专题一 函数与导数 第3讲　导数的几何意义及函数的单调性-2025年高考数学二轮复习（新高考专用）

第3讲　导数的几何意义及函数的单调性（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 2 【考点一】导数的几何意义与计算 2 【考点二】利用导数研究函数的单调性 4 【考点三】单调性的简单应用 5 【专题精练】 6 考情分析： 1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小. 2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题． 真题自测 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 4．（2022·全国·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 二、填空题 6．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 7．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 8．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 考点突破 【考点一】导数的几何意义与计算 核心梳理： 1．导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率． (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同． (3)切点既在切线上，又在曲线上． 2．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′ x＝y′u·u′x. 一、单选题 1．（22-23高二上·湖北襄阳·期末）若函数在处的导数为1，则（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·广东广州·二模）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的图像在处的切线斜率为 C． D．有两个零点，且 4．（23-24高二下·重庆·期末）已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（    ） A． B．函数有三个零点 C．函数的对称中心为 D．过可以作两条直线与的图象相切 5．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．有一个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 6．（21-22高三上·山东菏泽·期末）已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数图象的对称轴方程为 C．若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为 D．函数的图象上存在点，使得在点处的切线斜率为 规律方法： 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点． 【考点二】利用导数研究函数的单调性 核心梳理： 利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求函数y＝f(x)的定义域． (2)求f(x)的导数f′(x)． (3)求出f′(x)的零点，划分单调区间． (4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号． 一、单选题 1．（2024·贵州贵阳·一模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·广东深圳·一模）设，且，则下列关系式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若为上的单调函数，则 B．若时，在上有最小值，无最大值 C．若为奇函数，则 D．当时，在处的切线方程为 三、填空题 5．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知，若有四个不同的零点，则t的取值范围是 ． 6．（23-24高二下·上海·期中）函数的严格递减区间是 . 规律方法： (1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制； (2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论； (3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论． 【考点三】单调性的简单应用 核心梳理： 1．函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立． 2．函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解． 一、单选题 1．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）函数在R上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2018·吉林·模拟预测）已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知非零函数及其导函数的定义域均为，与均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二下·浙江金华·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．若为增函数，则 C．当时，函数恰有两个零点 D．当时，函数恰有1个极值点 三、填空题 5．（2024·江西上饶·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ． 6．（22-23高二下·浙江·期中）已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为 . 规律方法： 利用导数比较大小或解不等式的策略 利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式． 专题精练 一、单选题 1．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（    ）      A． B． C． D． 2．（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 3．（2024·河南开封·二模）已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（　　） A． B． C．1 D．2 5．（2024·广东·一模）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·辽宁·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖南永州·三模）已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·全国·模拟预测）设，曲线在点处切线的斜率为，与x轴的交点为，与y轴的交点为，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·湖南·模拟预测）已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数为周期函数 C．函数为上的偶函数 D． 11．（2024·福建南平·模拟预测）已知函数是的导函数，则（    ） A．“”是“为奇函数”的充要条件 B．“”是“为增函数”的充要条件 C．若不等式的解集为且，则的极小值为 D．若是方程的两个不同的根，且，则或 三、填空题 12．（2023·福建厦门·模拟预测）已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为 ． 13．（2024·山东滨州·二模）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 ． 14．（2024·北京石景山·一模）设函数， ①若有两个零点，则实数的一个取值可以是 ； ②若是上的增函数，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)对，恒成立，求a的取值范围. 16．（23-24高二上·安徽·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)试讨论函数的单调性． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲　导数的几何意义及函数的单调性（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 7 【考点一】导数的几何意义与计算 7 【考点二】利用导数研究函数的单调性 12 【考点三】单调性的简单应用 17 【专题精练】 22 考情分析： 1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小. 2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题． 真题自测 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 4．（2022·全国·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 二、填空题 6．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 7．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 8．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A C C D B 1．A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 2．C 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 3．C 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 4．D 【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值. 【详解】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 5．B 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 6． 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 7． 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. [方法三]： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 故答案为：；. 8． 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 考点突破 【考点一】导数的几何意义与计算 核心梳理： 1．导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率． (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同． (3)切点既在切线上，又在曲线上． 2．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′ x＝y′u·u′x. 一、单选题 1．（22-23高二上·湖北襄阳·期末）若函数在处的导数为1，则（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·广东广州·二模）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的图像在处的切线斜率为 C． D．有两个零点，且 4．（23-24高二下·重庆·期末）已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（    ） A． B．函数有三个零点 C．函数的对称中心为 D．过可以作两条直线与的图象相切 5．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．有一个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 6．（21-22高三上·山东菏泽·期末）已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数图象的对称轴方程为 C．若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为 D．函数的图象上存在点，使得在点处的切线斜率为 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C BCD ACD BC AC 1．D 【分析】根据导数的定义可知，，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 根据导数的定义可知，， 即， 所以. 故选：D. 2．C 【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角. 【详解】由，则，即直线的斜率为， 根据倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为. 故选：C 3．BCD 【分析】根据题意直接求出的范围即可判断；求出导函数，进而求得即可判断B；求得即可判断C；易知的单调性，结合零点存在定理及C即可判断D． 【详解】由题意，， 对于选项A，易知且，故选项A错误， 对于选项B，因为，则，故选项B正确， 对于选项C，因为，所以，故选项C正确， 对于选项D，由选项可知，易知在和上单调递增， 因为， ， 所以，使得， 又因为，则，结合选项C，得， 即也是的零点，则，，故，故选项D正确， 故选：BCD. 4．ACD 【分析】根据题意可得，即可判断A；求出函数的单调区间及极值，即可判断B；求出即可判断C；设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出切点，即可判断D. 【详解】， 因为函数有极小值点， 所以，解得， 所以，， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又 所以函数仅有个在区间上的零点，故A正确，故B错误； 对于C，由， 得， 所以函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，设切点为，则， 故切线方程为， 又过点，所以， 整理得，即， 解得或， 所以过可以作两条直线与的图象相切，故D正确. 故选：ACD. 5．BC 【分析】利用导数y与零点存在性定理求解三次函数的极值点，零点，对称中心，切线问题. 【详解】选项A：则恒成立，故单调递增，故不存在两个极值点，故选项A错误. 选项B:又单调递增，故有一个零点，故选项B正确， 选项C：故点是曲线的对称中心，故选项C正确， 选项D：令，即， 令，则令， 则 当则当切线斜率为切点为则切线方程为：与不相等， 当时同样切线方程不为，故选项D错误. 故选：BC. 6．AC 【分析】根据图象可求出函数，即可得，计算可知A正确，整体代入可得函数图象的对称轴方程为，即B错误；分别求的两零点的表达式可得的最小值为，即C正确；利用导数的几何意义可知D错误. 【详解】由图象可知， 设的最小正周期为，又，解得； 由图可得，又，所以，即； 因此，所以； 即可得，故A正确； 令，解得，所以函数图象的对称轴方程为，即B错误； 令，即可得，解得； 可得，当时，的最小值为，即C正确； 易知，而， 因此不存在点，使得在点处的切线斜率为，即D错误； 故选：AC 规律方法： 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点． 【考点二】利用导数研究函数的单调性 核心梳理： 利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求函数y＝f(x)的定义域． (2)求f(x)的导数f′(x)． (3)求出f′(x)的零点，划分单调区间． (4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号． 一、单选题 1．（2024·贵州贵阳·一模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·广东深圳·一模）设，且，则下列关系式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若为上的单调函数，则 B．若时，在上有最小值，无最大值 C．若为奇函数，则 D．当时，在处的切线方程为 三、填空题 5．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知，若有四个不同的零点，则t的取值范围是 ． 6．（23-24高二下·上海·期中）函数的严格递减区间是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D D AC BCD 1．D 【分析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式. 【详解】依题意令，则， 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，，故A不正确； 所以，即，即，故B不正确； 又，即，即，故C错误； 因为，即，即，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据题意构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小. 2．D 【分析】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可. 【详解】解：因为，， 设， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，， 又因为， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于较复杂的对数、指数式的大小比较，通常构造函数，利用所构造函数的单调性即可解答问题. 3．AC 【分析】首先求出，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可. 【详解】由于，知，及其，则，解得， 对AB，，设函数，， 故在上单调递减，则1，即，故A对B错； 对C，由于，设，， 故在上单调递减，，故， 若，故C对； 对D，，设，， 令，则，则，，则，， 则在上单调递增，在上单调递减，，故，即，故D错误. 故选：AC. 4．BCD 【分析】A选项利用导数恒正或恒负可解得；B选项求导，判断单调区间和单调性得出极值；C选项利用奇函数的性质求出；D选项利用导数的意义结合点斜式求出. 【详解】A：若为上的单调函数，则，，则，故A错； B：当时，，令，得，，则在上单调递减，在上单调递增，在处取最小值，无最大值，故B对； C：由于，则为奇函数时，，故C对； D：当时，，，则，切点为，切线方程为，故D对； 故选：BCD． 5． 【分析】结合导数，分析的单调性后画出函数图象，有四个不同的零点，即有四个不同的解，令，转换为有两个不同解，结合图象判断即可得. 【详解】当时，，则对恒成立， ∴在上单调递增， 当时，，则．令； 令，∴在上单调递增，上单调递减， 由题意有四个不同的解， 令，则有两个不同解，显然， 如下图，不妨设，故， ∴，故．    故答案为：. 6．. 【分析】求导并结合函数的定义域，求出函数的单调减区间即可. 【详解】函数的定义域为， ， 令，则且，即的严格递减区间为. 故答案为： . 规律方法： (1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制； (2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论； (3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论． 【考点三】单调性的简单应用 核心梳理： 1．函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立． 2．函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解． 一、单选题 1．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）函数在R上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2018·吉林·模拟预测）已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知非零函数及其导函数的定义域均为，与均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二下·浙江金华·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．若为增函数，则 C．当时，函数恰有两个零点 D．当时，函数恰有1个极值点 三、填空题 5．（2024·江西上饶·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ． 6．（22-23高二下·浙江·期中）已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C D BD AB 1．C 【分析】利用导数分别求解和时的单调性，再结合在上递增，可得，即可求解. 【详解】由题意，函数在上单调递增，当时，，依题需使恒成立，则； 当时，由在上递增，需使在上恒成立，则，即； 又由在上递增，可得，解得. 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 2．D 【分析】根据不等式，构造函数并明确其单调性，进而可得导数的不等式，利用参数分离整理不等式，构造函数，利用导数求其最值，可得答案. 【详解】当时，不等式恒成立，则， 即函数在上单调递增，则， 整理可得，令，则. 当时，，单调递减，当时，，单调递增， ，. 故选：D. 3．BD 【分析】由题意结合赋值法可得函数与的对称性及周期性，结合性质逐项分析计算即可得. 【详解】由与均为偶函数， 故，， 即有，， 故关于对称，关于对称， 又，故， 即，故关于对称， 由，可得， 即有，为常数， 即关于对称，故，故A错误； 即对有、， 则，即， 故，即， 即，故B正确； 对有，， 关于对称且关于对称，， 有，即， 故，即， 故为周期为的周期函数， 有，即， 故关于对称，不能得到，故C错误； 由关于对称，故，， 由为周期为的周期函数，且关于对称， 故关于对称，故， 由关于对称，关于对称，故关于对称， 故，， 故，故D正确. 故选：BD. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 4．AB 【分析】A利用奇偶性定义判断；B利用导数研究恒成立求a的范围；C结合B结论即可判断；D利用零点存在性定理判断异号零点的个数即可判断. 【详解】且定义域为，即为奇函数，A正确； 若为增函数，恒成立， 令，则，即递增； 又，故上，上，即在上递减，在上递增， 所以恒成立，可得，B正确； 由B知：时为增函数，不可能存在两个零点，C错误； 时，由B分析知：，，，故在、上各有一个异号零点，则有2个极值点，D错误； 故选：AB 【点睛】关键点点睛：构造中间函数研究恒成立求参数范围，根据零点存在性定理及单调性判断的零点个数. 5． 【分析】函数在区间上单调递增，转化为在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 即时，恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 即，所以， 故答案为：. 6． 【分析】将不等式等价转化，构造函数，并探讨其性质，再利用导数分类讨论的值域即可求解作答. 【详解】， 令，则，，设，则， 当时,，且等号不同时成立，则恒成立， 当时，，则恒成立，则在上单调递增， 又因为，因此存在，使得， 当时，，当时,， 所以函数在上单调递减，在,上单调递增, 又，作出函数的图像如下：    函数定义域为，求导得， ①当时，，函数的单调递减区间为， 当时，的取值集合为，而取值集合为， 因此函数在上的值域包含， 当时，的取值集合为，而取值集合为， 因此函数在上无最小值，从而函数的值域为R，即，，不合题意， ②当时，由得，由得，函数在上单调递增，在上单调递减， ，当时，的取值集合为， 而取值集合为，因此函数在上的值域包含， 此时函数的值域为，即， 当时，即当时，恒成立，符合题意， 当时，即当时，，结合图象可知，，不合题意， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解. 规律方法： 利用导数比较大小或解不等式的策略 利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式． 专题精练 一、单选题 1．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（    ）      A． B． C． D． 2．（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 3．（2024·河南开封·二模）已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（　　） A． B． C．1 D．2 5．（2024·广东·一模）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·辽宁·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖南永州·三模）已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·全国·模拟预测）设，曲线在点处切线的斜率为，与x轴的交点为，与y轴的交点为，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·湖南·模拟预测）已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数为周期函数 C．函数为上的偶函数 D． 11．（2024·福建南平·模拟预测）已知函数是的导函数，则（    ） A．“”是“为奇函数”的充要条件 B．“”是“为增函数”的充要条件 C．若不等式的解集为且，则的极小值为 D．若是方程的两个不同的根，且，则或 三、填空题 12．（2023·福建厦门·模拟预测）已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为 ． 13．（2024·山东滨州·二模）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 ． 14．（2024·北京石景山·一模）设函数， ①若有两个零点，则实数的一个取值可以是 ； ②若是上的增函数，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)对，恒成立，求a的取值范围. 16．（23-24高二上·安徽·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)试讨论函数的单调性． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D D B D C D BC AB 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】由图设溶液高度和液面半径，用表示液体体积得到方程，求出，依题，对其求导，赋值即得时液体高度的瞬时变化率. 【详解】    设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，液面半径为，如图可得， ,则，即， 则由，解得. 由，当时，， 即时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为. 故选：A. 2．A 【分析】求出的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为，求得函数的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得的值，进而得到的值. 【详解】由曲线，得， 在处的切线斜率为，当时，， 曲线在处的，即， 曲线，导数为， 设切点为，则，解得，切点在切线上， 即有，得. 故选：A. 3．D 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：D 4．D 【分析】根据切线的斜率的几何意义可知，求出切点，代入切线即可求出. 【详解】设切点为 因为切线， 所以， 解得（舍去） 代入曲线得， 所以切点为 代入切线方程可得，解得. 故选：D. 5．B 【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】令，得，代入曲线， 所以的最小值即为点到直线的距离. 故选：B. 6．D 【分析】求出根据导函数的几何意义，分别解以及，得出切点坐标，代入点斜式方程求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 由导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率. 对于A、B项，由可得，，解得. 当时，切点为，此时切线方程为， 整理可得，切线方程为，故B项正确. 当时，切点为，此时切线方程为， 整理可得，切线方程为，故A项正确； 对于C、D项，由可得，，解得，切点为， 此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故C项正确，D项错误. 故选：D. 7．C 【分析】求导后结合基本不等式可得在上单调递增，令g，从而可得在上单调递增，且为奇函数，从而可化为，求解即可. 【详解】， 在上单调递增. 令，在上单调递增， 因为，所以为奇函数， 则化为 所以，解得， . 故选：C 8．D 【分析】由命题为假命题，得到为真命题.方法一：参数分离，并构造函数，通过导数求函数单调性求解；方法二：将转化为直线与曲线没有交点，通过导数求切斜方程即可. 【详解】法一：由题可得为真命题， 易知满足，符合题意，此时； 当时，可变形为， 令，则， 当时，；当时，， 当时，单调递减，且；当时，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，， 作出函数的图象如图①所示， 由题可知直线与函数的图象没有交点，数形结合可得. 法二：由题可得为真命题， 即直线与曲线没有交点. 设直线与曲线切于点， 由，得，则， 所以， 所以直线与曲线相切， 若直线与曲线没有交点，如图②所示，则. 故选：D. 9．BC 【分析】应用导数的几何意义判断A,结合数列的基础运算判断B,C,D． 【详解】由于，所以，切线方程为，从而，． ，A错误； ，B正确； ，C正确； ，，D错误． 故选：BC. 10．AB 【分析】首先利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期判断B，利用特殊值代入判断A，根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义判断C，根据函数的关系式和单调性判断D. 【详解】因为为偶函数， ，故函数图象关于直线对称， 为奇函数，1），函数图象关于对称， 对于B，，故2是函数的周期，函数为周期函数，故B正确； 对于A，，令，故， 又，故A正确； 对于C，，当时，，即函数在上递增， 函数图象关于对称，故函数在上递减，故函数在上递增， 所以，故函数不是偶函数，故C错误； 对于D，，故D错误， 故选：AB. 【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质； 11．ACD 【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；结合导数和函数的单调性间的关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；利用导数求得函数的单调性，进而求得的极小值，可判定C正确；结合二次函数的性质，结合，列出不等式，可判定D正确． 【详解】对于A中，当时，函数，则满足， 所以为奇函数，所以充分性成立； 若为奇函数，则， 则恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正确； 对于B中，当时， ，可得，所以为增函数； 由，当为增函数时，，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C中，由，若不等式的解集为且， 则在上先增后减再增，则，解得， 故，可得， 令，解得或， 当内，，单调递增； 当内，，单调递减； 当内，，单调递增， 所以的极小值为，所以C正确． 对于D中，由，因为是方程的两个不同的根， 所以，即，且， 由，可得，所以，即， 联立方程组，可得，解得或，所以D正确． 故选：ACD． 12．/0.5 【分析】根据导数的几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断. 【详解】， 假设两曲线在同一点处相切， 则，可得，即， 因为函数单调递增，且时， 所以，则，此时两曲线在处相切， 根据曲线的变化趋势，若，则两曲线相交于两点，不存在公切线，如图，    所以的最大值为. 故答案为：. 13． 【分析】求出函数的导数，再利用给定的区间的单调性列出不等式，构造函数并求出最小值即得. 【详解】函数，求导得，由在上单调递减， 得，，即，令， 求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 14． （内的值都可以） 或 【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解； ②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解. 【详解】①函数在上单调递增，， 所以函数在区间上无零点， 则函数在上有2个零点， 即，，则，或或，， 则，解得：， 所以的一个值是； ②函数在上单调递增， 则在上，也单调递增，且， 若函数在在区间单调递增， 则，即在区间上恒成立， 即，即， 不等式，解得：或， 综上可知，或. 故答案为：（内的值都可以）；或 15．(1)递增区间为； (2). 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间即得. （2）取特值判断，再借助（1）中信息及不等式性质可得，然后利用导数探讨的情况即得. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 令，求导得， 当时，，当时，，则函数在上递减，在上递增， ，即，，当且仅当时取等号， 所以函数在上单调递增，即函数的递增区间为. （2）依题意，，则， 由（1）知，当时，恒成立， 当时，，， 则，因此； 当时，求导得，令， 求导得，当时，， 则函数，即在上单调递减，当时，， 因此函数在上单调递减，当时，，不符合题意， 所以a的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以按参数值分段讨论，利用导数结合函数零点探讨函数值正负即可作答. 16．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知：在上恒成立，结合二次函数分析求解； （2）分和两种情况，结合导数以及二次不等式分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， 若在上单调递增，则在上恒成立， 且，则， 且在上单调递增， 当时，取得最小值， 可得，即， 所以的取值范围. （2）由（1）可得：，且， 当，即时，则， 所以在上单调递增； 当，即时， 令，解得或；令，解得； 所以在，上单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，所以在上单调递增； 当时，所以在，上单调递增，在内单调递减. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$