专题一 函数与导数 第6讲　函数的公切线问题-2025年高考数学二轮复习（新高考专用）

第6讲　函数的公切线问题（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 2 【考点一】求两函数的公切线 2 【考点二】与公切线有关的求值问题 3 【考点三】判断公切线条数 4 【考点四】求参数的取值范围 4 【专题精练】 5 考情分析： 函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养． 真题自测 一、单选题 1．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 三、解答题 3．（2022·全国·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； (2)求a的取值范围． 考点突破 【考点一】求两函数的公切线 一、单选题 1．（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2023·安徽安庆·模拟预测）已知，是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且，的夹角为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．与的交点可能在第三象限 4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线：为曲线：和：的公切线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的图象在轴的上方 B．当时， C．若，则 D．当时，和必存在斜率为的公切线 三、填空题 5．（2024·全国·模拟预测）曲线与的公切线方程为 . 6．（23-24高三上·山东日照·期末）已知函数的图象上存在三个不同的点，使得曲线在三点处的切线重合，则此切线的方程为 .（写出符合要求的一条切线即可） 规律方法： 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 【考点二】与公切线有关的求值问题 一、单选题 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（    ） A．0或2 B．或2 C．或0 D．0或1 二、多选题 3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，，则（    ） A．恒成立的充要条件是 B．当时，两个函数图象有两条公切线 C．当时，直线是两个函数图象的一条公切线 D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为，则 4．（2023·湖北·模拟预测）若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 三、填空题 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 6．（2024·四川·模拟预测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 规律方法： 利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程． 【考点三】判断公切线条数 一、单选题 1．（2023·河南·三模）已知函数的图像关于原点对称，则与曲线和均相切的直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（2023·安徽合肥·模拟预测）曲线与曲线有（    ）条公切线. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023·江西南昌·一模）已知函数，则和的公切线的条数为 A．三条 B．二条 C．一条 D．0条 规律方法： 运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况． 【考点四】求参数的取值范围 一、单选题 1．（2024·辽宁·模拟预测）若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南曲靖·一模）已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南郴州·模拟预测）若存在直线与曲线都相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2023·河北邯郸·三模）若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是 ． 5．（2023·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a的取值范围 ． 6．（2023·河北唐山·三模）已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为 . 规律方法： 利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解． 专题精练 一、单选题 1．（2023·全国·模拟预测）已知函数与的图象关于直线对称，直线与的图象均相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·江苏盐城·期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A． B． C． D． 3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，，若直线为和的公切线，则b等于（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线与有三条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高三上·安徽宿州·阶段练习）若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三上·河南洛阳·阶段练习）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．11 B．12 C． D． 7．（2022·江苏南京·模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2022·安徽马鞍山·一模）若仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，则实数（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2022·河北保定·二模）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江西·一模）已知函数，，若，的图象与直线分别切于点，，与直线分别切于点C，D，且，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的极值点为1 B． C．若分别是曲线和上的动点.则的最小值为 D．若对任意的恒成立，则的最小值为 三、填空题 12．（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 . 13．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 14．（2024·北京朝阳·一模）已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6讲　函数的公切线问题（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 5 【考点一】求两函数的公切线 5 【考点二】与公切线有关的求值问题 11 【考点三】判断公切线条数 18 【考点四】求参数的取值范围 21 【专题精练】 27 考情分析： 函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养． 真题自测 一、单选题 1．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 三、解答题 3．（2022·全国·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； (2)求a的取值范围． 参考答案： 题号 1 答案 D 1．D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 2． 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 3．(1)3 (2) 【分析】（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可； （2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得； （2），则在点处的切线方程为，整理得， 设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得， 则，整理得， 令，则，令，解得或， 令，解得或，则变化时，的变化情况如下表： 0 1 0 0 0 则的值域为，故的取值范围为. 考点突破 【考点一】求两函数的公切线 一、单选题 1．（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2023·安徽安庆·模拟预测）已知，是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且，的夹角为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．与的交点可能在第三象限 4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线：为曲线：和：的公切线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的图象在轴的上方 B．当时， C．若，则 D．当时，和必存在斜率为的公切线 三、填空题 5．（2024·全国·模拟预测）曲线与的公切线方程为 . 6．（23-24高三上·山东日照·期末）已知函数的图象上存在三个不同的点，使得曲线在三点处的切线重合，则此切线的方程为 .（写出符合要求的一条切线即可） 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A B ABC ABD 1．A 【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可. 【详解】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即， 则，解得，故， 故选：A. 2．B 【分析】设与相切于点，与相切于点，利用导数的几何意义，得到和，再由，求得，得到，令，利用导数求得函数的单调性与最值，求得，即可求解. 【详解】设与曲线相切于点，与相切于点， 由，可得的斜率，所以①， 又由，可得，所以，即②， 又因为③， 将②③代入①中，可得，由③易知，,则④， 将④代入③，可得，则， 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号， 故，可得，所以， 所以的方程为，即． 故选：B． 【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 3．ABC 【分析】根据反函数的性质可得公切线关于对称，即可得到，利用诱导公式证明A，利用诱导公式及基本不等式证明B，利用导数的几何意义说明C，结合函数图象说明D. 【详解】如图，因为与互为反函数， 故两函数的图象关于直线对称，则，关于对称， 故，，故A正确； 由题意，，均为锐角，，，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 设与两个函数图象分别切于，两点，与交于Q，，则， 即，解得或（舍去）， 故， 对于，则，令，解得，所以切点为， 所以曲线的斜率为的切线方程为， 故曲线的斜率为的切线方程为， 同理可得的斜率为的切线方程为， 故曲线的斜率为的切线方程为， 所以，则，则，故C正确； 由图可知点必在第一象限，故D错误.    故选：ABC. 4．ABD 【分析】由函数解析式可直接判断A，利用导数研究曲线的切线方程，可用含的式子表示出切点的坐标，再将其代入直线，即可判断B，设，，利用，并结合斜率的计算公式，可得判断C，若和存在斜率为的公切线，则存在和使得，，再结合选项B中所得，求出和的值判断D． 【详解】选项A，由，得，可知曲线的图象在轴的上方，故A正确； 选项B，当时，：，：， 对于：，有， 因为直线：为曲线的切线， 所以，即，此时， 所以切点坐标为，将其代入切线方程中， 有，整理得，可得，即B正确； 选项C，当时，公切线为， 设，，则，， 所以，，解得，，故C错误； 选项D，当时，，，则，， 若和存在斜率为的公切线，则存在和使得，， 由选项B可知，，即， 所以，，即，，符合题意， 故当时，和必存在斜率为的公切线，即D正确． 故选：ABD． 5． 【分析】设出两曲线的切点和，由导数的意义可得，再由点斜式得出公切线方程，把点代入直线方程可得，构造函数，求导分析单调性得到，进而得出，最后得到直线方程. 【详解】设曲线上的切点为，曲线上的切点为. 因为， 则公切线的斜率，所以. 因为公切线的方程为，即， 将代入公切线方程得， 由，得. 令，则， 当时，；当时，0， 故函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以， 故公切线方程为，即. 故答案为：. 6．（或） 【分析】 先求导，设切线方程，然后根据切线重合列方程，由此进行分类讨论求解切线方程. 【详解】设存在三个不同点在曲线上， 则，且互不相同， 由题可得，， 故在的切线方程分别为：，，， 根据题意可得 由①可知，， 由②，令， 则， 即， 平方可得，， 即， 由于互不相同，则， 则可得，故，则， 由此可得其切线方程为：， 故答案为：（或） 规律方法： 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 【考点二】与公切线有关的求值问题 一、单选题 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（    ） A．0或2 B．或2 C．或0 D．0或1 二、多选题 3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，，则（    ） A．恒成立的充要条件是 B．当时，两个函数图象有两条公切线 C．当时，直线是两个函数图象的一条公切线 D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为，则 4．（2023·湖北·模拟预测）若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 三、填空题 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 6．（2024·四川·模拟预测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A A ACD ABC 1．A 【分析】利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形结合求解即可． 【详解】令，，则，， 设，则曲线在处切线为， 设，则曲线在处切线为， 由题意，消去得， 由题意，方程有两个不同的实数根， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故当时，取极大值；当时，取极小值， 又当时，根据以上信息作出的大致图象，    由图可知当，即时，直线与的图象有两个交点，从而方程有两个不同的实数根， 所以，曲线与曲线有两条公切线时，的值为． 故选：A. 2．A 【分析】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，再由导数的几何意义算出. 【详解】依题意得，设直线的方程为，即， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， ，设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得. 即时，； 当时，和相切， ，设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得. 即时，. 综上所述，或. 故选：A. 3．ACD 【分析】根据导数求解恒成立即可求解A，根据导数求解切线方程，根据公切线的性质即可结合选项求解BCD. 【详解】对于A，若恒成立，即恒成立， 而恒成立，所以，解得，故A正确； 对于B，设切点,，,，，， 有， ①代入②，可得， 当时，代入方程解得：， ，方程无解，即两个函数图象无公切线，故B错误； 对于C，当时，代入方程得：， ，故，， 所以函数与的一条公切线为：，故C正确； 对于D，如图，不妨设切线与切于，与切于， 设,，,，,，,，，， 故 所以，， ，同理， 则中点即可中点， 所以四边形是平行四边形， 由处的切线方程为， 处的切线方程为， 得，即，结合可知， 是方程的根， 由C选项可知：是的两个切点，所以，也是方程的根， 所以,且,故， 则，， ， ， 令，则， 故，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题BC选项的关键是设切点，根据导数含义和斜率定义得到，再整理化简代入值即可判断. 4．ABC 【分析】设该直线与相切于点，求出切线方程为，设该直线与相切于点，求出切线方程为，联立方程组，得到，令，讨论的单调性，从而得到最值，则可得到，解出的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内. 【详解】设该直线与相切于点，因为，所以， 所以该切线方程为，即. 设该直线与相切于点，因为，所以， 所以该切线方程为，即， 所以， 所以， 令， 所以当时，0；当时，； 在和上单调递减；在和上单调递增； 又，所以， 所以，解得，所以的取值范围为， 所以A正确； 对于B，，所以，所以B正确； 对于C， 因为，所以C正确； 对于D， 因为，所以D不正确. 故选：ABC 5． 【分析】分别求导，根据导数的几何意义列方程组，计算即可. 【详解】设曲线与的切点分别为， 易知两曲线的导函数分别为，， 由题意可知：，可得， 则，解得， 所以. 故答案为：. 6．/ 【分析】根据函数在切点的横坐标处的导数即为斜率和切点在直线上即可先求出公切线的方程，然后根据函数在切点的横坐标处的导数即为斜率和切点在直线上即可求解. 【详解】因为， 所以， 设设直线与的切点为， 则切线方程为, 即， 又因为 所以， 解得，， 所以切线方程为：， 因为， 所以， 设直线与的切点为， 所以①， 又因为切点在直线上， 所以②， 由①和②可得， 所以， 解得 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用导数研究两个函数的公切线问题，解题的关键是根据函数解析式设出切点坐标，然后利用函数在切点横坐标处的导数即为斜率以及切点在切线上求解即可. 规律方法： 利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程． 【考点三】判断公切线条数 一、单选题 1．（2023·河南·三模）已知函数的图像关于原点对称，则与曲线和均相切的直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（2023·安徽合肥·模拟预测）曲线与曲线有（    ）条公切线. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023·江西南昌·一模）已知函数，则和的公切线的条数为 A．三条 B．二条 C．一条 D．0条 参考答案： 题号 1 2 3 答案 C B A 1．C 【分析】设切点坐标，利用导数求两曲线的切线，当切线方程相同时，求切点坐标解的个数. 【详解】函数的图像关于原点对称，则有， 即，解得，所以， 由，所以在点处的切线方程为，整理得． 设，直线l与的图像相切于点，因为， 所以切线方程为，整理得，则（*）， 整理得， 当时，，方程有两个非零实数根， 也满足方程，故有3个解， 所以方程组（*）有3组解，故满足题中条件的直线l有3条． 故选：C 2．B 【分析】设出图像上任意一点坐标，求得过该点的切线方程，结合公切线，求得切线与图像的切点坐标，求得过该点的切线方程，根据两个切线方程重合列方程，利用构造函数法，结合导数，判断出方程的根的个数. 【详解】设是曲线图像上任意一点，， 所以， 所以过点的切线方程为， 整理得①. 令，解得，则， 所以曲线上过点的切线方程为： ，整理得②. 由于切线①②重合，故， 即③. 构造函数，则 ，， 故当时递减、当时递增， 注意到当时，且， 所以当时递减，当时，递增， 而， 根据零点存在性定理可知在区间各存在的一个零点， 也即有两个零点， 也即方程③有两个根， 也即曲线和曲线有两条公切线. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线的公切线，考查利用导数研究方程的根，属于难题. 3．A 【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程，构造函数，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数. 【详解】设公切线与和分别相切于点，，解得，代入化简得，构造函数，原函数在，极大值 故函数和x轴有交3个点，方程有三解，故切线有3条. 故选A. 【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题，即转化为函数图像和x轴的交点问题. 规律方法： 运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况． 【考点四】求参数的取值范围 一、单选题 1．（2024·辽宁·模拟预测）若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南曲靖·一模）已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南郴州·模拟预测）若存在直线与曲线都相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2023·河北邯郸·三模）若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是 ． 5．（2023·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a的取值范围 ． 6．（2023·河北唐山·三模）已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为 . 参考答案： 题号 1 2 3 答案 D C D 1．D 【分析】分别假设公切线的切点，然后根据题意列出方程并化简，进而转化为两个函数有交点即可. 【详解】，设公切线与曲线相切于点，与曲线相切于点， 则切线方程分别为，， 所以 由①得， 代入②得． 令， 则， 所以当时，，当时，， 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增， 所以， 又当时，， 所以的值域为， 所以的取值范围是． 故选：D． 2．C 【分析】设切点坐标，利用导数几何意义，由切线重合得导数值相等解得，再由点为交点，则坐标满足两曲线方程，由此建立等量关系，再利用导数研究函数的值域即可. 【详解】设点的横坐标为，则由可得， 又可得， 且两条曲线在点处的切线重合， 所以切线的斜率，解得或（舍去）， 即点的横坐标为， 由点为曲线与曲线的交点， 所以，即， 令， 则， 令可得， 由知，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当， 则实数的取值范围为. 故选：C. 3．D 【分析】先利用导数的几何意义求出两个曲线的公切线，建立方程消参得，构造函数，求导研究函数的单调性求值域，解关于a的一元二次不等式即可. 【详解】设该直线与相切于点， 因为，所以，所以， 所以该切线方程为，即. 设该直线与相切于点， 因为，所以，所以， 所以该切线方程为，即. 所以， 所以， 令，则， 所以当时，，当时，， 所以在和上单调递减；在和上单调递增. 又-1，所以， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：D. 4． 【分析】易得曲线在点处的切线方程为，再根据切线与圆相切，得到，化简为，根据曲线与圆有三条公切线，则方程有三个不相等的实数根，令，由曲线与直线有三个不同的交点求解. 【详解】解：曲线在点处的切线方程为， 由于直线与圆相切，得（*） 因为曲线与圆有三条公切线，故（*）式有三个不相等的实数根， 即方程有三个不相等的实数根. 令，则曲线与直线有三个不同的交点. 显然，. 当时，，当时，，当时，， 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 且当时，，当时，， 因此，只需，即， 解得. 故答案为： 5． 【分析】设切点坐标，利用导数表示出切线方程，根据切线为同一直线可得其关系，然后分离参数，利用导数可解. 【详解】设直线l与函数分别相切于点， 因为， 所以切线方程可表示为或 即或 所以，整理得 易知，在处的切线方程为，此时与不相切，故，， 所以，所以 记，则 当或时，，单调递增，当时，，单调递减，且当m从左边趋近于1时，趋近于，当m从右边趋近于1时，趋近于，当趋于时，且趋近于0，，于是可作的草图如图： 故． 故答案为： 6． 【分析】设公切线与曲线的切点为，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围. 【详解】设公切线与曲线和的切点分别为，，其中， 对于有，则上的切线方程为，即， 对于有，则上的切线方程为，即， 所以，有，即， 令，， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，故，即. ∴正实数的取值范围是. 故答案为：. 规律方法： 利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解． 专题精练 一、单选题 1．（2023·全国·模拟预测）已知函数与的图象关于直线对称，直线与的图象均相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·江苏盐城·期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A． B． C． D． 3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，，若直线为和的公切线，则b等于（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线与有三条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高三上·安徽宿州·阶段练习）若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三上·河南洛阳·阶段练习）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．11 B．12 C． D． 7．（2022·江苏南京·模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2022·安徽马鞍山·一模）若仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，则实数（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2022·河北保定·二模）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江西·一模）已知函数，，若，的图象与直线分别切于点，，与直线分别切于点C，D，且，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的极值点为1 B． C．若分别是曲线和上的动点.则的最小值为 D．若对任意的恒成立，则的最小值为 三、填空题 12．（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 . 13．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 14．（2024·北京朝阳·一模）已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A A A A C AD BC 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】根据与的图象关于直线对称，得到，设直线与函数的图象的切点坐标为，与函数的图象的切点坐标为，由斜率相等得到，然后再利用斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】解：因为函数与的图象关于直线对称， 所以与互为反函数，所以， 则．由，得， 设直线与函数的图象的切点坐标为， 与函数的图象的切点坐标为， 则直线的斜率，故， 显然，故， 所以直线的倾斜角为， 故选：B． 2．D 【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得,代入其中一条曲线即可求得的值，由此可求. 【详解】直线是曲线的切线,也是曲线的切线, 则两个切点都在直线上,设两个切点分别为 则两个曲线的导数分别为, 由导数的几何意义可知,则 且切点在各自曲线上,所以 则将代入可得 可得 由可得 代入中可知 所以， 所以. 故选：D. 3．B 【分析】分别设直线为和的切点为，，分别利用函数导数求出切点坐标代入直线中，建立关于的方程组解出即可. 【详解】设直线与相切于点， 与相切于点， 由，所以， 由， 则， 即点，代入直线中有： ，   ① 由， 所以， 由， ， 即点，代入直线中有： ，    ② 联立①②解得：， 所以， 故选：B. 4．A 【分析】利用导数几何意义，分别设出两条曲线的切线方程，将问题转化为一条直线与一条曲线交点个数问题，即可求出的取值范围. 【详解】设公切线为是与的切点，由，得， 设是与的切点，由，得， 所以的方程为， 因为，整理得， 同理， 因为，整理得， 依题意两条直线重合，可得， 消去，得， 由题意此方程有三个不等实根，设， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则， 当或时，；当时，， 所以有极小值为，有极大值为， 因为，，，所以， 当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 故的图象简单表示为下图: 所以当，即时，直线与曲线有三个交点. 故选：A. 5．A 【分析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将a由切点坐标表示，进而将a转化为关于的函数，通过求导求其最大值. 【详解】由题意得，，． 设公切线与的图象切于点， 与的图象切于点， ∴， ∴，∴， ∴，∴． 设，则， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴， ∴实数a的最大值为， 故选：A． 6．A 【分析】由直线是曲线的切线求解，可得切线方程，再设直线与曲线的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答案可求． 【详解】解：由，得，由，解得， 则直线与曲线相切于点， ∴，得， ∴直线是曲线的切线， 由，得，设切点为， 则，且，联立可得， 解得，所以． ∴． 故选：A． 7．A 【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求的单调区间、极值、最值即可得出a的取值范围. 【详解】设 切线：，即 切线：，即， 令 在上单调递增，在上单调递减， 所以 故选：A． 8．C 【分析】分别求出函数上切点处的切线方程和上切点处的切线方程，消去，得，该问题转化为有唯一的值时，求值，即可通过导数研究函数的单调性即可得到答案. 【详解】设直线与的切点为， 由可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为， 即为， 设直线与的切点为， 由可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为， 即为， ∵仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切， ∴ ，∴即， 令，则， 当时，即，当时，即， 即在上单调递增，在上单调递减，则在处取得最大值，，图像为 ∵切线只有一条，即的值唯一，∴只有， 故选：. 9．AD 【分析】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，再由导数为3求解. 【详解】解：设直线与曲线相切于点， 与曲线相切于点， 对于函数，，则， 解得， 所以，即. 对于函数，， 则， 又， 所以， 又， 所以，. 故选：AD 10．BC 【分析】根据公切线的有关概念判断与的关系，可判断A、B选项的真假；根据指数函数与对数函数的图象的对称性，可判断公切线斜率的关系，结合基本不等式，判断C的真假；也可求两条公切线的交点，判断D的真假. 【详解】由题意得，，所以，即，由，整理得，且，A错误； 把，，代入，整理得，B正确； 分别作出与的图象如下： 两图象有2个交点，所以图象上的切点有2个，即与的公切线有2条． 因为，的图象关于直线对称，所以点关于直线的对称点为，，，，C正确； 因为直线，关于直线对称，则点就是直线与直线的交点， 直线的方程为，与联立得， 所以，所以， 由且可得， 设，则，所以，所以，D错误． 故选：BC． 【点睛】关键点点睛：（1）同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，这一性质的应用在判断D选项时很重要. （2）看到不等式，就要想到求代数式的最值，常见的最值的求法有：第一：与二次函数有关的最值问题的求法；第二：基本不等式求最值；第三：利用函数的单调性求最值；第三：利用三角函数的有界性求最值. 11．ACD 【分析】对于A，求导，利用导数研究函数的单调性，即可求出极值点；对于B，设，求导，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可求解；对于C，利用曲线与曲线互为反函数，可先求点到的最小距离，然后再求的最小值；对于D，利用同构把恒成立问题转化为，分离参数，构造函数，利用导数求解最值即可. 【详解】．所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极值点为1，故A正确； 设，则， 由单调性的性质知在上单调递增． 又，则存在．使得， 即，，所以当时．，当时．． 所以在上单调递减．在上单调递增. 所以，又，则， 所以，故B错误； 因为函数与函数互为反函数，其图象关于对称， 设点到的最小距离为，设函数上斜率为的切线为， ，由得，所以切点坐标为，即，所以， 所以的最小值为，故C正确； 若对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令，则．所以在上单调递增，则， 即，令，所以， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，所以，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 12．2 【分析】根据两曲线在有公切线，则是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出的值，则答案可求. 【详解】由已知得，解得， 又， 所以得， 所以， 所以. 故答案为：2 13． 【详解】设公共点为，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程. 【分析】设公共点为，则，即， 所以，所以， 由，，所以，， 又在公共点处有相同的切线，所以，即， 所以，则，所以， 所以公共点坐标为. 故答案为：. 14．(答案不唯一) 【分析】利用导数的几何意义，结合条件可知，，再根据函数的取值，即可求解. 【详解】，由题意可知，， 即，所以，得，，， 或，得，，， 所以，，, 所以的一个取值为. 故答案为：(答案不唯一) 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$