专题12 将军饮马模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题12 将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 2 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 4 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 6 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 7 10 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边中点．若，当取得最小值时，则的度数为 ．    例2．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，等腰的面积是12，，，垂直平分，点D为的中点，点M为线段上一点，则的周长的最小值为 ． 例3．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，面积是24，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 例4．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，的面积为6，，平分．若E，F分别是，上的动点，则的最小值（   ）    A． B． C． D．3 例5．（23-24九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，等腰直角中，为的中点，点P在上，的最小值为 ． 例6．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在等腰直角中，，，为的中点，，点为上一动点，则的最小值为 ． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（2024·安徽马鞍山·八年级期末）如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？ （2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ （3）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹． 例2．（2023.山东八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 2 例3．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ． 例4．（2022·重庆大渡口·七年级期末）如图，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面内直线BC的左侧有一点P，连接BP，CP，，将沿BC翻折至同一平面得到，连接．若取得最大值时，则______． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，，点P是内的定点且，若点M、N分别是射线、上异于点O的动点，则周长的最小值是 ． 例2．（2024·湖北十堰·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为_________． 例3.（23-24八年级上·湖南长沙·期末）在四边形中，，， ，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值．    模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 例1．（2024·广东·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 例2．（2024八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ． 例3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 1．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（    ） A． B．3 C．2 D．4 2．（2024·云南文山·一模）如图，在等边中， ， 平分，点 是边 的中点， 点 是线段 上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，，，动点P在内，且使得的面积为3，点Q为中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北·八年级期末）已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______． 5．（2024·山东·八年级专题练习）如图，四边形中，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为则的最大值为___． 6．（2024·安徽·八年级期末）已知在平面直角坐标系中，点A（－1，－2），点B（4，12），试在x轴上找一点P，使得｜PA－PB｜的值最大，求P点坐标为_________． 7．（23-24八年级上·浙江 期末）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，BC＞AB，DE＞AE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　 　． 8．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，在等边中，于D，若，，E为的中点，P为上一点，的最小值为 9．（2024·浙江·临海市八年级开学考试）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____． 10．（23-24八年级上·浙江·周测）如图，在中，是的角平分线，点分别是上的动点，则的最小值是 ． 11．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，当|BC﹣AC|最大时，点C的坐标是　 　． 12．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，点D是边上的点，将沿直线翻折，使点C落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，则的周长的最小值是 13．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在等腰中，，点在边上，连接，且，，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为 ．    14．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在锐角中，，点P为边上的一定点，连接，，M，N分别为边和上的两动点，连接，，，则周长的最小值为 ．    15．（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，直线与x轴、y轴交于点A、B，N是的中点，点M、点P分别是直线和y轴上的动点，则的最小值为 ． 16．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为． (1)画出；(2)面积为 ；(3)如图，是由经过平移得到的．已知点为△ABC内的一点，则点P在内的对应点的坐标是 ； (4)若有一个动点Q在y轴上，则当取最小值时，点Q的坐标是 ． 17．（2022·江苏·八年级期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB=CB′，C′B=C′B′，∴AC+CB=AC+　 　=　 　． 在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 1.简单应用（1）如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值 借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段　 　的长度，则EM+MC的最小值是　 　；（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM=　 　°． 2.拓展应用：如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程． 18．（2024九年级下·山西·专题练习）阅读理解：阅读以下内容，完成后面任务： 材料一:“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据1______）∴______． 在中，∵，（依据2______），∴，即最小． 材料二:说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解： 几何意义：如图④，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以苔成点P与点的距离，所求代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 任务一:______，______， 依据1____________________________________依据2______________________________________ 任务二:利用图④中求出的最小值 任务三:求代数式的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 2 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 29 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 53 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 68 79 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边中点．若，当取得最小值时，则的度数为 ．    【答案】/90度 【分析】本题考查等边三角形中，轴对称的性质，通过轴对称，把两线段和化为两点之间的一条线段的长是解题的关键．由等边三角形三线合一，可知点B和点C关于轴对称，连接交于点F，此时取得最小值，由三线合一可求出的度数． 【详解】∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，∴点B和点C关于轴对称，连接交于点F，则，    ∴，即：此时，取得最小值， ∵等边的边长为4，，∴E是的中点，∴，∴．故答案是：． 例2．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，等腰的面积是12，，，垂直平分，点D为的中点，点M为线段上一点，则的周长的最小值为 ． 【答案】8 【分析】连接，，根据中垂线的性质，得到A，B关于对称，得到，进而得到的最小值为，根据的周长为，为定值，进而得到的周长的最小值为，进行求解即可． 【详解】解：连接，，如图： 垂直平分，，B关于对称，， 当A，M，D三点共线时，的最小值为， 的周长为，为定值，的周长的最小值为， 等腰的底边的长为4，面积是12，为底边的中点， ，，，， 的周长的最小值为，故答案为：8 【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题、等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 例3．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，面积是24，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查的是垂直平分线的性质，等腰三角形性质．连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，．∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，∴，解得， ∵是线段的垂直平分线，∴点C关于直线的对称点为点A，∴， ∵，∴的长为的最小值， ∴的周长最短．故选：D． 例4．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，的面积为6，，平分．若E，F分别是，上的动点，则的最小值（   ）    A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了最短路线问题，角平分线性质，灵活应用角平分线性质、三角形三边的关系、垂线段最短，将所求最小值转化为求的长是解题的关键．在上取点，使，通过证明得，再根据三角形三边的关系得到，垂线段最短得出的最小值为的长，利用三角形面积公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，在上取点，使，过点作，垂足为，交于点，连接，，    平分，，在和中，，， ，，，， 当，点与重合时，的值最小，为的长， ，，，的最小值是，故选：B． 例5．（23-24九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，等腰直角中，为的中点，点P在上，的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点C作于O，延长到，使，连接，交于P，连接，此时的值最小．连接，由对称性可知，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过点C作于O，延长到，使，连接，交于P，连接， 此时的值最小． 连接， ∵等腰直角中，为的中点， ∴，， ， 结合对称性可知， ，∴， 根据勾股定理可得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，化为最简二次根式，确定动点P的位置，使的值最小是解题的关键． 例6．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在等腰直角中，，，为的中点，，点为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作关于的对称点，连接，，依据轴对称的性质，即可得到，，，根据，可得当，，，在同一直线上时，的最小值等于的长，根据全等三角形的对应边相等，即可得出的最小值为． 【详解】解：如图1所示，作关于的对称点，连接，，则，， ， ，， ，， 是的中点，，， ，当，，，在同一直线上时，如图2所示，的最小值等于的长， ，， ， ， ，的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称—线路最短问题，一般涉及到最短距离的问题，要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（2024·安徽马鞍山·八年级期末）如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？ （2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ （3）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得M在AB的垂直平分线和CD 的交点处； （2）首先作出A关于河的对称点A′，再连接A′B，与河的交点就是N位置； （3）根据两边之差小于第三边得到P位于AB与CD交点处时，|PA-PB|最大； 【详解】解：（1）∵自来水厂到两村的距离相等，即MA=MB， ∴M在AB的垂直平分线上，如图：厂址应该选在M处； （2）由题意可知，若自来水厂到两村的输水管用料最省，即AN+BN最小， 如图，A′为点A关于CD的对称点，连接A′B，与CD交于点N，则厂址应该选在点N处； （3）若最大，根据三角形两边之差小于第三边，如图， 可知P位于AB与CD交点处时，|PA-PB|最大； 【点睛】本题考查的是作图-应用与设计作图，熟知轴对称的性质和垂直平分线的性质以及三角形三边关系是解答此题的关键． 例2．（2023.山东八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 2 【解答】B 【解析】∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC， 又∵＝BM＋MC＋BC＝20，BM＋MA＝AB＝12，∴BC＝20－12＝8， 在MN上取点P，∵MN垂直平分AC，如图所示，连接PA、PB、PC，∴PA＝PC， ∴PA－PB＝PC－PB，在△PBC中PC－PB＜BC 当P、B、C共线时（PC－PB）有最大值，此时PC－PB＝BC＝8，故选B. 例3．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用轴对称解决线段差值的最大值，等边三角形的判定和性质，作点关于的对称点，连接，进而得到，进而得到当三点共线时，的最大值为的长，证明为等边三角形，进而得到的长，即可．解题的关键是通过轴对称构造特殊三角形． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， ∴，∴， ∴当三点共线时，的最大值为的长， ∵，∴，∴， ∴，∴为等边三角形，∴， ∴的最大值为；故答案为：． 例4．（2022·重庆大渡口·七年级期末）如图，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面内直线BC的左侧有一点P，连接BP，CP，，将沿BC翻折至同一平面得到，连接．若取得最大值时，则______． 【答案】12 【分析】如图1中，过点P作PH⊥BC于点H．求出PH＝2，推出点P在BC的中垂线上运动，由翻折变换的性质可知，BP＝BP′，推出|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4，推出当A，B，P′共线时，|AP′﹣PB|的值最小，如图2中，设BC的中垂线交AC于点M，交AB于点N．则NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，求出PM，即可解决问题． 【详解】解：如图1中，过点P作PH⊥BC于点H． ∵AB＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABBC＝4， ∵S△BCP＝4，∴4×PH＝4，∴PH＝2， ∴点P在BC的中垂线上运动，由翻折变换的性质可知，BP＝BP′， ∴|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4， ∴当A，B，P′共线时，|AP′﹣PB|的值最小，如图2中， 设BC的中垂线交AC于点M，交AB于点N．则NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4， ∴PM＝4+2＝6，∴S△ACP′AC×PM4×6＝12，故答案为：12． 【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找点P的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，，点P是内的定点且，若点M、N分别是射线、上异于点O的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理； 作点P关于的对称点F，关于的对称点E，连接交，于点M，N，连接，，求出的周长，再根据轴对称的性质得出，，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：作点P关于的对称点F，关于的对称点E，连接交，于点M，N，连接，，则的周长， ∵，∴由对称性可知：，， ∴，即周长的最小值是，故答案为：． 例2．（2024·湖北十堰·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为_________． 【答案】160° 【分析】要使周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作点A关于BC和CD的对称点，即可得到，进而求得，即可得到答案． 【详解】作点A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N， 则即为周长最小值 ， 故答案为：160°． 【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 例3.（23-24八年级上·湖南长沙·期末）在四边形中，，， ，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值．    【答案】 【分析】本题考查对称的性质和勾股定理，根据两点间线段最短找到的周长最小的情况是本题解题的关键．作关于的对称点，关于的对称点，连接、，与、分别交于、，找到的周长最小的情况．再过作延长线的垂线，交延长线于点，利用勾股定理求出，即的周长的最小值． 【详解】如图所示，作关于的对称点，关于的对称点，连接、，与、分别交于、，则此时的周长最小．    证明如下：作关于的对称点，关于的对称点， ，，， 两点之间线段最短的周长最小，． 作延长线的垂线，交延长线于点，，，， ，，，， ，， 在中，，． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 例1．（2024·广东·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ，得出BP＋PQ＋CQ的最小值为，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得和即可求得． 【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ ∵HC与GB关于y轴对称， ∴GO=HO,BO=CO,∵x轴⊥y轴，∴AG=AH，、关于y轴对称， ∴当、，P、Q在同一条直线上时，最小，此时轴， ∵∠GAH＝60°，∴△AGH为等边三角形，∴∠AGO=60°， ∵轴，B、关于AG对称，∴,， ∴△BPG为等边三角形，过作PM⊥GO交x轴与M， ∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴， ∴，同理可得,即．故选：B． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键． 例2．（2024八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，含的直角三角形的性质．作点关于的对称点，则，作点关于的对称点，则，则，当四点共线时，最小,具体见详解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，则， 作点关于的对称点，则，∴ 当四点共线时，最小，连接， ∵则, ∴∵, 过作垂直的延长线交于点，∴ 在中，，根据角所对的直角边是斜边的一半可知， 则，∴ 即的最小值为．故答案为：． ∴，∴．故答案为：． 例3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可． 【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示： 连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值． 根据轴对称的定义可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°， ∴∠NON′=60°，，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形， ∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=．故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键． 1．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（    ） A． B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，此时EM＋CM的值最小，求出BE即可． 【详解】解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F， ∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴B点与C点关于AD对称，∴BM＝CM， ∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小， ∵AC＝6，AE＝2，∴EC＝4，在Rt△EFC中，∠ECF＝60°， ∴FC＝2，EF＝2，在Rt△BEF中，BF＝4，∴BE＝2，故选：C． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题关键． 2．（2024·云南文山·一模）如图，在等边中， ， 平分，点 是边 的中点， 点 是线段 上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的应用，等边三角形的性质，垂线段最短，过作于点，连接，通过性质可得，当点三点共线时，有最小值，由三角函数即可求出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于点，连接， ∵在等边中，平分，∴垂直平分，∴， ∵，当点三点共线时，有最小值， ∴，即的最小值为，故选：． 3．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，，，动点P在内，且使得的面积为3，点Q为中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先算出，根据的面积为3，可得P点到AC的距离，画出P点所在直线l，作B关于直线l的对称点E，连接，交直线l于点P，即的最小值，因为点Q为中点，可得，由三线合一可得的长，由勾股定理得的长，由勾股定理可得的长，即的最小值． 【详解】解：∵，，，∴， 过P作，交于点D，∵的面积为3，，∴， 作直线，距离为1，则点P在直线l上运动且在内，B到直线l的距离为7， 作B关于直线l的对称点E，连接，交直线l于点P， ∴，，∴，即的最小值， 过Q作，交于点F，∵点Q为中点，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴，故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，关键是掌握将军饮马模型． 4．（2024·湖北·八年级期末）已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______． 【答案】60°##60度 【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β）， ∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β），∴β﹣α＝60°，故答案为：60． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题． 5．（2024·山东·八年级专题练习）如图，四边形中，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为则的最大值为___． 【答案】10 【分析】如图，过点F作FH⊥EC于H.过点F作直线l//EC，作点C关于直线l的对称点C'，连接AC'交直线l于F'，此时|F'A−F'C'|的值最大，即|FA−FC|的值最大，最大值为线段AC'的长． 【详解】解：如图，过点F作 FH⊥EC 于H． ∵△CFE的面积为8，即EC⋅FH=8，CE=8，∴FH=2， 过点F作直线l//EC，作点C关于直线l的对称点C'，连接AC'交直线l于F'，此时|F'A−F'C'|的值最大，即|FA−FC|的值最大，最大值为线段AC'的长，过点C'作C'K⊥AB于K．∵∠C'KB=∠KEC=∠ECC'=90° ， ∴四边形CEKC'是矩形，∴CC'=EK=4，EC=KC'=8， ∵AE=10，∴AK=AE−EK=10−4=6，∴AC'=， ∴|FA−FC|的最大值为10．故答案为10． 【点睛】本题考查轴对称−最短问题，三角形的面积，直角梯形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题． 6．（2024·安徽·八年级期末）已知在平面直角坐标系中，点A（－1，－2），点B（4，12），试在x轴上找一点P，使得｜PA－PB｜的值最大，求P点坐标为_________． 【答案】（-2，0） 【分析】先找出点A关于x轴对称的点A′坐标是（-1,2），根据两边之差小于第三边得到P位于直线A′B与x轴交点的位置时，|PA-PB|最大，设直线A′B解析式为y=kx+b，将A′与B坐标代入，求出k与b的值，确定出直线A′B解析式，令y=0求出对应x的值，确定出P的坐标； 【详解】解：（1）解：∵A（-1，-2），∴点A关于x轴对称的点A′坐标是（-1,2）， 设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将A′（-1，2），B（4，12）代入得：解得： ，故直线AB解析式为y=2x+4 令y=0，解得x=-2，即P坐标为（-2，0）时，|PA-PB|最大.故答案为（-2，0）. 【点睛】本题考查轴对称--最短路线问题，综合运用了一次函数的知识． 7．（23-24八年级上·浙江 期末）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，BC＞AB，DE＞AE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　 　． 【解答】解：作A点关于BC的对称点A'，关于ED的对称点A''，连接A'B，A''E， ∴AM＝A'M，AN＝A''N，∴AM+AN+MN＝A'M+MN+A''M＝A'A''，此时△AMN的周长最小， ∵∠B＝∠E＝90°，∴A、B、A'共线，A、E、A''共线，∴∠A'＝∠A'AM，∠A''＝∠NAE， ∴∠A'AM+∠NAE＝∠A''+∠A'＝180°﹣∠BAE， ∵∠BAE＝120°，∴∠A''+∠A'＝∠A'AM+∠NAE＝∠60°， ∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣∠MAN＝180°﹣（120°﹣∠A'AM﹣∠NAE）＝120°，故答案为120°． 8．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，在等边中，于D，若，，E为的中点，P为上一点，的最小值为 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．连接，先证出，从而可得，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，取得最小值，最小值为，然后证出，根据全等三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在等边中，，垂直平分，，， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为， ∵在等边中，，为的中点，，， 在和中，，，， 即的最小值为，故答案为：． 9．（2024·浙江·临海市八年级开学考试）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____． 【答案】4 【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，证明△CBD≌△BD，得到CD=D，推出当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4． 【详解】解：如图，连接D， ∵正△ABC的边长为2，△ABC与△A′BC′关于直线l对称， ∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，∴∠CB=60°，∴∠CB=∠B， ∵BD=BD，∴△CBD≌△BD，∴CD=D，∴AD+CD=D+CD， ∴当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4，故答案为：4． ． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键． 10．（23-24八年级上·浙江·周测）如图，在中，是的角平分线，点分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】在AB上取点，使，过点C作，垂足为因为，推出当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小． 【详解】解：如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H． 在中，依据勾股定理可知， ，，∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴， 当C，E，共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为．故答案为． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，解题的关键是利用对称，解决最短问题． 11．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，当|BC﹣AC|最大时，点C的坐标是　 　． 解：∵A（1，4），B（3，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6， ∵|BC﹣AC|≤AB，∴当A、B、C三点共线时，|BC﹣AC|的值最大，此时C（0，6）故答案为（0，6） 12．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，点D是边上的点，将沿直线翻折，使点C落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，则的周长的最小值是 【答案】8 【分析】本题考查三角形的折叠及勾股定理解三角形，轴对称的性质，解题的关键是找到最小距离和的点． 连接，交于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，的值最小，即可得出此时的周长最小，最小值是，先求出和长，代入求出即可． 【详解】解：连接，交于M， ∵，∴， ∵沿折叠C和E重合，∴， ∴，垂直平分，即C和E关于对称，， ∴当P和D重合时，的值最小，即此时的周长最小，最小值是， ∴的周长的最小值是．故答案为8． 13．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在等腰中，，点在边上，连接，且，，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为 ．    【答案】18 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，则的周长，即可得到当、、三点共线时，的值最小，此时，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，∵是的垂直平分线，在上运动，∴， ∴的周长， ∴要想的周长最小，即的值最小， ∴当、、三点共线时，的值最小，此时， ∴此时的周长，∴的周长最小值为，故答案为：．    14．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在锐角中，，点P为边上的一定点，连接，，M，N分别为边和上的两动点，连接，，，则周长的最小值为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了轴对称——最短问题、等边三角形的判定及性质，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接，，此时的周长最小，根据轴对称的性质可得，，，再利用等边三角形的判定及性质即可求解，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接，，如图：    此时的周长最小，由对称的性质可得：，，， ，，是等边三角形，， 周长的最小值为：，故答案为：4． 15．（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，直线与x轴、y轴交于点A、B，N是的中点，点M、点P分别是直线和y轴上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点关于轴对称的点，过点作于，交轴于点，连接，利用一次函数解析式求出点A和点B坐标，根据对称的性质得出，可得的值最小，利用勾股定理求出，利用面积法求出的长即可得解． 【详解】解：在中，令，则，令，则，∴，， ∵N是的中点，∴，作点关于轴对称的点，则的坐标为， 过点作于，交轴于点，连接，，此时的值最小， ∵，∴，即， 解得：，的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称求最小值，勾股定理，面积法，最短路径问题．根据轴结称和垂线段确定最短路径是解题的关键． 16．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为． (1)画出；(2)面积为 ；(3)如图，是由经过平移得到的．已知点为△ABC内的一点，则点P在内的对应点的坐标是 ； (4)若有一个动点Q在y轴上，则当取最小值时，点Q的坐标是 ． 【答案】(1)见解析(2)8(3)(4) 【分析】本题考查了坐标与图形及图形的平移，轴对称的性质，掌握图形的平移规律是解题关键， （1）根据点的坐标画出三角形；（2）利用割补法求出三角形的面积； （3）根据点坐标变换的规律确定平移的方式即可，利用平移方式确定点坐标变换结果即可；（4）作关于y轴的对称点，则坐标为，连接，求出的解析式，求出与y轴交点坐标即可． 【详解】（1）如图，即为所作； （2）； （3）是由经过先向右平移个单位，然后向下平移个单位得到， ∴点平移的对应点的坐标为：； （4）作关于y轴的对称点，则坐标为，连接， 设解析式为：，把和代入得： ，解得，∴， 令，则，∴点Q的坐标为． 17．（2022·江苏·八年级期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB=CB′，C′B=C′B′，∴AC+CB=AC+　 　=　 　． 在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 1.简单应用（1）如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值 借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段　 　的长度，则EM+MC的最小值是　 　；（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM=　 　°． 2.拓展应用：如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程． 【答案】C′B；AB′；简单应用：（1）BE；3；（2）100；拓展应用：作图见解析，货船行驶的水路最短路程为千米 【分析】1.简单应用（1）根据等边三角形的性质、勾股定理计算，得到答案；（2）作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算； 2.拓展应用：分别作点A关于OB的对称点A′，点B关于OA的对称点B′，连接A′B′，交OB于C，交OA于D，根据轴对称的性质、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：AC+CB=AC+C′B=AB′，故答案为：C′B；AB′； 1.简单应用（1）由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM， EM+MC的最小值就是线段BE的长度， BE=，则EM+MC的最小值是，故答案为：BE；； （2）如图5，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N， 则A′A″即为△AMN的周长最小值，∵∠DAB=130°，∴∠A′+∠A″=50°， ∵∠A′=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠A′+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°，故答案为：100； 2.拓展应用：如图6，分别作点A关于OB的对称点A′，点B关于OA的对称点B′，连接A′B′，交OB于C，交OA于D，则C、D为两岸的装货地点，A′B′是货船行驶的水路最短路程， 由轴对称的性质可知，OA′=OA=1，OB′=OB=2，∠BOA′=∠AOB=30°，∠AOB′=∠AOB=30°， ∴∠A′OB′=90°，∴A′B′=，答：货船行驶的水路最短路程为千米． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用轴对称变换的思想是解题的关键． 18．（2024九年级下·山西·专题练习）阅读理解：阅读以下内容，完成后面任务： 材料一:“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据1______）∴______． 在中，∵，（依据2______），∴，即最小． 材料二:说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解： 几何意义：如图④，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以苔成点P与点的距离，所求代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 任务一:______，______， 依据1____________________________________依据2______________________________________ 任务二:利用图④中求出的最小值 任务三:求代数式的最小值． 【答案】任务一：，，轴对称的性质，，三角形三边关系；任务二3；任务三 ：5 【分析】本题属于几何变换综合题，考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题．任务一：由轴对称的性质和三角形三边关系解答即可； 任务二：设点A关于x轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点A、B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，．所以由勾股定理得． 任务三：先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和，再根据勾股定理描出各点，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：任务一： 如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴，，（依据轴对称的性质）∴． 在中，∵，（依据三角形三边关系），∴，即最小； 故答案为：，，轴对称的性质，，三角形三边关系； 任务二：设点A关于x轴对称点，作轴，轴，交于点C，在中， ，因此原式的最小值为． 任务三 ：代数式的最小值5． ∵ ∴的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和， 如图所示，设点A关于x轴的对称点为，则， ∴的最小值，只需求的最小值，而点、间的直线距离最短， ∴的最小值为线段的长度， ∵点，，∴，，， ∴，∴的最小值为5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！36 学科网（北京）股份有限公司 $$