第3章 圆锥曲线与方程综合能力测试-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

第3章 圆锥曲线与方程综合能力测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论错误的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程可以为 D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 4．已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上一点，且，H是线段上靠近的四等分点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线上的点到其焦点的距离是它到y轴距离的2倍，若抛物线E的焦点与双曲线的右焦点重合，过双曲线C左右顶点A，B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，若，则双曲线的离心率为（   ）． A． B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆:与双曲线：（），下列关于两曲线的说法正确的是（    ） A．C1的长轴长与C2的实轴长相等 B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率不相等 10．已知抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．Q是线段的一个三等分点 D． 11．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（    ） A．曲线C关于原点对称 B．曲线C存在点P，使得 C．直线与曲线C没有交点 D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，分别为双曲线的左､右焦点，为上一点，且，，，则双曲线的渐近线方程为 . 13．已知抛物线方程为，其焦点为．①过作直线交抛物线于两点，以为直径的圆与直线相切；②过作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，，以为直径的圆与轴相切.在以上两个条件中任选一个，则 ． 14．如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为 .    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 16．（15分） 已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程. 17．（15分） 过双曲线右焦点的直线与的左､右支分别交于点，与圆：交于（异于）两点. (1)求直线斜率的取值范围； (2)求的取值范围. 18．（17分） 如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值. 19．（17分） 在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为、，其离心率为，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线．已知双曲线在其上一点处的切线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 圆锥曲线与方程综合能力测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为焦点在轴上的椭圆的焦距为2， 所以，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：B. 2．已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， 所以，故， 由于， 所以. 故选：B 3．如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论错误的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程可以为 D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 【答案】B 【解析】设椭圆的长半轴长为，椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由图象可得， ∴ ， 又，， ∴  ， ∴ 椭圆的长轴长为4，A对， 椭圆的离心率为，B错， 圆的方程可以为，C对， 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D对， 故选：B. 4．已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】 过分别向轴和准线做垂线,垂足分别为， 根据抛物线定义，有， 所以. 故选：A 5．已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 6．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆定义得：，又因为， 所以解得：， 再由于，，结合勾股定理可得： ，解得，所以椭圆的离心率为， 故选：C. 7．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上一点，且，H是线段上靠近的四等分点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可作图如下： 由题意可知：， ∴中点：，即 ∴四等分点：，即 ∴， ∴，即 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵离心率 ∴ ∴ 故选：C 8．已知抛物线上的点到其焦点的距离是它到y轴距离的2倍，若抛物线E的焦点与双曲线的右焦点重合，过双曲线C左右顶点A，B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，若，则双曲线的离心率为（   ）． A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得且抛物线E上的到其焦点的距离是，它到y轴距离是， 所以，即， 将代入得， 所以，焦点为，所以， 又，双曲线渐近线方程为， 不妨假设是过A，B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q， 则双曲线的对称性可知A和B到渐近线的距离相等为， 所以， 所以即，则双曲线的离心率为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆:与双曲线：（），下列关于两曲线的说法正确的是（    ） A．C1的长轴长与C2的实轴长相等 B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率不相等 【答案】CD 【解析】椭圆：长轴半，短半轴，焦半距，离心率； 双曲线：长轴半，短半轴，焦半距，离心率； ∵，∴选项A不正确； ∵，∴选项B不正确； ∵，∴选项C正确； ∵，∴选项D正确； 故选：CD 10．已知抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．Q是线段的一个三等分点 D． 【答案】ABD 【解析】如图，由抛物线的定义， 对于A，得，，又，则，A正确； 对于B，由，，得，所以. 而，所以，所以， 可知，所以，B正确； 对于D，在中，，可知，所以，D正确； 对于C，由，可知，所以，即Q是的中点，C不正确. 故选：ABD. 11．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（    ） A．曲线C关于原点对称 B．曲线C存在点P，使得 C．直线与曲线C没有交点 D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则 【答案】CD 【解析】当时，曲线，即； 当时，曲线，即；不存在； 时，曲线，即； 时，曲线，即； 画出图形如下： 对于A，由图可得A错误，故A错误； 对于B，方程是以为上下焦点的双曲线， 当时，曲线C存在点P，使得，故B错误； 对于C，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C没有交点，故C正确； 对于D，设，设点在直线上，点在直线， 则由点到直线的距离公式可得 ，， 所以， 又点Q是曲线C上在第三象限内的一点， 代入曲线方程可得，故D正确； 故选：CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，分别为双曲线的左､右焦点，为上一点，且，，，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【解析】由已知，分别为双曲线， 设，， 又，，， 则， 则，即，， 又，即， 所以， 则双曲线方程为，其渐近线方程为， 故答案为：. 13．已知抛物线方程为，其焦点为．①过作直线交抛物线于两点，以为直径的圆与直线相切；②过作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，，以为直径的圆与轴相切.在以上两个条件中任选一个，则 ． 【答案】2 【解析】若选择条件①：设，，则以为直径的圆的半径， 根据焦点弦的弦长公式可得，以为直径的圆的直径， 所以半径为，则，解得． 若选择条件②：因为以为直径的圆与轴相切，所以圆的半径为2， 则，即， 过点作轴的垂线，垂足为，如图， 在中，由已知条件可得，，所以， 则，所以，解得． 故答案为：2. 14．如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为 .    【答案】/0.5 【解析】连接，，由点在以为直径的圆上，故. 又，在椭圆上，故有，. 设，则，，，. 在中，由勾股定理得， 解得，于是，，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 【解析】（1）由题意可知：，则， ∵，∴， ∴， ∴椭圆 （2），∴直线：， 联立方程组得 设， 则， 点到直线的距离 ∴ 16．（15分） 已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程. 【解析】（1）由动点到直线的距离比它到定点的距离多1， 知动点到直线的距离等于它到定点的距离， 故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 故的方程为：. （2） 如图，由题意可设直线， 代入，消去得：. 显然有，设， 则. 由，知. 得或， 解得. 当时，直线经过原点，显然不合题意； 当时，直线，符合题意； 综上，所求直线的方程为：. 17．（15分） 过双曲线右焦点的直线与的左､右支分别交于点，与圆：交于（异于）两点. (1)求直线斜率的取值范围； (2)求的取值范围. 【解析】（1）设，由题意可得直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为， 与联立得， 所以， 又两点在轴同一侧，所以.此时，即. 圆的方程为，点到直线的距离， 由得，由得，所以或 因为直线的斜率，所以直线斜率的取值范围是. （2）由（1）可得 . ， 所以 设，则， 所以的取值范围是. 18．（17分） 如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值. 【解析】（1）由题意得解得， 故椭圆的方程为. （2）设直线的方程为， 由得， 由，得， 则. ， 解得或 当时，直线经过点，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为. （3）直线，均不与轴垂直，所以，则且， 所以 为定值. 19．（17分） 在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为、，其离心率为，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线．已知双曲线在其上一点处的切线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线． 【解析】（1）在双曲线的方程中，令，解得， 因为直线为的等线，显然点在直线的上方，故有， 又、，有，，， 解得，， 所以的方程为． （2）设，由题意有方程为，① 渐近线方程为，联立得，， 故， 所以是线段的中点，因为、到过原点的直线距离相等， 则过原点点的等线必定满足：、到该等线距离相等，且分居两侧， 所以该等线必过点，即直线的方程为， 由，解得，故． 所以. 所以， 所以，所以． （3）证明：设，由，所以，， 故曲线的方程为， 由①知切线为，也为，即，即． 易知与在的右侧，在的左侧，分别记、， 到的距离为、、， 由（2）知，， 所以， 由得， 因为， 所以直线为的等线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$