专题一 函数与导数 第4讲　函数的极值、最值-2025年高考数学二轮复习（新高考专用）

第4讲　函数的极值、最值（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 3 【考点一】利用导数研究函数的极值 3 【考点二】利用导数研究函数的最值 4 【考点三】极值、最值的简单应用 5 【专题精练】 6 考情分析： 利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题． 真题自测 一、单选题 1．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2022·全国·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·广东江苏·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 4．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 5．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 6．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 7．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 三、填空题 8．（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 考点突破 【考点一】利用导数研究函数的极值 核心梳理： 判断函数的极值点，主要有两点 (1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点． (2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点． 一、单选题 1．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（    ） A．有极大值，无最小值 B．无极大值，有最小值 C．有极大值，有最大值 D．无极大值，无最大值 2．（2023·四川凉山·三模）已知函数的导函数，若1不是函数的极值点，则实数a的值为（    ）． A．－1 B．0 C．1 D．2 二、多选题 3．（22-23高三下·浙江·开学考试）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A．， B．函数既有极大值又有极小值 C．函数有三个零点 D．过可以作三条直线与图象相切 4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数在处取得极值，则（    ） A． B．为定值 C．当时，有且仅有一个极大值 D．若有两个极值点，则是的极小值点 三、填空题 5．（2023·云南红河·二模）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为 ． 6．（2024·江苏·模拟预测）已知有两个极值点，则实数的取值范围为 ． 规律方法： (1)不能忽略函数的定义域． (2)f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性． (3)函数的极小值不一定比极大值小． 【考点二】利用导数研究函数的最值 核心梳理： 1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值． (2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)． (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值． 一、单选题 1．（2023·浙江·模拟预测）对函数(，且)的极值和最值情况进行判断，一定有（    ） A．既有极大值，也有最大值 B．无极大值，但有最大值 C．既有极小值，也有最小值 D．无极小值，但有最小值 2．（2024·广东深圳·二模）设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 3．（2023·重庆·模拟预测）已知函数，，则（    ） A．与的定义域不同，与的值域只有1个公共元素 B．在与的公共定义域内，的单调性与的单调性完全相反 C．的极小值点恰好是的极大值点，的极大值点恰好是的极小值点 D．函数既无最小值也无最大值，函数既有最小值也有最大值 4．（2024·广东广州·一模）已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2023·吉林·二模）若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为 ． 6．（2024·江苏·一模）已知，，则的最小值为 . 规律方法： (1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论． (2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值． 【考点三】极值、最值的简单应用 一、单选题 1．（2023·湖南·模拟预测）已知函数在处取得极大值4，则（    ） A．8 B． C．2 D． 2．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（      ） A．当时，取得极大值 B．在上是增函数 C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数 二、多选题 3．（2023·海南·一模）已知函数的图象关于直线对称,则（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．若,且在上无极值点,则的最小值为 4．（23-24高三上·河北保定·期末）已知，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知函数，若恒成立，则 . 6．（2023·湖北武汉·二模）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为 ． 规律方法： 方程、不等式恒成立，有解问题都可用分离参数法．分离参数时，等式或不等式两边符号变化以及除数不能等于0，易忽视． 专题精练 一、单选题 1．（2023·河南·模拟预测）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．当时，函数不存在极值点 B．当时，函数有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．若是函数的一条切线，则 2．（2022·四川·模拟预测）已知函数在上有零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数有极值，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 4．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知正数满足，则（    ） A． B． C．1 D． 5．（2024·云南楚雄·一模）若，则函数的图象可能是（    ） A． B．   C．   D．   6．（2023·上海松江·二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）等差数列中的，是函数的极值点，则（    ） A． B． C．3 D． 8．（2023·云南保山·二模）若函数与函数的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2023·山西·二模）已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数，下列结论中正确的是（    ） A．函数在时，取得极小值 B．对于，恒成立 C．若，则 D．若对于，不等式恒成立，则的最大值为，的最小值为 三、填空题 12．（2023·广东·二模）已知函数的最小值为0，则a的值为 . 13．（2023·河南郑州·模拟预测）在等比数列中，是函数的极值点，则＝ ． 14．（22-23高三下·湖北武汉·期中）已知函数，若有且仅有两个整数，满足，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 15．（2024·浙江杭州·二模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个极值点， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：函数有且只有一个零点． 16．（2024·陕西榆林·一模）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求； (2)证明：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲　函数的极值、最值（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 10 【考点一】利用导数研究函数的极值 10 【考点二】利用导数研究函数的最值 15 【考点三】极值、最值的简单应用 21 【专题精练】 27 考情分析： 利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题． 真题自测 一、单选题 1．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2022·全国·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·广东江苏·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 4．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 5．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 6．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 7．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 三、填空题 8．（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D ACD AD ABC BCD AC 1．B 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 2．D 【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值. 【详解】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 3．ACD 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 4．AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 5．ABC 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 6．BCD 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 7．AC 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 8． 【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解； 法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法． 考点突破 【考点一】利用导数研究函数的极值 核心梳理： 判断函数的极值点，主要有两点 (1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点． (2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点． 一、单选题 1．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（    ） A．有极大值，无最小值 B．无极大值，有最小值 C．有极大值，有最大值 D．无极大值，无最大值 2．（2023·四川凉山·三模）已知函数的导函数，若1不是函数的极值点，则实数a的值为（    ）． A．－1 B．0 C．1 D．2 二、多选题 3．（22-23高三下·浙江·开学考试）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A．， B．函数既有极大值又有极小值 C．函数有三个零点 D．过可以作三条直线与图象相切 4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数在处取得极值，则（    ） A． B．为定值 C．当时，有且仅有一个极大值 D．若有两个极值点，则是的极小值点 三、填空题 5．（2023·云南红河·二模）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为 ． 6．（2024·江苏·模拟预测）已知有两个极值点，则实数的取值范围为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D D AB ABC 1．D 【分析】利用导函数研究单调性，结合区间最值求得，进而判断在上的单调性，即可得答案. 【详解】由，则时，时， 所以在上递增，上递减， 而，在上的最大值为k， 所以，即，此时在上递减，且无极大值和最大值. 故选：D 2．D 【分析】根据极值点的定义即可求解. 【详解】由题意可知，若1不是函数的极值点，则，即， 当时，，故当 ，当，因此是 的极值点，1不是极值点，故满足题意， 故选：D 3．AB 【分析】利用导数结合已知求出判断A；利用导数求出极值，结合三次函数的图象特征判断BC；求出切线方程判断D. 【详解】由，求导得，， 令，得，由函数的对称中心为， 得，且，解得，A正确； 于是，， 当或时，，当时，， 则函数在，上都单调递增，在上单调递减， 因此函数既有极大值，又有极小值，B正确； 由于极小值，因此函数不可能有三个零点， C错误； 显然，若是切点，则，切线方程为； 若不是切点，设过点 的直线与图象相切于点，， 由，解得，即切点，切线方程为， 过 只可以作两条直线与图象相切，D错误. 故选：AB 4．ABC 【分析】求导，由题意可知，是方程的一个变号实数根，则，即可判断A；由判断 B；当时，可得，当时，当时，即可判断C；将代入整理得，则方程有不相等的实数根与，分类讨论，结合极值点的定义可判断D. 【详解】的定义域为，则， ， 由题意可知，是方程的一个变号实数根， 则，故A正确； 由得，，故B正确； 当时，因为， 所以函数开口向下，且与轴正半轴只有一个交点， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则有且仅有一个极大值，故C正确； 将代入整理得， 则方程有不相等的实数根与，即， 当时，时，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则是的极大值点，是的极小值点， 当时，时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则是的极大值点，是的极小值点，故D错误， 故选：ABC. 5．/ 【分析】求导，根据极值点可得，进而解得或，代入验证极值点可确定，进而根据极大值以及端点处的函数值进行比较即可求解. 【详解】由，得， 因为是函数的极小值点，所以，即， 即，解得或． 当时，， 当或时，，当时，， 所以，在区间，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，不符合题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以在区间，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，故 又因为，， 所以函数在的最大值为． 故答案为：． 6． 【分析】经求导转化可知，函数有两个极值点，等价于函数与的图象有两个交点.，故只需研究函数的图象即可求得参数范围. 【详解】由求导，，由可得：， 因不满足此式，故可得：， 则函数有两个极值点，即函数与的图象有两个交点. 由求导，，则当时，，当时，，当时， 则函数在和上是减函数，在上是增函数，故时，取得极小值. 且当时，，当从0的左边趋近于0时，，当从0的右边趋近于0时，，当时，. 故可作出函数的图象如图.    由图可知：函数与的图象有两个交点等价于. 故答案为：. 规律方法： (1)不能忽略函数的定义域． (2)f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性． (3)函数的极小值不一定比极大值小． 【考点二】利用导数研究函数的最值 核心梳理： 1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值． (2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)． (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值． 一、单选题 1．（2023·浙江·模拟预测）对函数(，且)的极值和最值情况进行判断，一定有（    ） A．既有极大值，也有最大值 B．无极大值，但有最大值 C．既有极小值，也有最小值 D．无极小值，但有最小值 2．（2024·广东深圳·二模）设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 3．（2023·重庆·模拟预测）已知函数，，则（    ） A．与的定义域不同，与的值域只有1个公共元素 B．在与的公共定义域内，的单调性与的单调性完全相反 C．的极小值点恰好是的极大值点，的极大值点恰好是的极小值点 D．函数既无最小值也无最大值，函数既有最小值也有最大值 4．（2024·广东广州·一模）已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2023·吉林·二模）若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为 ． 6．（2024·江苏·一模）已知，，则的最小值为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C B BC ACD 1．C 【分析】先求出导数，，然后讨论方程根的情况，进而判断各选项 【详解】，下面讨论方程根的情况.令，， （1）当时(即)，仅有一个唯一的正零点，不妨设为，此时有三个不同零点，分别为，0，；满足既有极小值，也有最小值； （2）当时(即)；满足既有极小值，也有最小值； （3）当时(即且)，若(即且)，则仅有一个唯一的极小值点为0，若，结合分析可知：当时，有两个不同的正零点(令为，且).此时在，，上单调递减，当时，则仅有一个唯一的极小值点为0. 满足既有极小值，也有最小值；综上分析， 故选：C 【点睛】关键点睛：解题的关键在于：求导后讨论方程根的情况，讨论的时候，分情况：（1）当；（2）当；（3）当，进而判断各选项，属于难题 2．B 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到，构造函数，求导得其最值，即可得到结果. 【详解】由题意可得，即， 所以， 又，所以在上单调递增， 即，所以， 且， 令，， 则，其中， 令，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 所以，， 所以. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求导即可得到结果. 3．BC 【分析】首先确定定义域为、定义域为，再应用导数研究与符号，进而判断其单调性、极值点情况；判断、奇偶性，研究它们在上的性质；根据的值域情况及研究最值、及函数值是否有公共元素. 【详解】定义域为，对于有，即，故定义域不同， 由，，且， 故在相同的区间内与符号相反，即对应、单调性相反，B正确； 由上，、的极值点恰好相反，的极大值点为极小值点，的极小值点为极大值点，C正确； 由，，均为偶函数， 只需研究在上、的性质： 由且，则，故递增，则，故， 而在上连续，且函数值在范围内波动，即函数值为正、负的区间交替出现， 结合知：取0时趋向于无穷大（含正负无穷），无最值；D错误； 极小值，则为极大值， 极大值，则为极小值， 所以、值域不可能存在公共点，A错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：利用导数研究、单调性、极值情况，注意函数的波动性及值域范围，结合研究最值. 4．ACD 【分析】对于A，构造函数，计算即可判断；对于B，写出点处的切线程联立并化简得，而，计算即可判断；对于C，根据斜率相等可得，为两切线的交点代入化简得，再计算可得；对于D，根据，计算即可判断. 【详解】令，则， 故时，递增；时，递减， 所以的极大值，且，， 因为直线与曲线相交于､两点， 所以与图像有2个交点， 所以，故A正确； 设，且，可得， 在点处的切线程为 ，得，即， 因为，所以，即，故B错误； 因为，所以， 因为为两切线的交点， 所以， 即，所以， 所以，故C正确； 因为，所以，所以， 同理得，得，即， 因为，所以，故D正确. 故选：ACD.    【点睛】方法点睛：判断B，关键在于根据切线方程联立求得，而两点得斜率即为直线得斜率得，化简可得；判断C，根据斜率相等得，根据在切线上，代入化简计算可得，计算得后即可判断，判断D，关键在于利用不等式进行计算化简即可判断. 5．/ 【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解． 【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知， 的最小值即为的最小值减去半径． 因为，， 设， ，由于恒成立， 所以函数在上递减，在上递增，即， 所以，即的最小值为． 故答案为：． 6．/ 【分析】依题意可得，则，令，利用导数求出的最小值，即可得解. 【详解】，， ，，， 即，所以， 令，， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，当且仅当时取得. 故答案为： 规律方法： (1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论． (2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值． 【考点三】极值、最值的简单应用 一、单选题 1．（2023·湖南·模拟预测）已知函数在处取得极大值4，则（    ） A．8 B． C．2 D． 2．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（      ） A．当时，取得极大值 B．在上是增函数 C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数 二、多选题 3．（2023·海南·一模）已知函数的图象关于直线对称,则（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．若,且在上无极值点,则的最小值为 4．（23-24高三上·河北保定·期末）已知，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知函数，若恒成立，则 . 6．（2023·湖北武汉·二模）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B D ACD BCD 1．B 【分析】先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于0，再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程组即可得到，从而算出的值. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 经检验，符合题意，所以. 故选：B 2．D 【分析】由导函数的图象，确定导函数的正负，由此得到函数的单调性，由极值的定义判断函数的极值，由此判断四个选项即可. 【详解】根据导函数的图象可知， 当时，，当时，， 可知在内单调递减，在单调递增， 所以当时，取得极小值，当时，取得极大值，当时，取得极小值， 故ABC错误，D正确. 故选：D. 3．ACD 【分析】由解得,求出,由可判断A;求出的范围,根据正弦函数的单调性可判断B;计算可判断C;，可得或，可得 的最小值为可判断D. 【详解】因为函数的图象关于直线对称, 所以,即,解得, , 且, 对于A,,故A正确; 对于B,,所以, 因为在上单调递减,在上单调递增,故B错误; 对于C,,故C正确; 对于D,根据题意,且函数在上单调. 若,则, 可得或者,, 即,, 当时,的最小值为. 因为函数在上单调,即在上无零点, 因为的半周期为,在上无零点,则的最小值为满足题意,故D正确. 故选:ACD. 4．BCD 【分析】根据指数、对数的运算及指对函数的单调性举反例判断A，构造函数，利用导数判断单调性可得，据此判断BC，，令，由导数确定可判断D. 【详解】由，可得，又，所以，解得. 当时，，则，又，所以， 所以此时，故A错误； 令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即，由知，所以，所以，故正确； 由可得，可得（时取等号），因为，所以，所以，故C正确； 因为，所以.令，则，令，所以，令，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以1，所以，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：判断D选项时，对式子进行变形换元后得到是解题的第一个关键，构造函数，利用两次求导可得出函数的最小值是解题的第二个关键点. 5．1 【分析】对求导，分和两种情况，判断的单调性，求出的最小值，再结合恒成立求出的取值范围. 【详解】由题可得的定义域为，且， ①当时，，所以在上单调递增，所以当时，，与矛盾； ②当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以， 因为恒成立，所以，记当时，单调递增， 当时单调递减，所以，所以在上恒成立， 故要使恒成立，则，所以. 故答案为：1 6． 【分析】利用同构思想构造，得到其单调性，得到，再构造，，求导得到其单调性及其最小值，设设，利用基本不等式得到，求出答案. 【详解】，令，， 则 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故在处取得极小值，也是最小值，故， 故，当且仅当时，等号成立， 令，， 则， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，故当时，，当时，， 故时，，单调递减，当时，，单调递增， 故在处取得极小值，也时最小值，最小值为， 设， 由基本不等式得， ， 当且仅当，，时，等号成立， 故，则． 故答案为： 【点睛】导函数求解取值范围时，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题变形得到，从而构造进行求解. 规律方法： 方程、不等式恒成立，有解问题都可用分离参数法．分离参数时，等式或不等式两边符号变化以及除数不能等于0，易忽视． 专题精练 一、单选题 1．（2023·河南·模拟预测）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．当时，函数不存在极值点 B．当时，函数有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．若是函数的一条切线，则 2．（2022·四川·模拟预测）已知函数在上有零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数有极值，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 4．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知正数满足，则（    ） A． B． C．1 D． 5．（2024·云南楚雄·一模）若，则函数的图象可能是（    ） A． B．   C．   D．   6．（2023·上海松江·二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）等差数列中的，是函数的极值点，则（    ） A． B． C．3 D． 8．（2023·云南保山·二模）若函数与函数的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2023·山西·二模）已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数，下列结论中正确的是（    ） A．函数在时，取得极小值 B．对于，恒成立 C．若，则 D．若对于，不等式恒成立，则的最大值为，的最小值为 三、填空题 12．（2023·广东·二模）已知函数的最小值为0，则a的值为 . 13．（2023·河南郑州·模拟预测）在等比数列中，是函数的极值点，则＝ ． 14．（22-23高三下·湖北武汉·期中）已知函数，若有且仅有两个整数，满足，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 15．（2024·浙江杭州·二模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个极值点， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：函数有且只有一个零点． 16．（2024·陕西榆林·一模）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求； (2)证明：. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A B B A A AD ABCD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】当时，分析函数的单调性，可判断A选项；利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；利用导数的几何意义可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，此时函数在上单调递增， 所以，当时，函数不存在极值点，A对； 对于B选项，当时，，， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为， 极小值为， 又因为， 由零点存在定理可知，函数在区间有一个零点， 当时，， 因此，当时，函数有一个零点，B错； 对于C选项，对任意的，， 所以，点是曲线的对称中心，C对； 对于D选项，设是函数的一条切线，设切点坐标为， ，由题意可得，① 所以，曲线在处的切线方程为， 即，则，② 联立①②可得，D对. 故选：B. 2．C 【分析】由函数存在零点可知有解，设，利用导数求出函数的最小值，进而得出结果. 【详解】由函数存在零点，则有解， 设， 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 则时取得最小值，且， 所以m的取值范围是． 故选：C 3．B 【分析】先求出函数的导函数；再求出极值点，代入函数解方程即可. 【详解】由题目条件可得：函数的定义域为，. 令，得； 令，得. 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增. 则是函数的极小值点， 故，解得. 故选：B 4．A 【分析】不等式可化为，分别构造函数，利用导数求出函数的最大、最小值，由不等式左边最小值等于右边的最大值，建立方程即可得解. 【详解】由， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，故， 当且仅当，即时取等号； 设，则， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，故， 当且仅当时取等号， 又，则， 此时，则. 故选：A 【点睛】关键点点睛：不等式中含有不相关的双变量，据此分别构造不同的函数，利用导数求最值是关键之一，其次根据不等式左边的最小值与不等式右边的最大值相等，由不等式成立得出方程是关键点之二，据此建立方程求解即可. 5．B 【分析】对比选项可知，由题意，（）是函数的零点，（）都是函数的极值点，由此可以排除A，C；进一步对和0的大小关系分类讨论，得出函数在处附件的增减变换情况即可. 【详解】对比各个选项可知， 由三次函数图象与性质可得，（）是函数的零点， 令， 可知（）且，都是函数的极值点，由此可以排除A，C； 若，则函数的图象形状为增减增， 具体为在单调递增，在单调递减，在单调递增，可知B符合； 若，则函数的图象形状为减增减， 具体为在单调递减，在单调递增，在单调递减，可知D不符合． 故选：B. 6．B 【分析】利用导数求出函数单调性，据此知函数有极大值，根据函数在开区间上有最大值可知，区间含极大值点 【详解】， 当或时，，当时，， 所以函数在，上递增函数，在上递减函数， 故时函数有极大值，且， 所以当函数在上有最大值，则且， 即，解得. 故选：B. 7．A 【分析】利用导数求出函数的两个极值点，再利用等差数列性质求出即可计算得解. 【详解】由求导得：， 有，即有两个不等实根， 显然是的变号零点，即函数的两个极值点， 依题意，，在等差数列中，， 所以. 故选：A 8．A 【分析】先求得公切线方程为，联立方程组，结合，得到，令，求得，令，求得和，得到函数的单调性和最小值，进而得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为，设切点为，则， 则公切线方程为，即， 与联立可得， 所以，整理可得， 又由，可得，解得， 令，其中，可得， 令，可得，函数在上单调递增，且， 当时，，即，此时函数单调递减， 当时，，即，此时函数单调递增， 所以，且当时，，所以函数的值域为，所以且，解得，即实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 9．AD 【分析】根据原函数极值点即为导函数零点可得，即可知，再根据极大值为3可解得或；易知当时，在处取得极小值，与题意不符，当时，函数在处取得极大值，符合题意，可得，，即，即可判断出结论. 【详解】由题意可得， 且是函数的极大值点，即，可得， 又极大值为3，所以，解得或； 当时，，此时， 时，，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 此时函数在处取得极小值，与题意不符，即舍去； 当时，，此时， 时，，时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 此时函数在处取得极大值，符合题意， 所以，，即，所以A正确，B错误； 此时，所以，，即C错误，D正确. 故选：AD 10．ABCD 【分析】对于A，由换底公式即可判断；对于BC，由基本不等式即可判断；对于D，构造函数，利用导数可证得，由此即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，在这里，所以严格来说有，故B正确； 对于C，，在这里，所以严格来说有，故C正确； 对于D，，而， 定义，则， 从而单调递增，所以， 所以，故D正确. 故选：ABCD. 11．BCD 【分析】对求导，利用导函数的符号判断在上的单调性判断AB，构造，结合AB中结论求解的单调性判断CD. 【详解】选项A：由题意可得， 所以当时，在单调递减， 所以在上不存在极值点，A说法错误； 选项B：因为且由A可知在单调递减， 所以，恒成立，B说法正确； 选项C：令，，则， 由B可知在恒成立，所以在上单调递减， 所以当时，，即，C说法正确； 选项D：由C可知当时，， 所以对于，不等式恒成立，则的最大值为，的最小值为，D说法正确； 故选：BCD 12．/0.5 【分析】对求导，进而研究的单调性，根据有最小值为0，则使，且求出，即可求参数值. 【详解】由，且， 令，则，即在上递增， 所以在上递增，又，，，， 所以，使，且时，， 时，，所以在上递减，在上递增， 所以 由，得， 令函数，， 所以在上是增函数，注意到，所以， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，结合最小值为0可得到方程组，消a得到关于的方程，再利用函数的单调性及特殊点的函数值解方程可得. 13． 【分析】由题，利用导数及韦达定理可得，后利用等比中项性质可得答案. 【详解】， 由题是方程的两个不等实根， 则由韦达定理，所以 又是的等比中项且与同号，则. 故答案为：. 14． 【分析】先对全分离，即，构造新函数，求导求单调性判断最值点，若有且仅有两个整数使得不等式成立，只需大于最小值点附近的两个整数处的函数值，且小于等于该整数处相邻的整数点处函数值，列出不等式，解出即可. 【详解】解：若，即， 因为，所以，即，记， 故只需有且仅有两个整数使得成立即可， 所以， 记，所以， 所以在上单调递增， 因为，， 所以，使得，即， 在上，即，单调递减， 在上，即，单调递增，所以有最小值， 因为，且， ，而， 若使有且仅有两个整数， 只需即可，解得. 故答案为： 【点睛】方法点睛：该题考查函数与导数的综合应用，属于难题，关于不等式成立问题的方法有： （1）对不等式进行全分离，使分母较简单或容易判断正负，以便少分类讨论； （2）构造新函数，求导求单调性，判断极值点，在草稿纸上画出草图； （3）根据题意转化为数学语言，建立不等式，解出即可. 15．(1)答案见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，再分、、三种情况，分别求出函数的单调区间； （2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 且， 当时，恒成立，所以在单调递减； 当时，令，即，解得，， 因为，所以，则， 所以当时， 当时， 当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，此时， 所以时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上可得：当时在单调递减； 当时在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时在上单调递增，在上单调递减． （2）（ⅰ）由（1）可知． （ⅱ）由（1）在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 又，所以，则， 又， 又， 所以在上没有零点， 又，则，则，， 则， 所以，所以在上存在一个零点， 综上可得函数有且只有一个零点． 16．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据切线方程，求得切点与切线斜率，建立方程，可得答案； （2）由（1）写出函数解析式，化简整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案. 【详解】（1）函数的定义域为. 将代入，解得，即， 由切线方程，则切线斜率. 故，解得. （2）证明：由（1）知， 从而等价于. 设函数，则. 所以当时，，当时，. 故在上单调递减，在上单调递增， 从而在上的最小值为. 设函数， 从而在上的最大值为. 故，即. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$