为 故答案为：． 42．如图所示，在中，，，．点，是的边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． (1)____________． (2)当点在边的垂直平分线上时，求的值． (3)若点在边上运动，当运动时间为多少时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)是以为腰的等腰三角形时，的值为或 【分析】本题主要考查勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的定义和性质等知识的综合， （1）根据勾股定理可得，由此即可求解； （2）如图所示，是线段的垂直平分线，交于点，连接，根据题意可知当点在边的垂直平分线上时，即点与点重合，设，在中，运用勾股定理可得，根据行程问题可得点运动的时间和点运动的路程，由此即可求解； （3）根据等腰三角形的定义和性质，分类讨论：当时；当时，根据等腰三角形的三线合一，等面积法可求出的值，根据行程问题的数量关系即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，是线段的垂直平分线，交于点，连接， ∴， 当点在边的垂直平分线上时，即点与点重合， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∵点从点开始沿方向运动，且速度为， ∴点运动的时间为：， ∵点从点开始沿方向运动，且速度为， ∴点运动的路程为：， ∴， ∴； （3）解：点在边上运动，是以为腰的等腰三角形，如图所示， ①当时，； ②当时，取的中点，连接， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； ∴是以为腰的等腰三角形时，的值为或． 43．如图，在中，．动点P以每秒的速度从点A出发，沿A→C→B→A的路径运动回到A点结束，设点P运动的时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)若平分，求t的值； (3)若点P运动到边上，且使得，求t的值． 【答案】(1)32 (2)9秒 (3)16.8秒 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质等，理解题意，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键． （1）依题意得秒时，运动的路程，此时点在边上，则，由勾股定理求出，进而可得的面积； （2）当平分时，点在边上，过点作于，设，证和全等得，，则，，在中由勾股定理求出，进而得，据此可得的值； （3）过点作于，先利用三角形的面积公式求出，再利用勾股定理求出，进而得，则，据此得，由此可得的值． 【详解】（1）解： ，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动回到点结束， 当运动的时间秒时，运动的路程，此时点在边上，如图1所示： ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ； （2）解：当平分时，点在边上， 过点作于，设，如图2所示： ，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， （秒， 即当平分，的值为9秒； （3）解：过点作于，如图3所示： 由三角形的面积公式得：， ， 在中，，， 由勾股定理得： ，于， ， ， ， ， （秒． 点运动到边上，且使得，的值为16.8秒． 44．问题：如图1，等腰直角三角形中，，、为边上的两点，，线段、和之间有怎样的数量关系？ 小涵同学的思路是：如图2所示，将沿着折叠得，连接，利用图形折叠与全等三角形的知识可使问题得到解决．请你参考小涵同学的思路，探究并解决以下问题：                     (1)直接写出上面问题中，线段、和之间的数量关系． (2)如图3，当点在延长线上时，线段、和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． (3)如图4，在图3的基础上，是上一点，，若，，，试求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）先由等腰直角三角形的性质得到，再由折叠的性质得到，则，再证明，进而证明得到，则，在中，由勾股定理得，即； （2）如图所示，作且使得，连接，证明，得到；再证明，进而证明，得到，再证明，则在中，由勾股定理得，即； （3）如图所示，过点A作于M，连接，则，设，则，，证明，得到，则，即，即可建立方程，解方程得到或（此时，舍去），则，即可得到． 【详解】（1）解： ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，即； （2）解：，证明如下： 如图所示，作且使得，连接， ∵，，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：如图所示，过点A作于M，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据乘法计算法则可知，当两个数的乘积为0时，那么两个乘数中最少有一个为0， ∴或， ∴或（此时，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 45．如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值． 【答案】(1)10； (2)t的值为、16、5； (3)当t的值为5或11时，平分． 【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解； （3）分两种情况：①点P在线段上时，过点D作于E，先证，得出，，再由勾股定理求出，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，同①得，得出，，再由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， 在中，， 由勾股定理，得； （2）解：在中，， 由勾股定理，得． 若，则，解得； 若，则，，解得； 若，则，解得． 答：当为等腰三角形时，t的值为、16、5； （3）解：①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示： 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，平分． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解本题的关键． 类型十三、最短路径问题（勾股定理的应用） 46．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质等知识，将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作出关于的对称点，过作交的延长线于D，    根据题意可得：四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为18，底面周长为12， ∴，，，即， 在中，（）, 故答案为：． 47．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是 ． 【答案】52cm 【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】    由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为，则易拉罐底面周长是12，高是20 ∴ 解得： ∴彩带最短是52cm 故答案为：52cm． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，解题的关键是明确圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高． 48．如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为． 路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为． (1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由； (2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留） ①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ； ②所以选择哪条路线较短？试说明理由． 【答案】(1)选择路线1较短，理由见解析 (2)①8，；②选择路线2较短，理由见解析 【分析】（1）利用勾股定理计算后，比较大小即可； （2）把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算即可． 【详解】（1）解：剪开前，，， ∴， 剪开后，，， ∴； ∵ ∴即所以选择路线1较短； （2）解：①， ． ②， ∴即所以选择路线2较短． 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．注意运用类比的方法做类型题． 类型十四、解特殊的不等式 49．阅读下列材料并回答问题： 我们知道，绝对值的几何意义是表示在数轴上一个数对应的点与另一个特定点的距离．例如，可以解释为数轴上对应的点与对应的点之间的距离．基于这一概念，我们可以解决一系列与绝对值相关的数学问题，如方程和不等式的求解． 例1：解方程．从绝对值的几何意义出发，我们寻找数轴上与原点距离为5的点．显然，这些点对应的数为5和，因为它们到原点的距离都是5．因此，该方程的解为或． 例2：解不等式，如图1，在数轴上找出的解，即到数1对应的点的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为或． 例3：解方程．由绝对值的几何意义知，该方程表示在数轴上与数1和数对应的点的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由图2可以看出，同理，若对应的点在-2的左边，可得，故原方程的解是或．    回答问题： (1)解方程：； (2)解不等式：； (3)解方程：； (4)若对任意的都成立，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以求得方程的解； （2）根据题意可以求得不等式得解集； （3）讨论的不同取值范围可以求得方程的解． （4）原问题转化为：大于或等于最大值，据此求解． 【详解】（1）解：解方程，容易看出，在数轴上与距离为7的点的对应数为，3，即该方程的解为或； （2）解：解不等式， 如图3，在数轴上找出的解，即到3的距离为4的点对应的数为，7，则的解集为或．    （3）解：， 当时， ， 解得； 当时， ， 在时，不能使得成立； 当时， ， 解得， 故的解是或． （4）解：原问题转化为大于或等于的最大值． 当时，应该恒等于； 当时，随的增大而减小， 即小于4大于； 当时，， 即应该恒等于4． 综上所述，的最大值为4， 故． 50．认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 【答案】(1)3， (2)，最小值为1 (3)①；② 【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可； （2）分析出的意义，结合数轴找到合适的值即可； （3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解． 【详解】（1）解：C到B的距离为； A到B的距离与A到C的距离之和可表示为； （2）表示数轴上x与3和x与2的距离之和，    故当时，取最小值，且为； （3）①的解集为或， 故答案为：或； ②当时，， ∴； 当时，， ∴x无解； 当时，， ∴； 综上所述：或．    【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握绝对值的意义，理解题意，分类讨论是解题的关键． 51．对于二元一次方程的任意一个解给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)写出方程的一个解，并指明此时方程的“关联值”； (2)若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解； (3)直接写出方程的最小“关联值”为______；当关联值为时，直接写出x的取值范围是______． 【答案】(1)方程的解为，方程的“关联值”为1（答案不唯一） (2)， (3)或 【分析】（1）根据“关联值”的概念求解即可； （2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可； （3）根据题意得到，进而得到当增大时，先减小到0，然后再增大，然后联立求解即可；根据题意分四种情况分别列出不等式求解即可． 【详解】（1）当时，即， 解得， ∵ ∴此时方程的“关联值”为1，方程的解为（答案不唯一）； （2）∵“关联值”为4， ∴①当时，即，解得， ∴方程的解为； ②当时，即，解得， ∴方程的解为； ③当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； ④当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； 综上所述，所有满足条件的方程的解有，； （3）∵ ∴， ∵当时，， 当增大时，先减小到0，然后再增大， ∴当时，方程取得最小“关联值”， ∴联立，解得 ∴方程的最小“关联值”为； 当关联值为时，即， ∴， ∴ ∴①当，时，即，时， ∴，解得， ∴； ②当，时，即，时， ∴，解得， ∴； ③当，时，即，时， ∴，解得， ∴； ④当，时，即，时， ∴，解得， ∴； 综上所述，当或时，关联值为． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解和一元一次不等式，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系． 类型十五、根据不等式的解集求参数 52．已知关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查由不等式组的整数解求参数，涉及不等式组的解法、分类讨论等知识，先解不等式组，再由参数的情况，分类讨论，确定不等式组的解集，最后结合不等式组的整数解情况求出参数范围即可得到答案，熟练掌握不等式组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的不等式组， 由①得；由②得； 关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2， 当时，不等式组的解集为，则，解得，整数可取，整数可取，则整数对有，共6个； 当时，不等式组的解集为，则，解得，不等式组无解； 综上所述，关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有6个， 故选：D． 53．如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是解题关键．先根据不等式组无解求得，再解分式方程得，然后根据分式方程的解为非负整数得且，最后根据为整数，为非负整数，确定出符合条件的所有整数，即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组无解 分式方程去分母得： 分式方程的解为非负整数 且 且 解得：且 为整数，为非负整数 ，5，7 符合条件的所有整数的和为： 故答案为：13． 54．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ， ， ； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)无解． 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键． （）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可求解； （）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得，由根据方程和不等式组有有“梦想解”可得，解得解得，综上进而可得的取值范围． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； （3）解：由方程得，， 解不等式组得， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴， 解得， 又∵方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴， 解得， ∴的取值范围不存在． 55．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2) (3)存在， 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 56．某体育拓展中心的门票每张10元，一次性使用考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的顾客，该拓展中心除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法．年票分A、B两类：A类年票每张120元，持票者可不限次进入中心，且无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入中心时，需再购买门票，每次2元． （1）小丽计划在一年中花费80元在该中心的门票上，如果只能选择一种购买门票的方式，她怎样购票比较合算？ （2）小亮每年进入该中心的次数约20次，他采取哪种购票方式比较合算？ （3）小明根据自己进入拓展中心的次数，购买了A类年票，请问他一年中进入该中心不低于多少次？ 【答案】（1）应该购买B类年票，理由见解析；（2）应该购买B类年票，理由见解析；（3）小明一年中进入拓展中心不低于30次 【分析】（1）因为80元小于120元，故无法购买A类年票，继而分别讨论直接购票与购买B类年票，这两种方式何者次数更多即可． （2）本题根据进入中心的次数，分别计算小亮直接购票、购买A类年票、购买B类年票所消费的总金额，最后比较总花费大小即可． （3）小明选择购买A类年票，说明A类年票更为划算，故需满足直接购票与购买B类年票所花费的金额不低于120元，最后列不等式求解即可． 【详解】（1）由于预算限制，小丽不可能买A类年票；若直接购票，可以进中心次；若购买B类年票，可进中心次，所以应该购买 B 类年票． （2）若直接购买门票，需花费元；若购买A类年票，需花费120元；若购买B类年票，需花费元；所以应该购买B类年票． （3）设小明每年进拓展中心约x次，根据题意列出不等式组： ，解得，故． 所以小明一年中进入拓展中心不低于30次． 【点睛】本题考查实际问题以及不等式，解题关键在于对题目的理解，此类型题目需要分类讨论做对比，其次需要从实际问题背景抽离数学关系，最后注意计算仔细即可． 类型十六、不等式的应用 57．某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是 ． 【答案】164 【分析】本题主要考查了不等式的应用，关键是根据题意正确列出不等式，难度大，需要超强的解题能力． 设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个，根据在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，列出方程并整理得，再根据6件B的总价与9件C的总价相同，得，进而得，再根据在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．列出方程，把代入并整理得，根据在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，得，，要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量，结合，便可求得结果． 【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个， ∵在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多， ∴， 整理得， ∵6件B的总价与9件C的总价相同， ∴，即， ∴， ∵在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多． ∴， 把代入上式并整理得， ∴， ∵在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150， ∴， 又∵，即， ∴要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量， ∵， ∴， 解得， ∴x的最大值为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴y的最大值为， 则， ∴， ∴商家在丙处购买三种商品的数量和最少为：， 故答案为：164． 58．年北京冬奥会已经越来越近了，这是我国重要历史节点的重大标志性活动，更是全国人民的一次冰雪运动盛宴．与此同时北京冬奥会吉祥物冰墩墩也受到人们的喜爱，关于冰墩墩的各种周边纪念品：徽章、风铃、抱枕、公仔正在某商场火热销售中．已知徽章和抱枕的价格相同，公仔的单价是风铃的两倍，且徽章和风铃的单价之和不超过元．元旦节期间，徽章的销售数量是公仔数量的倍，风铃和抱枕的销售数量相同，其中徽章和风铃共卖出件，抱枕和公仔的销售总额比风铃和徽章的销售总额多元，则徽章和风铃销售总额的最大值是 元． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，设徽章和抱枕的价格均为元，风铃的价格为元，公仔的销售数量为件，则公仔的价格为元，徽章的销售数量为件，风铃和抱枕的销售数量均为件，根据题意列方程即可求解． 【详解】设徽章和抱枕的价格均为元，风铃的价格为元，公仔的销售数量为件，则公仔的价格为元，徽章的销售数量为件，风铃和抱枕的销售数量均为件，由题意得： 整理得： 徽章和风铃的销售总额为： 把代入得： 当时 徽章和风铃销售总额最大，最大值为：（元） 故答案为：． 59．某公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在这辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 日租金（元/辆） (1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ (2)某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过元． ①至少要租用多少辆甲型客车？ ②若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【答案】(1)甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆； (2)①至少要租用辆甲型客车；②共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 【分析】（）设甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆，根据题意列出方程组即可求解； （）①设租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆，根据题意列出不等即可求解；②由题意可得，解得，进而结合①可得的取值范围为，据此即可得出所有可能的租车方案，再求出每一种方案的租车费用即可判断求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，正确列出方程组和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆， 由题意得，， 解得， 答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆； （2）解：①设租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴至少要租用辆甲型客车； ②由题意得，， 解得， ∴， ∵为整数， ∴或或， ∴共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车； 方案的租车费用：元； 方案的租车费用：元； 方案的租车费用：元； ∵， ∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 60．冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题： (1)这两种雪地胎每个进价多少元？ (2)若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？ (3)在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数． 【答案】(1)品牌的雪地胎每条的进价为元，品牌的雪地胎每条的进价为元 (2)共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个； (3)． 【分析】（）设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个，根据题意列出不等式组求出的取值范围，再根据每辆车一次换个雪地胎得到为的倍数，即得的值，据此即可求解； （）设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，根据（）中的方案分别计算即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元； （2）解：设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个， 由题意得， 解得， ∵每辆车一次换个雪地胎， ∴为的倍数， ∴或或， ∴共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个； （3）解：设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工， 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得，， 整理得，， 解得，不合题意，舍去； 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得，， 整理得，， 解得； 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得， 整理得，， 解得，不合题意，舍去； 综上，的值为， 答：这个雪地胎中种雪地胎的个数为． 61．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场． (1)若，， ①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元； ②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样； (2)经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； (3)若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值． 【答案】(1)①，；② (2)， (3) 【分析】本题考查一元一次不等式和一元一次方程的应用； （1）①根据题中等量关系计算即可．②利用①中关系计算即可． （2）建立关于a，b的方程组计算即可． （3）根据甲乙两商场费用一样得出，进而得出，根据题意解不等式组，进而即可求解． 【详解】（1）解：①由题意得到甲商场实际花费：(元)， 到乙商场实际花费：(元)． 故答案为：， ②若，到甲商场实际花费：． 到乙商场实际花费：． ∵， ∴． 故答案为：； （2）解：当时，到甲商场无优惠， ， 当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元， %． ． 当时，到甲或乙商场实际花费一样， %%， ． ，． （3）解：时，到甲或乙商场实际花费一样， ， ． ， ∴ 解得： ∴ ∴ ∴即 ∴的最大值为 62．根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1∶7与1∶9． 素材二 某商店的店内广告牌如右图所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．    素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料没有剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根；任务二：；制作一个甲款雪花模型需要13元；任务三：①长管购买258个，赠86短管，购买短管2044个，②长管购买267个，赠89管，购买短管2026个，其中方案②雪花总数最多，为48个． 【分析】任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于a的方程，解方程即可，根据6月份的优惠方案求出制作一个甲款雪花模型需要的费用即可； 任务三：设制作甲款雪花模型个,乙款个则需要长管子个,短管子个，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据m必须能被16整除，得出、，从而得出购买方案． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据题意得： ， 解得：， ，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根； 任务二：∵5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根； ∵制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子， ∴制作一个甲款雪花模型需要的费用为： （元）； 任务三：设制作甲款雪花模型个,乙款个则需要长管子个,短管子个， 根据题意得： ， 解得：， ∵商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根， ∴， 把代入并解得：， ∵是整数， 所以m必须能被16整除， ∴，， 对应的采购方案为: ①长管购买258个，赠86短管，购买短管2044个， ②长管购买267个，赠89管，购买短管2026个， 其中方案②雪花总数最多，为48个． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙教版八年级上学期期中常考压轴题专题 目录 类型一、三角形三边关系的应用 1 类型二、三角形内角和问题 4 类型三、三角形中线求面积 10 类型四、三角形中线求线段长度 13 类型五、三角形高有关计算 15 类型六、折叠问题 19 类型七、全等三角形综合问题 25 类型八、轴对称的性质 40 类型九、将军饮马最短路径问题 43 类型十、等腰三角形的性质与判定 47 类型十一、等边三角形的性质与判定 51 类型十二、用勾股定理解直角三角形 64 类型十三、最短路径问题（勾股定理的应用） 75 类型十四、解特殊的不等式 77 类型十五、根据不等式的解集求参数 82 类型十六、不等式的应用 88 类型一、三角形三边关系的应用 1．如图，是边长为的正三角形内的一点，到三边的距离分别是，， ，若以，，为边可以组成三角形，则应该满足的条件是（     ） A． B． C． D． 2．（1）如图，在中，，，，为边上一点，且与的周长相等，求的长． （2）如图，在中，，，，为边上一点，且与的周长相等；为边上一点，且与的周长相等，求（用含，的式子表示）． 3．如图，在中，已知，和的平分线相交于点． (1)求的度数； (2)试比较与的大小，写出推理过程． 类型二、三角形内角和问题 4．如图，的中线、相交于点F，，垂足为H．若，，则长为 ． 5．在中，，点D是下方一点，连接，，过点D作，连接，分别过点B、D作直线、，使得，平分，平分，则 ． 6．在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 7．已知，如图，为延长线上一点，点是线段上一点．      (1)如图，，作平分交于，平分交于，且比大，求的度数． (2)如图，连接，若的平分线与的平分线相交于点，交于点． ①设，，，试用，，表示； ②求证：． 类型三、三角形中线求面积 8．如图，在中，，，分别为，，的中点，且，则 ． 9．如图，在中，已知为的中线，过点作分别交于点，连接，若，，，则 ． 10．【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答： 在图中过A作于点． 是的中线， ． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图，点在的边上，点在上． ①若是的中点，求证：； ②若，则 ． 【拓展延伸】 （2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系． 类型四、三角形中线求线段长度 11．如图，点是的重心，连接并延长交于点，，的周长比的周长大，则 ． 12．如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 13．如图，在中，是中线，，的周长比的周长大4． (1)求，的长； (2)求周长的取值范围． 类型五、三角形高有关计算 14．如图，都是的高，过点A作交的延长线于点F，，，若，，则 ．    15．如图，中，点，分别在，上，与交于点，若，，，则的面积 ． 16．在中，，，于D． （1）如图①，已知于E，求证： （2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证： （3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系． 类型六、折叠问题 17．如图，中，沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1 折叠，点B n 与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称是好三角形．如果一个三角形的最小角是，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角，则此三角形另两个角的度数为（   ） A． B． C． D． 18．如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 19．综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 20．综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图1，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，向内折叠并压平，点，分别落在点和点处． 小明同学的操作如图2，点在线段上； 小红同学的操作如图3，点在上，点在上． (1)在图1中，若，求的度数； (2)直接写出图2和图3中的度数； (3)若折叠后， 求的度数(用含的代数式表示)． 类型七、全等三角形综合问题 21．中，，．    (1)如图，过点作直线，当直线与不相交时，过点作于点，过点作于点，请直接写出线段，，之间的数量关系为 ； (2)如图，当直线与相交时，过点作于点，过点作于点，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，点为斜边上一点且不与、重合，现将沿翻折得到，直线与直线相交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 22．已知：如图1，中，D为边上一点，连接，，点E为边上一点，连接与交于点F，且． (1)求证：点F为的中点． (2)若，点E为中点，点P是延长线上一点，且，连接并延长交于点Q，在图2中补全图形，①若，求的长，②________．（直接写出答案即可） 23．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边 、上的点，若．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论． 24．【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 25．如图1，在中，，点D在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)如图2，若点F为的中点，的延长线交于点G，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的面积． 26．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样，一个问题： 如图1：在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题初探】： 第一小组经过合作交流，得到如下解决方法：如图2延长至E．使得，连接．利用三角形全等将线段转移到线段，这样就把线段，，集中到中．利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围， 第二小组经过合作交流，得到另一种解决方法：如图3过点B作的平行线交的延长线于点F，利用三角形全等将线段转移到，同样就把线段，，集中到中，利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围． （1）请你选择一个小组的解题思路．写出证明过程 【方法感悟】 当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可考虑将中线延长一倍或者作一条边的平行线．构造出“平行八字型”全等三角形；这样就把分散的已知条件和所证的结论集中到一个三角形中，顺利解决问题 【类比分析】 （2）如图4：在中，，，是的中线，，且．求的长度． 【思维拓展】 （3）如图5：在中，于点F在右侧作，且，在的左侧作，且，连接，延长交于点O，证明O为中点． 类型八、轴对称的性质 27．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为 ． 28．如图，分别以的边，所在直线为称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③平分：④；③．其中正确的结论个数为 ． 29．如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．    (1)如图1，射线，都在的内部． ①设，则 （用含有的式子表示）； ②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等； (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 类型九、将军饮马最短路径问题 30．如图，在中，，点P、Q分别是边上的动点，则的最小值等于（    ）      A．4 B． C．5 D． 31．如图，，点到的距离是2，到的距离是3，，分别是，上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C．9 D． 32．问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线同旁有两个定点A，B，在直线上是否存在点，使得的值最小？ 小明的解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 问题提出： (1)如图，等腰的直角边长为4，E是斜边的中点，是边上的一动点，求的最小值． 问题解决： (2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池，从蓄水池处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为千米， 千米，千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠上选择蓄水池的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用． 类型十、等腰三角形的性质与判定 33．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是 ． 34．如图，，，，，…，当，时， ．      35．在中，、分别是、边上的高线，. （1）如图 1，求证：； （2）如图，若平分，，求证：.           36．已知等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，点D为△ABC内部一点，连接AD、BD、CD，点H为BD中点，连接AH，且∠BAH=∠ACD． (1)如图1，若∠ADB=90°，求证：∠DAH=45°； (2)如图2，若∠ADB＜90°，(1)问中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．      类型十一、等边三角形的性质与判定 37．如图，为等边三角形，点D与点C关于直线对称，E，F分别是边和上的点，，与交于点G，交于点H．    (1)求的度数，并证明． (2)求证． (3)连接，判断的形状并说明理由． 38．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 39．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】    (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论） (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 40．已知为等边三角形，过点的射线在的外部，为射线上的一点，为平面内的一点，满足． (1)如图1，连接，若点恰好在上，且，求的度数； (2)如图2，连接交于点，若，且恰为的中点，求证：； (3)如图3，若，连接，当线段的长度最小时，在射线上截取一点，在边上截取一点，使，连接则当的值最小时，请直接写出的度数． 类型十二、用勾股定理解直角三角形 41．如图，在中，，，，动点P在内，且使得的面积为12，点Q为上的动点，则的最小值为 ． 42．如图所示，在中，，，．点，是的边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． (1)____________． (2)当点在边的垂直平分线上时，求的值． (3)若点在边上运动，当运动时间为多少时，是以为腰的等腰三角形？ 43．如图，在中，．动点P以每秒的速度从点A出发，沿A→C→B→A的路径运动回到A点结束，设点P运动的时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)若平分，求t的值； (3)若点P运动到边上，且使得，求t的值． 44．问题：如图1，等腰直角三角形中，，、为边上的两点，，线段、和之间有怎样的数量关系？ 小涵同学的思路是：如图2所示，将沿着折叠得，连接，利用图形折叠与全等三角形的知识可使问题得到解决．请你参考小涵同学的思路，探究并解决以下问题：                     (1)直接写出上面问题中，线段、和之间的数量关系． (2)如图3，当点在延长线上时，线段、和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． (3)如图4，在图3的基础上，是上一点，，若，，，试求的长． 45．如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值． 类型十三、最短路径问题（勾股定理的应用） 46．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 47．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是 ． 48．如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为． 路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为． (1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由； (2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留） ①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ； ②所以选择哪条路线较短？试说明理由． 类型十四、解特殊的不等式 49．阅读下列材料并回答问题： 我们知道，绝对值的几何意义是表示在数轴上一个数对应的点与另一个特定点的距离．例如，可以解释为数轴上对应的点与对应的点之间的距离．基于这一概念，我们可以解决一系列与绝对值相关的数学问题，如方程和不等式的求解． 例1：解方程．从绝对值的几何意义出发，我们寻找数轴上与原点距离为5的点．显然，这些点对应的数为5和，因为它们到原点的距离都是5．因此，该方程的解为或． 例2：解不等式，如图1，在数轴上找出的解，即到数1对应的点的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为或． 例3：解方程．由绝对值的几何意义知，该方程表示在数轴上与数1和数对应的点的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由图2可以看出，同理，若对应的点在-2的左边，可得，故原方程的解是或．    回答问题： (1)解方程：； (2)解不等式：； (3)解方程：； (4)若对任意的都成立，求的取值范围． 50．认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 51．对于二元一次方程的任意一个解给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)写出方程的一个解，并指明此时方程的“关联值”； (2)若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解； (3)直接写出方程的最小“关联值”为______；当关联值为时，直接写出x的取值范围是______． 类型十五、根据不等式的解集求参数 52．已知关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 53．如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 54．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ， ， ； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 55．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 56．某体育拓展中心的门票每张10元，一次性使用考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的顾客，该拓展中心除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法．年票分A、B两类：A类年票每张120元，持票者可不限次进入中心，且无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入中心时，需再购买门票，每次2元． （1）小丽计划在一年中花费80元在该中心的门票上，如果只能选择一种购买门票的方式，她怎样购票比较合算？ （2）小亮每年进入该中心的次数约20次，他采取哪种购票方式比较合算？ （3）小明根据自己进入拓展中心的次数，购买了A类年票，请问他一年中进入该中心不低于多少次？ 类型十六、不等式的应用 57．某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是 ． 58．年北京冬奥会已经越来越近了，这是我国重要历史节点的重大标志性活动，更是全国人民的一次冰雪运动盛宴．与此同时北京冬奥会吉祥物冰墩墩也受到人们的喜爱，关于冰墩墩的各种周边纪念品：徽章、风铃、抱枕、公仔正在某商场火热销售中．已知徽章和抱枕的价格相同，公仔的单价是风铃的两倍，且徽章和风铃的单价之和不超过元．元旦节期间，徽章的销售数量是公仔数量的倍，风铃和抱枕的销售数量相同，其中徽章和风铃共卖出件，抱枕和公仔的销售总额比风铃和徽章的销售总额多元，则徽章和风铃销售总额的最大值是 元． 59．某公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在这辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 日租金（元/辆） (1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ (2)某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过元． ①至少要租用多少辆甲型客车？ ②若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 60．冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题： (1)这两种雪地胎每个进价多少元？ (2)若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？ (3)在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数． 61．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场． (1)若，， ①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元； ②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样； (2)经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； (3)若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值． 62．根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1∶7与1∶9． 素材二 某商店的店内广告牌如右图所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．    素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料没有剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$