3.3.2 抛物线的几何性质 （七大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

3.3.2 抛物线的几何性质 课程标准 学习目标 能通过抛物线的方程推出它的简单几何性质，进一步体会数形结合思想. （1）掌握抛物线的几何性质. （2）会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 知识点01 抛物线的简单几何性质 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 对称性：关于x轴对称 抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴． 顶点：坐标原点 抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是． 离心率：． 抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，． 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 【即学即练1】（多选题）（2023·高二课时练习）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线的有（　　） A．焦点在y轴上 B．焦点在x轴上 C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为 【答案】BD 【解析】由抛物线的焦点坐标为，位于轴上，所以A不满足，B满足； 对于C中，设是抛物线上一点，为焦点， 则，所以C不满足 对于D中，由于抛物线的焦点为，若由原点向该直线作垂线，垂足为，设过该焦点的直线方程为，则，此时该直线存在，所以D满足． 故选：BD. 知识点02 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数的几何意义是指焦点到准线的距离；恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于的值，才易于确定焦点坐标和准线方程． 【即学即练2】（多选题）（2023·广东佛山·高二统考期末）已知抛物线：的焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，且A在x轴上方，过A、B分别作的准线的垂线，垂足分别为、，则（    ） A． B．若，则A的纵坐标为4 C．若，则直线AB的斜率为 D．以为直径的圆与直线AB相切于F 【答案】BCD 【解析】由题意可得：抛物线：的焦点，准线， 设直线AB为，则， 联立方程，消去y可得：, 则， 对A：∵， ∴， ∴不相互垂直，A错误； 对B：∵，则或（舍去）， ∴A的纵坐标为4，B正确； 对C：∵，且， ∴，则，解得或（舍去）， 故直线AB的斜率，C正确； 对D：∵， ∴的中点到直线AB的距离， 又∵， 故以为直径的圆与直线AB相切于F，D正确； 故选：BCD. 知识点03 焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为． 1、抛物线，． 2、抛物线，． 3、抛物线，． 4、抛物线，． 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 【即学即练3】（2023·云南昭通·高二校考期中）设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（    ） A．-4 B． C． D．-32 【答案】B 【解析】由抛物线的方程可得焦点坐标为，由抛物线的性质可得，所以， 将的坐标代入抛物线的方程：，所以，又因为在第四象限， 所以. 故选：. 知识点04 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点． （2）直线的斜率存在． 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 【即学即练4】（2023·全国·高二课堂例题）（1）求过定点，且与抛物线只有一个公共点的直线l的方程. （2）若直线l：与曲线C：（）恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合. 【解析】（1）由题意知，直线的斜率存在. 设直线斜率为，则切线方程为， 由消去x，得. 当时，此时直线，与抛物线只有一个公共点； 当时，所以，解得，即过M点的切线有两条. 所求直线l的方程为或. 综上所述，所求直线l的方程为，或，或. （2）因为直线l与曲线C恰好有一个公共点， 所以方程组只有一组实数解， 消去y，得，即①. 当，即时， 直线为，直线与曲线恰一个公共点； 当，即时， 由，解得（舍去）或. 当时，由方程①化为，解得， 代入直线方程为，解得，即此时直线与曲线恰一个公共点. 综上，实数a的取值集合是. 知识点05 直线与抛物线相交弦长问题 1、弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）， （3）直线的方程为． 【即学即练5】（2023·四川绵阳·高二盐亭中学校考期中）已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【解析】如下图所示： 易知，不妨设； 设直线的方程为，与联立消去得， , 由韦达定理可知； 由可得；联立解得，即； 根据焦点弦公式可得； 代入计算可得. 故选：C 【方法技巧与总结】 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 题型一：抛物线的几何性质 【典例1-1】（多选题）（2024·海南省直辖县级单位·三模）设抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点，若，且，则抛物线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】 设，因为，所以， 因为，所以， 即，所以，所以， 解得，所以，解得或， 所以抛物线的方程为或． 故选:BC. 【典例1-2】（多选题）（2024·高三·云南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），若，，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．若为上的动点，其在上的射影为，则 D．过点且与有且仅有一个公共点的直线有3条 【答案】BCD 【解析】 对于A，因为，直线的斜率为，则设直线的方程为， 联立，得，解得：，， 由，得，故A错误； 对于B，由于，则，故B正确； 对于C，如图所示，抛物线的焦点为，， 当且仅当，，三点共线时取等号，故C正确； 对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点； 当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消得， 当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点； 当时，则，解得，综上所述，过点与有且仅有一个公共点的直线有条，故D正确； 故选：BCD. 【变式1-1】（多选题）（2024·高二·黑龙江牡丹江·期末）已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交抛物线于A，B两点，以下结论中正确的有（    ） A．直线l的方程为 B．原点到直线l的距离为 C． D．以AB为直径的圆过原点 【答案】ABC 【解析】如图所示： 对选项A，抛物线的焦点为，所以直线l的方程为，故A正确； 对选项B，，故B正确. 对选项C，联立， 设，，则，， 所以，故C正确. 对选项D， ，故D错误. 故选：ABC 【变式1-2】（多选题）（2024·高二·河南·阶段练习）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，弦中点的横坐标为4，，则（    ） A．的斜率为1 B．在轴上的截距为 C．弦中点的纵坐标为 D． 【答案】ACD 【解析】易得的斜率存在，设，，， 由得，则由，得. 由，得， 所以，弦中点的纵坐标为，. 故ACD正确，B错误， 故选：ACD 【变式1-3】（多选题）（2024·高二·湖北襄阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 【答案】AB 【解析】设，则，，又抛物线的焦点为， 对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错； 对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错； 对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确； 对D，记抛物线的准线为，准线方程为， 过作于，过作于，则，， 所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确． 故选：AB． 题型二：直线与抛物线的位置关系 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 【解析】由，得. 当时，方程化为一次方程， 该方程只有一解，原方程组只有一组解， ∴直线与抛物线只有一个公共点； 当时，二次方程的判别式， 当时，得，， ∴当或时，直线与抛物线有两个公共点； 由得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点； 由得或，此时直线与抛物线无公共点． 综上，当或时，直线与抛物线仅有一个公共点； 当或时，直线与抛物线有两个公共点； 当或时，直线与抛物线无公共点． 【典例2-2】（2024·高二·全国·课堂例题）（1）求过定点，且与抛物线只有一个公共点的直线l的方程. （2）若直线l：与曲线C：（）恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合. 【解析】（1）由题意知，直线的斜率存在. 设直线斜率为，则切线方程为， 由消去x，得. 当时，此时直线，与抛物线只有一个公共点； 当时，所以，解得，即过M点的切线有两条. 所求直线l的方程为或. 综上所述，所求直线l的方程为，或，或. （2）因为直线l与曲线C恰好有一个公共点， 所以方程组只有一组实数解， 消去y，得，即①. 当，即时， 直线为，直线与曲线恰一个公共点； 当，即时， 由，解得（舍去）或. 当时，由方程①化为，解得， 代入直线方程为，解得，即此时直线与曲线恰一个公共点. 综上，实数a的取值集合是. 【变式2-1】（2024·高二·河南焦作·期末）已知抛物线，直线与交于点(与坐标原点不重合)，过的中点作与轴平行的直线，直线与交于点与轴交于点 （1）求； （2）证明:直线与抛物线只有一个公共点. 【解析】（1）联立方程，可得：，解得 所以， 因为是的中点，所以 直线，点 将代入，得 所以. 因为， 所以直线的方程为， 与联立消去得， 因为， 所以直线与抛物线只有一个公共点. 【变式2-2】（2024·高二·宁夏固原·期末）已知曲线的方程为，直线过定点，斜率为. （1）若曲线与直线只有一个公共点，求实数的值； （2）在（1）的条件下，求直线的方程. 【解析】（1）当时，直线的方程为，联立，解得， 此时，直线与曲线有且只有一个交点； 当时，直线的方程为， 联立，消去并整理可得， ，整理可得，解得或； （2）当时，直线的方程为； 当时，直线的方程为，即； 当时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或或. 【变式2-3】（2024·高二·四川自贡·期中）已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线 （1）只有一个公共点； （2）有两个公共点； （3）没有公共点? 【解析】设直线的方程为：，即. 联立 （1）因为直线与抛物线只有一个公共点， 等价于方程只有一个根. 当时，，符合题意. 当时，， 整理得：，解得或. 综上可得：或或. （2）因为直线与抛物线有两个公共点， 等价于方程只有两个根. 所以，， 即，解得且. （3）因为直线与抛物线没有公共点， 等价于方程无根. 所以，， 即，解得或. 题型三：中点弦问题 【典例3-1】（2024·高二·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【解析】（1）抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 【典例3-2】（2024·高二·四川雅安·开学考试）设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 【解析】（1）因为，所以， 故抛物线的方程为． （2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，即． 【变式3-1】（2024·高二·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为是上的点，且. (1)求的方程； (2)已知直线交于两点，且的中点为，求的方程. 【解析】（1）因为，所以， 故抛物线的方程为. （2）易知直线的斜率存在，设的斜率为， 则 两式相减得，整理得. 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，即. 联立与，得，显然， 综上满足题意的的方程为. 【变式3-2】（2024·高二·河北邢台·阶段练习）设抛物线的焦点为，点在上，，已知. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程. 【解析】（1） 因为， 所以，即轴. 令，可得， ，， 所以，得， 故抛物线的方程为. （2）如图，易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得. 因为的中点为， 所以， 所以直线的方程为，即. 由直线过点，必和抛物线有两个交点， 所以直线的方程为. 【变式3-3】（2024·高二·安徽滁州·阶段练习）已知圆的圆心是抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程． 【解析】（1）圆的方程可化为， 故圆心的坐标为． 设抛物线的方程为()，所以，所以， 所以抛物线的方程为． （2）设，，则两式相减， 得，即， 所以直线的斜率． 因为点是的中点，所以，所以． 所以直线的方程为，即． 【变式3-4】（2024·陕西宝鸡·一模）已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线C交于A，B两点. (1)若，求的面积； (2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围. 【解析】（1）抛物线的焦点为， 时，直线， 联立，可得， 设，，，， 则，． ， 点到直线的距离距离， 的面积． （2）∵点，关于直线对称，∴直线的斜率为， ∴可设直线的方程为， 联立，整理可得， 由，可得， 设，，，，则， 故的中点为， ∵点，关于直线对称，∴的中点，在直线上， ∴，得，∵，∴． 综上，的取值范围为． 题型四：焦半径问题 【典例4-1】（2024·高三·四川·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，， 则．根据抛物线定义知，， 又若，且， 因为，设， 则，，又，解得，， 所以， 因为， 所以，，解得． 故选:C 【典例4-2】（2024·高三·广东广州·期中）直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，则， 由，得，则， 由，得，得， 联立解得，，所以. 故选：C 【变式4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知是抛物线上一点，过的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】因为是抛物线上一点，所以，得， 则抛物线的方程为． 设，不妨设，设直线的方程为， 联立得， 所以，故， 则， 当且仅当且，即时，等号成立． 故的最小值为9. 故选：D． 【变式4-2】（2024·高二·安徽·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于P，Q两点，若，则直线l倾斜角的正弦值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】 过P，Q分别作，垂直于准线，垂足分别为，，过Q作，垂足为R， 设，则，，． 故选：A. 【变式4-3】（2024·高三·重庆·阶段练习）抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由题意可知，不妨设，， 联立直线与抛物线方程得， 又，而， 则，即或， 所以直线的倾斜角为或. 故选：C 【变式4-4】（2024·高二·吉林·开学考试）如图，已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆依次交于，则的最小值为（    ） A．14 B．23 C．18 D．15 【答案】A 【解析】易知抛物线的焦点为， 设点，圆的半径为1， 由抛物线的定义可得， 若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立，可得， 则，由韦达定理可得， 所以， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 因此的最小值为14，故A正确. 故选：A. 题型五：弦长问题 【典例5-1】（2024·高二·全国·课后作业）过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】D 【解析】由题得直线，设，联立得， 令，则，所以， 由， 则，解得．故D正确. 故选：D. 【典例5-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于两点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，设直线的方程为， 由，得，所以， 所以， 解得，所以直线的斜率为． 故选：B. 【变式5-1】（2024·高三·安徽·开学考试）已知为坐标原点，抛物线的焦点为F，，过点M的直线l与C交于A，B两点，且，直线BN与C的另一个交点为P，若直线AN与PM的斜率满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， ， ， 设直线，直线， 联立，得， 设，则， 联立，得，则， 则，则，故， 由，得，解得， 则，故. 故选：. 【变式5-2】（2024·高二·全国·课前预习）若抛物线与直线交于，两点，则等于（    ） A． B．12 C． D．13 【答案】C 【解析】由消去y并整理得，， 设，，则，， . 故选：C 【变式5-3】（2024·高二·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【解析】将与抛物线联立得， 设， 显然抛物线焦点坐标为，令，即，则，则直线过焦点， 则. 故选：B. 【变式5-4】（2024·新疆·三模）已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由抛物线得，则，， 不妨设PQ的倾斜角为， 则由，得，， 所以，， 得，， 所以. 故选：B. 题型六：定点定值问题 【典例6-1】（2024·高三·重庆北碚·阶段练习）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3． (1)求抛物线E的方程； (2)过点的直线l与抛物线E相交于两点，B关于x轴的对称点为，求证：直线必过定点． 【解析】（1）设点的坐标为，因为点在第一象限，所以， 双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上，所以， 所以点的坐标为，又点在抛物线上，所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； （2）设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，，则， 因为点A、B在第一象限，所以，故， 设B关于x轴的对称点为， 则直线的方程为， 令得： ． 直线过定点． 【典例6-2】（2024·高三·江苏南通·阶段练习）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点，直线与的另一个交点分别为，记直线的斜率分别为. (1)求证：为定值； (2)直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标． 【解析】（1）证明：设且,，, 直线，联立的方程可得①， 由斜率公式可得，， 可设直线，代入抛物线方程可得， ②，联立①②得，同理可得， 所以⇒. （2）设， 若三点共线， 由, 所以，化简得， 由三点共线，得 由三点共线，得， 结合（1）题设知. 设直线， 由，得， 所以直线过定点. 【变式6-1】（2024·高二·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点满足.记点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设点T在y轴上（异于原点），过点T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，并且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 【解析】（1）因为， 所以点M到定点的距离等于到定直线的距离， 所以M的轨迹为抛物线，方程为； （2）设，如图： 设直线AB的方程为， 直线PQ的方程为且 ，， 由 ,得，， ， 同理， 因为， 所以， 因为，所以由得． 【变式6-2】（2024·高二·上海·课堂例题）已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 【解析】（1）设，，因为，所以． 由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为， 将直线方程代入抛物线方程得． 因为，所以，得． 设线段AB的中点，则， 所以线段AB的中点到x轴的距离为1． （2）准线方程，设，，，，， 直线AM的斜率为，直线BM的斜率为， 直线AM的方程为，直线BM的方程为， 所以， ． 设直线AB的方程为：，代入抛物线方程得， ，所以， 所以 ． 所以为常数． 【变式6-3】（2024·高二·四川内江·阶段练习）已知抛物线的准线与轴的交点为 . (1)求的方程，若经点的直线与有且只有一个公共点时，求直线的方程. (2)若过点的直线与抛物线交于，两点.求证： 为定值. 【解析】（1）抛物线的准线方程为，依题意，解得， 所以抛物线， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由， 消去整理得，则，解得或， 所以直线的方程为或， 综上可得直线的方程为或或. （2）依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，. ∴. ∴为定值. 题型七：最值问题 【典例7-1】（2024·高二·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点到直线的距离为为直线上的动点，过点作直线分别与相切于点. (1)求的方程； (2)证明：直线过定点； (3)若直线分别交轴于点，求的最小值. 【解析】（1）由题意知， 结合，解得. 故的方程为. （2）证明：根据题意，直线的斜率存在，设其方程为. 联立，得. . 由可得，所以，因此的斜率分别为， 的方程分别为， 整理得， 联立的方程，解得，即. 因为点在直线上，所以， 所以直线的方程为， 故直线过定点. （3）由（2）可知与轴的交点横坐标分别为. 因为， 当时取等号， 故的最小值为. 【典例7-2】（2024·高二·全国·随堂练习）已知是抛物线上的动点，求点到直线的距离的最小值. 【解析】依题意，设点的坐标为，则点到直线的距离为： ，当且仅当时取等号， 所以点到直线的距离的最小值是. 【变式7-1】（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【解析】（1）由题意， 如图， ∵， ∴， 又∵不在轴负半轴上， ∴与直线垂直， 又∵， ∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ∴点的轨迹方程为. （2） 由得， ∵与交于两点， ∴， 设，，则， 又∵， ∴， ∵的斜率为， ∴直线的方程为， 设，，同理得，， ∴ ， 当且仅当即时取到“=”， ∴的最小值为16. 【变式7-2】（2024·高二·上海·阶段练习）已知过点的动直线与抛物线相交于、两点． (1)当直线的斜率是时，．求抛物线的方程； (2)对（1）中的抛物线，当直线的斜率变化时，设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围． 【解析】（1） 如图所示 设， 当直线的斜率是时，的方程为，即， 由，消化简整理，得， 所以，① 又．，② 由①②和得，，， 则抛物线的方程为； （2）设，的中点坐标为， 由，消去化简整理，得， 所以， 所以，， 所以线段的中垂线方程为， 所以线段的中垂线在轴上的截距为， 由得或，可得， 所以的取值范围为． 【变式7-3】（2024·高二·河南·期中）已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线． (1)求的值； (2)设抛物线上一动点到直线的距离为，求的最小值． 【解析】（1）根据题意可知，将分别代入两曲线方程得到，． 两个函数的导函数分别是，， 又，，则， 解得，，． （2）要使抛物线上的点M到直线的距离最短， 则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线相同，则， 解得，又因为点M在抛物线上，解得． 所以最短距离即的最小值为点M到直线的距离， 代入点到直线的距离公式得． 即最短距离为 【变式7-4】（2024·高二·全国·专题练习）已知过点的动直线l与抛物线相交于两点.当直线l的斜率是时，. (1)求抛物线G的方程； (2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围. 【解析】（1）设，， 由题意知直线l的方程为 由得， ∴， 又∵，， ∴， 结合已求内容及， 解得， 则抛物线G的方程为. （2） 由题意设，的中点坐标为， 由得， ，. ∴线段的中垂线方程为， ∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为. 对于方程， 由得或. 此时易知. 1．（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）抛物线：的焦点为，直线 经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（    ） A． B．弦的中点到轴的距离为 C． D．点的坐标为 【答案】D 【解析】对于A，因为抛物线：的焦点为， 由题意，所以，即，故A正确； 对于D，如图：过点作垂直于轴， 因为，所以， 因为，所以， 所以，代入可得，故D错误； 不妨设点在轴下方， 则，所以直线的方程为：，即， 由得， 所以， 对于B，弦的中点到轴的距离为，故B正确； 对于C，，故C正确. 故选：D 2．（2024·高三·湖南·阶段练习）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】（方法一） 因为抛物线的焦点到准线的距离为，故， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为：，不妨设， 联立方程，整理得，则， 故， 又，， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：B. （方法二）由方法一可得，则， 因此 ， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 3．（2024·云南大理·模拟预测）已知抛物线：上存在两点，关于直线：对称，若，则（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】设直线为，代入抛物线得， 则，，∴， 直线为，线段的中点记为， 则，. 又中点在上，∴. 故选：B. 4．（2024·高二·全国·课后作业）设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知过点的直线为：，设，， 由得，则， 因为， 则．故D正确. 故选：D. 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】设的中点，抛物线的准线为， 如图，作，垂足分别为. 由直角梯形的性质可得， 取抛物线焦点为，由抛物线定义可得， 当且仅当直线经过点时取等号， 所以线段中点的横坐标的最小值为． 故选：B. 6．（2024·高三·湖南·开学考试）已知过点的直线交抛物线于两点，且为坐标原点，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】显然直线不垂直于轴，设直线方程为，， 由消去得，则， 由，得，解得或，则， 所以的面积为. 故选：C 7．（2024·江苏·三模）已知过抛物线的焦点的直线与相交于两点，轴上一点满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】 设，，， 联立方程组得到，消可得， 解得，因为，所以， 而， 而， 解得，此时，， ，故D正确. 故选：. 8．（2024·高二·安徽·期末）在直角坐标系中，已知点，动点满足线段的中点在曲线上，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】设，中点，则. 　．代入前面式子得到， 化简得到，即，则的轨迹为抛物线. 抛物线焦点恰好是， \过P向抛物线垂线作垂线，垂足为,如图所示. 运用抛物线定义，知道，当三点共线时， 最小，最小值. 故选:C． 9．（多选题）（2024·高二·江苏·阶段练习）已知是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点F且倾斜角为，是A，B在准线上的射影，则下列命题不正确的是（    ） A． B． C． D．为直角三角形 【答案】ABD 【解析】对于选项A，设直线的方程为，代入， 可得，所以，，故A正确； 对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦， 所以由抛物线定义可得， 由选项A知，，， 所以. 即，解得， 当时，，所以， 当时，， 所以， 当时，也适合上式，所以，故B正确； 对于选项C，， 所以，同理可得， 所以，故C错误； 对于选项D，由抛物线的定义可知，，则. 因为，所以，则. 同理可得. 因为， 所以. 所以为直角三角形，选项D正确； 故选：ABD. 10．（多选题）（2024·高三·广东广州·阶段练习）设为抛物线：的焦点，直线：与的准线交于点.已知与相切，切点为，直线与的一个交点为，则（   ） A．点在上 B． C．直线与相切 D． 【答案】BCD 【解析】如图： ∵与相切， ∴即有且只有一个实根， ∴，即，故点在曲线上，故A选项错误； 过点作交于点，由抛物线定义可知，在中， ∴，∴，故B选项正确； 的解为，∴， ∵，∴直线：， 联立方程组，解得：，则， 令，则，∴， ∴直线：， 联立方程组：，整理可得：，∵， ∴直线与相切，故C选项正确； ∵，， 令，则，则，∴ ∴，， ∴，故D选项正确. 故选：BCD 11．（多选题）（2024·高二·浙江温州·期末）已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是．（    ） A．若为线段中点，则的斜率为±2 B．若，则 C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2 【答案】ABD 【解析】抛物线的准线为，焦点. A项， 如图，过点作轴，垂足为，设轴与准线交点为. 若O为中点，则与全等，则， 即与焦点重合，所以， 代入方程，得. 所以直线的斜率为，故A正确； B项，若，则，解得， 所以，故B正确； C项，不妨设，则直线方程为， 令，可得，所以，， 所以，不可能， 所以FP与FQ不垂直，故C错误； D项，由C项可得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时点坐标为， 所以面积的最小值为2，故D正确. 故选：ABD. 12．（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，若上存在三点，且为的重心，则三边中线长之和为 ． 【答案】 【解析】如图： 依题意，设，， 因为为的重心，所以，即． 由抛物线的定义可知，所以边的中线长为， 同理可得边和边的中线长分别为，. 所以三边中线长之和为． 故答案为： 13．（2024·高二·全国·课后作业）若，是抛物线上不同的两点，线段的垂直平分线交轴于点，则的最大值为 ． 【答案】6 【解析】 设，，中点， 则， 设斜率为，则， 相减得：， 因为，即， 设抛物线的焦点为，， 所以，当且仅当，，三点共线时等号成立， 此时满足在抛物线内部， 所以的最大值为6. 故答案为：6. 14．（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）坐标平面上一点到点，及到直线的距离都相等．如果这样的点有且只有两个，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可知，点在以为焦点，为准线的抛物线上，同时在线段的垂直平分线上， 因为这样的点有且只有两个，则线段的中垂线与抛物线有两个交点， 即线段的中点坐标为，线段中垂线的斜率为，则中垂线方程为， 联立，化简得，， 由，即， 因式分解为：，解得， 又因为，所以实数的取值范围是. 故答案为： 15．（2024·高二·全国·课后作业）已知顶点为的抛物线过点，其焦点为，若． (1)求点的坐标以及抛物线方程； (2)若点与关于点对称，求． 【解析】（1）因为抛物线过点，则①，又， 且焦点为，即②， 结合①②解得或， 即，或． （2）当时，此时，则， 所以； 当时，，则， 所以． 16．（2024·高二·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程. 【解析】（1）由动点到直线的距离比它到定点的距离多1， 知动点到直线的距离等于它到定点的距离， 故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 故的方程为：. （2） 如图，由题意可设直线， 代入，消去得：. 显然有，设， 则. 由，知. 得或， 解得. 当时，直线经过原点，显然不合题意； 当时，直线，符合题意； 综上，所求直线的方程为：. 17．（2024·高二·江苏常州·阶段练习）已知抛物线：，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为． (1)若到抛物线准线的距离为，求的值； (2)当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； (3)直线：，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）抛物线：的准线为，由于到抛物线准线的距离为， 则点的横坐标为，则，解得； （2）当时，点的横坐标为，则， 设，则的中点为， 由题意可得，解得， 所以，则， 由点斜式可得，直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离为； （3）如图， 设，则， 故直线的方程为，令，可得， 即， 则，依题意，恒成立， 又，则最小值为， 即，即， 则，解得， 又当时，，当且仅当时等号成立， 而，即当时，也符合题意．故实数的取值范围为． 18．（2024·高二·全国·课后作业）已知顶点为的抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点． (1)若直线过点，且其倾斜角，求的取值范围； (2)是否存在斜率为1的直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题可知，且直线的斜率不为0， 设． 设直线的方程为，因为，则， 因此点到直线的距离为， 联立则，显然， 所以， 则， 所以， 当时，取得最大值为， 当时，取得最小值为，所以的取值范围为． （2）设直线方程为，即， 联立得，故即, 又， 易知， 因为，则， 因为，所以，即， 解得或， 故存在斜率为1的直线，使得，此时直线的方程为或． 19．（2024·高二·全国·课后作业）直线与抛物线交于两点，为的焦点，在两点处的切线交于点． (1)证明：； (2)证明：． 【解析】（1）联立，得， 由交点有两个，则，即． （2）设，则过A的切线方程不妨设为， 与抛物线方程联立，整理得， 令，解得，且， 所以在点A处的切线方程为，即， 同理可得在点处的切线方程为，即， 联立两条切线方程可得，由（1）得，则， 由抛物线的定义可得， 所以， 因为，所以， 所以，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3.2 抛物线的几何性质 课程标准 学习目标 能通过抛物线的方程推出它的简单几何性质，进一步体会数形结合思想. （1）掌握抛物线的几何性质. （2）会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 知识点01 抛物线的简单几何性质 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 对称性：关于x轴对称 抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴． 顶点：坐标原点 抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是． 离心率：． 抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，． 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 【即学即练1】（多选题）（2023·高二课时练习）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线的有（　　） A．焦点在y轴上 B．焦点在x轴上 C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为 知识点02 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数的几何意义是指焦点到准线的距离；恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于的值，才易于确定焦点坐标和准线方程． 【即学即练2】（多选题）（2023·广东佛山·高二统考期末）已知抛物线：的焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，且A在x轴上方，过A、B分别作的准线的垂线，垂足分别为、，则（    ） A． B．若，则A的纵坐标为4 C．若，则直线AB的斜率为 D．以为直径的圆与直线AB相切于F 知识点03 焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为． 1、抛物线，． 2、抛物线，． 3、抛物线，． 4、抛物线，． 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 【即学即练3】（2023·云南昭通·高二校考期中）设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（    ） A．-4 B． C． D．-32 知识点04 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点． （2）直线的斜率存在． 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 【即学即练4】（2023·全国·高二课堂例题）（1）求过定点，且与抛物线只有一个公共点的直线l的方程. （2）若直线l：与曲线C：（）恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合. 知识点05 直线与抛物线相交弦长问题 1、弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）， （3）直线的方程为． 【即学即练5】（2023·四川绵阳·高二盐亭中学校考期中）已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（    ） A． B．3 C． D．2 【方法技巧与总结】 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 题型一：抛物线的几何性质 【典例1-1】（多选题）（2024·海南省直辖县级单位·三模）设抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点，若，且，则抛物线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（多选题）（2024·高三·云南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），若，，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．若为上的动点，其在上的射影为，则 D．过点且与有且仅有一个公共点的直线有3条 【变式1-1】（多选题）（2024·高二·黑龙江牡丹江·期末）已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交抛物线于A，B两点，以下结论中正确的有（    ） A．直线l的方程为 B．原点到直线l的距离为 C． D．以AB为直径的圆过原点 【变式1-2】（多选题）（2024·高二·河南·阶段练习）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，弦中点的横坐标为4，，则（    ） A．的斜率为1 B．在轴上的截距为 C．弦中点的纵坐标为 D． 【变式1-3】（多选题）（2024·高二·湖北襄阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 题型二：直线与抛物线的位置关系 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 【典例2-2】（2024·高二·全国·课堂例题）（1）求过定点，且与抛物线只有一个公共点的直线l的方程. （2）若直线l：与曲线C：（）恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合. 【变式2-1】（2024·高二·河南焦作·期末）已知抛物线，直线与交于点(与坐标原点不重合)，过的中点作与轴平行的直线，直线与交于点与轴交于点 （1）求； （2）证明:直线与抛物线只有一个公共点. 【变式2-2】（2024·高二·宁夏固原·期末）已知曲线的方程为，直线过定点，斜率为. （1）若曲线与直线只有一个公共点，求实数的值； （2）在（1）的条件下，求直线的方程. 【变式2-3】（2024·高二·四川自贡·期中）已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线 （1）只有一个公共点； （2）有两个公共点； （3）没有公共点? 题型三：中点弦问题 【典例3-1】（2024·高二·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【典例3-2】（2024·高二·四川雅安·开学考试）设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 【变式3-1】（2024·高二·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为是上的点，且. (1)求的方程； (2)已知直线交于两点，且的中点为，求的方程. 【变式3-2】（2024·高二·河北邢台·阶段练习）设抛物线的焦点为，点在上，，已知. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程. 【变式3-3】（2024·高二·安徽滁州·阶段练习）已知圆的圆心是抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程． 【变式3-4】（2024·陕西宝鸡·一模）已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线C交于A，B两点. (1)若，求的面积； (2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围. 题型四：焦半径问题 【典例4-1】（2024·高三·四川·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例4-2】（2024·高三·广东广州·期中）直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 【变式4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知是抛物线上一点，过的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式4-2】（2024·高二·安徽·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于P，Q两点，若，则直线l倾斜角的正弦值为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式4-3】（2024·高三·重庆·阶段练习）抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-4】（2024·高二·吉林·开学考试）如图，已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆依次交于，则的最小值为（    ） A．14 B．23 C．18 D．15 题型五：弦长问题 【典例5-1】（2024·高二·全国·课后作业）过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【典例5-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于两点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·高三·安徽·开学考试）已知为坐标原点，抛物线的焦点为F，，过点M的直线l与C交于A，B两点，且，直线BN与C的另一个交点为P，若直线AN与PM的斜率满足，则 （    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·高二·全国·课前预习）若抛物线与直线交于，两点，则等于（    ） A． B．12 C． D．13 【变式5-3】（2024·高二·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【变式5-4】（2024·新疆·三模）已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 题型六：定点定值问题 【典例6-1】（2024·高三·重庆北碚·阶段练习）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3． (1)求抛物线E的方程； (2)过点的直线l与抛物线E相交于两点，B关于x轴的对称点为，求证：直线必过定点． 【典例6-2】（2024·高三·江苏南通·阶段练习）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点，直线与的另一个交点分别为，记直线的斜率分别为. (1)求证：为定值； (2)直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标． 【变式6-1】（2024·高二·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点满足.记点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设点T在y轴上（异于原点），过点T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，并且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 【变式6-2】（2024·高二·上海·课堂例题）已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 【变式6-3】（2024·高二·四川内江·阶段练习）已知抛物线的准线与轴的交点为 . (1)求的方程，若经点的直线与有且只有一个公共点时，求直线的方程. (2)若过点的直线与抛物线交于，两点.求证： 为定值. 题型七：最值问题 【典例7-1】（2024·高二·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点到直线的距离为为直线上的动点，过点作直线分别与相切于点. (1)求的方程； (2)证明：直线过定点； (3)若直线分别交轴于点，求的最小值. 【典例7-2】（2024·高二·全国·随堂练习）已知是抛物线上的动点，求点到直线的距离的最小值. 【变式7-1】（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【变式7-2】（2024·高二·上海·阶段练习）已知过点的动直线与抛物线相交于、两点． (1)当直线的斜率是时，．求抛物线的方程； (2)对（1）中的抛物线，当直线的斜率变化时，设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围． 【变式7-3】（2024·高二·河南·期中）已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线． (1)求的值； (2)设抛物线上一动点到直线的距离为，求的最小值． 【变式7-4】（2024·高二·全国·专题练习）已知过点的动直线l与抛物线相交于两点.当直线l的斜率是时，. (1)求抛物线G的方程； (2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围. 1．（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）抛物线：的焦点为，直线 经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（    ） A． B．弦的中点到轴的距离为 C． D．点的坐标为 2．（2024·高三·湖南·阶段练习）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·云南大理·模拟预测）已知抛物线：上存在两点，关于直线：对称，若，则（    ） A．5 B． C．4 D． 4．（2024·高二·全国·课后作业）设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 6．（2024·高三·湖南·开学考试）已知过点的直线交抛物线于两点，且为坐标原点，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（2024·江苏·三模）已知过抛物线的焦点的直线与相交于两点，轴上一点满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 8．（2024·高二·安徽·期末）在直角坐标系中，已知点，动点满足线段的中点在曲线上，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（多选题）（2024·高二·江苏·阶段练习）已知是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点F且倾斜角为，是A，B在准线上的射影，则下列命题不正确的是（    ） A． B． C． D．为直角三角形 10．（多选题）（2024·高三·广东广州·阶段练习）设为抛物线：的焦点，直线：与的准线交于点.已知与相切，切点为，直线与的一个交点为，则（   ） A．点在上 B． C．直线与相切 D． 11．（多选题）（2024·高二·浙江温州·期末）已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是．（    ） A．若为线段中点，则的斜率为±2 B．若，则 C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2 12．（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，若上存在三点，且为的重心，则三边中线长之和为 ． 13．（2024·高二·全国·课后作业）若，是抛物线上不同的两点，线段的垂直平分线交轴于点，则的最大值为 ． 14．（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）坐标平面上一点到点，及到直线的距离都相等．如果这样的点有且只有两个，那么实数的取值范围是 ． 15．（2024·高二·全国·课后作业）已知顶点为的抛物线过点，其焦点为，若． (1)求点的坐标以及抛物线方程； (2)若点与关于点对称，求． 16．（2024·高二·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程. 17．（2024·高二·江苏常州·阶段练习）已知抛物线：，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为． (1)若到抛物线准线的距离为，求的值； (2)当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； (3)直线：，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围． 18．（2024·高二·全国·课后作业）已知顶点为的抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点． (1)若直线过点，且其倾斜角，求的取值范围； (2)是否存在斜率为1的直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 19．（2024·高二·全国·课后作业）直线与抛物线交于两点，为的焦点，在两点处的切线交于点． (1)证明：； (2)证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$